1.3.1三角函数的诱导公式(一)

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三角函数的诱导公式1

§1.3.1 三角函数的诱导公式（第1课时）[教学重点]：用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化为已知问题的思想方法.[教学难点]：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法.[教学过程]：一、课前导语利用§1.2中的诱导公式一可以把任意角的三角函数值化为02π 的角的三角函数值，但是像5sin 6π，cos π76等的三角函数值又如何求出呢？我们继续探讨其他几组诱导公式，是使任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值.二、自主学习1.几组诱导公式①回顾公式一：sin(2)ακπ+⋅=________；cos(2)ακπ+⋅=________； tan(2)ακπ+⋅=_________. 其中κ∈Z②公式二：sin()πα+=_________； cos()πα+=_________； tan()πα+=_________.③公式三：sin()α-= _________； cos()α-=_________； tan()α-= _________.④公式四：sin()πα-=_________； cos()πα-=_________； tan()πα-=_________.2.以上诱导公式一～公式四可以概括如下：2()ακπκ+∈Z ,α-,πα±的三角函数值,等于α的______________,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.3.利用诱导公式求任意角的三角函数值,步骤如下:任意角的三角函数_____________−−−−−−−→利用任意的三角函数_____________−−−−−−−→利用 02π 的三角函数_____________−−−−−−−→利用锐角三角函数.三、例题讲解例1.利用公式求下列三角函数值：⑴cos 225 ； ⑵11sin3π ； ⑶16sin()3π-； ⑷cos(2040)-例2.化简cos(180)sin(360)sin(180)cos(180)αααα++---- .四、课堂反馈1.把下列函数值表示成锐角三角函数值.（1）sin155 ; (2) cos 210 ; (3)tan(324)- .2. 11tan()6π的值是（）A.五、小结本节课学习了四个诱导公式，要求掌握并能够应用四个诱导公式解决一些三角函数求值、化简和证明问题.。

高中数学三角函数的诱导公式(一)素材新人教A版必修

1.3.1三角函数的诱导公式命题方向1 求值问题利用诱导公式求任意角三角函数的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．[特别提醒] 牢记0°，30°，45°，60°，90°角的正弦、余弦和正切值对给角求值问题很重要！求下列三角函数值：(1)sin960°；(2)cos(－43π6)． [分析] 先将不是[0°，360°)范围内角的三角函数，转化为[0°，360°)范围内的角的三角函数(利用诱导公式一)，或先将负角转化为正角，然后再用诱导公式化到[0°，90°]范围内的三角函数的值．[解析] (1)sin960°＝sin(960°－720°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32. (2)cos(－43π6)＝cos 43π6＝cos(7π6＋6π)＝cos 7π6＝cos(π6＋π)＝－cos π6＝－32.[点评] 用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为[0°，360°)内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”(有时也直接化到锐角求值)．解决条件求值问题策略解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．[解析] ∵sin(π＋α)＝－sin α，∴sin α＝13， ∴cos α＝±1－cos2α＝±1－(13)2＝±223又∵cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝±223. 命题方向2 三角函数式的化简问题三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用．化简：(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；(2)sin2(α＋π)cos(π＋α)tan(π－α)cos3(－α－π)tan(－α－2π). [分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．[解析] (1)原式＝(－sin α)·cos(π＋α)·tan α＝－sin α·(－cos α)·sin αcos α＝sin2α.(2)原式＝(－sin α)2·(－cos α)(－tan α)·(－cos α)3·(－tan α)＝－sin2αcos α－tan2α·cos3α＝1. 命题方向3 三角函数式的证明问题三角函数关系式的证明方法证明简单的三角函数关系式常用的途径有(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．(2)证明左边＝A ，右边＝A ，则左边＝右边，这里的A 起着桥梁的作用．(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或左边右边＝1.设tan(α＋87π)＝m.求证：sin(157π＋α)＋3cos(α－137π)sin(20π7－α)－cos(α＋227π)＝m ＋3m ＋1. [分析] 本题主要考查诱导公式，从已知角的关系入手，将所求各角用α＋87π表示，然后用诱导公式和三角函数关系式求解．[解析]左边＝sin[π＋(87π＋α)]＋3cos[(α＋8π7)－3π]sin[4π－(α＋87π)]－cos[2π＋(α＋8π7)] ＝－sin(α＋8π7)－3cos(α＋8π7)－sin(α＋8π7)－cos(α＋8π7) ＝tan(α＋87π)＋3tan(π＋87π)＋1 ＝m ＋3m ＋1＝右边．∴等式成立．[点评] 本题是条件等式的证明，证明条件等式一般常用的方法有两种：一是从被证等式一边推向另一边，并在适当的时候，将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称为代入法；二是直接将条件变形，变形为被证等式，这种方法称为推出法或直接法．证明条件等式无论使用哪种方法，都要盯住目标，据果变形．。

1.3.1三角函数的诱导公式(一)

7 (3) si n 与 sin 的值关系如何？ 6 6
讲授新课
对于任意角，sin与sin( ＋ ) 的关系如何呢？
讲授新课
思考下列问题一： (4) sin与sin(π+)、cos与cos(π+)、
tan与tan(π+)关系如何？
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诱导公式(二)
sin( π ) sin cos( π ) cos tan( π ) tan
讲授新课
诱导公式(二)的结构特征
① 函数名不变，符号看象限 (把看作锐角时); ② 求(π+)的三角函数值转化为求的三角函数值.
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例1．求下列三角函数值．
(1) cos 225 7 ( 2) si n ( ) 6 4 ( 3) tan ( ) 3
0
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Байду номын сангаас思考下列问题二：对于任意角，sin与sin(－ )的
1.3三角函数的诱导公式
复习
同角三角函数的关系
1 sin 1 sin (1) 2 tan 1 sin 1 sin
试确定是等式成立的角的集合。
cos 1 sin .( k , k Z ) 1 sin cos 2
( 2)已知si n cos
关系如何呢？
与(－)角的终边位置关系如何？
讲授新课
诱导公式(三)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
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诱导公式(三)的结构特征
① 函数名不变，符号看象限 (把看作锐角时); ② 把求(－)的三角函数值转化为求的三角函数值.

1.3.1三角函数的诱导公式(一)

B．－
（
）
3 3
3 3
C． 3
D．－ 3 （ D．与取值有关）
（4）．当 k Z 时， A．－1
sin(k ) cos(k ) 的值为 sin[(k 1) ] cos[(k 1) ]
B．1
C．±1
（ 5 ）．设 f ( x) a sin(x ) b cos( x ) 4
教
（三）课堂练习：（1）．若 sin(

2
) cos( ) ，则的取值集合为

4 k Z}
B． { | 2k D． { | k 2
（
）
A． { | 2k 学 C． { | k （2）．已知 tan( A．
|a| 1 a
2

4
k Z}
k Z}
k Z}
14 ) a, 那么 sin1992 15
B．
a 1 a
2
（
）
过
C．
a 1 a
2
D．
1 1 a2
（3）．设角程 A．
35 , 则 2 sin(2 ) cos( ) cos( ) 的值等于 6 1 sin sin( ) cos2 ( )
k 360 ) cos

3
是不对的
【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到 [0,2 ) 角后，又如何学将 [0,2 ) 角间的角转化到 [0,
过
程
) 角呢？ 2 除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？若角的终边与角的终边关于 x 轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？特别地，角与角的终边关于 x 轴对称，由单位圆性质可以推得：（公式二）特别地，角与角的终边关于 y 轴对称，故有

1.3.1 三角函数的诱导公式(一)

1.3三角函数的诱导公式1.3.1 三角函数的诱导公式(一)[学习目标]1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．2．理解诱导公式的推导过程．3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．[知识链接]1．三角函数诱导公式一是什么？答终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α，其中k∈Z.2．诱导公式一的作用是什么？答把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值．3．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间有什么对称关系？答[预习导引]1．诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sin_α，cos(α＋2kπ)＝cos_α，tan(α＋2k π)＝tan_α，其中k ∈Z .(2)公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α， tan(π＋α)＝tan_α.(3)公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α， tan(－α)＝－tan_α.(4)公式四：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α， tan(π－α)＝－tan_α. 2．诱导公式的整合与记忆2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”！要点一给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6； (3)tan (－945°)．解 (1)法一 sin 1 320°＝sin (3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin (180°＋60°)＝－sin 60°＝－32.法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin (180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos (π＋π6)＝－cos π6＝－32. 法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (3)tan (－945°)＝－tan 945°＝－tan (225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.规律方法此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．跟踪演练1 求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3的值(n ∈Z )．解 ①当n 为奇数时，原式＝sin 2π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 43π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.②当n 为偶数时，原式＝sin 23π·cos 43π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝－34. 要点二给值求值问题例2 已知cos (α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin (105°＋α)的值．解 ∵cos (α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角， ∴α－75°是第三象限角．∴sin (α－75°)＝－1－cos 2(α－75°) ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223. ∴sin (105°＋α)＝sin []180°＋(α－75°) ＝－sin (α－75°)＝223.规律方法解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．跟踪演练2 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α) ＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α) ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝15.要点三三角函数式的化简例3 化简下列各式． (1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α. (2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 规律方法三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数． (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪演练3 化简下列各式．(1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)；(2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°).解 (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos αsin αsin α·cos α＝1. (2)原式＝cos (180°＋10°)[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)[－tan (360°＋225°)]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan (180°＋45°)]＝－12－tan 45°＝12.1．求下列三角函数的值．(1)sin 690°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－203π；(3)tan(－1 845°)．解 (1)sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330° ＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°) ＝－sin 30°＝－12.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－203π＝cos 203π＝cos(6π＋23π)＝cos 23π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12.(3)tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°) ＝－tan 45°＝－1. 2．化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α).解原式＝(－cos α)·sin α[－sin (α＋180°)]·cos (180°＋α)＝sin αcos αsin (α＋180°)cos (180°＋α) ＝sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝1.3．求sin (π＋α)cos (π－α)cos (3π－α)sin (3π＋α).解原式＝－sin α(－cos α)－cos α(－sin α)＝1.4．证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z .证明当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α， ∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π) ＝2[－sin (π－α)](－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α.右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α， ∴左边＝右边．综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立．1．明确各诱导公式的作用2.这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．一、基础达标1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32 D.32答案 A2．若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是( )A ．±tan αB ．－tan αC ．tan α D.12tan α答案 C3．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( ) A.12 B ．±32 C.32 D ．－32 答案 D解析由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α＝－32 (α为第四象限角)． 4．tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1 D ．1 答案 A解析原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.5．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2k B ．－1－k 2k C.k 1－k 2 D ．－k1－k2 答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ， ∴sin 80°＝1－k 2. ∴tan 80°＝1－k 2k .∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k .6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝________.答案－33解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝－33.7．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是________．答案－32a 二、能力提升8．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( )A.53 B ．－53C ．±53 D ．以上都不对答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 232－2＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2 α ＝－1－49＝－53.9．化简：sin(－α)cos(π＋α)tan(2π＋α)＝________. 答案 sin 2 α解析原式＝(－sin α)(－cos α)tan α ＝sin αcos αsin αcos α＝sin 2 α.10．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 013)＝1，则f (2 014)＝________. 答案 3解析 f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋2 ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1， ∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β)＋2 ＝a sin α＋b cos β＋2＝3. 11．若cos(α－π)＝－23，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．解原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α) ＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos 2α＝53，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52.12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 证明 ∵sin(α＋β)＝1， ∴α＋β＝2k π＋π2 (k ∈Z )， ∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z )．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0， ∴原式成立．三、探究与创新13．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.。

1.3.1三角函数诱导公式1

个把看成锐角时原函数值的符号。
的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值
y

O
P( x, y) A(1,0)
小结
2、你能概括以下研究诱导公式的思想方法吗？
圆的对称性角的终边的对称性角之间的数量关系诱导公式
对称点的数量关系
“对称是美的基本形式”
A(1,0)
p2 ( x , y )
sin sin
公式四
cos cos tan tan
sin( k 2 ) sin 公 sin( ) sin 公 cos( k 2 ) cos 式 cos( ) cos 式 tan( k 2 ) tan 一二 tan( ) tan (其中k Z )
sin( ) sin 公 cos( ) cos 式 tan( ) tan 三
sin( ) sin 公 cos( ) cos 式四 tan( ) tan
记忆方法：函数名不变，符号看象限
k 2 , , 的三角函数值，等于的同名函数值前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。
问：如何计算sin210o
探究一：给定一个角，
角的终边与角的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
公式二 y

O
sin sin cos cos tan tan

p1 ( x , y )
用公式三或一
任意正角的三角函数
用公式一
0 到 360 的角
o
o
用公式二或四

三角函数的诱导公式(一)

三角函数的诱导公式(一)常用的诱导公式有以下几组：三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

三角函数诱导公式(一)

三角函数诱导公式(一)1、公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ+α）=sinα， k∈z cos （2kπ+α）=cosα， k∈z tan （2kπ+α）=tanα， k∈z cot （2kπ+α）=cotα， k∈z sec （2kπ+α）=secα， k∈z csc （2kπ+α）=cscα， k∈z2、公式二：α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π+α）=－sinα cos （π+α）=－cosαtan （π+α）= tanα cot （π+α）= cotαsec (π+α) =—secα csc (π+α) =—cscα3、公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （－α）=－sinα cos （－α）= cosα tan （－α）=－tanα cot （－α）=－cotαsec (—α) = secα csc (—α) =—cscα4、公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）= sinα cos （π－α）=－cosα tan （π－α）=－tanα cot （π－α）=－cotα sec (π—α) =—secα csc (π—α) = cscα5、公式五：利用公式一和公式三可以得2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）=－sinα cos （2π－α）= cosα tan （2π－α）=－tanα cot （2π－α）=－cotα sec (2π—α) = secα csc (2π—α) =—cscα习题1.下列等式中,恒成立的是( )(A) sin(1800+2000)=sin2000 (B)cos(-α)=—cos α(C) cos(1800+2000)=—cos2000 (D)sin(-α)=sin α2.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值是( )(A) 2sin 2α (B)0 (C)1 (D)2 3.sin(-619 )的值是( ) (A) 21(B) -21 (C) 23(D) -234.已知cos(π-x)=—21,23π<x<2π,则sin(2π-x)的值等于( ) (A) 21(B)± 23(C)23 (D) -235.计算sin 34πcos(-6π)tan(-45π)=_________. 6.化简sin 2(-α)tan α+cos 2(π+α)cot α-2 sin(π+α) cos(-α)=__ ___7.计算:sin(-15600)cos9300+cos(-13800) sin(-14100)=_______.8.已知COS(6π+θ)= 33,则COS(65π-θ)=__________. 9.求下列各三角函数值:(1) sin(-13200 ) (2) tan9450 (3)cos655π (4)cot(-322π)10.已知cos(π-α)=- 21,计算: (1) sin(2π-α); (2)cot[2)12(π+k +α](k ∈Z)11.已知sin(α-π) =2cos(2π-α),求)sin()cos(3)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值12.(1)求值sin 2(-300) +sin 22250 +2sin2100 +cos 2(-450) ;(2)若sin(π+α)=41,求[]1)cos(cos )cos(-++απααπ—)cos()cos()2cos()cos(απαπαπα-+++-- 值;13．化简:)(cos )tan()2cot()cos()(sin 32πααππααππα++--++。

1.3,1三角函数的诱导公式一(学案)

课题: 1.3.1三角函数的诱导公式【教学目标】1、利用单位圆探究得到诱导公式二，三，四，并且概括得到诱导公式的特点。

2、能初步运用诱导公式进行求值与化简。

3、理解求任意角三角函数值所体现出来的化归思想。

学习过程：【知识铺垫】诱导公式一：用弧度制可表示如下：2、诱导公式（一）的作用：其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。

3.α与α+π , α与-α , α与π-α, α与α+π的终边的位置有何关系?4．三角函数线(同学们仔细复习,上课不再提问)【教材解读】1．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sinα=y，cosα=x, 所以 :诱导公式二：用弧度制可表示如下：sin(180º+α)=cos(180º+α)=tan(180º+α)=类比公式二的得来，得：诱导公式三：sin(-α)=sin(-α)=tan(-α)=诱导公式四：用角度制可表示如下: 用弧度制可表示如下：sin(180º-α)= _ cos(180º-α)= tan(180º-α)=对诱导公式一，二，三，四用语言概括为：α+k·2π（k∈Z），—α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，________________________________．（函数名不变，符号看象限。

）【牛刀小试】1．将下列三角函数转化为锐角三角函数。

（1）cosπ913(2)tan(π-1) (3)sin(5π-) (4)cos(π513-)2．求下列三角函数值：（1）cos210º；(2)tan （—45π）（3）11sin 6π； (4）17sin()3π-．【课堂小结】1.问题再现.2.你还有什么疑惑？【作业】1、化简：（1）sin(α+180º)cos(—α)sin(—α—180º)（2）sin 3(—α)cos(2π+α)tan(—α—π) 2、求下列三角函数值：(1)cos （—420º）（2）sin(π67-)(3)sin(—1305º) (4)tan(π679-)。

《三角函数的诱导公式(一)》课件

O

x
P 3 ( x, y)
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
诱导公式（四）

P 4 ( x, y)
y

P 1 ( x, y)
O
x
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin 5

2.利用公式求下列三角函数值：
1 cos 420
3 sin 1320
1 2
7 2 sin 6
1 2
3 2
79 3 4 cos 2 6
3.化简
1 sin 180 cos sin 180
解： sin 180 sin 180
sin 180 sin sin ,
cos 180 cos 180
cos 180 cos ,
解答：作用是把求任意角的三角函数值转化为0到 2
角的三角函数值.
思考2:
给定一个角α .
（1）角π -α 、π +α 的终边与角α 的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（2）角-α 的的终边与角α 的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
y
－的终边
r =1
α O
(1) cos 225
16 (3)sin 3
11 (2) sin 3
2 (1) cos 225 cos 180 45 cos 45 . 2
11 3 (2)sin sin 4 sin . 3 3 3 2

数学三角函数诱导公式

数学三角函数诱导公式三角函数诱导公式是指通过已知的三角函数关系，推导出其他三角函数之间的关系的公式。

它们在解决三角函数相关问题时非常重要，可以简化计算，并扩展了三角函数的应用。

下面介绍常见的三角函数诱导公式。

一、正弦函数与余弦函数的诱导公式1.1诱导公式1：根据勾股定理，我们可以得到sin^2(x) + cos^2(x) = 1从上面的公式可以推导出以下诱导公式：sin^2(x) = 1 - cos^2(x)cos^2(x) = 1 - sin^2(x)1.2诱导公式2：根据正弦和余弦的定义，可得到以下诱导公式：sin(π/2 - x) = cos(x)cos(π/2 - x) = sin(x)1.3诱导公式3：利用双曲线法，可以得到以下诱导公式：sin(ix) = i*sinh(x)cos(ix) = cosh(x)二、正切函数的诱导公式2.1诱导公式4：利用正弦和余弦的定义，可得到以下诱导公式：tan(x) = sin(x)/cos(x)2.2诱导公式5：利用诱导公式1和诱导公式4，可以得到以下诱导公式：tan^2(x) = 1 - cos^2(x)/sin^2(x)2.3诱导公式6：利用诱导公式2和诱导公式4，可以得到以下诱导公式：tan(π/2 - x) = 1/tan(x)三、余切函数的诱导公式根据正切的定义，我们可以得到以下诱导公式：cot(x) = 1/tan(x)四、割函数和余割函数的诱导公式根据正弦、余弦和正切的定义sec(x) = 1/cos(x)csc(x) = 1/sin(x)诱导公式的应用：1.在三角函数的计算中，利用诱导公式可以简化计算步骤，提高计算的速度和准确性。

2.在三角函数的图像分析中，利用诱导公式可以推导出其他函数的图像，帮助理解和描述函数的性质。

3.在解决三角函数相关问题中，利用诱导公式可以将问题转化为更简单的形式，从而得到更方便的解法。

综上所述，三角函数诱导公式是数学中重要的工具，它们扩展了三角函数的应用领域，帮助我们更好地理解和应用三角函数。

1.3.1三角函数的诱导公式2、3、4

温故知新诱导公式（一） sin( k 360 ) sin 2kπ＋α（k∈Z） sin( 2k ) sin 与α 的三角函 cos( 2k ) cos cos( k 360 ) cos 数之间的关系是什么？ tan( k 360 ) tan 实质：终边相同， tan( 2k ) tan

钝角→锐角
记忆方法：利用图形
解题一般步骤
负角
（公式三）
正角
（公式一） k 2
0~2π
（公式二）
（公式四）
0~π

锐角
例1、将下列各三角函数化成锐角三角函数 (1) sin(-699º ) (3) tan(-872º ) (2) cos(-1525º ) (4) cos(92º )
答案：(1) –sin21º (2) cos85º (3) tan28º (4) -sin2º
练习将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上 4 cos 13 9 1 cos ______; 9 sin1 ______; 2 sin 1
(2)cos( 1290 ) cos1290 cos(210 3 360 )
cos 210 cos(180 30 ) cos30
3 2
练习：求三角函数值
3 tan ⑴ 4
诱导公式（三）
sin y sin( ) y cos( ) x
tan( ) y y x x
cos x
tan y x
公式三
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

1.3.1三角函数的诱导公式(一)

复习引入
同角三角函数的关系
小结：
(3) 比较法比较法: (4) 变式证明法：变式证明法：将原等式转化为与其等价的式子加以证明．证明． (5) 分析法．分析法．
边左即明左 −右 = 0或证 : 边边 =1. 右边
复习引入
同角三角函数的关系
练习4. 练习
讲授新课
诱导公式 (一) (－α )的－的关系如何呢？关系如何呢？
讲授新课
思考下列问题四：思考下列问题四：问题四 (1) α与(－α)角的终边位置关系如何？角的终边位置关系如何？－角的终边位置关系如何 (2) 设α与(－α)角的终边分别交单位圆于点－角的终边分别交单位圆于点 P、P'，则点与P'位置关系如何？位置关系如何？、，则点P与位置关系如何 (3) 设点设点P(x, y)，那么点的坐标怎样表示？的坐标怎样表示？，那么点P'的坐标怎样表示
讲授新课
诱导公式 (一) 一
sin 2kπ +α) = sinα(k∈Z) ( cos(2kπ +α) = cosα(k∈Z) tan 2kπ +α) = tanα(k∈Z) (
讲授新课
诱导公式的结构特征
讲授新课
诱导公式的结构特征
①终边相同的角的同一三角函数值相等；终边相同的角的同一三角函数值相等； ②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题 ° °角的三角函数值问题.
复习引入
同角三角函数的关系
小结：
(3) 比较法比较法:
边左即明左 −右 = 0或证 : 边边 =1. 右边
复习引入
同角三角函数的关系

1.3(1)三角函数的诱导公式(一)

东风高级中学高一数学限时训练1.3（1）三角函数的诱导公式(一)一、选择题(每小题4分,共12分)1.sin的值是( )A. B.- C.- D.【解析】选B.sin=sin=sin=-sin=-.2.记cos(-80°)=k,那么tan100°等于( )A. B.-C. D.-【解题指南】先利用诱导公式化简,再利用同角三角函数基本关系式求值. 【解析】选B.因为cos(-80°)=cos80°=k,所以sin80°=,所以tan80°=,所以tan100°=-tan80°=-.3、(2013²长春高一检测)已知sin20°=a,则cos160°=( )A.aB.C.±D.-【解析】选D.cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-=-.4.(2014²合肥高一检测)计算sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是( )A. B. C. D.【解析】选A.原式=sin230°+sin245°-2sin30°+cos245°=+-1+=.5.(2014²桂林高一检测)已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则θ是第象限角( )A.一B.二C.三D.四【解析】选B.由sin(θ+π)=-sinθ<0⇒sinθ>0,cos(θ-π)=-cosθ>0⇒cosθ<0,由可知θ是第二象限角,故选B.6.在△ABC中,若sin(A+B-C)=sin(A-B+C),则△ABC必是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.因为sin(A+B-C)=sin(A-B+C),所以sin(π-2C)=sin(π-2B),即sin2C=sin2B,所以2C=2B或2C=π-2B,即C=B或C+B=,所以△ABC是等腰或直角三角形.【误区警示】本题易错选A,错选的原因是由sin2C=sin2B时,只得出2C=2B,而忽略了2C=π-2B,主要是对诱导公式不熟练造成的.二、填空题(每小题4分,共8分)7.(2014²泰安高一检测)下列三角函数,其中n∈Z:①sin;②cos;③sin;④cos,其中与sin的值相同的是(填序号).【解析】sin=cos=cos=sin;sin=sin;cos=cos,所以应填②③.答案:②③【误区警示】本题在求①的值时易忽视对n分奇数、偶数进行讨论而致错.8.(2014²徐州高一检测)已知sin(125°-α)=,则sin(55°+α)的值为.【解析】因为(125°-α)+(55°+α)=180°,所以sin(55°+α)=sin[180°-(125°-α)]=sin(125°-α)=.答案:9.(2014²青岛高一检测)已知cos(α-75°)=-,且α为第四象限角,则sin(105°+α)= .【解析】sin(105°+α)=sin[180°-(75°-α)]=sin(75°-α),cos(α-75°)=cos(75°-α)=-.又因为α为第四象限角,所以105°+α为第一或第二象限角,所以sin(105°+α)==.答案:10、若sin=,则sin= .【解析】sin=sinπ+=-sin=-.答案:-11.(2014²会宁高一检测)已知sin α=,cos(α+β)=-1,则sin(2α+β)= .【解析】由cos(α+β)=-1,得α+β=2k π+π,k ∈Z, 则2α+β=α+(α+β)=α+2k π+π,k ∈Z, 所以sin(2α+β)=sin(α+2k π+π) =sin(α+π)=-sin α=-. 答案:-三、解答题(每小题10分,共20分) 12．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)； (3)1＋2sin 280·cos 440°sin 260°＋cos 800°.解析： (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 45π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 25π＋cos 35π＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos 2π5＝0； (2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2³360°＋30°)cos(－2³360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32³32＋12³12＝1. (3)原式＝1＋2sin (360°－80°)·cos (360°＋80°)sin (180°＋80°)＋cos (720°＋80°)＝1－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝sin 280°＋cos 280°－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝(sin 80°－cos 80°)2－sin 80°＋cos 80° ＝|cos 80°－sin 80°|cos 80°－sin 80°＝sin 80°－cos 80°cos 80°－sin 80°＝－1. 13.已知cos =,求cos 的值. 【解析】cos =cos=cos =.14.求证：tan(2)sin(2)cos(6)cos()sin(5)π-α-π-απ-αα-ππ+α=tan α.【证明】左边= tan()sin()cos()cos()sin()-α-α-απ-απ+α=tan sin cos cos sin ααααα=tan α=右边.∴原等式成立.15.(2013²郑州高一检测)设f(θ)=.(1)化简f(θ).(2)若θ=660°,求f(θ)的值.【解析】(1)原式===-cos θ.(2)因为θ=660°,所以f(θ)=f(660°)=-cos660°=-cos(720°-60°)=-cos(-60°)=-cos60° =-. 16.已知1tan(720)31tan(360)+θ+︒=+-θ-︒求:［cos 2(π-θ)+sin(π+θ)²cos(π-θ)+2sin 2(θ-π)］²21c o s 2-θ-π（）的值.【解析】由1tan(720)31tan(360)+θ+︒=+-θ-︒(4+2θ所以tan2θ== 故［cos 2(π-θ)+sin(π+θ)·cos(π-θ)+2sin 2(θ-π)］·21c o s (2)-θ-π=［cos 2θ+sin θcos θ+2sin 2θ］·21co s θ=1+tan θ+2tan 2θ=1+2 +2·(2)2=2+2. 17.在△ABC 中,已知sin(2π-A)=-sin(π-B),cosA=-cos(π-B),求△ABC 的三个内角. 【解析】由已知得sinA=sinB,cosA=cosB,上式两端分别平方,再相加得2cos 2A=1, 所以cosA=〒.若cosA=-,则cosB=-, 此时A,B 均为钝角,不符合题意. 所以cosA=,所以cosB=cosA=.所以A=,B=,C=π-(A+B)=. 复习回顾。

1.3 三角函数的诱导公式(一)

2
鸡西市第十九中学高一数学组
sin(π－α)＝sin[π＋(－α)]＝－sin(－α)＝sin α， cos(π－α)＝＝＝ . tan(π－α)＝＝＝ . 即 sin(π－α)＝，cos(π－α)＝，tan(π－α)＝
.
【公式作用】将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数．例如，sin 480° ＝，cos 150° ＝，tan 135° ＝ . 诱导公式作用公式一将角转化为 0～2π 之间的角求值公式二将 0～2π 内的角转化为 0～π 之间的角求值公式三将负角转化为正角求值 π 公式四将角转化为 0～之间的角求值 2 诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将 α 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号． α 看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上 α 可以是任意角. 例 1 求下列三角函数的值． 19 47 (1) sin (2)cos 960° ； (3)tan π. － 4 π； 6
【公式作用】将负角的三角函数转化为正角的三角函数． π 5 例如，sin(－390°)＝，cos－ 3 ＝，tan－ π＝ . 4 【诱导公式（四）】 π π π π (1)角的终边与单位圆的交点坐标为______，所以 sin ＝___，cos ＝___，tan ＝___； 3 3 3 3 (2)角 2π 的终边与单位圆的交点坐标为_______________， 3 2π 2π 2π ＝____，cos ＝____，tan ＝______. 3 3 3
小结
利用诱导公式求三角函数值时，先将不是[0,2π)内的角的三角函数，转化为
π [0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再用诱导公式转化到 0，范围 2

1.3.1诱导公式(一)

29 29 25 1. sin cos( ) tan( ) 6 3 4 2 3 4 2. tan tan tan tan 5 5 5 5
sin(2 ) tan( ) 4. cos( ) tan( 3 ) tan( )
-
cos cos sin 原式 1. sin ( cos )
2.化简
cos(1800 ) sin( 3600 ) (1) sin( 1800 ) cos(1800 )
0 tan( 180 ) 3 0 (2) cos (180 ) sin( ) cos(3600 )

的终边有何关系？它们的三角函

设（ 0，） 2 y
P1(-x,y) P（x,y)

y

x
0
M1
0
பைடு நூலகம்
M
x
P3(x,-y)
P2(-x,-y)
讲授新课 cos2250 cos(1800 450 ) 如求cos2250 ? 分析：
由此想到2250的三角函数值与 450 角的三角函数值可能存在一定为了使讨论的一般性，我们以任意角来研究. 的关系 .

y

o
x
sin
o
y
x
cos
o
y
x
tan
问题探究(一)
给定一个角。（1）角，的终边与角三角函数之间又有何关系？

的终边有何关系？它们的
（2）角的终边与角的终边有何关系？它们的三角函数之间又有何关系？

31 三角函数的诱导公式(1)

1.3.1三角函数的诱导公式（1）班级：姓名：小组学习目标1.识记诱导公式一～四；]理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。

2.通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。

3. 渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。

学习重点难点重点：诱导公式的推导及应用。

难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。

学法指导教师启发、引导，学生自主阅读、思考，讨论、交流学习成果课前预习诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数相等_______=α)+tan(2kπ__________=α)+cos(2kπ_______=α)+sin(2kπ诱导公式（二）终边关于原点对称的三角函数公式_______=)+tan(π____________=)+cos(π___________=)+sin(πααα诱导公式（三）关于x轴对称的三角函数公式______=)－tan(____________=)－cos(____________=)－sin(ααα诱导公式（四）关于y轴对称的三角函数公式______=)－an(π_________t=)－cos(π_______=)－sin(πααα预习评价1：求值：0sin225)67cos(π-)885tan(0-0000sin(180)cos(720)2cos(180)sin(180)：化简αααα++----课堂学习研讨、合作交流一．问题引入：角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？先看一个具体的问题。

求390°角的正弦、余弦值.一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，即有：(公式一) sin(α+2kπ) = sinα，cos(α+2kπ) = co sα，ta n(α+2kπ) = ta nα (k∈Z) 。

1.3.1三角函数的诱导公式(一)

三角函数的诱导公式1

高中数学 三角函数的诱导公式(一)素材 新人教A版必修

1.3.1三角函数的诱导公式(一)

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《三角函数的诱导公式(一)》课件

数学三角函数诱导公式

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31 三角函数的诱导公式(1)

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