2020年江苏常州中考数学试卷及答案
2020年江苏省常州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
常州市二〇二〇年初中学业水平考试数学试题（全卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣C．D．22．计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m123．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥4．8的立方根为（）A．B．C．2 D．±25．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+16．如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2B．4 C．3D．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在相应位置上）9．计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．11．地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．12．分解因式：x3﹣x＝．13．若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是．14．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝．15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．16．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．17．如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．18．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．20．（8分）解方程和不等式组：（1）+＝2；（2）．21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25．（8分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．28．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣C．D．2【知识考点】相反数．【思路分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．【解题过程】解：2的相反数是﹣2．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．2．计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m12【知识考点】同底数幂的除法．【思路分析】利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解题过程】解：m6÷m2＝m6﹣2＝m4．故选：B．【总结归纳】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥【知识考点】由三视图判断几何体．【思路分析】该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为正方形，易得出该几何体的形状．【解题过程】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C．【总结归纳】主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．4．8的立方根为（）A．B．C．2 D．±2【知识考点】立方根．【思路分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．【解题过程】解：8的立方根是＝＝2，故选：C．【总结归纳】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：a的立方根是．5．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+1【知识考点】不等式的性质．【思路分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解题过程】解：A、∵x＜y，∴2x＜2y，故本选项符合题意；B、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；D、∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；故选：A．【总结归纳】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．6．如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】先根据邻补角互补求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．【解题过程】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝140°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°．故选：B．【总结归纳】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．7．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【知识考点】直角三角形斜边上的中线．【思路分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．【解题过程】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．【总结归纳】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确BC的最大值为⊙O的直径的长是解题的关键．8．如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2B．4 C．3D．6【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．【思路分析】根据三角形面积公式求得AE＝2，易证得△AOM≌△CBD（AAS），得出OM ＝BD＝，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝2，设A（m，），则D（m﹣2，3），根据反比例函数的定义得出关于m的方程，解方程求得m＝3，进一步求得k＝6．【解题过程】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD＝，∵S△ABD＝＝2，BD＝，∴AE＝2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2，∴D的纵坐标为3，设A（m，），则D（m﹣2，3），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，∴k＝m＝（m﹣2）×3，解得m＝3，∴k＝m＝6．故选：D．【总结归纳】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在相应位置上）9．计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．【知识考点】实数的运算；零指数幂．【思路分析】首先计算乘方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．【解题过程】解：|﹣2|+（π﹣1）0＝2+1＝3，故答案为：3．【总结归纳】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．【知识考点】分式有意义的条件．【思路分析】分式有意义时，分母x﹣1≠0，据此求得x的取值范围．【解题过程】解：依题意得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．【总结归纳】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．11．地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解题过程】解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．故答案为：6.4×103．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．分解因式：x3﹣x＝．【知识考点】提公因式法与公式法的综合运用．【思路分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．【解题过程】解：x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．【总结归纳】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．13．若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是．【知识考点】一次函数图象与系数的关系．【思路分析】根据一次函数的性质，如果y随x的增大而增大，则一次项的系数大于0，据此求出k的取值范围．【解题过程】解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k＞0．故答案为：k＞0．【总结归纳】本题考查的是一次函数的性质，解答本题要注意：在一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时y随x的增大而增大．14．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝1．【知识考点】一元二次方程的解．【思路分析】把x＝1代入方程得出1+a﹣2＝0，求出方程的解即可．【解题过程】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1，故答案为：1．【总结归纳】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．【知识考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．【思路分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．【解题过程】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．【总结归纳】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．16．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．【知识考点】数学常识；坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【思路分析】根据直角三角形的性质可得OA和OD的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案．【解题过程】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∴CD＝AD＝AB＝2，∵∠DAB＝120°，∴∠OAD＝60°，Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝＝1，OD＝＝，∴C（2，），故答案为：（2，）．【总结归纳】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是确定OD的长．17．如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．【知识考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形．【思路分析】根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【解题过程】解：连接CG，在正方形ACDE、BCFG中，∠ECA＝∠GCB＝45°，∴∠ECG＝90°，∵AC＝2BC，∴设AC＝2a，BC＝a，∴CE＝2a，CG＝a，∴tan∠CEG＝＝，故答案为：．【总结归纳】本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．18．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．【知识考点】三角形中位线定理；解直角三角形．【思路分析】如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H，证明四边形DGBT是平行四边形，求出DH，TH即可解决问题．【解题过程】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH＝＝＝，∴＝，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．【总结归纳】本题考查三角函数定义，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．【知识考点】整式的混合运算—化简求值．【思路分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解题过程】解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2时，原式＝2+1＝3．【总结归纳】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．20．（8分）解方程和不等式组：（1）+＝2；（2）．【知识考点】解分式方程；解一元一次不等式组．【思路分析】（1）方程两边都乘以x﹣1得出方程x﹣2＝2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解题过程】解：（1）方程两边都乘以x﹣1得：x﹣2＝2（x﹣1），解得：x＝0，检验：把x＝0代入x﹣1得：x﹣1≠0，所以x＝0是原方程的解，即原方程的解是：x＝0；（2），∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集是：﹣2≤x＜3．【总结归纳】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键．21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．【知识考点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；条形统计图．【思路分析】（1）根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量；（2）用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去其他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可．【解题过程】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人），则样本容量是100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：2000×＝300（人），答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．【总结归纳】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．【知识考点】概率公式；列表法与树状图法．【思路分析】（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，可求出概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率．【解题过程】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，∴P（和为奇数）＝＝．【总结归纳】本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的关键．23．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．【知识考点】全等三角形的判定与性质．【思路分析】（1）首先利用平行线的性质得出，∠A＝∠FBD，根据AB＝CD即可得出AC＝BD，进而得出△EAC≌△FBD解答即可；（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解题过程】证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC与△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS），∴∠E＝∠F；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E的度数为60°．【总结归纳】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．根据已知得出△EAC≌△FBD是解题关键．24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？【知识考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，根据“购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，根据总价＝单价×数量结合总价不超过100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．【解题过程】解：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，依题意，得：8m+6（15﹣m）≤100，解得：m≤5．答：最多购买5千克苹果．【总结归纳】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．（8分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；（2）根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．【解题过程】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y＝（x＞0）得，a＝＝2，∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，∴正比例函数的关系式为y＝2x；（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，∴OB＝5，当x＝5代入y＝得，y＝，即BC＝，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣＝，∴S△ACD＝××（5﹣2）＝12.6，【总结归纳】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．【知识考点】全等三角形的性质；含30度角的直角三角形；作图﹣旋转变换．【思路分析】（1）如图1中，作FD⊥AC于D．证明△ABC≌△CDF（AAS）可得结论．（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．根据S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF计算即可．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△EOH中，利用勾股定理构建方程求解即可．【解题过程】解：（1）如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．∴∠ACB＝60°，∠FCE＝∠BAC＝30°，AC＝CF，∴∠ACF＝30°，∴∠BAC＝∠FCD，在△ABC和△CDF中，，∴△ABC≌△CDF（AAS），∴FD＝BC＝1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH＝﹣＝．故答案为．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，∴EC＝EF＝，EH＝，CH＝EH＝，在Rt△BOC中，OC＝＝，∴OH＝CH﹣OC＝﹣，在Rt△EOH中，则有x2＝（）2+（﹣）2，解得x＝或﹣（不合题意舍弃），∴OC＝＝，∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．【总结归纳】本题考查作图﹣旋转变换，解直角三角形，全等三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）①根据远点，特征数的定义判断即可．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．分两种情形k＞0或k＜0，分别求解即可解决问题．【解题过程】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝10，故答案为：D，10．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y＝x+4交x轴于F（﹣，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF＝∴tan∠FEO＝＝，∴∠FEO＝30°，∴OH＝OE＝2，∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．（2）如图2中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN＝2，EN•NH＝4，∴NH＝，∵N（﹣1，0），M（1，4），∴MN＝＝2，∴HM＝＝＝，∴△MNH是等腰直角三角形，∵MN的中点K（0，2），∴KN＝HK＝KM＝，∴H（﹣2，3），把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝x+，当k＜0时，同法可知直线l′经过H′（2，1），可得直线l′的解析式为y＝﹣3x+7．综上所述，满足条件的直线l的解析式为y＝x+或y＝﹣3x+7．【总结归纳】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，远点，特征数的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．28．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；当点Q在点D下方时，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ 交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；（3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由轴对称的性质可得EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM＝NK＝，MN＝KF，可求CF＝6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．【解题过程】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；。
2020学年江苏省常州市中考数学试题(含答案)
2020年中考数学试题（江苏常州卷）（本试题满分120分，考试时间120分钟）一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2020年江苏常州2分）在下列实数中，无理数是【 】A ．2B ．3.14C ．12- D ．3【答案】D 。
2．（2020年江苏常州2分）如图所示圆柱的左视图是【 】A ．B ．C ．D ．【答案】C 。
3．（2020年江苏常州2分）下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是【 】 A ．1y x =- B ．1y x = C ．2y x = D ．2y x=- 【答案】A 。
4．（2020年江苏常州2分）下列计算中，正确的是【 】A ．（a 3b ）2=a 6b 2B ．a•a 4=a 4C ．a 6÷a 2=a 3D ．3a+2b=5ab 【答案】A 。
5．（2020年江苏常州2分）已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差21S 12=甲，乙组数据的方差21S 10=乙，下列结论中正确的是【 】 A ．甲组数据比乙组数据的波动大 B ．乙组数据的比甲组数据的波动大C ．甲组数据与乙组数据的波动一样大D ．甲组数据与乙组数据的波动不能比较【答案】B 。
6．（2020年江苏常州2分）已知⊙O 的半径是6，点O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O 的位置关系是【 】A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法判断 【答案】C 。
7．（2020年江苏常州2分）二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣112345y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12给出了结论：（1）二次函数2y ax bx c =++有最小值，最小值为﹣3；（2）当1<x<22-时，y ＜0；（3）二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确结论的个数是【 】A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B 。
2020年江苏省常州市中考数学试卷(含解析版)
2020年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）2的相反数是（）A．﹣2B．﹣C．D．22．（2分）计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m123．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥4．（2分）8的立方根为（）A．B．C．2D．±25．（2分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+16．（2分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．（2分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．68．（2分）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2B．4C．3D．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．10．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．11．（2分）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．12．（2分）分解因式：x3﹣x＝．13．（2分）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是．14．（2分）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝．15．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．16．（2分）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．17．（2分）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．18．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．20．（8分）解方程和不等式组：（1）+＝2；（2）．21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25．（8分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH 的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．28．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD ＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．2020年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）2的相反数是（）A．﹣2B．﹣C．D．2【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．【解答】解：2的相反数是﹣2．故选：A．【点评】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．2．（2分）计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m12【分析】利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：m6÷m2＝m6﹣2＝m4．故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥【分析】该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为正方形，易得出该几何体的形状．【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C．【点评】主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．4．（2分）8的立方根为（）A．B．C．2D．±2【分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．【解答】解：8的立方根是＝＝2，故选：C．【点评】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：a的立方根是．5．（2分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：A、∵x＜y，∴2x＜2y，故本选项符合题意；B、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；D、∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．6．（2分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】先根据邻补角互补求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝40°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．7．（2分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确BC的最大值为⊙O的直径的长是解题的关键．8．（2分）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2B．4C．3D．6【分析】根据三角形面积公式求得AE＝2，易证得△AOM≌△CBD（AAS），得出OM ＝BD＝，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝2，设A（m，），则D（m﹣2，3），根据反比例函数系数k的几何意义得出关于m的方程，解方程求得m＝3，进一步求得k＝6．【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD＝，∵S△ABD＝＝2，BD＝，∴AE＝2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2，∴D的纵坐标为3，设A（m，），则D（m﹣2，3），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，∴k＝m＝（m﹣2）×3，解得m＝3，∴k＝m＝6．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝3．【分析】首先计算乘方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：|﹣2|+（π﹣1）0＝2+1＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．10．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≠1．【分析】分式有意义时，分母x﹣1≠0，据此求得x的取值范围．【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．【点评】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．11．（2分）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为 6.4×103．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．故答案为：6.4×103．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（2分）分解因式：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．【解答】解：x3﹣x，＝x（x2﹣1），＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．13．（2分）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是k＞0．【分析】根据一次函数的性质，如果y随x的增大而增大，则一次项的系数大于0，据此求出k的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k＞0．故答案为：k＞0．【点评】本题考查的是一次函数的性质，解答本题要注意：在一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时y随x的增大而增大．14．（2分）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝1．【分析】把x＝1代入方程得出1+a﹣2＝0，求出方程的解即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．15．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝30°．【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC ＝60°，从而可得∠B的度数．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．16．（2分）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是（2，）．【分析】根据直角三角形的性质可得OA和OD的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∴CD＝AD＝AB＝2，∵∠DAB＝120°，∴∠OAD＝60°，Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝＝1，OD＝＝，∴C（2，），故答案为：（2，）．【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是确定OD的长．17．（2分）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．【分析】根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：连接CG，在正方形ACDE、BCFG中，∠ECA＝∠GCB＝45°，∴∠ECG＝90°，设AC＝2，BC＝1，∴CE＝2，CG＝，∴tan∠GEC＝＝，故答案为：．【点评】本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．18．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为4或2．【分析】如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H，证明四边形DGBT是平行四边形，求出DH，TH即可解决问题．【解答】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH＝＝＝，∴＝，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．【点评】本题考查相似三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【解答】解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2时，原式＝2+1＝3．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．20．（8分）解方程和不等式组：（1）+＝2；（2）．【分析】（1）方程两边都乘以x﹣1得出方程x﹣2＝2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）方程两边都乘以x﹣1得：x﹣2＝2（x﹣1），解得：x＝0，检验：把x＝0代入x﹣1得：x﹣1≠0，所以x＝0是原方程的解，即原方程的解是：x＝0；（2），∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集是：﹣2≤x＜3．【点评】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键．21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是100；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．【分析】（1）根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量；（2）用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去其他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人），则样本容量是100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：2000×＝300（人），答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．【分析】（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，可求出概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率．【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，∴P（和为奇数）＝＝．【点评】本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．23．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，∠A＝∠FBD，根据AB＝CD即可得出AC＝BD，进而得出△EAC≌△FBD解答即可；（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC与△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS），∴∠E＝∠F；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E的度数为60°．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．根据已知得出△EAC≌△FBD是解题关键．24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？【分析】（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，根据“购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，根据总价＝单价×数量结合总价不超过100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，依题意，得：8m+6（15﹣m）≤100，解得：m≤5．答：最多购买5千克苹果．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．（8分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．【分析】（1）把把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；（2）根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y＝（x＞0）得，a＝＝2，∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，∴正比例函数的关系式为y＝2x，答：a＝2，正比例函数的关系式为y＝2x；（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，∴OB＝5，当x＝5代入y＝得，y＝，即BC＝，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣＝，∴S△ACD＝××（5﹣2）＝12.6，【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是1；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．【分析】（1）如图1中，作FD⊥AC于D．证明△ABC≌△CDF（AAS）可得结论．（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．根据S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF计算即可．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△EOH中，利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．∴∠ACB＝60°，∠FCE＝∠BAC＝30°，AC＝CF，∴∠ACF＝30°，∴∠BAC＝∠FCD，在△ABC和△CDF中，，∴△ABC≌△CDF（AAS），∴FD＝BC＝1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH＝﹣＝．故答案为．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，∴EC＝EF＝，EH＝，CH＝EH＝，在Rt△BOC中，OC＝＝，∴OH＝CH﹣OC＝﹣，在Rt△EOH中，则有x2＝（）2+（﹣）2，解得x＝或﹣（不合题意舍弃），∴OC＝＝，∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解直角三角形，全等三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH 的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点D（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为6；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．【分析】（1）①根据远点，特征数的定义判断即可．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．分两种情形k＞0或k＜0，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝20，故答案为D，20．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y＝x+4交x轴于F（﹣，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF＝∴tan∠FEO＝＝，∴∠FEO＝30°，∴OH＝OE＝2，∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN＝2，EN•NH＝4，∴NH＝，∵N（﹣1，0），M（1，4），∴MN＝＝2，∴HM＝＝＝，∴△MNH是等腰直角三角形，∵MN的中点K（0，2），∴KN＝HK＝KM＝，∴H（﹣2，3），把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝x+，当k＜0时，同法可知直线i经过H′（2，1），可得直线l的解析式为y＝﹣3x+7．综上所述，满足条件的直线l的解析式为y＝x+或y＝﹣3x+7．【点评】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，远点，特征数的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．28．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝﹣4；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD ＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．【分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE ＝，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q 坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；（3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由轴对称的性质可得EN＝NF，∠ENB ＝∠FNB＝45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM＝NK＝，MN＝KF，可求CF＝6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC＝＝3，CD＝＝，BD＝＝2，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠DBC＝＝＝＝tan∠ACE，∴∠ACE＝∠DBC，∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，∴∠ACB＝∠CFD，又∵∠CQD＝∠ACB，∴点F与点Q重合，∴点P是直线CF与抛物线的交点，∴0＝x2﹣4x+3，∴x1＝1，x2＝3，∴点P（3，0）；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，∵CH⊥DB，HF＝QH，∴CF＝CQ，∴∠CFD＝∠CQD，∴∠CQD＝∠ACB，∵CH⊥BD，∵点B（4，3），点D（2，﹣1），∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，∴点F（，0），∴直线CH解析式为：y＝﹣x+，∴，解得，∴点H坐标为（，﹣），∵FH＝QH，∴点Q（，﹣），∴直线CQ解析式为：y＝﹣x+，联立方程组，解得：或，∴点P（，﹣）；综上所述：点P的坐标为（3，0）或（，﹣）；（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，。
江苏省常州市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
江苏省常州市2020年中考数学试卷一、选择题（共8题；共16分）1.2的相反数是（ ）A. −12B. 12C. 2D. -2 【答案】 D【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】2的相反数是-2，故答案为：D.【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解.2.计算 m 6÷m 2 的结果是（ ）A. m 3B. m 4C. m 8D. m 12【答案】 B【考点】同底数幂的除法【解析】【解答】解： m 6÷m 2=m 6−2=m 4 .故答案为：B.【分析】直接利用同底数幂除法的运算法则：底数不变，指数相减解答即可.3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 圆柱B. 三棱柱C. 四棱柱D. 四棱锥【答案】 C【考点】由三视图判断几何体【解析】【解答】解：由图可知：该几何体是四棱柱.故答案为：C.【分析】通过俯视图为矩形得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱.4.8的立方根是（ ）A. 2√2B. ±2C. ±2√2D. 2【答案】 D【考点】立方根及开立方【解析】【解答】解：∵23=8，∴8的立方根是2，故选：D．【分析】根据立方根的定义，即可解答．5.如果x<y，那么下列不等式正确的是（）A. 2x<2yB. −2x<−2yC. x−1>y−1D. x+1>y+1【答案】A【考点】不等式及其性质【解析】【解答】解：A、由x＜y可得：2x<2y，故此选项成立；B、由x＜y可得：−2x>−2y，故此选项不成立；C、由x＜y可得：x−1<y−1，故此选项不成立；D、由x＜y可得：x+1<y+1，故此选项不成立.故答案为：A.【分析】根据不等式的性质:在不等式的两边都乘以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以同一个负数不等号的方向改变；在不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变，对各选项分析判断后利用排除法求解.6.如图，直线a、b被直线c所截，a//b，∠1=140°，则∠2的度数是（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】B【考点】平行线的性质，邻补角【解析】【解答】解：如图，∵∠1+∠3=180°，∠1=140°∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°∵a//b∴∠2=∠3=40°.故答案为：B.【分析】先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答.7.如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点.若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【考点】圆的认识，三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵CH⊥AB∴∠BHC=90°∵在Rt△BHC中，点M是BC的中点∴MH= 1BC2∵BC为⊙O的弦∴当BC为直径时，MH最大∵⊙O的半径是3∴MH最大为3.故答案为：A.BC，当BC为直径时长度最大，即可求【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知MH= 12解.8.如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2,∠ADB=135°(x>0)的图像经过A、D两点，则k的值是（）,S△ABD=2.若反比例函数y=kxA. 2√2B. 4C. 3√2D. 6【答案】 D【考点】三角形全等及其性质，平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：作AE⊥BD交BD的延长线于点E，作AF⊥x轴于点F∵∠ADB=135°∴∠ADE=45°∴△ADE为等腰直角三角形∵BD=√2,SABD=2△∴S△ABD=1BD⋅AE=2，即AE=2√22∴DE=AE= 2√2∵BC=AO，且BC//AO，CD//OF∴∠BCD=∠AOF∴△BCD≅△AOF∴AF=BD=√2∴y=3√2D设点A (m,√2)，D(m−2√2,3√2)∴√2m=(m−2√2)⋅3√2解得：m=3√2∴k=3√2×√2=6故答案为：D.【分析】作AE⊥BD交BD的延长线于点E,作AF⊥x轴于点F,计算出AE长度,证明△BCD≌△AOF ，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用x D y D=x A y A，可计算出k值.二、填空题（共10题；共10分）9.计算：|－2|＋(π－1)0＝________.【答案】3【考点】绝对值及有理数的绝对值，0指数幂的运算性质【解析】【解答】解：原式=2＋1=3.故答案为：3.【分析】根据绝对值和0次幂的性质求解即可.10.若代数式1有意义，则实数x的取值范围是________.x−1【答案】x≠1【考点】分式有意义的条件【解析】【解答】解：依题意得：x-1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1.【分析】分式有意义时，分母不能为0，据此求得x的取值范围.11.地球半径大约是6400km，将6400用科学记数法表示为________.【答案】6.4×103【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：6400= 6.4×103.故答案为：6.4×103.【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n是比原整数位数少1的数.12.分解因式：x3－x=________．【答案】x(x－1)(x+1)【考点】提公因式法因式分解，因式分解﹣运用公式法【解析】【解答】本题可先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．x3-x，=x（x2-1），=x（x+1）（x-1）．【分析】由题意可知，先提公因式x，分解成x（x2-1），而x2-1可利用平方差公式分解．13.若一次函数y=kx+2 的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是________.【答案】k＞0【考点】一次函数的性质【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+2的函数值y随自变量x增大而增大∴k＞0.故答案为：k＞0.【分析】直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可.14.若关于x的方程x2+ax−2=0有一个根是1，则a=________.【答案】1【考点】一元二次方程的根【解析】【解答】解：把x=1代入方程x2+ax−2=0得1+a-2=0，解得a=1.故答案是：1.【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可.15.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形，则∠B=________°.【答案】30【考点】三角形的外角性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.故答案为：30.【分析】根据垂直平分线的性质得出BF=CF，进而根据等边对等角得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短.在菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=120°.如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是________.【答案】(2，√3)【考点】坐标与图形性质，菱形的性质，解直角三角形【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=2∴AD=AB=CD=2，AB//CD∵∠DAB=120°∴∠DAO=60°在Rt△DOA中，sin60°=ODAD =√32∴OD= √3∴点C的坐标是(2，√3).故答案为：(2，√3).【分析】根据菱形的性质可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函数即可求出线段OD的长度，即可得到答案.17.如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=________.【答案】12【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：如图，设BC=a，则AC=2a∵正方形ACDE∴EC= √(2a)2+(2a)2=2√2a，∠ECD= 12∠ACD=45∘同理：CG= √2a,∠GCD= 12∠BCD=45∘∴tan∠CEG=CGCE =√2a2√2a=12.故答案为：12.【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG 为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答.18.如图，在△ABC中，∠B=45°,AB=6√2，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG.若BF=3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为________.【答案】4或2【考点】勾股定理，平行四边形的判定与性质，解直角三角形【解析】【解答】解：如图，当点F在点D右侧时，过点F作FM∥DG，交直线BC于点M，过点B作BN⊥DE，交直线DE于点N，∵D，E分别是AB和AC中点，AB= 6√2，∴DE∥BC，BD=AD= 3√2，∠FBM=∠BFD，∴四边形DGMF为平行四边形，则DG=FM，∵DG⊥BF，BF=3DG，∴∠BFM=90°，∴tan∠FBM= FMBF =13=tan∠BFD，∴BNFN =13，∵∠ABC=45°=∠BDN，∴△BDN为等腰直角三角形，∴BN=DN=√2=3，∴FN=3BN=9，DF=GM=6，∵BF= √BN2+NF2= 3√10，∴FM= 13BF= √10，∴BM= √BF2+FM2=10，∴BG=10-6=4；当点F在点D左侧时，过点B作BN⊥DE，交直线DE于N，过点B作BM∥DG，交直线DE于M，延长FB 和DG，交点为H，可知：∠H=∠FBM=90°，四边形BMDG为平行四边形，∴BG=MD，BM=DG，∵BF=3DG，∴tan∠BFD= BMBF =DHFH=BNFN=13，同理可得：△BDN为等腰直角三角形，BN=DN=3，∴FN=3BN=9，∴BF= √92+32=3√10，设MN=x，则MD=3-x，FM=9+x，在Rt△BFM和Rt△BMN中，有FM2−BF2=MN2+BN2，即(9+x)2−(3√10)=x2+32，解得：x=1，即MN=1，∴BG=MD=ND-MN=2.综上：BG的值为4或2.故答案为：4或2.【分析】分当点F在点D右侧时，当点F在点D左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.三、解答题（共10题；共85分）19.先化简，再求值：(x+1)2−x(x+1)，其中x=2.【答案】解：(x+1)2−x(x+1)= x2+1+2x−x2−x= x+1将x=2代入，原式=3.【考点】利用整式的混合运算化简求值【解析】【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项化简，最后代入x的值计算即可.20.解方程和不等式组：（1）xx−1+21−x=2；（2）{2x −6<0,−3x ⩽6.【答案】 （1）解： x x−1+21−x =2去分母得： x －2=2x －2解得x=0，经检验x=0是分式方程的解；（2）解： {2x −6<0，①−3x ⩽6，②由①得：x ＜3由②得：x≥﹣2则不等式组的解集为﹣2≤x ＜3.【考点】解分式方程，解一元一次不等式组【解析】【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，根据“大小小大取中间”找出两解集的公共部分即可. 21.为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图.（1）本次抽样调查的样本容量是________；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数.【答案】 （1）100（2）解：打乒乓球的人数为100×35%=35人，踢足球的人数为100－25－35－15=25人；补全条形统计图如图所示：=300人；（3）解：2000×15100答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生有300人.【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图【解析】【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是25÷25%=100；故答案为：100；【分析】（1）用条形统计图中最喜爱打排球的人数除以扇形统计图中最喜爱打排球的人数所占百分比即可求出本次抽样调查的样本容量；（2）用总人数乘以最喜爱打乒乓球的人数所占百分比即可求出最喜爱打乒乓球的人数，用总人数减去最喜爱其它三项运动的人数即得最喜爱踢足球的人数，进而可补全条形统计图；（3）用最喜爱打篮球的人数除以总人数再乘以2000即可求出结果.22.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中.（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是________；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率.【答案】（1）13（2）解: 画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中抽到的2支签上签号的和为奇数的有4种，∴抽到的2支签上签号的和为奇数的概率为：46= 23.【考点】列表法与树状图法【解析】【解答】解：（1）∵共有3个号码，∴抽到1号签的概率是13，故答案为：13；【分析】（1）由概率公式即可得出答案；（2）画出树状图，由图可知：所有等可能的情况有6种，其中抽到的2支签上签号的和为奇数的有4种，从而再利用概率公式求解即可.23.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA//FB,EA=FB,AB=CD.（1）求证：∠E=∠F；（2）若∠A=40°,∠D=80°，求∠E的度数.【答案】（1）证明: ∵AE∥BF，∴∠A=∠DBF，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，又∵AE=BF，∴△ACE≌△BDF（SAS），∴∠E=∠F；（2）解: ∵△ACE≌△BDF，∴∠D=∠ACE=80°，∵∠A=40°，∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）根据已知条件证明△ACE≌△BDF，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形内角和定理求出结果.24.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元.（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？【答案】（1）解：设每千克苹果售价x元，每千克梨y千克，由题意，得： {x +3y =262x +y =22 ， 解得： {x =8y =6， 答：每千克苹果售价8元，每千克梨6千克，（2）解：设购买苹果a 千克，则购买梨（15-a ）千克，由题意， 得：8a+6(15-a)≤100， 解得：a≤5， ∴a 最大值为5， 答：最多购买5千克苹果.【考点】一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用-和差倍分问题【解析】【分析】（1）设每千克苹果售价x 元，每千克梨y 千克，根据“ 购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元. ”列出方程组，解之即可；（2）设购买苹果a 千克，则购买梨（15-a ）千克，由购买两种水果的总价不超过100元列出a 的不等式，解之即可解答.25.如图，正比例函数 y =kx 的图像与反比例函数 y =8x (x >0) 的图像交于点 A(a,4) .点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图像于点C ，交正比例函数的图像于点D.（1）求a 的值及正比例函数 y =kx 的表达式； （2）若 BD =10 ，求 △ACD 的面积.【答案】 （1）解：已知反比例函数解析式为y= 8x ，点A(a ，4)在反比例函数图象上,将点A 坐标代入，解得a=2，故A 点坐标为(2，4)，又∵A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx ，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x. 故a=2；y=2x.（2）解：根据第一问的求解结果，以及BD 垂直x 轴，我们可以设B 点坐标为(b ，0)，则C 点坐标为(b ，8b)、D 点坐标为(b ，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B 的坐标为(5，0)，D 点坐标为(5，10)，C 点坐标为(5， 85 )，则在△ACD 中， S △ACD =12×(10−85)×(5−2) = 635.故△ACD 的面积为635.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）已知反比例函数解析式，点A 在反比例函数图象上，故a 可求；求出点A 的坐标后，点A 同时在正比例函数图象上，将点A 坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求； （2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B 点坐标为(b ，0)，则D 点坐标为(b ，2b)，根据BD=10，可求b 值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解.26.如图1，点B 在线段 CE 上，Rt △ ABC ≌Rt △ CEF ， ∠ABC =∠CEF =90° ， ∠BAC =30° ， BC =1 .（1）点F 到直线 CA 的距离是________；（2）固定△ ABC ，将△ CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30°，使得 CF 与 CA 重合，并停止旋转. ①请你在图1中用直尺和圆规画出线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为________；②如图2，在旋转过程中，线段 CF 与 AB 交于点O ，当 OE =OB 时，求 OF 的长. 【答案】 （1）1（2）π12 解：作EH ⊥CF 于点H ，如图4，在Rt △EFH 中，∵∠F=60°，EF=1， ∴ FH =12,EH =√32， ∴CH= 2−12=32 ， 设OH=x ，则 OC =32−x ， OE 2=EH 2+OH 2=(√32)2+x 2=34+x 2 ， ∵OB=OE ，∴ OB 2=34+x 2 ， 在Rt △BOC 中，∵ OB 2+BC 2=OC 2 ，∴ 34+x 2+1=(32−x)2 ， 解得： x =16 ， ∴ OF =12+16=23 . 【考点】三角形全等及其性质，勾股定理，扇形面积的计算【解析】【解答】解：（1）∵∠BAC=30°，∠ABC=90°，∴∠ACB=60°，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，∴CF是∠ACB的平分线，∴点F到直线CA的距离=EF=1；故答案为：1；（ 2 ）①线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：在Rt△CEF中，∵∠ECF=30°，EF=1，∴CF=2，CE= √3，由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG= √3，∠ACG=∠ECF=30°，∴S阴影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）=S扇形ACF－S扇形CEG= 30π×22360−30π×(√3)2360=π12；故答案为：π12；【分析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF=∠ECF=30°，即CF是∠ACB的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F到直线CA的距离即为EF的长，于是可得答案；（2）①易知E点和F点的运动轨迹是分别以CF和CE为半径、圆心角为30°的圆弧,据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt△CEF求出CF和CE的长，然后根据S阴影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）即可求出阴影面积；②作EH⊥CF于点H，如图4，先解Rt△EFH求出FH和EH的长，进而可得CH 的长，设OH=x，则CO和OE2都可以用含x的代数式表示，然后在Rt△BOC中根据勾股定理即可得出关于x的方程，解方程即可求出x的值，进一步即可求出结果.27.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）.我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ⋅PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”.（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4)，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D.①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_▲__（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O 关于直线m的“特征数”为_▲__；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4，求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(1,4)，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F.若⊙F与直线l相离，点N(−1,0)是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式.【答案】（1）①D；10；②解：如下图，过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，∵直线n的函数表达式为y=√3x+4，当x=0时，y=4；当y=0时，x= −4√33，∴直线n经过点E（0，4），点F（−4√33，0），在Rt△EOF中，∵tan∠FEO= FOEO = 4√334= √33，∴∠FEO=30°，∴∠EFO=60°，在Rt △HOF 中，∵sin ∠HFO= HO FO，∴HO= sin ∠HFO·FO=2， ∴PH=HO+OP=3， ∴PQ·PH=2×3=6，∴⊙O 关于直线n 的“特征数”为6；（2）解：如下图，∵点F 是圆心，点 N(−1,0) 是“远点”，∴连接NF 并延长，则直线NF ⊥直线l ，设NF 与直线l 的交点为点A （m ，n ），设直线l 的解析式为y=kx+b 1（k≠0）, 将点 M(1,4) 与A （m ，n ）代入y=kx+b 1中， {4=k +b 1 ①n =mk +b 1 ② ②-①得：n-4=mk-k ，③ 又∵直线NF ⊥直线l ，∴设直线NF 的解析式为y= −1k x+b 2（k≠0）, 将点 N(−1,0) 与A （m ，n ）代入y= −1k x+b 2中， {0=1k +b 2 ④n =−mk +b 2 ⑤ ④-⑤得：-n= 1k + mk ，⑥ 联立方程③与方程⑥，得： {n −4=mk −k −n =1k +m k解得： {m =k 2−4k−1k 2+1n =4−2kk 2+1， ∴点A 的坐标为（k 2−4k−1k 2+1， 4−2kk 2+1 ）；又∵⊙F 关于直线l 的“特征数”是 4√5 ，⊙F 的半径为 √2 ， ∴NB·NA= 4√5 ， 即2 √2 ·NA= 4√5 ， 解得：NA= √10 ，∴[m-(-1)]2+(n-0)2=( √10 )2 ， 即(m+1)2+n 2=10，把 {m =k 2−4k−1k 2+1n =4−2k k 2+1 代入，解得k=-3或k= 13； 当k=-3时，m=2，n=1， ∴点A 的坐标为（2，1），把点A （2，1）与点 M(1,4) 代入y=kx+b 1中，解得直线l 的解析式为y=-3x+7； 当k= 13 时，m=-2，n=3， ∴点A 的坐标为（-2，3），把点A （-2，3）与点 M(1,4) 代入y=kx+b 1中，解得直线l 的解析式为y= 13 x+ 113.∴直线l 的解析式为y=-3x+7或y= 13 x+ 113.【考点】圆的综合题【解析】【解答】解：（1）①⊙O 关于直线m 的“远点”是点D ， ⊙O 关于直线m 的“特征数”为DB·DE=2×5=10； 故答案为：D ，10；【分析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交⊙O 于点P 、Q ，首先判断直线n 也经过点E （0，4），在Rt △EOF 中，利用三角函数求出∠EFO=60°，进而求出PH 的长，再根据“特征数”的定义计算即可；（2）连接NF 并延长，设直线l 的解析式为y=kx+b 1,用待定系数法得到 {4=k +b 1 ①n =mk +b 1 ② ，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k 互为负倒数的关系可设直线NF 的解析式为y= −1k x+b 2,用待定系数法同理可得 {0=1k +b 2 ④n =−m k +b 2 ⑤ ，消去b 1和b 2 ， 得到关于m 、n 的方程组 {n −4=mk −k−n =1k +m k ；根据⊙F 关于直线l 的“特征数”是 4√5 ，得出NA= √10 ，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n 2=10，把 {m =k 2−4k−1k 2+1n =4−2kk 2+1代入，求出k 的值，便得到m 、n 的值即点A 的坐标，再根据待定系数法求直线l 的函数表达式.注意有两种情况，不要遗漏.28.如图，二次函数 y =x 2+bx +3 的图像与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，抛物线过点 C(1,0) ，且顶点为D ，连接 AC 、 BC 、 BD 、 CD .（1）填空： b = ________；（2）点P 是抛物线上一点，点P 的横坐标大于1，直线 PC 交直线 BD 于点Q.若 ∠CQD =∠ACB ，求点P 的坐标；（3）点E 在直线 AC 上，点E 关于直线 BD 对称的点为F ，点F 关于直线 BC 对称的点为G ，连接 AG .当点F 在x 轴上时，直接写出 AG 的长. 【答案】 （1）-4（2）解：由（1）可得抛物线解析式为： y =x 2−4x +3 ， 当x=0时，y=3， ∴A 的坐标为（0，3）， 当y=3时得 3=x 2−4x +3 ， 解得x 1=0，x 2=4，∴点B 的坐标为（4，3），∵ y =x 2−4x +3=(x −2)2−1 ， ∴顶点D 的坐标为（2，-1），设BD 与x 轴的交点为M ，作CH ⊥AB 于H ，DG ⊥CM 于G ，∴tan∠ACH= tan∠OAC= 1，3根据勾股定理可得BC= 3√2，CD= √2，BD= 2√5，∴BD= √BC2+CD2，∴∠BCD=90°，∴tan∠CBD= 1，3∴∠ACH=∠CBM，∵∠HCB=∠BCM=45°，∴∠ACH+∠HCB=∠CBM+∠MCB，即∠ACB=∠CMD，Q在CD上方时：若∠CQD=∠ACB，则Q与M点重合，∵y=x2−4x+3中，令y=0，解得：x=1或3，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），即此时P的坐标为（3，0）；Q在CD下方时：过点Q作QK⊥x轴，过点C作CL⊥QM于点L，过点A作AN⊥BC于点N，可得：AB=4，BC= 3√2，AC= √10，设CN=x，则BN= 3√2-x，在△ABC中，AC2−CN2=AB2−BN2，即(√10)2−x2=42−(3√2−x)2，解得：x= √2，∴cos∠ACN= CNAC = √55，设直线BD的表达式为：y=mx+n，将B，D代入得：{3=4m+n−1=2m+n，解得：{m=2n=−5，∴直线BD的表达式为y=2m-5，令y=0，则x= 52，即点M（52，0），设点Q坐标为（a，2a-5），则QK=5-2a，CM= 32，QM= √(a−52)2+(2a−5)2，∵∠ACB=∠CMD，∠ACB=∠CQD，∴∠CMD=∠CQD，即CQ=CM= 32,∴cos∠CQD=cos∠ACB= QLCQ =√55,∴QL= 3√510，QM= 3√55，CL= 3√55，在△CQM中，12CM⋅KQ=12QM⋅CL，即32⋅KQ=3√55⋅3√55，解得：KQ= 65，∴CK= √CQ2−KQ2=910,∴Q（1910，−65），设直线CQ表达式为：y=sx+t，将点C和点Q代入，{0=s+t−65=1910s+t，解得：{s=−43t=43，则CQ表达式为：y=−43x+43，联立：{y=−43x+43y=x2−4x+3，解得{x=53y=−89，即点P坐标为（53，89），综上：点P的坐标为（3，0）或（53，89）；（3）解：设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′，∴R（3，1），设C′（p，q），由题意可求得：直线AC 表达式为：y=-3x+3，直线BD 表达式为：y=2x-5，直线BC 的表达式为：y=x-1，令-3x+3=2x-5，解得：x= 85 ，则y= −95 ，∴点N′（ 85 ， −95 ），∵点C 和C′关于直线BD 对称，∴CR=C′R= 12 BD= √5 ，CN′=C′N′= √(1−85)2+(−95)2=3√105， 则有 (p −3)2+(q −1)2=(√5)2 ， (p −85)2+(q +95)2=(3√105)2 ， 即 {p 2−6p +q 2−2q +5=0①p 2−165p +q 2+185q +115=0②， ①-②得： p =1−2q ③，代入①，解得： q =−65 或0（舍），代入③中，得： p =175 ， 解得： {p =175q =−65 ，即点C′（ 175 ， −65 ）， ∵N′（ 85 ， −95 ），求得直线C′N′的表达式为： y =13x −73 ， ∵点F 在x 轴上，令y=0，则x=7，∴点F （7，0），又∵点F 和点G 关于直线BC 对称，BC ：y=x-1，连接CG ，可得∠BCF=45°=∠BCG ，∴∠FCG=90°，∴CG=CF=6,∴点G的坐标为（1,6），又A（0，3），∴AG的长为√32+12=√10.【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：（1）∵抛物线过点C（1，0），∴将C（1，0）代入y=x2+bx+3得0=1+b+3，解得b=-4，故答案为：-4；【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）分点Q在CD上方和点Q在CD下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解；（3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′，设C′（p，q），利用点R到点C和点C′的距离相等以及点N′到点C和点C′的距离相等，求出点C′的坐标，从而得到C′N′直线的解析式，从而求出点F坐标，再利用点F和点G关于直线BC对称，结合BC的表达式可求出点G坐标，最后得到AG的长.。
2020年江苏省常州市中考数学试卷(含详细解析)
A．2 B．±2C．±2 D．2
5．如果 ，那么下列不等式正确的是（）
A． B． C． D．
6．如图，直线a、b被直线c所截， ， ，则 的度数是（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．如图， 是 的弦，点C是优弧 上的动点（C不与A、B重合）， ，垂足为H，点M是 的中点．若 的半径是3，则 长的最大值是（）
保密★启用前
2020年江苏省常州市中考数学试卷
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、单选题
1．2的相反数是（）
A． B． C． D．
2．计算 的结果是（）
A． B． C． D．
3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）
A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥
（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？
25．如图，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 ．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．
（1）求a的值及正比例函数 的表达式；
A．3B．4C．5D．6
8．如图，点D是 内一点， 与x轴平行， 与y轴平行， ．若反比例函数 的图像经过A、D两点，则k的值是（）
A． B．4C． D．6
评卷人
得分
二、填空题
9．计算：|－2|＋(π－1)0＝____．
10．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是________．
2020年江苏省常州市中考数学试卷附解析
2020年江苏省常州市中考数学试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2．以边BC 所在直线为轴，把△ABC 旋转一周，得到的几何体的侧面积是（ ）A ．πB ．2πC ．D ．2．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=3，BC=5，将腰 DC 绕点D 逆时针方向旋转90°至DE ，连结AE ，则△ADE 的面积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．下列多边形中不能够镶嵌平面的是（ ）A ．矩形B ．正三角形C ．正五边形D ．正方形4．0x ≤）的结果是（ ）A ．B ．-C ．()x x y +D ．()x x y -+ 5．已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．12或15 6．将三角形ABC 的各顶点的横坐标不变，纵坐标分别减去3，连结所得三点组成的三角形 是由三角形ABC （ ）A ．向左平移3个单位得到B ．向右平移3个单位得到C ．向上平移3个单位得到D ．向下平移3个单位得到7．分解因式14-x 得（ ）A ．)1)(1(22-+x xB ．22)1()1(-+x xC ．)1)(1)(1(2++-x x xD ．3)1)(1(+-x x8．0=,那么x y +的值为（ ）A ．10B ． 不能确定C ．-6D ．10± 9． 在-2，38-，0，31 各数中，有理数有（ ）A ．4 个B ．3 个C ．2 个D ．1 个二、填空题10．从 1、2、3、4、5 中任选两个数，这两个数的和恰好等于 7 的概率是 ．11．若一条弧长等于l ，它的圆心角等于n °，则这条弧的半径R= ；当圆心角增加1°时，它的弧长增加 ．12．二次函数y ＝2x 2＋bx ＋c 的顶点坐标为（1，2），则这个函数的解析式为 . y ＝2x 2－4x ＋413．已知223x x --与7x +的值相等，则x 的值是 . 14．正五边形每个内角是 ，正六边形每个内角是 ，正n 边形每个内角 是 ．15．已知点(32)M -，，将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N ，则点N 的坐标是 ．16．命题“有三边对应相等的两个三角形全等”的题设是 ，结论是．17．已知关于x 的不等式50x m -<只有两个正整数解，则m 的取值范围是 ．18．某同学从学校出发向南走了10米，接着又向东走了 5米到达文化书店，则学校与文化书店之间的距离是 米.19．填空：(1）∵∠1=∠E ，∴ ∥ ( ）(2）∵∠2=∠ ，∴AB ∥ (同位角相等，两直线平行）20．如图，在△ABC. 中，AB=AC=13 cm ，AB 的垂直平分线交AB 边于点D ，交AC 边于点E ，若△EBG 的周长为 21 cm ，则BC= cm.21．如图是一个五叶风车的示意图，它可以看作是“基本图案”_______•绕着点O 通过_______次旋转得到的．三、解答题22．判断下列各组数是否成比例，若成比例请写出比例式：(1)73，143，1，2； (2)5-352，723．利用函数图象求方程23690x x --=的解.24．把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：(1)对顶角相等；(2)角平分线上的点到角两边的距离相等．25．计算11 (318504)52+-÷32．26．计算：(1)11(27)(1245)35+--+；(2)11328222-+；(3)21 (342)(6) 32-⋅-；(4)1 (43212318)3-+÷．27．已知一个几何体的三视图如图，请画出它的表面展开图(只需画一种)．28．如图，已知AC=BD，AD⊥AC，BD⊥BC，则AD=BC，请说明理由．29．小明站在镜子前看到自己的运动服号码如图所示，你能说出小明的运动服号码吗?30．如图，0A为圆的半径，以0A为角的一边，0为角的顶点画∠AOB=72°，0B交圆周于点B，然后依次画∠BOC=∠COD=∠DOE=72°，分别交圆周于点C、D、E，每隔一点连结两点之间的线段，观察所成的图形是一个什么图案．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．C3．C4．B5．C6．D7．C8．C9．A二、填空题10．0.2.11．180l n π，l n12．13．5 或-214．108°，l20°，(2)180n n - 15．(11)-， 16．有三边对应相等的两个三角形，这两个三角形全等17．10<m ≤1518．．(1)AC ；DE ；同位角相等，两直线平行；(2)B ，CD20．821．△ABO ，四三、解答题22．(1)成比例：1423713=；(2)= 23．23690x x --=,∴2230x x --=方程的解即是223y x x =--与 x 轴交点的横坐标，如图，可得 A(一 1，0) ,B(3 ,0)∴方程的根为11x=-,23x=24．(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）如果一个点是角平分线上的点，那么这个点到这个角两边的距离相等25．解：原式＝(92222)+-÷42＝82÷42＝226．（1）4143535-；（2）2；（3）432-；（4）9627．28．说明Rt△ACD≌Rt△BDC 29．05730．五角星。
2020年江苏常州市数学中考试题及答案
初中毕业、升学统一考试数学注意事项：1、全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。
2、 答卷前将密封线内的项目填写淸楚，并将座位号填写在试卷规泄的位置上。
3、 用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔将答案直接填写在试卷上。
4、 考生在答题过程中，可以使用CZ1206. HY82型函数计算器，若试题汁算结 果没有要求取近似值，则汁算结果取精确值（保留根号和兀）。
题号一二三四五六七得分一、填空题（本大题每个空格1分，共18分，把答案填写在题中横线上）1. 3的相反数是 ______ , 一5的绝对值是 ______ , 9的平方根是 _______ 。
2. 在函数y =中，自变量X 的取值范屈是 ____________ :若分式丄三的值为零，则X-1X = a3. 若Za 的补角是 120° ,则乙a= ________ , costz = _______4. 某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环）如下：8, 6, 10,7, 9,则这五次射击的平均成绩是 ________ 环，中位数 ________ 环，方差是 _______ 环- 5. 已知扇形的圆心角为120° ,半径为2cm ,则扇形的弧长是 ____________ cm ,扇形的而积是 ___________ cm 2ob6. _________________________________________________________________ 已知反比例函数『=—（&H0）的图像经过点（1, —2）,则这个函数的表达式是 ___________x当XY0时，y 的值随自变呈兀值的增大而 _________ （填“增大”或“减小”）7、如图，在AABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，DF 平分CE于点G, CF = 1,则 _________ BC=, A ADE 与ZkABC 的周长之比为 _________ , ACFG 与ABFD 的面积之比为—8. 如图，小亮从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30° ,再沿直线前进10米，又向左转30° ,……照这样走下去，他第一次回到岀发地A 点时，一共走了 ________ 米。
2020年江苏省常州市中考数学试题附解析
2020年江苏省常州市中考数学试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．其市气象局预报称：明天本市的降水概率为70%，这句话指的是（ ） A ． 明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨 B ． 明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨 C ． 明天本市一定下雨 D ． 明天本市下雨的可能性是70%2．已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（ ） A ．南偏东50° B ．南偏东40° C ．北偏东50°D ．北偏东40°3．如图，D 、E 、F 分别在△ABC 的三边上，DE ∥BC ，DF ∥AC ，下列比例式中一定成立的是（ ） A ．AD DBBC DF=B ．AE BFEC FC=C ．DF DEAC BC=D ．EC BFAE BC=4．下列各组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A ．两组对边分别相等 B ．两组对角分别相等 C ．一组对边平行且相等D ．一组对边平行，另一组对边相等5．在①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形中，能找到一点，使这一点到各边距离相等的图形是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④6．如图所示的图形是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的左视图是（ ）7．已知8m n +=，9mn =-，则22mn m n +的值是（ ）A ． 72B ． -72C ．0D ． 68．如图所示，若六边形ABCDEF 绕着中心 0旋转∠α得到的图形与原来的图形重合，则α的最小值为（ ） A ． 180°B ．120°C ．90°D ． 60°9．袋中有4个除颜色外其余都相同的小球，其中1个红色，1个黑色，2个白色. 现随机从袋中摸取一球，则摸出的球为白色的概率为（ ） A ．1B ．21 C ．31D ．4110．AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若AB ＝4，AC ＝6，则AD 的取值范围是（ ） A ．AD ＞1B ．AD ＜5C ．1＜AD ＜5D ．2＜AD ＜1011．下列代数式中，不是分式的是（ ） A ．1xB ．44x y-C ．3x π- D ． 21y x +-12．某班共有学生 49 人. 一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半. 若设该班男生人数为 x （人），女生入数为 y （人），则下列方程组中，能正确计算出 x ，y 的是（ ） A ．492(1)x y y x -=⎧⎨=-⎩B ． 492(1)x y y x +=⎧⎨=+⎩C ． 492(1)x y y x -=⎧⎨=+⎩D ． 492(1)x y y x +=⎧⎨=-⎩二、填空题13．一条弦把圆的一条直径分成 2 cm 和6 cm 两部分，若弦与直径所成的角为 30°，则圆 心到弦的距离为 cm ．14．一学生推铅球时，铅球行进高度 y(m)与水平距离 x(m)的函数图象如图所示，则铅球推出的距离为 m ．15．如图，在直角三角形中，AB=8，BC=6，M 是斜边AC 上的中点，则BM 的长是 .16．如图，剪四个与图①完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图②所示的图形．(1)大正方形的面积可以表示为．(2)大正方形的面积也可表示为．(3)对比两种方法，你能得出什么结论?17．用有45°直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为．18．试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数，并填下表格中．正多边形的边数345678对称轴的条数根据上表，请就一个正n边形对称轴的条数作一猜想_________(用n表示)．19．若ax2+24x+b=(mx-3)2，则a= ，b= ，m= ．20．请写出是轴对称图形的英文字母(至少写出五个) ．21．若||3a=,2+= ．b=,则a b22．数轴上有一点到原点的距离为 6.03，那么这个点表示的数是．三、解答题23．如图，在学校的操场上，有一株大树和一根旗杆.(1)请根据树在阳光照射下的影子，画出旗杆的影子(用线段表示)；(2)若此时大树的影长 6m，旗杆高 4m，影5m，求大树的高度.24．如图，在△ABC 中，∠C= 90°，∠A = 30°，0 为AB 上一点，BO=m，⊙O的半径为1 2cm，当m在什么范围内取值，直线BC 与⊙O相离？相切？相交？25．已知弧 AB，如图所示，用直尺和圆规求作这条弦的四等分点．26．若函数比例函数23(2)m my m x--=-是关于x的反反比例函数．(1）求 m 的值并写出其函数解析式；(2）求当3y=时，x 的值．27．某班组织一次数学测试，全班学生分为两组，这两组成绩(单位：分)的分布情况如下图所示．(1)全班学生数学成绩的众数是分．全班学生数学成绩为众数的有人，全班学生数学成绩的中位数是分；(2)分别计算这两个小组超过全班数学成绩中位数的人数占全班人数的百分比．28．如图，DB是△ABC的高，AE是∠BAC的角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数.+的圆形木板，挖去直径分别为2a和b的两个圆，问剩下的木板面积29．有一块直径为2a b是多少？πab30．如图所示，(1)请找出图中哪些线段是互相平行的，并用字母把它们表示出来；(2)你能否画出与DE平行的线段?若能画，则在图中画出与DE平行的线段；若不能画，请说明理由．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．D3．B4．D5．C6．D7．B8．D9．B10．C11．C12．D二、填空题 13． l14．1015．516．(1)c 2 ；(2)214()2ab b a ⨯+-；（3）222a b c +=17．22°18．3，4，5，6，7，8，n 条19．16,-4,920．A ，C ，E ，H ，K 等21．5 或-122．6.03±三、解答题 23．(1)AB 为旗杆的影子；(2)设大树高 x(m).则465x =，x=4.8答：大树的高度是4.8 m24．当33m >时相离；当33m =时相切；当303m <<时相交. 25．如图所示．26．（1）由22031m m m -≠⎧⎨--=-⎩，得m=-1，∴3y x-=； (2）当3y =33x ==-27．(1)95，20，92．5；(2)第一组超过全班数学成绩中位数的人数占全班人数的百分比为111100%24%50+⨯=，第二组超过全班数学成绩中位数的人数占全班人数的百分比为94100%26%50+⨯=． 28．64°29．ab π30．(1)HI ∥FG ，LM ∥ON (2)能。
2020年江苏省常州中考数学试卷-答案
OD 在 Rt△DOA 中， sin 60=
3 ，OD
3 ，点 C 的坐标是 (2, 3) ．故答案为： (2,
3) ．
AD 2
【考点】平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质
1 17.【答案】
2
【解析】设 BC a ，则 AC 2a ，然后利用正方形的性质求得 CE、CG 的长、GCD ECD 45 ，进而说
2020 年江苏省常州市初中学业水平考试
数学答案解析
一、 1.【答案】D 【解析】根据相反数的概念解答即可．2 的相反数是 2 ，故选D． 2.【答案】B 【解析】直接利用同底数幂除法的运算法则解答即可．解： m6 m2 m62 m4 ．故选：B． 【考点】同底数幂除法 3.【答案】C 【解析】通过俯视图为圆得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱．解：由图可 知：该几何体是四棱柱．故选：C． 【考点】由三视图判断几何体 4.【答案】D 【解析】解：根据立方根的定义，由 23 8 ，可得 8 的立方根是 2 故选：D． 【考点】立方根． 5.【答案】A 【解析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、由 x＜y 可得：2x＜2 y ，故选项成 立；B、由 x＜y 可得： 2x＞ 2 y ，故选项不成立；C、由 x＜y 可得： x 1＜y 1 ，故选项不成立；D、由 x＜y 可得： x 1＜y 1，故选项不成立；故选A. 【考点】不等式的性质 6.【答案】B
1 腰直角三角形. BD 2 ， S△ ABD 2 ， S△ABD 2 BD AE 2 ，即 AE 2 2 ， DE AE 2 2 . BC AO ，且 BC //AO ，CD//OF ，BCD AOF ，△BCD≌△AOF ， AF BD 2 ， yD 3 2 .
2020年江苏省常州市中考数学试卷和答案解析
2020年江苏省常州市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）2的相反数是（）A．﹣2B．﹣C．D．2解析：利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．参考答案：解：2的相反数是﹣2．故选：A．点拨：此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键．2．（2分）计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m12解析：利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．参考答案：解：m6÷m2＝m6﹣2＝m4．故选：B．点拨：此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥解析：该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为正方形，易得出该几何体的形状．参考答案：解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C．点拨：主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力．4．（2分）8的立方根为（）A．B．C．2D．±2解析：根据立方根的定义求出的值，即可得出答案．参考答案：解：8的立方根是＝＝2，故选：C．点拨：本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：a的立方根是．5．（2分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1D．x+1＞y+1解析：根据不等式的性质逐个判断即可．参考答案：解：A、∵x＜y，∴2x＜2y，故本选项符合题意；B、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；D、∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；故选：A．点拨：本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．6．（2分）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°解析：先根据邻补角互补求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．参考答案：解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝40°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°．故选：B．点拨：本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．7．（2分）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O 的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3B．4C．5D．6解析：根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3．参考答案：解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．点拨：本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确BC的最大值为⊙O的直径的长是解题的关键．8．（2分）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y 轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2B．4C．3D．6解析：根据三角形面积公式求得AE＝2，易证得△AOM≌△CBD （AAS），得出OM＝BD＝，根据题意得出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AE＝2，设A（m，），则D（m﹣2，3），根据反比例函数系数k的几何意义得出关于m的方程，解方程求得m＝3，进一步求得k＝6．参考答案：解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC 与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD＝，∵S△ABD＝＝2，BD＝，∴AE＝2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2，∴D的纵坐标为3，设A（m，），则D（m﹣2，3），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，∴k＝m＝（m﹣2）×3，解得m＝3，∴k＝m＝6．故选：D．点拨：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝3．解析：首先计算乘方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可．参考答案：解：|﹣2|+（π﹣1）0＝2+1＝3，故答案为：3．点拨：此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．10．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≠1．解析：分式有意义时，分母x﹣1≠0，据此求得x的取值范围．参考答案：解：依题意得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．点拨：本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．11．（2分）地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为 6.4×103．解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．参考答案：解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．故答案为：6.4×103．点拨：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（2分）分解因式：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．解析：本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．参考答案：解：x3﹣x，＝x（x2﹣1），＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．点拨：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．13．（2分）若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是k＞0．解析：根据一次函数的性质，如果y随x的增大而增大，则一次项的系数大于0，据此求出k的取值范围．参考答案：解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k＞0．故答案为：k＞0．点拨：本题考查的是一次函数的性质，解答本题要注意：在一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时y随x的增大而增大．14．（2分）若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝1．解析：把x＝1代入方程得出1+a﹣2＝0，求出方程的解即可．参考答案：解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1，故答案为：1．点拨：本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．15．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB 于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝30°．解析：根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．参考答案：解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．点拨：本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF．16．（2分）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD 中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是（2，）．解析：根据直角三角形的性质可得OA和OD的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案．参考答案：解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∴CD＝AD＝AB＝2，∵∠DAB＝120°，∴∠OAD＝60°，Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝＝1，OD＝＝，∴C（2，），故答案为：（2，）．点拨：此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是确定OD的长．17．（2分）如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．解析：根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．参考答案：解：连接CG，在正方形ACDE、BCFG中，∠ECA＝∠GCB＝45°，∴∠ECG＝90°，设AC＝2，BC＝1，∴CE＝2，CG＝，∴tan∠GEC＝＝，故答案为：．点拨：本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．18．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为4或2．解析：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H，证明四边形DGBT是平行四边形，求出DH，TH 即可解决问题．参考答案：解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH＝＝＝，∴＝，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．点拨：本题考查相似三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．解析：先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．参考答案：解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2时，原式＝2+1＝3．点拨：本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．20．（8分）解方程和不等式组：（1）+＝2；（2）．解析：（1）方程两边都乘以x﹣1得出方程x﹣2＝2（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．参考答案：解：（1）方程两边都乘以x﹣1得：x﹣2＝2（x﹣1），解得：x＝0，检验：把x＝0代入x﹣1得：x﹣1≠0，所以x＝0是原方程的解，即原方程的解是：x＝0；（2），∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集是：﹣2≤x＜3．点拨：本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键．21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是100；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．解析：（1）根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量；（2）用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去其他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可．参考答案：解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人），则样本容量是100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：2000×＝300（人），答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．点拨：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．解析：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，可求出概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率．参考答案：解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，∴P（和为奇数）＝＝．点拨：本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键．23．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．解析：（1）首先利用平行线的性质得出，∠A＝∠FBD，根据AB＝CD即可得出AC＝BD，进而得出△EAC≌△FBD解答即可；（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．参考答案：证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC与△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS），∴∠E＝∠F；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E的度数为60°．点拨：此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．根据已知得出△EAC≌△FBD是解题关键．24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？解析：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，根据“购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，根据总价＝单价×数量结合总价不超过100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．参考答案：解：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，依题意，得：8m+6（15﹣m）≤100，解得：m≤5．答：最多购买5千克苹果．点拨：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．（8分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B 作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．解析：（1）把把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；（2）根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．参考答案：解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y＝（x＞0）得，a＝＝2，∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，∴正比例函数的关系式为y＝2x，答：a＝2，正比例函数的关系式为y＝2x；（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，∴OB＝5，当x＝5代入y＝得，y＝，即BC＝，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣＝，∴S△ACD＝××（5﹣2）＝12.6，点拨：本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法．26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC ＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是1；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB 时，求OF的长．解析：（1）如图1中，作FD⊥AC于D．证明△ABC≌△CDF（AAS）可得结论．（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E 落在CF上的点H处．根据S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC ＝S扇形ACF计算即可．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt △EOH中，利用勾股定理构建方程求解即可．参考答案：解：（1）如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．∴∠ACB＝60°，∠FCE＝∠BAC＝30°，AC＝CF，∴∠ACF＝30°，∴∠BAC＝∠FCD，在△ABC和△CDF中，，∴△ABC≌△CDF（AAS），∴FD＝BC＝1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH＝﹣＝．故答案为．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，∴EC＝EF＝，EH＝，CH＝EH＝，在Rt△BOC中，OC＝＝，∴OH＝CH﹣OC＝﹣，在Rt△EOH中，则有x2＝（）2+（﹣）2，解得x＝或﹣（不合题意舍弃），∴OC＝＝，∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．点拨：本题考查作图﹣旋转变换，解直角三角形，全等三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P 称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点D（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为6；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F 是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．解析：（1）①根据远点，特征数的定义判断即可．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．分两种情形k ＞0或k＜0，分别求解即可解决问题．参考答案：解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝20，故答案为D，20．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y＝x+4交x轴于F（﹣，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF＝∴tan∠FEO＝＝，∴∠FEO＝30°，∴OH＝OE＝2，∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN＝2，EN•NH＝4，∴NH＝，∵N（﹣1，0），M（1，4），∴MN＝＝2，∴HM＝＝＝，∴△MNH是等腰直角三角形，∵MN的中点K（0，2），∴KN＝HK＝KM＝，∴H（﹣2，3），把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝x+，当k＜0时，同法可知直线i经过H′（2，1），可得直线l的解析式为y＝﹣3x+7．综上所述，满足条件的直线l的解析式为y＝x+或y＝﹣3x+7．点拨：本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，远点，特征数的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．28．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝﹣4；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F 关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．解析：（1）将点C坐标代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB 于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；（3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH ＝45°，由轴对称的性质可得EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM＝NK＝，MN＝KF，可求CF＝6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．参考答案：解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD 与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC＝＝3，CD＝＝，BD＝＝2，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠DBC＝＝＝＝tan∠ACE，∴∠ACE＝∠DBC，∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，∴∠ACB＝∠CFD，又∵∠CQD＝∠ACB，∴点F与点Q重合，∴点P是直线CF与抛物线的交点，∴0＝x2﹣4x+3，∴x1＝1，x2＝3，∴点P（3，0）；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，∵CH⊥DB，HF＝QH，∴CF＝CQ，∴∠CFD＝∠CQD，∴∠CQD＝∠ACB，∵CH⊥BD，∵点B（4，3），点D（2，﹣1），∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，∴点F（，0），∴直线CH解析式为：y＝﹣x+，∴，解得，∴点H坐标为（，﹣），∵FH＝QH，∴点Q（，﹣），∴直线CQ解析式为：y＝﹣x+，联立方程组，解得：或，∴点P（，﹣）；综上所述：点P的坐标为（3，0）或（，﹣）；（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，∵点A（0，3），点C（1，0），∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，∴，∴，∴点N坐标为（，﹣），∵点H坐标为（，﹣），∴CH2＝（﹣1）2+（）2＝，HN2＝（﹣）2+（﹣+）2＝，∴CH＝HN，∴∠CNH＝45°，∵点E关于直线BD对称的点为F，∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，∴∠ENF＝90°，∴∠ENM+∠FNM＝90°，又∵∠ENM+∠MEN＝90°，∴∠MEN＝∠FNM，∴△EMN≌△NKF（AAS）∴EM＝NK＝，MN＝KF，∴点E的横坐标为﹣，∴点E（﹣，），∴MN＝＝KF，∴CF＝+﹣1＝6，∵点F关于直线BC对称的点为G，∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，∴∠GCF＝90°，∴点G（1，6），∴AG＝＝．点拨：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合性强，求出∠CNH＝45°是本题的关键．。
2020年江苏省常州市中考数学试卷原卷附解析
2020年江苏省常州市中考数学试卷原卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列命题中，假命题的是（ ）A ．圆的切线垂直于过切点的半径B ．垂直于切线的直线必经过圆心C ．若圆的两条切线平行，那么经过两切点的直线必经过圆心D ．经过半径的外揣并且垂直于这条半径的直线是圆的切线3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ）A ．sinA=sinBB ．tanA=tanBC ．sinA=cosBD ．cosA=cosB 4．若矩形的半张纸与整张纸相似，则整张纸的长是宽的（ ）A ．2 倍B ．4 倍C 2D ．1.5 倍 5．一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系是h ＝－5（t －2）（t ＋1）．则运动员起跳到入水所用的时间（ ）A ．－5B ．－1C ．1D ． 2 6．将一元二次方程(1)(22)2x x -+=-化为一般形式是（ ）A ．22410x x +-=B ．22410x x -+=C ．2230x x -=D ．220x = 7．在A 33-），B （22，-2），C （-222 D 23-）四个点中，在第四象限的点的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．有两组数据，第一组有4个数据，它们的平均数为x ，第二组有6个数据，他们的平均数为y ，则这两组数据的平均数为（ ）A ．2x y +B ．46x y +C ．235x y +D ．10x y + 9．下列四个图形中，轴对称图形的个数是（ ）①等腰三角形, ②等边三角形, ③直角三角形, ④等腰直角三角形A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在△ABC 中，AD 垂直平分BC ，BC=6，AD=4，点E ，F 是线段AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是 （ ）A ．6B ．12C ．24D ．3011．下列计算错误．．的有（ ） ①a 8÷a 2=a 4；②（-m ）4÷（-m ）2=-m 2；③x 2n ÷x n =x n ；④-x 2÷（-x ）2=-1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 12．已知一叠2元和5元两种面值的人民币，其价值是24元，则面值为2元的人民币的张数是 （ ）A ．2张B ．7张C 12张D ．2张或7张13．下列数轴的画法中，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题14．在直角坐标平面内，一点光源位于(0，4)处，点P 的坐标为(3，2)，则点P 在x 轴上的影子的坐标为 ．15． 如果sin α= 0.8221 ，那么∠α= (精确到10) ；如果cos β＝0.6410，那么∠β= (精确到l 0).16．已知四边形三个内角的度数如图所示，则∠β= 度．17．已知关于x 的不等式50x m -<只有两个正整数解，则m 的取值范围是 ．18．已知2x-y=4，则7-6x+3y=________．19．若去分母解方程3233x x x=---时，出现增根，则增根为 . 20．钟表上的分针绕其轴心旋转，经过15分钟后，分针转过的角度是 ；分针从12出发，转过150度，则它指的数字是 ．21．若2(4)|2|0a b -+-=，则b a = ；2a b a b+-= ． 22． 计算1422-÷⨯的结果为 ． 三、解答题23．AB 是半圆0的直径，C 、D 是半圆的三等分点，半圆的半径为R.(1)CD 与 AB 平行吗？为什么？(2)求阴影部分的面积.24．如图，在面积为4的菱形ABCD 中，画一个面积为l 的△ABP ，使点P 在菱形ABCD 的边上(不写画法，但要保留作图痕迹)．25．根据四边形的不稳定性，如图，长方形ABCD 变形为四边形A ′BCD ′．(1)四边形A ′BCD ′是平行四边形吗?请说明理由；(2)我们可知变形过程中周长不变，而面积改变了，若四边形A ′BCD ′的面积是长方形ABCD 的面积的一半，求∠ABA ′的度数．26．某市市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至l28元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少?27．已知n m ,是实数，且155+-+-=n n m ，求n m 32-的值．28．下面是某同学对多项式22(42)(46)4x x x x-+-++进行因式分解的过程.解：设24x x y-=，原式=(2)(6)4y y+++ (第一步)=2816y y++ (第二步)=2(4)y+ (第三步)=22(44)x x-+第四步).回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底？(填“彻底”或“不彻底”).若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式22(2)(22)1x x x x--++进行因式分解.29．用简便方法计算：(1)2920.08+4120.083020.08⨯⨯+⨯；(2)已知123x y-=，2xy=，求43342x y x y-的值.30．计算：精确到 0.01)(2)4)3)-(精确到 0.01)【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．C2．B3．C4．C5．D6．D7．C8．C9．C10．A11．B12．D13．C二、填空题14．(6，0)15．55°；50°16．12017．10<m ≤1518．-519．3=x 20．90度；521．16,122．-16三、解答题23．(1)由题意知⌒AC =⌒CD =⌒DB ，∴∠CDA=∠DAS, ∴CD ∥AB.(2)由题意知⌒AC 的度数为 60°，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，22,6ADC OCD R S s π∆==扇形，∴222(66R S R R ππ=+=+阴影 24．略25．(1)由A ′B=D ′C ，A ′D ′=BC ，可证四边形A ′BCD ′是平行四边形；(2)过A ′作A ′P ⊥BC 于P ，∠ABA ′=60°26．20%27．-1328．(1)C ；(2)不彻底，4(2)x -；(3)设22x x y -=，原式=22224(2)1=21(1)(21)(1)y y y y y x x x ++++=+=-+=- 29．(1)2008；(2)433433182(2)833x y x y x y x y -=-=⨯= 30．(1)4.02 (2)—2.46。
2020年江苏省常州中考数学试卷附答案解析版
数学试卷 第 1 页（共 6 页）数学试卷 第 2 页（共 6 页）2 △ABD 绝密★启用前2020 年江苏省常州市初中学业水平考试数 学注意事项：1. 本试卷共 6 页.全卷满分 120 分.考试时间为 120 分钟.考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.考试时不允许使用计算器.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息.3. 作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.2 的相反数是（）7.如图， AB 是 O 的弦，点C 是优弧 AB 上的动点（ C 不与 A 、B 重合），CH ⊥ AB ，垂足为 H ，点 M 是 BC 的中点．若 O 的半径是 3，则 MH 长的最大值是 （ ）A .3B .4C .5D .68. 如图，点 D 是OABC 内一点， CD 与 x 轴平行， BD 与 y 轴平行， BD =，∠ADB = 135︒ ， S = 2 ．若反比例函数 y = k ( x ＞0) 的图像经过 A 、 D 两点，则kx的值是 （）A . 2B .4C . 3D .6A . - 1 2B .1 C . 2D . -22 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．卡．相．应．位．置．上．）2.计算m 6 ÷ m 2 的结果是 （）9.计算： | -2 | +(π -1)0 = ．A. m 3B. m 4C. m 8D. m 1210.若代数式 1有意义，则实数 x 的取值范围是．3. 右图是某几何体的三视图，该几何体是 （）A. 圆柱B .三棱柱C .四棱柱D .四棱锥 4.8 的立方根是（） x -111. 地球半径大约是6 400 km ，将6 400 用科学记数法表示为 ．12.分解因式： x 3- x =．13. 若一次函数 y = kx + 2 的函数值 y 随自变量 x 增大而增大，则实数 k 的取值范围是． 14. 若关于 x 的方程 x 2 + ax - 2 = 0 有一个根是 1，则a = ．A .2 B. ±2 C. ±2 D .215.如图，在△ABC 中， BC 的垂直平分线分别交 BC 、 AB 于点 E 、 F ．若△AFC 是5. 如果 x ＜y ，那么下列不等式正确的是（）等边三角形，则∠B =°．A . 2x ＜2 y C . x -1＞y -1B . -2x ＜- 2 y D . x + 1＞y + 16. 如图，直线a 、b 被直线c 所截， a ∥b ， ∠1 = 140︒ ，则∠2 的度数是 （）A . 30︒B . 40︒C . 50︒D . 60︒16. 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形 ABCD 中， AB = 2 ，∠DAB = 120︒ ．如图，建立平面直角坐标系 xOy ，使222 2 在此卷上答题无效毕业学校姓名考生号⎩ 得边 AB 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，则点C 的坐标是．17. 如图，点 C 在线段 AB 上，且 AC = 2BC ，分别以 AC 、BC 为 边在线段 AB 的同侧作正方形 ACDE 、BCFG ，连接 EC 、EG ， 则tan ∠CEG =．（2）搅匀后先从中随机抽出 1 支签（不放回），再从余下的 2 支签中随机抽出 1 支签，求抽到的 2 支签上签号的和为奇数的概率．23.（本小题满分 8 分）已知：如图，点 A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA //FB ，EA = FB ，AB = CD ．（1）求证： ∠E = ∠F ；18.如图，在△ABC 中， ∠B = 45︒, AB = 6 ， D 、 E 分别是 AB 、（2）若∠A = 40︒ ， ∠D = 80︒ ，求∠E 的度数．AC 的中点，连接 DE ，在直线 DE 和直线 BC 上分别取点 F 、G ， 连接 BF 、DG ．若 BF = 3DG ，且直线 BF 与直线 DG 互相垂直， 则 BG 的长为．三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分，请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.（本小题满分 6 分）先化简，再求值： (x + 1)2 - x (x + 1) ，其中 x = 2 ． 20.（本小题满分 8 分）解方程和不等式组： （1） x + 2= 2 ；x -1 1 - x ⎧2x - 6 < 0, （2） ⎨-3x 6.21.（本小题满分 8 分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1） 本次抽样调查的样本容量是 ；（2） 补全条形统计图；（3） 该校共有2 000 名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22.（本小题满分 8 分）在 3 张相同的小纸条上分别标上 1、2、3 这 3 个号码，做成 3 支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出 1 支签，抽到 1 号签的概率是；数学试卷 第 3 页（共 6 页）24.（本小题满分 8 分）某水果店销售苹果和梨，购买 1 千克苹果和 3 千克梨共需 26 元，购买 2 千克苹果和 1 千克梨共需 22 元．（1） 求每千克苹果和每千克梨的售价；（2） 如果购买苹果和梨共 15 千克，且总价不超过 100 元，那么最多购买多少千克 苹果？25.（本小题满分 8 分）如图，正比例函数 y = kx 的图像与反比例函数 y =8( x ＞0) 的图x像交于点 A (a , 4) ．点 B 为 x 轴正半轴上一点，过 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图像于点C ，交正比例函数的图像于点 D ．（1） 求a 的值及正比例函数 y = kx 的表达式； （2） 若 BD = 10 ，求△ACD 的面积．26. （ 本小题满分 10 分） 如图 1 ， 点 B 在线段 CE 上， Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC = ∠CEF = 90︒ ， ∠BAC = 30︒ ， BC = 1 ．（1） 点 F 到直线CA 的距离是；（2） 固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30︒ ，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．数学试卷 第 4 页（共 6 页）2数学试卷 第 5 页（共 6 页）数学试卷 第 6 页（共 6 页）①请你在图 1 中用直尺和圆规画出线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为 ；②如图 2，在旋转过程中，线段CF 与 AB 交于点O ，当OE = OB 时，求OF 的长．27.（本小题满分 10 分）如图 1， I 与直线a 相离，过圆心 I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交 I 于 P 、Q 两点（ Q 在 P 、H 之间）．我们把点 P 称为 I 关于直线a 的“远点”，把 PQ ⋅ PH 的值称为 I 关于直线a 的“特征数”．（1） 如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为(0, 4)，半径为 1 的 O 与两坐标轴交于点 A 、 B 、C 、 D ．① 过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m ， 则 O 关于直线 m 的“ 远点” 是点（填“ A ”、“ B ”、“ C ”或“ D ”）， O 关于直线m 的“特征数”为；28.（本小题满分 10 分）如图，二次函数 y = x 2 + bx + 3 的图像与 y 轴交于点 A ，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 B ，抛物线过点C (1, 0) ，且顶点为 D ，连接 AC 、 BC 、 BD 、CD ． （1）填空： b =；（2） 点 P 是抛物线上一点，点 P 的横坐标大于 1，直线 PC 交直线 BD 于点Q ．若∠CQD = ∠ACB ，求点 P 的坐标；（3） 点 E 在直线 AC 上，点 E 关于直线 BD 对称的点为 F ，点 F 关于直线 BC 对称的点为G ，连接 AG ．当点 F 在 x 轴上时，直接写出 AG 的长．②若直线n 的函数表达式为 y = 3x + 4 ，求 O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 经过点 M (1, 4) ，点 F 是坐标平面内一点，以F 为圆心， 为半径作 F ．若 F 与直线l 相离，点 N (-1, 0) 是 F 关于直 线l 的“远点”，且 F 关于直线l 的“特征数”是4 式．，求直线l 的函数表达2 5 在此卷上答题无效毕业学校姓名考生号2020 年江苏省常州市初中学业水平考试数学答案解析一、1.【答案】D【解析】根据相反数的概念解答即可．2 的相反数是-2 ，故选D．2.【答案】B【解析】直接利用同底数幂除法的运算法则解答即可．解：m6 ÷m2 =m6-2 =m4 ．故选：B．【考点】同底数幂除法3.【答案】C【解析】通过俯视图为圆得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱．解：由图可知：该几何体是四棱柱．故选：C．【考点】由三视图判断几何体4.【答案】D【解析】解：根据立方根的定义，由23 = 8 ，可得8 的立方根是2 故选：D．【考点】立方根．5.【答案】A【解析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、由x＜y 可得：2x＜2 y ，故选项成立；B、由x＜y 可得：-2x＞- 2 y ，故选项不成立；C、由x＜y 可得：x -1＜y -1 ，故选项不成立；D、由x＜y 可得：x + 1＜y + 1，故选项不成立；故选A.【考点】不等式的性质6.【答案】B2 2 2 【解析】先根据邻补角相等求得∠3 ，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．解： ∠1 + ∠3 = 180︒ ， ∠1 = 140︒ ，∴∠3 = 180︒ - ∠1 = 180︒ -140︒ = 40︒ . a ∥b ，∴∠2 = ∠3 = 40︒ ．故答案为B ．【考点】平行线的性质7. 【答案】A【解析】根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知 MH = 1BC ，当 BC 为直径时长2度最大，即可求解．解：∵CH ⊥ AB ，∴∠BHC = 90︒ . 在 Rt △BHC 中，点 M 是 BC 的中点，∴ MH = 1BC . BC 为 O 的2弦，∴当 BC 为直径时， MH 最大， O 的半径是 3，∴ MH 最大为 3．故选：A ．【考点】直角三角形斜边中线定理8. 【答案】D【解析】作 AE ⊥ BD 交 BD 的延长线于点 E ，作AF ⊥ x 轴于点 F ，计算出 AE 长度，证明△BCD ≌△AOF ， 得出 AF 长度，设出点 A 的坐标，表示出点 D 的坐标，使用 x D y D = x A y A ，可计算出k 值．作 AE ⊥ BD 交 BD 的延长线于点 E ，作 AF ⊥ x 轴于点 F . ∠ADB = 135︒ ，∴∠ADE = 45︒ ，∴△ADE 为等腰直角三角形. BD =， S ABD = 2 ，∴ S= 1BD ⋅ AE = 2 ，即 AE = 2 ，∴ DE = AE = 2 .△△ ABD 2BC = AO ，且 BC //AO ，CD //OF ，∴∠BCD = ∠AOF ，∴△BCD ≌△AOF ，∴ AF = BD =，∴ y D = 3 . 222m = (m - 2 2 ) ⋅ 3 ，解得：m = 3，∴k = 3 2 ⨯= 62 2设点A(m, 2 ) ，D(m - 2 2,3 2 ) ，∴2故选：D．【考点】反比例函数与几何图形的综合二、9.【答案】3【解析】根据绝对值和0 次幂的性质求解即可．原式= 2 1 = 3 ．故答案为：3．【考点】绝对值和0 次幂的性质．10.【答案】x ≠ 1【解析】分式有意义时，分母x -1 ≠ 0 ，据此求得x 的取值范围．解：依题意得：x -1 ≠ 0 ，解得x ≠ 1 ，故答案为：x ≠ 1 ．【考点】分式有意义的条件11.【答案】6.4 ⨯103【解析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a ⨯10n 的形式，其中1≤a ＜10 ，n 是比原整数位数少1 的数. 6 400=6.4 ⨯103.故答案为：6.4 ⨯103.【考点】科学记数法的表示方法12.【答案】x(x + 1)(x -1)【解析】解：原式=x(x2-1) =x(x + 1)(x -1)3) 13. 【答案】k ＞0【解析】直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可．解： 一次函数 y = kx + 2 的函数值 y 随自变量 x 增大而增大，∴ k ＞0 ．故答案为k ＞0 ．【考点】一次函数增减性与系数的关系14. 【答案】1【解析】根据一元二次方程的解的定义，把 x = 1 代入方程得到关于a 的一次方程，然后解此一次方程即可． 解：把 x = 1 代入方程 x 2 + ax - 2 = 0 得1 + a - 2 = 0 ，解得a = 1 ．故答案是：1． 【考点】一元二次方程的解15. 【答案】30【解析】根据垂直平分线的性质得到∠B = ∠BCF ，再利用等边三角形的性质得到∠AFC = 60︒ ，从而可得∠B . 解： EF 垂直平分 BC ， ∴ BF = CF ， ∴∠B = ∠BCF ， △ACF 为等边三角形， ∴∠AFC = 60︒ ，∴∠B = ∠BCF = 30︒ .故答案为：30.【考点】垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质16. 【答案】(2,【解析】根据菱形的性质可知 AD = AB = CD = 2 ， ∠OAD = 60︒ 由三角函数即可求出线段OD 的长度，即可得到答案．解： 四边形 ABCD 为菱形，AB = 2 ，∴ AD = AB = CD = 2 ，AB//CD ， ∠DAB = 120︒ ，∴∠DAO = 60︒ .在 Rt △DOA 中， sin 60︒= OD = AD 3 ，∴OD = 23 ，∴点C 的坐标是(2, ．故答案为： (2, ．【考点】平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质17. 【答案】 12【解析】设 BC = a ，则 AC = 2a ，然后利用正方形的性质求得CE 、CG 的长、∠GCD = ECD = 45︒ ，进而说3)3)2a 2 2a 2 明△ECG 为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．解：设 BC = a ，则 AC = 2a . 正方形 ACDE ，∴ EC == 2 2a ，∠ECD = 1 ∠ACD = 45 ， 2同理： CG = 2a ，∠GCD = 1 ∠BCD = 45 ∴tan ∠CEG = CG = = 1 ．故答案为 1． 2 CE 22【考点】正方形的性质和正切的定义18. 【答案】4 或 2【解析】分当点 F 在点 D 右侧时，当点 F 在点 D 左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.解：如图，当点 F 在点 D 右侧时，过点 F 作 FM //DG ，交直线 BC 于点 M ，过点 B 作 BN ⊥ DE ，交直线DE 于点 N ， D , E 分别是 AB 和 AC 中点，AB = 6 ，∴ DE ∥BC ，BD = AD = 3 2 ，∠FBM = ∠BFD ，∴ 四 边 形 DGMF 为 平 行 四 边 形 ， 则 DG = FM ， DG ⊥ BF ， BF = 3DG ， ∴∠BFM = 90︒ ，∴tan ∠FBM=FM = 1 =tan ∠BFD ，∴ BN = 1， ∠ABC = 45︒ = ∠BDN ，∴△BDN 为等腰直角三角形， BF 3 FN 3∴ BN = DN = BD = 3 ，∴ FN = 3BN = 9 ，FB = GM = 6 ， BF = BN 2 + NF 2 =3 ，∴ FM = 1BF = 10 ， 3∴ BM = = 10 ，∴ BG = 10 - 6 = 4 ；(2a )2 + (2a )2 2 10 BF 2 + FM 292 + 32 10当点 F 在点 D 左侧时，过点 B 作 BN ⊥ DE ，交直线 DE 于 N ，过点 B 作 BM //DG ，交直线 DE 于 M ， 延长 FB 和 DG ，交点为 H ，可知： ∠H = ∠FBM = 90︒ ，四边形 BMDG 为平行四边形，∴ BG = MD ，BM = DG ， BF = 3DG ，∴tan ∠BFD =BM = DH = BN = 1，同理可得： △BDN 为等腰直角三角 BF FH FN 3形，BN = DN = 3 ，∴ FN = 3BN = 9 ，∴ BF = = 3 ，设 MN = x ，则 MD = 3 - x ，FM = 9 + x ，在 Rt △BFM 和 Rt △BMN 中，有 FM 2 - BF 2 = MN 2 + BN 2 ，即(9 + x )2- (3 10 )= x 2 + 32 ，解得： x = 1 ，即 MN = 1 ，∴ BG = MD = ND - MN = 2综上： BG 的值为 4 或 2.故答案为：4 或 2.【考点】等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平行四边形的判定和性质，勾股定理三、19.【答案】解： (x + 1)2 - x (x + 1)= x 2 + 1 + 2x- x 2 - x⎩= x + 1 将 x = 2 代入，原式= 3【解析】完全平方公式和单项式乘多项式，具体解题过程参照答案.【考点】整式的混合运算20.【答案】（1） x + 2= 2 ，去分母得： x －2=2x －2 ，解得x = 0 .经检验 x = 0 是分式方程的解. x -1 1 - x⎧2x - 6＜0，① （2） ⎨-3x ≤6，② 由①得： x ＜3 ，由②得： x ≥- 2 ，则不等式组的解集为-2≤x ＜3 . 【解析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解.（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．【考点】分式方程与解不等式组21.【答案】（1）100（2）打乒乓球的人数为100 ⨯ 35% = 35 人，踢足球的人数为100 - 25 - 35 -15 = 25 人；补全条形统计图如图所示：（3）2000 ⨯ 15100= 300 人．【解析】（1）用条形统计图中最喜爱打排球的人数除以扇形统计图中最喜爱打排球的人数所占百分比即可求出本次抽样调查的样本容量.（2）用总人数乘以最喜爱打乒乓球的人数所占百分比即可求出最喜爱打乒乓球的人数，用总人数减去最喜爱其它三项运动的人数即得最喜爱踢足球的人数，进而可补全条形统计图.（3）用最喜爱打篮球的人数除以总人数再乘以2000 即可求出结果.【考点】条形统计图，扇形统计图，样本容量，利用样本估计总体22.【答案】（1）1 3（2）画树状图如下：所有等可能的情况有6 种，其中抽到的 2 支签上签号的和为奇数的有4种，∴抽到的2 支签上签号的和为奇数的概率为：4=2.6 3【解析】（1）由概率公式即可得出答案. 共有3 个号码，∴抽到1 号签的概率是1，故答案为：1.3 3 （2）画出树状图，得到所有等可能的情况，再利用概率公式求解即可．【考点】列表法与树状图法23.【答案】（1） AE//BF ，∴∠A =∠DBF ， AB =CD ，∴AB +BC =CD +BC ，即AC =BD ，又 AE =BF ，∴△ACE≌△BDF（SAS），∴∠E =∠F .（2）∴△ACE≌△BDF ，∴∠D =∠ACE = 80︒， ∠A = 40︒，∴∠E = 180︒-∠A -∠ACE = 60︒. 【解析】（1）根据已知条件证明△ACE≌△BDF ，即可得到结论.（2）根据全等三角形的性质得到∠D =∠ACE = 80︒，再利用三角形内角和定理求出结果.【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和⎩ ⎩ S 24. 【答案】（1）设每千克苹果售价 x 元，每千克梨 y 千克，由题意，得：⎧x + 3y = 26 ，解得： ⎧x = 8，⎨2x + y = 22 ⎨ y = 6答：每千克苹果售价 8 元，每千克梨 6 千克.（2）设购买苹果a 千克，则购买梨(15 - a ) 千克，由题意，得： 8a + 6(15 - a )≤100 ，解得： a ≤5 ，∴a 最大值为 5，答：最多购买 5 千克苹果．【解析】（1）设每千克苹果售价 x 元，每千克梨 y 千克，由题意列出 x 、 y 的方程组，解之即可.（2）设购买苹果a 千克，则购买梨(15 - a ) 千克，由题意列出a 的不等式，解之即可解答．【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用25. 【答案】（1）已知反比例函数解析式为 y =8，点 A (a , 4) 在反比例函数图象上，将点 A 坐标代入，解得xa = 2 ，故 A 点坐标为(2, 4) ，又 A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为 y = kx ，将点 A (2, 4) 代入正比例函数解析式中，解得k = 2 ，则正比例函数解析式为 y = 2x ．故a = 2 ； y = 2x ．2 x (b , 0) C 8 （ ）根据第一问的求解结果，以及 BD 垂直 轴，我们可以设 B 点坐标为，则 点坐标为(b , ) 、D 点 b坐标为(b , 2b ) ，根据 BD = 10 ，则2b = 10 ，解得b = 5 ，故点 B 的坐标为(5, 0) ，D 点坐标为(5,10) ，C 点坐8 标为(5, ) ，则在△ACD 中，= 1 ⨯ ⎛10 - 8 ⎫ ⨯ (5 - 2) = 63 ．故△ACD 的面积为 63 ．5 △ACD 2 5 ⎪ 5 5 ⎝ ⎭【解析】（1）已知反比例函数解析式，点 A 在反比例函数图象上，故a 可求；求出点 A 的坐标后，点 A 同时在正比例函数图象上，将点 A 坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设 B 点坐标为(b , 0) ，则 D 点坐标为(b , 2b ) ，根据 BD = 10 ，可求b 值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．【考点】解正比例函数及反比例函数解析式，待定系数法26. 【答案】（1）1（2）①线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形如图 3 中的阴影所示：3 3⎛ 3 ⎫2在 Rt △CEF 中， ∠ECF = 30︒，EF = 1，∴CF = 2 ， CE = ，由旋转的性质可得： CF = CA = 2 ，CE = CG = ， ∠ACG = ∠ECF = 30︒ ，230π ⨯(3 )2∴ S=（S+ S ）－（S+ S ）= S －S= 30π ⨯ 2 -= π；故答 阴影π 案为： 12CEF.扇形ACF ACG扇形CEG 扇形ACF扇形CEG36036012②作 EH ⊥ CF 于点 H ，如图 4，在 Rt △EFH 中， ∠F = 60︒，EF = 1，∴ FH = 1 ， EH =3， 2 21 3 3 3 ∴CH =2 - = ，设OH = x ，则OC = - x ， OE 2 = EH 2 + OH 2= ⎪ + x 2 = + x 2 ，2 2 23⎝ 2 ⎭34⎛ 3⎫2OB = OE ，∴OB 2 = + x 2 ，在 Rt △BOC 中， OB 2 + BC 2 = OC 2 ,∴ + x 2 + 1 = - x ⎪，解得：4 x = 1 ，∴OF = 1 + 1 = 2．4 ⎝ 2 ⎭6 2 6 3【解析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF = ∠ECF = 30︒ ，即CF 是∠ACB 的平分线，然后根据角平分线的性质可得点 F 到直线CA 的距离即为 EF 的长，于是可得答案.∠BAC = 30︒，∠ABC = 90︒，∴∠ACB = 60︒， Rt△ABC≌Rt△CEF ，∴∠ECF =∠BAC = 30︒，EF =BC = 1 ，∴∠ACF = 30︒，∴∠ACF =∠ECF = 30︒，∴CF 是∠ACB 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF = 1；故答案为：1.（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以CF 和CE 为半径、圆心角为30︒的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图 3 中，先解Rt△CEF 求出CF 和CE 的长，然后根据S阴影=（SCEF+S扇形ACF）－（SACG+S扇形CEG）即可求出阴影面积.②作EH ⊥ CF 于点H ，如图4，先解Rt△EFH 求出FH 和EH 的长，进而可得CH 的长，设OH =x ，则CO 和OE2 都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt△BOC 中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．【考点】旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识27.【答案】（1） O 关于直线m 的“远点”是点D ， O 关于直线m 的“特征数”为DB·DE = 2 ⨯ 5 =10 .②如下图：过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交 O 于点P、Q ，直线n 的函数表达式为y = 3x + 4 ，当x = 0 时，y = 4 ；当y = 0 时，x =-4 3，∴直线n 经过点335 2E （0，4），点F （-4 3 ，在 Rt △EOF 中， 4 FO ，∴∠FEO = 30︒ ，，0） 3tan ∠FEO = = 3 =EO43∴∠EFO = 60︒ ，在 Rt △HOF 中， sin ∠HFO = HO ，∴ H O = FOsin ∠HFO ⋅ FO = 2 ，∴ PH = HO + OP = 3 ，∴ PQ ·PH = 2 ⨯ 3 = 6 ，∴ O 关于直线n 的“特征数”为 6； （2）如下图， 点 F 是圆心，点 N (-1, 0) 是“远点”，∴连接 NF 并延长，则直线 NF ⊥ 直线l ，设 NF 与直线l 的交点为点 A （m ，n ），设直线l 的解析式为 y = kx + b （k ≠ 0），将点 M (1, 4) 与 A （m ，n ）代入 y = kx + b 中， ⎧⎪4=k + b 1① ②-① 1⎨n = mk + b ②⎩⎪ 1得： n - 4 = mk - k ，③又 直线 NF ⊥ 直线l ，∴设直线 NF 的解析式为 y = - 1x + b （k ≠ 0），将点1 k 2⎧0= 1+ b ④1 ⎪ k2 1 mN (-1, 0) 与 A （m ，n ）代入 y = - x + b 中， ⎨ k m ④-⑤得： -n = + k k ，⑥联立方程③与方 ⎪n = - + b 2 ⑤⎧n - 4 = mk - k ⎪⎩k⎧ k 2 - 4k -1 m =⎪ ⎪ k 2 + 1 ∴ k 2 - 4k -1 4 - 2kF 程⑥，得： ⎨-n = 1 + m 解得： ⎨ 4 - 2k ， 点 A 的坐标为( k 2 + 1 ， 2 + 1 ) ；又 关于 ⎩⎪ k k ⎪n = ⎩ k k 2 + 1直线l 的“特征数”是4 ， F 的半径为 ，∴ NB ·NA = 4 ，即2 24 ⋅ NA = ，解得： NA = 10 ，35 2 5 ⎪5 10 ⎨⎧⎪m = k 2- 4k -12∴⎡⎣m-(-1)⎤⎦2+(n-0)2=(10)2，即(m +1)2 +n2=10 ，把⎪⎪n =⎩k +1代入，解得k =-3 或k = 1 ；4 - 2k 3k 2+ 1当k=-3时，m=2，n=1，∴点A 的坐标为（2，1），把点A（2，1）与点M (1, 4)代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为y =-3x + 7 ；当k =1时，m=-2，n=3，∴点A 的坐标为（-2，3），把点A（-2，3）与点3M (1, 4)代入y =kx +b 中，解得直线l 的解析式为y =1 x +11 ．∴直线l 的解析式为y =-3x + 7 或1 3 3y =1x +11.3 3【解析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交 O于点P、Q ，首先判断直线n也经过点E（0，4），在Rt△EOF中，利用三角函数求出∠EFO = 60︒，进而求出PH 的长，再根据“特征数”的定义计算即可.（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b，用待定系数法得到⎧⎪4=k +b1①，再根据两条直1⎨n =mk +b ②⎩⎪ 1线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k 互为负倒数的关系可设直线NF 的解析式为y =-1x +b ，用⎧0= 1+b ④k 2⎧n - 4 =mk -k⎪k 2待定系数法同理可得⎨m，消去b1和b2，得到关于m、n ⎪的方程组⎨-n =1+m；根据⎪n =-+b2 ⑤⎩⎪k k⎩⎪kF 关于直线l 的“特征数”是4 ，得出NA =，再利用两点之间的距离公式列出方程(m +1)2⎧⎪m =+n2= 10 ，把⎨k 2- 4k -1k 2+ 1 代入，求出k 的值，便得到m、n 的值即点A 的坐标，再根据待定⎪n =4 - 2k⎩⎪k2+1系数法求直线l 的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏．【考点】一次函数与圆的综合28.【答案】（1）-42 5 2 ⎛ 5 ⎫2 ⎝ a - + 2a - 5 2 ⎪⎭ ( ) 2 ⎩ ⎩ 1 2 （2）由（1）可得抛物线解析式为： y = x 2 - 4x + 3 ，当 x = 0 时， y = 3 ，∴ A 的坐标为（0，3），当y = 3 时得3 = x 2 - 4x + 3 ，解得 x = 0 ， x = 4 ，∴点 B 的坐标为（4，3）， y = x 2 - 4x + 3 = ( x - 2)2-1 ，∴顶点 D 的坐标为（2，-1），设 BD 与 x 轴的交点为 M ，作CH ⊥ AB 于 H ，DG ⊥ CM 于G ，∴tan ∠ACH = tan ∠OAC = 1，根据勾股定理可得 BC = 3 3， CD = ，BD = 2 ，∴ BD = ，∴∠BCD = 90︒ ，∴tan ∠CBD = 1，∴∠ACH = ∠CBM ， 3∠HCB = ∠BCM = 45︒ ，∴∠ACH + ∠HCB = ∠CBM + ∠MCB ，即∠ACB = ∠CMD ， Q 在CD 上方时：若∠CQD = ∠ACB ，则Q 与 M 点重合， y = x 2 - 4x + 3 中，令 y = 0 ，解得： x = 1 或 3，∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0），即此时 P 的坐标为（3，0）；Q 在CD 下方时：过点Q 作QK ⊥ x 轴，过点C 作CL ⊥ QM 于点 L ，过点 A 作 AN ⊥ BC 于点 N ，可得： AB = 4，BC = 3 2, AC =，设CN = x ，则BN = 3 - x ，在△ABC 中， AC 2 - CN 2 = AB 2 - BN 2 ，即( 10 )2- x 2 = 42 - (3 - x )2，解得：x = ，∴cos ∠ACN =CN= AC 5 ，设直线 BD 的表达式为： y = mx + n ，将 B , D 代入得：5⎧ 3 = 4m + n ，解得： ⎧ m = 2 ，∴直线 BD 的表达式为 y = 2m - 5 ，令 y = 0 ，则 x = 5 ，即点 M50），⎨-1 = 2m + n Q⎨n = -5QK = 5 - 2a （ ，2 2 CM = 3设点 坐标为（a ，2a - 5），则 ， 2， QM = ， 2 BC 2+ CD 210 2 2CQ 2 - KQ 2 5 ⎛ 8 ⎫2 ⎛ 9 ⎫21 - 5 ⎪ + - 5 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭( , ∠ACB = ∠CMD ，∠ACB = ∠CQD ，∴∠CMD = ∠CQD ，即CQ = CM = 3，2∴cos ∠CQD = cos ∠ACB = QL =5 ，∴QL = 3 5 ， QM = 3 5 ， CL = 3 5 在△CQM 中， CQ 5 10 10 101 CM ⋅ KQ = 1 QM ⋅ CL ，即 3 ⋅ KQ = 3 5 ⋅ 3 5，解得： KQ = 6 ，∴CK = = 9 ， 2 2 2 5 55⎧ 0 = s + t 10 ⎧s = - 4 ∴Q 19 , - 6) ，设直线CQ 表达式为： y = sx + t ，将点C 和点Q 代入， ⎪ ⎪ 3，解得： ， （ 5⎨- 6 = 19 s + t ⎨ 410 ⎧ 4 4⎪⎩ ⎧ x = 5 5 10⎪ t = ⎩ 3 则CQ 表达式为： y = - 4 x + 4 ，联立： ⎪ y = - x + 3 3 ⎪ ，解得 3 5 8 ，即点 P 坐标为( , )，综上： 3 35 8点 P 的坐标为（3，0）或( , ) .3 9⎨ ⎪⎩ y = x 2 - 4x + 3⎨ ⎪ y = - 8 3 9 ⎩ 9（3） 设点C 关于 BD 的对称点为C ' ， BD 中点为点 R ，直线 AC 与直线 BD 交于 N ' ，∴ R （3，1），设C （' p ，q ），由题意可求得：直线 AC 表达式为： y = -3x + 3 ，直线 BD 表达式为：y = 2x - 5 ，直线 BC 的表达式为： y = x -1 ，令-3x + 3 = 2x - 5 ，解得： x = 8 ，则 y= - 9 ，∴点 N ' 8 - 9) ， 点C 和C ' 关于5 5 5 513 10直线 BC 对称，∴CR = C 'R = 2BD = ， CN ' = C 'N ' = = ，则有 5 ⎪32 + 12 10 + + ⎪ 2 ( p - 3)2+ (q -1)2=( 5 )2， ⎛ p - 8 ⎫ 2⎛ 9 ⎫2 q ⎧ = ⎛ 3 10 ⎫ ，即⎪ p 2 - 6 p + q 2 - 2q + 5 = 0① 16 18 11 ，①-② 5 ⎪ 5 ⎪ 5 ⎪ ⎨ p 2 - p + q 2 + q + = 0② ⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎩⎪5 5 5⎧ p = 17 得： p = 1 - 2q ③，代入①，解得： q = - 6 或 0（舍），代入③中，得： p = 17 ，解得： ⎪ 5 ，即点⎨5 5 ⎪q = - 6⎩ 5C17 6 8 91 7 x y = 0 （' , - 5 ) ， N （' 5 , - ) ，求得直线C 'N ' 的表达式为： y = 5 5 x - ， 3 3点 F 在 轴上，令 ，则x = 7 ，∴点 F （7，0），又 点 F 和点G 关于直线BC 对称， BC ：y = x -1 ，连接CG ，可得∠BCF = 45︒ = ∠BCG ，∴∠FCG = 90︒ ，∴CG = CF = 6 ，∴点G 的坐标为（1, 6），又 A （0，3），∴ AG 的长为 = .【解析】（1）根据待定系数法求解即可.解： 抛物线过点C （1，0），∴将C （1，0）代入 y = x 2 + bx + 3 得0 = 1 + b + 3 ，解得b = -4 ，故答案为： -4 .（2） 分点Q 在CD 上方和点Q 在CD 下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解.（3） 设点C 关于 BD 的对称点为C ' ， BD 中点为点 R ，直线 AC 与直线 BD 交于 N ' ，设C （' p ，q ），利用点 R 到点C 和点C ' 的距离相等以及点 N ' 到点C 和点C ' 的距离相等，求出点C ' 的坐标，从而得到C 'N ' 直线的解析式，从而求出点 F 坐标，再利用点 F 和点G 关于直线 BC 对称，结合 BC 的表达式可求出点G 坐标， 最后得到 AG 的长.【考点】二次函数解析式，一次函数，三角函数，面积法，对称的性质。
2020年江苏省常州中考数学试卷附答案解析版
数学试卷 第 1 页（共 6 页）数学试卷 第 2 页（共 6 页）2 △ABD 绝密★启用前2020 年江苏省常州市初中学业水平考试数 学注意事项：1. 本试卷共 6 页.全卷满分 120 分.考试时间为 120 分钟.考生应将答案全部填写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.考试时不允许使用计算器.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息.3. 作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.2 的相反数是（）7.如图， AB 是 O 的弦，点C 是优弧 AB 上的动点（ C 不与 A 、B 重合），CH ⊥ AB ，垂足为 H ，点 M 是 BC 的中点．若 O 的半径是 3，则 MH 长的最大值是 （ ）A .3B .4C .5D .68. 如图，点 D 是OABC 内一点， CD 与 x 轴平行， BD 与 y 轴平行， BD =，∠ADB = 135︒ ， S = 2 ．若反比例函数 y = k ( x ＞0) 的图像经过 A 、 D 两点，则kx的值是 （）A . 2B .4C . 3D .6A . - 1 2B .1 C . 2D . -22 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．卡．相．应．位．置．上．）2.计算m 6 ÷ m 2 的结果是 （）9.计算： | -2 | +(π -1)0 = ．A. m 3B. m 4C. m 8D. m 1210.若代数式 1有意义，则实数 x 的取值范围是．3. 右图是某几何体的三视图，该几何体是 （）A. 圆柱B .三棱柱C .四棱柱D .四棱锥 4.8 的立方根是（） x -111. 地球半径大约是6 400 km ，将6 400 用科学记数法表示为 ．12.分解因式： x 3- x =．13. 若一次函数 y = kx + 2 的函数值 y 随自变量 x 增大而增大，则实数 k 的取值范围是． 14. 若关于 x 的方程 x 2 + ax - 2 = 0 有一个根是 1，则a = ．A .2 B. ±2 C. ±2 D .215.如图，在△ABC 中， BC 的垂直平分线分别交 BC 、 AB 于点 E 、 F ．若△AFC 是5. 如果 x ＜y ，那么下列不等式正确的是（）等边三角形，则∠B =°．A . 2x ＜2 y C . x -1＞y -1B . -2x ＜- 2 y D . x + 1＞y + 16. 如图，直线a 、b 被直线c 所截， a ∥b ， ∠1 = 140︒ ，则∠2 的度数是 （）A . 30︒B . 40︒C . 50︒D . 60︒16. 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形 ABCD 中， AB = 2 ，∠DAB = 120︒ ．如图，建立平面直角坐标系 xOy ，使222 2 在此卷上答题无效毕业学校姓名考生号⎩ 得边 AB 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，则点C 的坐标是．17. 如图，点 C 在线段 AB 上，且 AC = 2BC ，分别以 AC 、BC 为 边在线段 AB 的同侧作正方形 ACDE 、BCFG ，连接 EC 、EG ， 则tan ∠CEG =．（2）搅匀后先从中随机抽出 1 支签（不放回），再从余下的 2 支签中随机抽出 1 支签，求抽到的 2 支签上签号的和为奇数的概率．23.（本小题满分 8 分）已知：如图，点 A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA //FB ，EA = FB ，AB = CD ．（1）求证： ∠E = ∠F ；18.如图，在△ABC 中， ∠B = 45︒, AB = 6 ， D 、 E 分别是 AB 、（2）若∠A = 40︒ ， ∠D = 80︒ ，求∠E 的度数．AC 的中点，连接 DE ，在直线 DE 和直线 BC 上分别取点 F 、G ， 连接 BF 、DG ．若 BF = 3DG ，且直线 BF 与直线 DG 互相垂直， 则 BG 的长为．三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分，请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.（本小题满分 6 分）先化简，再求值： (x + 1)2 - x (x + 1) ，其中 x = 2 ． 20.（本小题满分 8 分）解方程和不等式组： （1） x + 2= 2 ；x -1 1 - x ⎧2x - 6 < 0, （2） ⎨-3x 6.21.（本小题满分 8 分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．（1） 本次抽样调查的样本容量是 ；（2） 补全条形统计图；（3） 该校共有2 000 名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22.（本小题满分 8 分）在 3 张相同的小纸条上分别标上 1、2、3 这 3 个号码，做成 3 支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出 1 支签，抽到 1 号签的概率是；数学试卷 第 3 页（共 6 页）24.（本小题满分 8 分）某水果店销售苹果和梨，购买 1 千克苹果和 3 千克梨共需 26 元，购买 2 千克苹果和 1 千克梨共需 22 元．（1） 求每千克苹果和每千克梨的售价；（2） 如果购买苹果和梨共 15 千克，且总价不超过 100 元，那么最多购买多少千克 苹果？25.（本小题满分 8 分）如图，正比例函数 y = kx 的图像与反比例函数 y =8( x ＞0) 的图x像交于点 A (a , 4) ．点 B 为 x 轴正半轴上一点，过 B 作 x 轴的垂线交反比例函数的图像于点C ，交正比例函数的图像于点 D ．（1） 求a 的值及正比例函数 y = kx 的表达式； （2） 若 BD = 10 ，求△ACD 的面积．26. （ 本小题满分 10 分） 如图 1 ， 点 B 在线段 CE 上， Rt △ABC ≌Rt △CEF ，∠ABC = ∠CEF = 90︒ ， ∠BAC = 30︒ ， BC = 1 ．（1） 点 F 到直线CA 的距离是；（2） 固定△ABC ，将△CEF 绕点C 按顺时针方向旋转30︒ ，使得CF 与CA 重合，并停止旋转．数学试卷 第 4 页（共 6 页）2数学试卷 第 5 页（共 6 页）数学试卷 第 6 页（共 6 页）①请你在图 1 中用直尺和圆规画出线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为 ；②如图 2，在旋转过程中，线段CF 与 AB 交于点O ，当OE = OB 时，求OF 的长．27.（本小题满分 10 分）如图 1， I 与直线a 相离，过圆心 I 作直线a 的垂线，垂足为H ，且交 I 于 P 、Q 两点（ Q 在 P 、H 之间）．我们把点 P 称为 I 关于直线a 的“远点”，把 PQ ⋅ PH 的值称为 I 关于直线a 的“特征数”．（1） 如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，点 E 的坐标为(0, 4)，半径为 1 的 O 与两坐标轴交于点 A 、 B 、C 、 D ．① 过点 E 画垂直于 y 轴的直线 m ， 则 O 关于直线 m 的“ 远点” 是点（填“ A ”、“ B ”、“ C ”或“ D ”）， O 关于直线m 的“特征数”为；28.（本小题满分 10 分）如图，二次函数 y = x 2 + bx + 3 的图像与 y 轴交于点 A ，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 B ，抛物线过点C (1, 0) ，且顶点为 D ，连接 AC 、 BC 、 BD 、CD ． （1）填空： b =；（2） 点 P 是抛物线上一点，点 P 的横坐标大于 1，直线 PC 交直线 BD 于点Q ．若∠CQD = ∠ACB ，求点 P 的坐标；（3） 点 E 在直线 AC 上，点 E 关于直线 BD 对称的点为 F ，点 F 关于直线 BC 对称的点为G ，连接 AG ．当点 F 在 x 轴上时，直接写出 AG 的长．②若直线n 的函数表达式为 y = 3x + 4 ，求 O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 经过点 M (1, 4) ，点 F 是坐标平面内一点，以F 为圆心， 为半径作 F ．若 F 与直线l 相离，点 N (-1, 0) 是 F 关于直 线l 的“远点”，且 F 关于直线l 的“特征数”是4 式．，求直线l 的函数表达2 5 在此卷上答题无效毕业学校姓名考生号2020 年江苏省常州市初中学业水平考试数学答案解析一、1.【答案】D【解析】根据相反数的概念解答即可．2 的相反数是-2 ，故选D．2.【答案】B【解析】直接利用同底数幂除法的运算法则解答即可．解：m6 ÷m2 =m6-2 =m4 ．故选：B．【考点】同底数幂除法3.【答案】C【解析】通过俯视图为圆得到几何体为柱体，然后通过主视图和左视图可判断几何体为四棱柱．解：由图可知：该几何体是四棱柱．故选：C．【考点】由三视图判断几何体4.【答案】D【解析】解：根据立方根的定义，由23 = 8 ，可得8 的立方根是2 故选：D．【考点】立方根．5.【答案】A【解析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、由x＜y 可得：2x＜2 y ，故选项成立；B、由x＜y 可得：-2x＞- 2 y ，故选项不成立；C、由x＜y 可得：x -1＜y -1 ，故选项不成立；D、由x＜y 可得：x + 1＜y + 1，故选项不成立；故选A.【考点】不等式的性质6.【答案】B2 2 2 【解析】先根据邻补角相等求得∠3 ，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．解： ∠1 + ∠3 = 180︒ ， ∠1 = 140︒ ，∴∠3 = 180︒ - ∠1 = 180︒ -140︒ = 40︒ . a ∥b ，∴∠2 = ∠3 = 40︒ ．故答案为B ．【考点】平行线的性质7. 【答案】A【解析】根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知 MH = 1BC ，当 BC 为直径时长2度最大，即可求解．解：∵CH ⊥ AB ，∴∠BHC = 90︒ . 在 Rt △BHC 中，点 M 是 BC 的中点，∴ MH = 1BC . BC 为 O 的2弦，∴当 BC 为直径时， MH 最大， O 的半径是 3，∴ MH 最大为 3．故选：A ．【考点】直角三角形斜边中线定理8. 【答案】D【解析】作 AE ⊥ BD 交 BD 的延长线于点 E ，作AF ⊥ x 轴于点 F ，计算出 AE 长度，证明△BCD ≌△AOF ， 得出 AF 长度，设出点 A 的坐标，表示出点 D 的坐标，使用 x D y D = x A y A ，可计算出k 值．作 AE ⊥ BD 交 BD 的延长线于点 E ，作 AF ⊥ x 轴于点 F . ∠ADB = 135︒ ，∴∠ADE = 45︒ ，∴△ADE 为等腰直角三角形. BD =， S ABD = 2 ，∴ S= 1BD ⋅ AE = 2 ，即 AE = 2 ，∴ DE = AE = 2 .△△ ABD 2BC = AO ，且 BC //AO ，CD //OF ，∴∠BCD = ∠AOF ，∴△BCD ≌△AOF ，∴ AF = BD =，∴ y D = 3 . 222m = (m - 2 2 ) ⋅ 3 ，解得：m = 3，∴k = 3 2 ⨯= 62 2设点A(m, 2 ) ，D(m - 2 2,3 2 ) ，∴2故选：D．【考点】反比例函数与几何图形的综合二、9.【答案】3【解析】根据绝对值和0 次幂的性质求解即可．原式= 2 1 = 3 ．故答案为：3．【考点】绝对值和0 次幂的性质．10.【答案】x ≠ 1【解析】分式有意义时，分母x -1 ≠ 0 ，据此求得x 的取值范围．解：依题意得：x -1 ≠ 0 ，解得x ≠ 1 ，故答案为：x ≠ 1 ．【考点】分式有意义的条件11.【答案】6.4 ⨯103【解析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a ⨯10n 的形式，其中1≤a ＜10 ，n 是比原整数位数少1 的数. 6 400=6.4 ⨯103.故答案为：6.4 ⨯103.【考点】科学记数法的表示方法12.【答案】x(x + 1)(x -1)【解析】解：原式=x(x2-1) =x(x + 1)(x -1)3) 13. 【答案】k ＞0【解析】直角利用一次函数增减性与系数的关系解答即可．解： 一次函数 y = kx + 2 的函数值 y 随自变量 x 增大而增大，∴ k ＞0 ．故答案为k ＞0 ．【考点】一次函数增减性与系数的关系14. 【答案】1【解析】根据一元二次方程的解的定义，把 x = 1 代入方程得到关于a 的一次方程，然后解此一次方程即可． 解：把 x = 1 代入方程 x 2 + ax - 2 = 0 得1 + a - 2 = 0 ，解得a = 1 ．故答案是：1． 【考点】一元二次方程的解15. 【答案】30【解析】根据垂直平分线的性质得到∠B = ∠BCF ，再利用等边三角形的性质得到∠AFC = 60︒ ，从而可得∠B . 解： EF 垂直平分 BC ， ∴ BF = CF ， ∴∠B = ∠BCF ， △ACF 为等边三角形， ∴∠AFC = 60︒ ，∴∠B = ∠BCF = 30︒ .故答案为：30.【考点】垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质16. 【答案】(2,【解析】根据菱形的性质可知 AD = AB = CD = 2 ， ∠OAD = 60︒ 由三角函数即可求出线段OD 的长度，即可得到答案．解： 四边形 ABCD 为菱形，AB = 2 ，∴ AD = AB = CD = 2 ，AB//CD ， ∠DAB = 120︒ ，∴∠DAO = 60︒ .在 Rt △DOA 中， sin 60︒= OD = AD 3 ，∴OD = 23 ，∴点C 的坐标是(2, ．故答案为： (2, ．【考点】平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质17. 【答案】 12【解析】设 BC = a ，则 AC = 2a ，然后利用正方形的性质求得CE 、CG 的长、∠GCD = ECD = 45︒ ，进而说3)3)2a 2 2a 2 明△ECG 为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．解：设 BC = a ，则 AC = 2a . 正方形 ACDE ，∴ EC == 2 2a ，∠ECD = 1 ∠ACD = 45 ， 2同理： CG = 2a ，∠GCD = 1 ∠BCD = 45 ∴tan ∠CEG = CG = = 1 ．故答案为 1． 2 CE 22【考点】正方形的性质和正切的定义18. 【答案】4 或 2【解析】分当点 F 在点 D 右侧时，当点 F 在点 D 左侧时，两种情况，分别画出图形，结合三角函数，勾股定理以及平行四边形的性质求解即可.解：如图，当点 F 在点 D 右侧时，过点 F 作 FM //DG ，交直线 BC 于点 M ，过点 B 作 BN ⊥ DE ，交直线DE 于点 N ， D , E 分别是 AB 和 AC 中点，AB = 6 ，∴ DE ∥BC ，BD = AD = 3 2 ，∠FBM = ∠BFD ，∴ 四 边 形 DGMF 为 平 行 四 边 形 ， 则 DG = FM ， DG ⊥ BF ， BF = 3DG ， ∴∠BFM = 90︒ ，∴tan ∠FBM=FM = 1 =tan ∠BFD ，∴ BN = 1， ∠ABC = 45︒ = ∠BDN ，∴△BDN 为等腰直角三角形， BF 3 FN 3∴ BN = DN = BD = 3 ，∴ FN = 3BN = 9 ，FB = GM = 6 ， BF = BN 2 + NF 2 =3 ，∴ FM = 1BF = 10 ， 3∴ BM = = 10 ，∴ BG = 10 - 6 = 4 ；(2a )2 + (2a )2 2 10 BF 2 + FM 292 + 32 10当点 F 在点 D 左侧时，过点 B 作 BN ⊥ DE ，交直线 DE 于 N ，过点 B 作 BM //DG ，交直线 DE 于 M ， 延长 FB 和 DG ，交点为 H ，可知： ∠H = ∠FBM = 90︒ ，四边形 BMDG 为平行四边形，∴ BG = MD ，BM = DG ， BF = 3DG ，∴tan ∠BFD =BM = DH = BN = 1，同理可得： △BDN 为等腰直角三角 BF FH FN 3形，BN = DN = 3 ，∴ FN = 3BN = 9 ，∴ BF = = 3 ，设 MN = x ，则 MD = 3 - x ，FM = 9 + x ，在 Rt △BFM 和 Rt △BMN 中，有 FM 2 - BF 2 = MN 2 + BN 2 ，即(9 + x )2- (3 10 )= x 2 + 32 ，解得： x = 1 ，即 MN = 1 ，∴ BG = MD = ND - MN = 2综上： BG 的值为 4 或 2.故答案为：4 或 2.【考点】等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平行四边形的判定和性质，勾股定理三、19.【答案】解： (x + 1)2 - x (x + 1)= x 2 + 1 + 2x- x 2 - x⎩= x + 1 将 x = 2 代入，原式= 3【解析】完全平方公式和单项式乘多项式，具体解题过程参照答案.【考点】整式的混合运算20.【答案】（1） x + 2= 2 ，去分母得： x －2=2x －2 ，解得x = 0 .经检验 x = 0 是分式方程的解. x -1 1 - x⎧2x - 6＜0，① （2） ⎨-3x ≤6，② 由①得： x ＜3 ，由②得： x ≥- 2 ，则不等式组的解集为-2≤x ＜3 . 【解析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解.（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分即可．【考点】分式方程与解不等式组21.【答案】（1）100（2）打乒乓球的人数为100 ⨯ 35% = 35 人，踢足球的人数为100 - 25 - 35 -15 = 25 人；补全条形统计图如图所示：（3）2000 ⨯ 15100= 300 人．【解析】（1）用条形统计图中最喜爱打排球的人数除以扇形统计图中最喜爱打排球的人数所占百分比即可求出本次抽样调查的样本容量.（2）用总人数乘以最喜爱打乒乓球的人数所占百分比即可求出最喜爱打乒乓球的人数，用总人数减去最喜爱其它三项运动的人数即得最喜爱踢足球的人数，进而可补全条形统计图.（3）用最喜爱打篮球的人数除以总人数再乘以2000 即可求出结果.【考点】条形统计图，扇形统计图，样本容量，利用样本估计总体22.【答案】（1）1 3（2）画树状图如下：所有等可能的情况有6 种，其中抽到的 2 支签上签号的和为奇数的有4种，∴抽到的2 支签上签号的和为奇数的概率为：4=2.6 3【解析】（1）由概率公式即可得出答案. 共有3 个号码，∴抽到1 号签的概率是1，故答案为：1.3 3 （2）画出树状图，得到所有等可能的情况，再利用概率公式求解即可．【考点】列表法与树状图法23.【答案】（1） AE//BF ，∴∠A =∠DBF ， AB =CD ，∴AB +BC =CD +BC ，即AC =BD ，又 AE =BF ，∴△ACE≌△BDF（SAS），∴∠E =∠F .（2）∴△ACE≌△BDF ，∴∠D =∠ACE = 80︒， ∠A = 40︒，∴∠E = 180︒-∠A -∠ACE = 60︒. 【解析】（1）根据已知条件证明△ACE≌△BDF ，即可得到结论.（2）根据全等三角形的性质得到∠D =∠ACE = 80︒，再利用三角形内角和定理求出结果.【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和⎩ ⎩ S 24. 【答案】（1）设每千克苹果售价 x 元，每千克梨 y 千克，由题意，得：⎧x + 3y = 26 ，解得： ⎧x = 8，⎨2x + y = 22 ⎨ y = 6答：每千克苹果售价 8 元，每千克梨 6 千克.（2）设购买苹果a 千克，则购买梨(15 - a ) 千克，由题意，得： 8a + 6(15 - a )≤100 ，解得： a ≤5 ，∴a 最大值为 5，答：最多购买 5 千克苹果．【解析】（1）设每千克苹果售价 x 元，每千克梨 y 千克，由题意列出 x 、 y 的方程组，解之即可.（2）设购买苹果a 千克，则购买梨(15 - a ) 千克，由题意列出a 的不等式，解之即可解答．【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用25. 【答案】（1）已知反比例函数解析式为 y =8，点 A (a , 4) 在反比例函数图象上，将点 A 坐标代入，解得xa = 2 ，故 A 点坐标为(2, 4) ，又 A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为 y = kx ，将点 A (2, 4) 代入正比例函数解析式中，解得k = 2 ，则正比例函数解析式为 y = 2x ．故a = 2 ； y = 2x ．2 x (b , 0) C 8 （ ）根据第一问的求解结果，以及 BD 垂直 轴，我们可以设 B 点坐标为，则 点坐标为(b , ) 、D 点 b坐标为(b , 2b ) ，根据 BD = 10 ，则2b = 10 ，解得b = 5 ，故点 B 的坐标为(5, 0) ，D 点坐标为(5,10) ，C 点坐8 标为(5, ) ，则在△ACD 中，= 1 ⨯ ⎛10 - 8 ⎫ ⨯ (5 - 2) = 63 ．故△ACD 的面积为 63 ．5 △ACD 2 5 ⎪ 5 5 ⎝ ⎭【解析】（1）已知反比例函数解析式，点 A 在反比例函数图象上，故a 可求；求出点 A 的坐标后，点 A 同时在正比例函数图象上，将点 A 坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设 B 点坐标为(b , 0) ，则 D 点坐标为(b , 2b ) ，根据 BD = 10 ，可求b 值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．【考点】解正比例函数及反比例函数解析式，待定系数法26. 【答案】（1）1（2）①线段 EF 经旋转运动所形成的平面图形如图 3 中的阴影所示：3 3⎛ 3 ⎫2在 Rt △CEF 中， ∠ECF = 30︒，EF = 1，∴CF = 2 ， CE = ，由旋转的性质可得： CF = CA = 2 ，CE = CG = ， ∠ACG = ∠ECF = 30︒ ，230π ⨯(3 )2∴ S=（S+ S ）－（S+ S ）= S －S= 30π ⨯ 2 -= π；故答 阴影π 案为： 12CEF.扇形ACF ACG扇形CEG 扇形ACF扇形CEG36036012②作 EH ⊥ CF 于点 H ，如图 4，在 Rt △EFH 中， ∠F = 60︒，EF = 1，∴ FH = 1 ， EH =3， 2 21 3 3 3 ∴CH =2 - = ，设OH = x ，则OC = - x ， OE 2 = EH 2 + OH 2= ⎪ + x 2 = + x 2 ，2 2 23⎝ 2 ⎭34⎛ 3⎫2OB = OE ，∴OB 2 = + x 2 ，在 Rt △BOC 中， OB 2 + BC 2 = OC 2 ,∴ + x 2 + 1 = - x ⎪，解得：4 x = 1 ，∴OF = 1 + 1 = 2．4 ⎝ 2 ⎭6 2 6 3【解析】（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF = ∠ECF = 30︒ ，即CF 是∠ACB 的平分线，然后根据角平分线的性质可得点 F 到直线CA 的距离即为 EF 的长，于是可得答案.∠BAC = 30︒，∠ABC = 90︒，∴∠ACB = 60︒， Rt△ABC≌Rt△CEF ，∴∠ECF =∠BAC = 30︒，EF =BC = 1 ，∴∠ACF = 30︒，∴∠ACF =∠ECF = 30︒，∴CF 是∠ACB 的平分线，∴点F 到直线CA 的距离=EF = 1；故答案为：1.（2）①易知E 点和F 点的运动轨迹是分别以CF 和CE 为半径、圆心角为30︒的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图 3 中，先解Rt△CEF 求出CF 和CE 的长，然后根据S阴影=（SCEF+S扇形ACF）－（SACG+S扇形CEG）即可求出阴影面积.②作EH ⊥ CF 于点H ，如图4，先解Rt△EFH 求出FH 和EH 的长，进而可得CH 的长，设OH =x ，则CO 和OE2 都可以用含x 的代数式表示，然后在Rt△BOC 中根据勾股定理即可得出关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，进一步即可求出结果．【考点】旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识27.【答案】（1） O 关于直线m 的“远点”是点D ， O 关于直线m 的“特征数”为DB·DE = 2 ⨯ 5 =10 .②如下图：过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交 O 于点P、Q ，直线n 的函数表达式为y = 3x + 4 ，当x = 0 时，y = 4 ；当y = 0 时，x =-4 3，∴直线n 经过点335 2E （0，4），点F （-4 3 ，在 Rt △EOF 中， 4 FO ，∴∠FEO = 30︒ ，，0） 3tan ∠FEO = = 3 =EO43∴∠EFO = 60︒ ，在 Rt △HOF 中， sin ∠HFO = HO ，∴ H O = FOsin ∠HFO ⋅ FO = 2 ，∴ PH = HO + OP = 3 ，∴ PQ ·PH = 2 ⨯ 3 = 6 ，∴ O 关于直线n 的“特征数”为 6； （2）如下图， 点 F 是圆心，点 N (-1, 0) 是“远点”，∴连接 NF 并延长，则直线 NF ⊥ 直线l ，设 NF 与直线l 的交点为点 A （m ，n ），设直线l 的解析式为 y = kx + b （k ≠ 0），将点 M (1, 4) 与 A （m ，n ）代入 y = kx + b 中， ⎧⎪4=k + b 1① ②-① 1⎨n = mk + b ②⎩⎪ 1得： n - 4 = mk - k ，③又 直线 NF ⊥ 直线l ，∴设直线 NF 的解析式为 y = - 1x + b （k ≠ 0），将点1 k 2⎧0= 1+ b ④1 ⎪ k2 1 mN (-1, 0) 与 A （m ，n ）代入 y = - x + b 中， ⎨ k m ④-⑤得： -n = + k k ，⑥联立方程③与方 ⎪n = - + b 2 ⑤⎧n - 4 = mk - k ⎪⎩k⎧ k 2 - 4k -1 m =⎪ ⎪ k 2 + 1 ∴ k 2 - 4k -1 4 - 2kF 程⑥，得： ⎨-n = 1 + m 解得： ⎨ 4 - 2k ， 点 A 的坐标为( k 2 + 1 ， 2 + 1 ) ；又 关于 ⎩⎪ k k ⎪n = ⎩ k k 2 + 1直线l 的“特征数”是4 ， F 的半径为 ，∴ NB ·NA = 4 ，即2 24 ⋅ NA = ，解得： NA = 10 ，35 2 5 ⎪5 10 ⎨⎧⎪m = k 2- 4k -12∴⎡⎣m-(-1)⎤⎦2+(n-0)2=(10)2，即(m +1)2 +n2=10 ，把⎪⎪n =⎩k +1代入，解得k =-3 或k = 1 ；4 - 2k 3k 2+ 1当k=-3时，m=2，n=1，∴点A 的坐标为（2，1），把点A（2，1）与点M (1, 4)代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为y =-3x + 7 ；当k =1时，m=-2，n=3，∴点A 的坐标为（-2，3），把点A（-2，3）与点3M (1, 4)代入y =kx +b 中，解得直线l 的解析式为y =1 x +11 ．∴直线l 的解析式为y =-3x + 7 或1 3 3y =1x +11.3 3【解析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O 作OH ⊥直线n ，垂足为点H ，交 O于点P、Q ，首先判断直线n也经过点E（0，4），在Rt△EOF中，利用三角函数求出∠EFO = 60︒，进而求出PH 的长，再根据“特征数”的定义计算即可.（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b，用待定系数法得到⎧⎪4=k +b1①，再根据两条直1⎨n =mk +b ②⎩⎪ 1线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k 互为负倒数的关系可设直线NF 的解析式为y =-1x +b ，用⎧0= 1+b ④k 2⎧n - 4 =mk -k⎪k 2待定系数法同理可得⎨m，消去b1和b2，得到关于m、n ⎪的方程组⎨-n =1+m；根据⎪n =-+b2 ⑤⎩⎪k k⎩⎪kF 关于直线l 的“特征数”是4 ，得出NA =，再利用两点之间的距离公式列出方程(m +1)2⎧⎪m =+n2= 10 ，把⎨k 2- 4k -1k 2+ 1 代入，求出k 的值，便得到m、n 的值即点A 的坐标，再根据待定⎪n =4 - 2k⎩⎪k2+1系数法求直线l 的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏．【考点】一次函数与圆的综合28.【答案】（1）-42 5 2 ⎛ 5 ⎫2 ⎝ a - + 2a - 5 2 ⎪⎭ ( ) 2 ⎩ ⎩ 1 2 （2）由（1）可得抛物线解析式为： y = x 2 - 4x + 3 ，当 x = 0 时， y = 3 ，∴ A 的坐标为（0，3），当y = 3 时得3 = x 2 - 4x + 3 ，解得 x = 0 ， x = 4 ，∴点 B 的坐标为（4，3）， y = x 2 - 4x + 3 = ( x - 2)2-1 ，∴顶点 D 的坐标为（2，-1），设 BD 与 x 轴的交点为 M ，作CH ⊥ AB 于 H ，DG ⊥ CM 于G ，∴tan ∠ACH = tan ∠OAC = 1，根据勾股定理可得 BC = 3 3， CD = ，BD = 2 ，∴ BD = ，∴∠BCD = 90︒ ，∴tan ∠CBD = 1，∴∠ACH = ∠CBM ， 3∠HCB = ∠BCM = 45︒ ，∴∠ACH + ∠HCB = ∠CBM + ∠MCB ，即∠ACB = ∠CMD ， Q 在CD 上方时：若∠CQD = ∠ACB ，则Q 与 M 点重合， y = x 2 - 4x + 3 中，令 y = 0 ，解得： x = 1 或 3，∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0），即此时 P 的坐标为（3，0）；Q 在CD 下方时：过点Q 作QK ⊥ x 轴，过点C 作CL ⊥ QM 于点 L ，过点 A 作 AN ⊥ BC 于点 N ，可得： AB = 4，BC = 3 2, AC =，设CN = x ，则BN = 3 - x ，在△ABC 中， AC 2 - CN 2 = AB 2 - BN 2 ，即( 10 )2- x 2 = 42 - (3 - x )2，解得：x = ，∴cos ∠ACN =CN= AC 5 ，设直线 BD 的表达式为： y = mx + n ，将 B , D 代入得：5⎧ 3 = 4m + n ，解得： ⎧ m = 2 ，∴直线 BD 的表达式为 y = 2m - 5 ，令 y = 0 ，则 x = 5 ，即点 M50），⎨-1 = 2m + n Q⎨n = -5QK = 5 - 2a （ ，2 2 CM = 3设点 坐标为（a ，2a - 5），则 ， 2， QM = ， 2 BC 2+ CD 210 2 2CQ 2 - KQ 2 5 ⎛ 8 ⎫2 ⎛ 9 ⎫21 - 5 ⎪ + - 5 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭( , ∠ACB = ∠CMD ，∠ACB = ∠CQD ，∴∠CMD = ∠CQD ，即CQ = CM = 3，2∴cos ∠CQD = cos ∠ACB = QL =5 ，∴QL = 3 5 ， QM = 3 5 ， CL = 3 5 在△CQM 中， CQ 5 10 10 101 CM ⋅ KQ = 1 QM ⋅ CL ，即 3 ⋅ KQ = 3 5 ⋅ 3 5，解得： KQ = 6 ，∴CK = = 9 ， 2 2 2 5 55⎧ 0 = s + t 10 ⎧s = - 4 ∴Q 19 , - 6) ，设直线CQ 表达式为： y = sx + t ，将点C 和点Q 代入， ⎪ ⎪ 3，解得： ， （ 5⎨- 6 = 19 s + t ⎨ 410 ⎧ 4 4⎪⎩ ⎧ x = 5 5 10⎪ t = ⎩ 3 则CQ 表达式为： y = - 4 x + 4 ，联立： ⎪ y = - x + 3 3 ⎪ ，解得 3 5 8 ，即点 P 坐标为( , )，综上： 3 35 8点 P 的坐标为（3，0）或( , ) .3 9⎨ ⎪⎩ y = x 2 - 4x + 3⎨ ⎪ y = - 8 3 9 ⎩ 9（3） 设点C 关于 BD 的对称点为C ' ， BD 中点为点 R ，直线 AC 与直线 BD 交于 N ' ，∴ R （3，1），设C （' p ，q ），由题意可求得：直线 AC 表达式为： y = -3x + 3 ，直线 BD 表达式为：y = 2x - 5 ，直线 BC 的表达式为： y = x -1 ，令-3x + 3 = 2x - 5 ，解得： x = 8 ，则 y= - 9 ，∴点 N ' 8 - 9) ， 点C 和C ' 关于5 5 5 513 10直线 BC 对称，∴CR = C 'R = 2BD = ， CN ' = C 'N ' = = ，则有 5 ⎪32 + 12 10 + + ⎪ 2 ( p - 3)2+ (q -1)2=( 5 )2， ⎛ p - 8 ⎫ 2⎛ 9 ⎫2 q ⎧ = ⎛ 3 10 ⎫ ，即⎪ p 2 - 6 p + q 2 - 2q + 5 = 0① 16 18 11 ，①-② 5 ⎪ 5 ⎪ 5 ⎪ ⎨ p 2 - p + q 2 + q + = 0② ⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎩⎪5 5 5⎧ p = 17 得： p = 1 - 2q ③，代入①，解得： q = - 6 或 0（舍），代入③中，得： p = 17 ，解得： ⎪ 5 ，即点⎨5 5 ⎪q = - 6⎩ 5C17 6 8 91 7 x y = 0 （' , - 5 ) ， N （' 5 , - ) ，求得直线C 'N ' 的表达式为： y = 5 5 x - ， 3 3点 F 在 轴上，令 ，则x = 7 ，∴点 F （7，0），又 点 F 和点G 关于直线BC 对称， BC ：y = x -1 ，连接CG ，可得∠BCF = 45︒ = ∠BCG ，∴∠FCG = 90︒ ，∴CG = CF = 6 ，∴点G 的坐标为（1, 6），又 A （0，3），∴ AG 的长为 = .【解析】（1）根据待定系数法求解即可.解： 抛物线过点C （1，0），∴将C （1，0）代入 y = x 2 + bx + 3 得0 = 1 + b + 3 ，解得b = -4 ，故答案为： -4 .（2） 分点Q 在CD 上方和点Q 在CD 下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解.（3） 设点C 关于 BD 的对称点为C ' ， BD 中点为点 R ，直线 AC 与直线 BD 交于 N ' ，设C （' p ，q ），利用点 R 到点C 和点C ' 的距离相等以及点 N ' 到点C 和点C ' 的距离相等，求出点C ' 的坐标，从而得到C 'N ' 直线的解析式，从而求出点 F 坐标，再利用点 F 和点G 关于直线 BC 对称，结合 BC 的表达式可求出点G 坐标， 最后得到 AG 的长.【考点】二次函数解析式，一次函数，三角函数，面积法，对称的性质。
2020年江苏省常州市中考数学试卷(有详细解析)
2020年江苏省常州市中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.2的相反数是()A. −2B. −12C. 12D. 22.计算m6÷m2的结果是()A. m3B. m4C. m8D. m123.如图是某几何体的三视图，该几何体是()A. 圆柱B. 三棱柱C. 四棱柱D. 四棱锥4.8的立方根为()A. 2√2B. ±2√2C. 2D. ±25.如果x<y，那么下列不等式正确的是()A. 2x<2yB. −2x<−2yC. x−1>y−1D. x+1>y+16.如图，直线a、b被直线c所截，a//b，∠1=140°，则∠2的度数是()A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°7.如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A、B重合)，CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是()A. 3B. 4C. 5D. 68.如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=√2，∠ADB=135°，S△ABD=2.若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过A、D两点，则k的值是()A. 2√2B. 4C. 3√2D. 6二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9.计算：|−2|+(π−1)0=______．10.若代数式1x−1有意义，则实数x的取值范围是______．11.地球的半径大约为6400km.数据6400用科学记数法表示为______．12.分解因式：x3−x=_________13.若一次函数y=kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是______．14.若关于x的方程x2+ax−2=0有一个根是1，则a=______．15.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形，则∠B=______°.16.数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=120°.如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是______．17.如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG=______．18.如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=6√2，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG.若BF=3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19.解方程和不等式组：(1)xx−1+21−x=2；(2){2x−6<0−3x≤6．四、解答题（本大题共9小题，共76.0分）20.先化简，再求值：(x+1)2−x(x+1)，其中x=2．21.为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．(1)本次抽样调查的样本容量是______；(2)补全条形统计图；(3)该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22.在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．(1)搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是______；(2)搅匀后先从中随机抽出1支签(不放回)，再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23.已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA//FB，EA=FB，AB=CD．(1)求证：∠E=∠F；(2)若∠A=40°，∠D=80°，求∠E的度数．24.某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．(1)求每千克苹果和每千克梨的售价；(2)如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？(x>25.如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=8x0)的图象交于点A(a,4).点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．(1)求a的值及正比例函数y=kx的表达式；(2)若BD=10，求△ACD的面积．26.如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，∠BAC=30°，BC=1．(1)点F到直线CA的距离是______；(2)固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形(用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法).该图形的面积为______；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE=OB时，求OF的长．27.如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点(Q在P、H之间).我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ⋅PH的值称为⊙I 关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为(0,4).半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点______(填“A”.“B”、“C”或“D”)，⊙O关于直线m的“特征数”为______；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4.求⊙O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(1,4)，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F.若⊙F与直线1相离，点N(−1,0)是⊙F关于直线1的“远点”.且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．28.如图，二次函数y=x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C(1,0)，且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．(1)填空：b=______；(2)点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q.若∠CQD=∠ACB，求点P的坐标；(3)点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG.当点F在x轴上时，直接写出AG的长．答案和解析1. A解：2的相反数是−2．2. B解：m 6÷m 2=m 6−2=m 4．3. C解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形， 则可得出该几何体是四棱柱．4. C解：8的立方根是√83=√233=2，5. A解：∵x <y ，∴2x <2y ，故本选项符合题意；B 、∵x <y ，∴−2x >−2y ，故本选项不符合题意；C 、∵x <y ，∴x −1<y −1，故本选项不符合题意；D 、∵x <y ，∴x +1<y +1，故本选项不符合题意；6. B解：∵∠1+∠3=180°，∠1=40°，∴∠3=180°−∠1=180°−140°=40°∵a//b ，∴∠2=∠3=40°．解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB=90°，∵点M是BC的中点．BC，∴MH=12∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，8.D解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA//BC，OA=BC，∴∠AOM=∠CNM，∵BD//y轴，∴∠CBD=∠CNM，∴∠AOM=∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB=90°，BE⊥AM，∴∠CDB=∠AMO，∴△AOM≌△CBD(AAS)，∴OM=BD=√2，BD⋅AE=2，BD=√2，∵S△ABD=12∴AE=2√2，∵∠ADB=135°，∴∠ADE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=2√2，∴D的纵坐标为3√2，设A(m,√2)，则D(m−2√2,3√2)，(x>0)的图象经过A、D两点，∵反比例函数y=kx∴k=√2m=(m−2√2)×3√2，解得m=3√2，∴k=√2m=6．9.3解：|−2|+(π−1)0=2+110.x≠1解：依题意得：x−1≠0，解得x≠1，11.6.4×103解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．12.x(x+1)(x−1)解：x3−x，=x(x2−1)，=x(x+1)(x−1)．13.k>0解：∵一次函数y=kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k>0．14.1解：∵关于x的方程x2+ax−2=0有一个根是1，∴把x=1代入方程得：1+a−2=0，解得：a=1，15.30解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°．16.(2,√3)解：∵四边形ABCD是菱形，且AB=2，∴CD=AD=AB=2，∵∠DAB=120°，∴∠OAD=60°，Rt△AOD中，∠ADO=30°，∴OA=12AD=12×2=1，OD=√22−12=√3，∴C(2,√3)，17.12解：连接CG，在正方形ACDE、BCFG中，∠ECA=∠GCB=45°，∴∠ECG=90°，设AC=2，BC=1，∴CE=2√2，CG=√2，∴tan∠GEC=CGEC =12，18.4解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG//BT，∵AD=DB，AE=EC，∴DE//BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG=DT，DG=BT，∠BDH=∠ABC=45°，∵AD=DB=3√2，∴BH=DH=3，∵∠TBF=∠BHF=90°，∴∠TBH+∠FBH=90°，∠FBH+∠F=90°，∴∠TBH=∠F，∴tan∠F=tan∠TBH=BTBF =DGBF=13，∴THBH =13，∴TH=1，∴DT=TH+DH=1+3=4，∴BG=4．19. 解：(1)方程两边都乘以x −1得：x −2=2(x −1)，解得：x =0，检验：把x =0代入x −1得：x −1≠0，所以x =0是原方程的解，即原方程的解是：x =0；(2){2x −6<0 ①−3x ≤6 ②， ∵解不等式①得：x <3，解不等式②得：x ≥−2，∴不等式组的解集是：−2≤x <3．20. 解：(x +1)2−x(x +1)=x 2+2x +1−x 2−x=x +1，当x =2时，原式=2+1=3．21. 100解：(1)本次抽样调查的总人数是：25÷25%=100(人)，则样本容量是100；故答案为：100；(2)打乒乓球的人数有：100×35%=35(人)，踢足球的人数有：100−25−35−15=25(人)，补全统计图如下：(3)根据题意得：2000×15100=300(人)，答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．22. 13解：(1)共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为13，故答案为：13；(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，∴P (和为奇数)=46=23．23. 证明：(1)∵EA//FB ，∴∠A =∠FBD ，∵AB =CD ，∴AB +BC =CD +BC ，即AC =BD ，在△EAC 与△FBD 中，{EA =FB ∠A =∠FBD AC =BD，∴△EAC≌△FBD(SAS)，∴∠E =∠F ；(2)∵△EAC≌△FBD ，∴∠ECA =∠D =80°，∵∠A =40°，∴∠E =180°−40°−80°=60°，答：∠E 的度数为60°．24. 解：(1)设每千克苹果的售价为x 元，每千克梨的售价为y 元，依题意，得：{x +3y =262x +y =22， 解得：{x =8y =6． 答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．(2)设购买m 千克苹果，则购买(15−m)千克梨，依题意，得：8m +6(15−m)≤100，解得：m≤5．答：最多购买5千克苹果．25.解：(1)把点A(a,4)代入反比例函数y=8x(x>0)得，a=84=2，∴点A(2,4)，代入y=kx得，k=2，∴正比例函数的关系式为y=2x，答：a=2，正比例函数的关系式为y=2x；(2)当BD=10=y时，代入y=2x得，x=5，∴OB=5，当x=5代入y=8x 得，y=85，即BC=85，∴CD=BD−BC=10−85=425，∴S△ACD=12×425×(5−2)=12.6，26.1 π12解：(1)如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，∠BAC=30°，BC=1．∴∠ACB=60°，∠FCE=∠BAC=30°，AC=CF，∴∠ACF=30°，∴∠BAC=∠FCD，在△ABC和△CDF中，{∠BAC=∠FCD ∠ABC=∠CDF AC=CF，∴△ABC≌△CDF(AAS)，∴FD=BC=1，故答案为1；(2)线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S 阴=S △EFC +S 扇形ACF −S 扇形CEH −S △AHC =S 扇形ACF −S 扇形ECH =30⋅π⋅22360−30⋅π⋅(√3)2360=π12． 故答案为π12． (3)如图2中，过点E 作EH ⊥CF 于H.设OB =OE =x ．在Rt △ECF 中，∵EF =1，∠ECF =30°，EH ⊥CF ，∴EC =√3EF =√3，EH =√32，CH =√3EH =32， 在Rt △BOC 中，OC =√OB 2+BC 2=√1+x 2，∴OH =CH =OC =32−√1+x 2， 在Rt △EOH 中，则有x 2=(√32)2+(32−√1+x 2)2， 解得x =√73或−√73(不合题意舍弃)， ∴OC =(√73)=43， ∵CF =2EF =2，∴OF =CF −OC =2−43=23．27. D 20解：(1)①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数=DB⋅DE=2×5=20，故答案为D，20．②如图1−1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y=√3x+4交x轴于F(−4√33,0)，交y轴于E(0,4)，∴OE=4，OF=4√33∴tan∠FEO=OFOE =√33，∴∠FEO=30°，∴OH=12OE=2，∴PH=OH+OP=3，∴⊙O关于直线n的“特征数”=PQ⋅PH=2×3=6．(2)如图2−1中，设直线l的解析式为y=kx+b．当k>0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN=2√2，EN⋅NH=4√5，∴NH=√10，∵N(−1,0)，M(1,4)，∴MN=√22+42=2√5，∴HM =√MN 2−NH 2=√20−10=√10，∴△MNH 是等腰直角三角形，∵MN 的中点K(0,2)，∴KN =HK =KM =√5，∴H(−2,3)，把H(−2,3)，M(1,4)代入y =kx +b ，则有{k +b =4−2k +b =3， 解得{k =13b =113， ∴直线l 的解析式为y =13x +113，当k <0时，同法可知直线i 经过H′(2,1)，可得直线l 的解析式为y =−3x +7．综上所述，满足条件的直线l 的解析式为y =13x +113或y =−3x +7．28. −4解：(1)∵抛物线y =x 2+bx +3的图象过点C(1,0)，∴0=1+b +3，∴b =−4，故答案为：−4；(2)∵b =4，∴抛物线解析式为y =x 2−4x +3∵抛物线y =x 2−4x +3的图象与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ， ∴点A(0,3)，3=x 2−4x ，∴x 1=0(舍去)，x 2=4，∴点B(4,3)，∵y =x 2−4x +3=(x −2)2−1，∴顶点D 坐标(2,−1)，如图1，当点Q 在点D 上方时，过点C 作CE ⊥AB 于E ，设BD 与x 轴交于点F ，∵点A(0,3)，点B(4,3)，点C(1,0)，CE ⊥AB ，∴点E(1,3)，CE =BE =3，AE =1，∴∠EBC =∠ECB =45°，tan∠ACE =AE EC =13，∴∠BCF =45°，∵点B(4,3)，点C(1,0)，点D(2,−1)， ∴BC =√9+9=3√2，CD =√1+1=√2，BD =√(4−2)2+(3+1)2=2√5， ∵BC 2+CD 2=20=BD 2，∴∠BCD =90°，∴tan∠DBC =CD BC =√23√2=13=tan∠ACE ， ∴∠ACE =∠DBC ，∴∠ACE +∠ECB =∠DBC +∠BCF ，∴∠ACB =∠CFD ，又∵∠CQD =∠ACB ，∴点F 与点Q 重合，∴点P 是直线CF 与抛物线的交点，∴0=x 2−4x +3，∴x 1=1，x 2=3，∴点P(3,0)；当点Q 在点D 下方上，过点C 作CH ⊥DB 于H ，在线段BH 的延长线上截取HF =QH ，连接CQ 交抛物线于点P ，∵CH ⊥DB ，HF =QH ，∴CF =CQ ，∴∠CFD =∠CQD ，∴∠CQD =∠ACB ，∵CH ⊥BD ，∵点B(4,3)，点D(2,−1)，∴直线BD 解析式为：y =2x −5，∴点F(52,0)， ∴直线CH 解析式为：y =−12x +12，∴{y =−12x +12y =2x −5， 解得{x =115y =−35，∴点H 坐标为(115,−35)， ∵FH =QH ， ∴点Q(1910,−65)，∴直线CQ 解析式为：y =−43x +43，联立方程组{y =−43x +43y =x 2−4x +3， 解得：{x 1=1y 1=0或{x 2=53y 2=−89， ∴点P(53,−89)； 综上所述：点P 的坐标为(3,0)或(53,−89)； (3)如图，设直线AC 与BD 的交点为N ，作CH ⊥BD 于H ，过点N 作MN ⊥x 轴，过点E 作EM ⊥MN ，连接CG ，GF ，∵点A(0,3)，点C(1,0)，∴直线AC 解析式为：y =−3x +3，∴{y =−3x +3y =2x −5， ∴{x =85y =−95， ∴点N 坐标为(85,−95)，∵点H 坐标为(115,−35)，∴CH 2=(115−1)2+(35)2=95，HN 2=(115−85)2+(−35+95)2=95，∴CH =HN ，∴∠CNH=45°，∵点E关于直线BD对称的点为F，∴EN=NF，∠ENB=∠FNB=45°，∴∠ENF=90°，∴∠ENM+∠FNM=90°，又∵∠ENM+∠MEN=90°，∴∠MEN=∠FNM，∴△EMN≌△NKF(AAS)∴EM=NK=95，MN=KF，∴点E的横坐标为−15，∴点E(−15,185)，∴MN=275=KF，∴CF=85+275−1=6，∵点F关于直线BC对称的点为G，∴FC=CG=6，∠BCF=∠GCB=45°，∴∠GCF=90°，∴点G(1,6)，∴AG=√12+(6−3)2=√10．。
2020年江苏省常州市中考数学原题试卷附解析
2020年江苏省常州市中考数学原题试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为（ ） A ．815B ． 1C ．43D ．852．在□ABCD 中，AB+BC=11cm ，∠B=30°，S ABCD =15cm 2，则AB 与BC 的值可能是（ ） A ．5cm 和6cmB ．4cm 和7cmC ．3cm 和8cmD ．2cm 和9cm3．关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．21 D ．1或1-4．如图，学校的保管室里，有一架5 m 长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角为45°．如果梯子底端0固定不动，顶端靠到对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60°，则此保管室的宽度AB 为（ ） A ．5(21)2+mB ．5(32)2+m C ．32D ．5(31)2+ m5．已知a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．33a b +>+B ．22a b >C ．a b -<-D ．0a b -<6．下列调查方式中，不合适的是（ ）A ．了解2008年5月18日晚中央也视台“爱的奉献”抗震救灾文艺晚会的收视率，采用抽查的方式B ．了解某渔场中青鱼的平均重量，采用抽查的方式C ．了解某型号联想电脑的使用寿命，采用普查的方式D ．了解一批汽车的刹车性能，采用普查的方式7．如图，在等边△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高，它们相交于点0，则∠BOC 等于（ ） A ．100°B ．ll0°C ．120°D ．130°8．下列图形中，∠l 与∠2不是同位角的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为 l~10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答.在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号和7号题，第 3位选手抽中 8号题的概率是（ ） A ．110B ．19C ．18D ．1710．如图①，有 6 张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图③摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是（ ）A ．12B ．13C ．23D ．1611．如图是某校食堂甲、乙、丙、丁四种午餐受欢迎程度的扇形统计图，则最受欢迎的午餐是 （ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁二、填空题12．定义算法：a bad bc c d=-，则满足4232x ≤的x 的取值范围是 ．13．如图所示是一个可以自由转动的转盘，转盘停下来时，当指针指向几，就按顺时针方向跳几步. 例如，当指针指向“2”时，使它顺时针跳 2 步，最终停在“4”上. 按照以上规则，试说明下列各个事件分别属于哪种事件： (1)指针最终停在数字“5”上是 事件；图 2丙25％丁30％乙25％甲20％(2)指针最终停在数字“6”上是事件；(3)指针最终停在的数字为偶数是事件.14．如图，是某煤气公司的商标图案，外层可以视为利用图形的设计而成的，内层可以视为利用图形的设计而成的．15．一个两位数的十位数字与个位数字之和等于5，十位数字与个位数字之差为1，设十位数字为x，个位数字为y，则用方程组表示上述语言为．16．如图，将△ABC沿CA方向平移CA长，得△EFA，若△ABC的面积为3cm2，则四边形BCEF的面积是__________cm2．17．如图，已知△ABC中的∠C=50°，则放大镜下△ABC中∠C=_______．18．已知一个长方形的边长为a、b，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 .19．用笔尖扎重叠的纸得到如图成轴对称的两个图案，在图中找出：(1)两对对应点，；(2)两组对应线段，；(3)两组对应角，．20．在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a☆b=11b+，根据这个规则x☆3(1)2xx+=的解为 .解答题21．在Rt △ABC 中，∠C=90°,已知a 边及∠A ，则b= ．22．如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的21．。
2020年江苏省常州市中考数学试卷(含解析)
2020年江苏省常州市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣C．D．22．计算m6÷m2的结果是（）A．m3B．m4C．m8D．m123．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥4．8的立方根为（）A．B．C．2 D．±25．如果x＜y，那么下列不等式正确的是（）A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+16．如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A．2B．4 C．3D．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9．（计算：|﹣2|+（π﹣1）0＝．10．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．11．地球的半径大约为6400km．数据6400用科学记数法表示为．12．分解因式：x3﹣x＝．13．若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是．14．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝．15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．16．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．17．如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝．18．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为．三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．20．（8分）解方程和不等式组：（1）+＝2；（2）．21．（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图．（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数．22．（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．23．（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．24．（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？25．（8分）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．26．（10分）如图1，点B在线段CE上，Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．（1）点F到直线CA的距离是；（2）固定△ABC，将△CEF绕点C按顺时针方向旋转30°，使得CF与CA重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OE＝OB时，求OF的长．27．（10分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．28．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．（1）填空：b＝；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F 在x轴上时，直接写出AG的长．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：2的相反数是﹣2．故选：A．2．【解答】解：m6÷m2＝m6﹣2＝m4．故选：B．3．【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱．故选：C．4．【解答】解：8的立方根是＝＝2，故选：C．5．【解答】解：A、∵x＜y，∴2x＜2y，故本选项符合题意；B、∵x＜y，∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意；C、∵x＜y，∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意；D、∵x＜y，∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意；故选：A．6．【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝40°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°∵a∥b，∴∠2＝∠3＝40°．故选：B．7．【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3，故选：A．8．【解答】解：作AM⊥y轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，OA＝BC，∴∠AOM＝∠CNM，∵BD∥y轴，∴∠CBD＝∠CNM，∴∠AOM＝∠CBD，∵CD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠CDB＝90°，BE⊥AM，∴∠CDB＝∠AMO，∴△AOM≌△CBD（AAS），∴OM＝BD＝，∵S△ABD＝＝2，BD＝，∴AE＝2，∵∠ADB＝135°，∴∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2，∴D的纵坐标为3，设A（m，），则D（m﹣2，3），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A、D两点，∴k＝m＝（m﹣2）×3，解得m＝3，∴k＝m＝6．故选：D．二、填空题9．【解答】解：|﹣2|+（π﹣1）0＝2+1＝3，故答案为：3．10．【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，解得x≠1，故答案为：x≠1．11．【解答】解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．故答案为：6.4×103．12．【解答】解：x3﹣x，＝x（x2﹣1），＝x（x+1）（x﹣1）．故答案为：x（x+1）（x﹣1）．13．【解答】解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而增大，∴k＞0．故答案为：k＞0．14．【解答】解：∵关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，∴把x＝1代入方程得：1+a﹣2＝0，解得：a＝1，故答案为：1．15．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：30．16．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB＝2，∴CD＝AD＝AB＝2，∵∠DAB＝120°，∴∠OAD＝60°，Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OA＝AD＝＝1，OD＝＝，∴C（2，），故答案为：（2，）．17．【解答】解：连接CG，在正方形ACDE、BCFG中，∠ECA＝∠GCB＝45°，∴∠ECG＝90°，设AC＝2，BC＝1，∴CE＝2，CG＝，∴tan∠GEC＝＝，故答案为：．18．【解答】解：如图，过点B作BT⊥BF交ED的延长线于T，过点B作BH⊥DT于H．∵DG⊥BF，BT⊥BF，∴DG∥BT，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴四边形DGBT是平行四边形，∴BG＝DT，DG＝BT，∠BDH＝∠ABC＝45°，∵AD＝DB＝3，∴BH＝DH＝3，∵∠TBF＝∠BHF＝90°，∴∠TBH+∠FBH＝90°，∠FBH+∠F＝90°，∴∠TBH＝∠F，∴tan∠F＝tan∠TBH＝＝＝，∴＝，∴TH＝1，∴DT＝TH+DH＝1+3＝4，∴BG＝4．当点F在ED的延长线上时，同法可得DT＝BG＝3﹣1＝2．故答案为4或2．三、解答题19．【解答】解：（x+1）2﹣x（x+1）＝x2+2x+1﹣x2﹣x＝x+1，当x＝2时，原式＝2+1＝3．20．【解答】解：（1）方程两边都乘以x﹣1得：x﹣2＝2（x﹣1），解得：x＝0，检验：把x＝0代入x﹣1得：x﹣1≠0，所以x＝0是原方程的解，即原方程的解是：x＝0；（2），∵解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥﹣2，∴不等式组的解集是：﹣2≤x＜3．21．【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数是：25÷25%＝100（人），则样本容量是100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数有：100×35%＝35（人），踢足球的人数有：100﹣25﹣35﹣15＝25（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：2000×＝300（人），答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人．22．【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，∴P（和为奇数）＝＝．23．【解答】证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC与△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS），∴∠E＝∠F；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E的度数为60°．24．【解答】解：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．（2）设购买m千克苹果，则购买（15﹣m）千克梨，依题意，得：8m+6（15﹣m）≤100，解得：m≤5．答：最多购买5千克苹果．25．【解答】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y＝（x＞0）得，a＝＝2，∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，∴正比例函数的关系式为y＝2x，答：a＝2，正比例函数的关系式为y＝2x；（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，∴OB＝5，当x＝5代入y＝得，y＝，即BC＝，∴CD＝BD﹣BC＝10﹣＝，∴S△ACD＝××（5﹣2）＝12.6，26．【解答】解：（1）如图1中，作FD⊥AC于D，∵Rt△ABC≌Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．∴∠ACB＝60°，∠FCE＝∠BAC＝30°，AC＝CF，∴∠ACF＝30°，∴∠BAC＝∠FCD，在△ABC和△CDF中，，∴△ABC≌△CDF（AAS），∴FD＝BC＝1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处．S阴＝S△EFC+S扇形ACF﹣S扇形CEH﹣S△AHC＝S扇形ACF﹣S扇形ECH＝﹣＝．故答案为．（3）如图2中，过点E作EH⊥CF于H．设OB＝OE＝x．在Rt△ECF中，∵EF＝1，∠ECF＝30°，EH⊥CF，∴EC＝EF＝，EH＝，CH＝EH＝，在Rt△BOC中，OC＝＝，∴OH＝CH﹣OC＝﹣，在Rt△EOH中，则有x2＝（）2+（﹣）2，解得x＝或﹣（不合题意舍弃），∴OC＝＝，∵CF＝2EF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2﹣＝．27．【解答】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝20，故答案为D，20．②如图1﹣1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．设直线y＝x+4交x轴于F（﹣，0），交y轴于E（0，4），∴OE＝4，OF＝∴tan∠FEO＝＝，∴∠FEO＝30°，∴OH＝OE＝2，∴PH＝OH+OP＝3，∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．（2）如图2﹣1中，设直线l的解析式为y＝kx+b．当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．由题意，EN＝2，EN•NH＝4，∴NH＝，∵N（﹣1，0），M（1，4），∴MN＝＝2，∴HM＝＝＝，∴△MNH是等腰直角三角形，∵MN的中点K（0，2），∴KN＝HK＝KM＝，∴H（﹣2，3），把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y＝x+，当k＜0时，同法可知直线i经过H′（2，1），可得直线l的解析式为y＝﹣3x+7．综上所述，满足条件的直线l的解析式为y＝x+或y＝﹣3x+7．28．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），∴0＝1+b+3，∴b＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵b＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，∴x1＝0（舍去），x2＝4，∴点B（4，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点D坐标（2，﹣1），如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，∴∠BCF＝45°，∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），∴BC＝＝3，CD＝＝，BD＝＝2，∵BC2+CD2＝20＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠DBC＝＝＝＝tan∠ACE，∴∠ACE＝∠DBC，∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，∴∠ACB＝∠CFD，又∵∠CQD＝∠ACB，∴点F与点Q重合，∴点P是直线CF与抛物线的交点，∴0＝x2﹣4x+3，∴x1＝1，x2＝3，∴点P（3，0）；当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，∵CH⊥DB，HF＝QH，∴CF＝CQ，∴∠CFD＝∠CQD，∴∠CQD＝∠ACB，∵CH⊥BD，∵点B（4，3），点D（2，﹣1），∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，∴点F（，0），∴直线CH解析式为：y＝﹣x+，∴，解得，∴点H坐标为（，﹣），∵FH＝QH，∴点Q（，﹣），∴直线CQ解析式为：y＝﹣x+，联立方程组，解得：或，∴点P（，﹣）；综上所述：点P的坐标为（3，0）或（，﹣）；（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，∵点A（0，3），点C（1，0），∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，∴，∴，∴点N坐标为（，﹣），∵点H坐标为（，﹣），∴CH2＝（﹣1）2+（）2＝，HN2＝（﹣）2+（﹣+）2＝，∴CH＝HN，∴∠CNH＝45°，∵点E关于直线BD对称的点为F，∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，∴∠ENF＝90°，∴∠ENM+∠FNM＝90°，又∵∠ENM+∠MEN＝90°，∴∠MEN＝∠FNM，∴△EMN≌△NKF（AAS）∴EM＝NK＝，MN＝KF，∴点E的横坐标为﹣，∴点E（﹣，），∴MN＝＝KF，∴CF＝+﹣1＝6，∵点F关于直线BC对称的点为G，∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，∴∠GCF＝90°，∴点G（1，6），∴AG＝＝。