三角形中线与面积问题教案
三角形的高、中线、角平分线的教案
三角形的高、中线、角平分线的教案一、教学目标：1. 让学生理解三角形的高、中线、角平分线的概念。
2. 让学生掌握三角形的高、中线、角平分线的性质。
3. 培养学生运用三角形的高、中线、角平分线解决问题的能力。
二、教学内容：1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高。
2. 三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
3. 三角形的角平分线：从三角形的一个顶点出发，把这个顶点的角平分成两个相等的角的线段叫做这个角的角平分线。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形的高、中线、角平分线的概念及性质。
2. 教学难点：三角形的高、中线、角平分线的画法及运用。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生通过观察实物和图形，理解三角形的高、中线、角平分线的概念。
2. 采用讲解法，讲解三角形的高、中线、角平分线的性质和画法。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入：通过展示三角形的高、中线、角平分线的实物模型，引导学生思考三角形的高、中线、角平分线的概念。
2. 讲解：讲解三角形的高、中线、角平分线的定义和性质，让学生理解并掌握。
3. 演示：教师演示如何画三角形的高、中线、角平分线，并讲解画法的注意事项。
4. 练习：学生分组练习，画出给定三角形的的高、中线、角平分线，并互相检查。
5. 总结：教师引导学生总结三角形的高、中线、角平分线的性质和画法，巩固所学知识。
六、教学拓展：1. 引导学生思考：在三角形中，高、中线、角平分线有何联系和区别？2. 讲解三角形的高、中线、角平分线在几何中的应用，如：解直角三角形、证明线段相等等。
七、课堂小结：1. 让学生回顾本节课所学内容，总结三角形的高、中线、角平分线的概念和性质。
2. 强调三角形的高、中线、角平分线在几何问题中的重要性。
八、课后作业：1. 画出给定三角形的的高、中线、角平分线，并标注出来。
第3课时 三角形中几条重要线段 教案2024-2025学年沪科版八年级数学上册
《13.1.3三角形中几条重要线段》教学设计教学内容分析本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线。
本节内容是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础。
故学好本节内容是十分必要的。
因此，对三角的高、中线、角平分线定义的理解及画法的掌握是本节教学的重点，而三角形的高由于三角形的形状改变而使其位置呈现多样性，学生难以掌握，故在各类三角形中作出它们是本课的难点。
学习者分析学生对于三角形的高有一定的了解，但对于三角形的角平分线、中线还没有接触，因此及本课讲解时需要设计一些实际操作，让学生对这三条线的定义有清晰的印象.教学目标 1.了解并掌握三角形的高、中线和角平分线的概念,会用直尺、量角器等工具作出三角形的高、中线与角平分线；2.通过作图了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点的性质；3.明确重心的概念；4.经历作图的实践过程,认识三角形的高、中线与角平分线,帮助学生养成实事求是、具体问题具体分析的习惯；5.发展学生合情推理的能力,提高学生学习数学的兴趣,形成合作交流的意识。
教学重点理解三角形的高、中线与角平分线的概念及其画法.教学难点钝角三角形高线的画法.学习活动设计教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1：如图，在△ABC中，一动点D在BC边上移动，从点B沿着BC边移动到点C,观察移动过程中形学生活动1：学生观察图片，动脑思考，并积极回答.成的无数条线段中，有没有特殊位置的线段?今天，我们一起来认识三角形中几条特殊的线段!活动意图说明：通过展示图片，引发学生思考，引出这节课要学的内容，调动学生学习的积极性. 环节二：三角形中的特殊线段教师活动2：角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，△ABC 中，∠1＝∠2，线段AD就是△ABC一条角平分线中线：三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．如图，△ABC中，点E是BC的中点，线段AE 就是△ABC的一条中线．高线：学生活动2：学生听教师讲解，理解三角形中的特殊线段。
中线交于一点 面积法
中线交于一点面积法
中线交于一点是指一个三角形的中线（即连接顶点和对边中点
的线段）与三角形内部的一点相交。
面积法是一种计算几何中三角
形面积的方法，通常利用三角形的底和高来计算。
当中线交于一点时，我们可以利用面积法来计算三角形的面积。
首先，我们可以利用中线将三角形分割成两个全等的三角形。
然后，我们可以计算这两个全等三角形的面积，最后将它们的面积相加就
得到原始三角形的面积。
另外，我们还可以利用中线交于一点的性质来推导出一些有趣
的几何定理。
比如，当中线交于一点时，这个点到三角形三个顶点
的距离之和等于这个点到对边中点的距离。
这个定理可以用来解决
一些与中线和距离相关的几何问题。
总的来说，中线交于一点与面积法是计算几何中常见的概念和
方法，它们可以帮助我们更好地理解和解决与三角形相关的问题。
希望这些信息能够帮助你更好地理解这个问题。
三角形的中线与面积的三个重要结论
三角形的中线与面积的三个重要结论三角形的中线与三角形的面积有着密切的关系，下面就来探讨一下这个话题.一、三角形的中线与面积1、三角形的一条中线与面积如图1，AD 是三角形ABC 的中线，则ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形.证明：因为AD 是三角形的中线，所以BD=CD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则ABD S 三角形=21×BD ×AE,ACD S 三角形=21×CD ×AE ，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形， 所以ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形. 由此得到如下结论：1、等底同高的两个三角形面积相等.2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等.2、三角形的二条中线与面积如图2，AD ，BE 是三角形ABC 的中线，则①BDF S 三角形=AEF S 三角形；②ABF S 三角形=CDFE S 四边形； ③ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形.证明：因为AD 、BE 是三角形的中线，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形，ABE S 三角形=BCE S 三角形， 所以BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形---（1），AEF S 三角形+ABF S 三角形=BDF S 三角形+CDFE S 四边形——-（2），（1）—（2）得 BDF S 三角形-AEF S 三角形=AEF S 三角形-BDF S 三角形，所以BDF S 三角形=AEF S 三角形； 因为BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形，所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形；如图2，连接CF ，易得BDF S 三角形=CDF S 三角形=AEF S 三角形=CEF S 三角形,所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形. 由此得到如下结论：1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等.2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍.3、三角形的三条中线与面积如图3，AD ，BE,CF 是三角形ABC 的中线，设△BGD 的面积为1S ,△BGF 的面积为2S ,△AGF 的面积为3S ,△AGE 的面积为4S ,△CGE 的面积为5S ,△CGD 的面积为6S ，△ABC 的面积为S.则1S =2S =3S =4S =5S =6S =61S.证明：因为AD 是三角形ABC 的中线，所以BD=CD ，因为三角形ABD 和三角形ACD 的高相同，所以三角形ABD 的面积和三角形ACD 的面积相等，即1S +2S +3S =4S +5S +6S .因为三角形BGD 和三角形CGD 的高也是相同的，所以两个三角形的面积相等即1S =6S .所以2S +3S =4S +5S .因为三角形BGF 和三角形AGF 的高相同，BF=AF ，所以AFh BFh 2121 ，其中h 是点G 到AB 的距离，所以2S =3S ，同理可证4S =5S ，所以23S =24S ，所以3S =4S ， 所以2S =3S =4S =5S ，同理可证1S =2S =3S =6S .所以1S =2S =3S =4S =5S =6S .因为三角形ABC 的面积为S ，所以1S =2S =3S =4S =5S =6S =61S. 由此我们得到如下结论：三角形的三条中线分三角形成六个小三角形，则六个小三角形的面积相等，等于三角形面积的六分之一.二、结论在解题中的应用例1 （2015•广东省）如图4，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若三角形ABC 的面积为12，则图中阴影部分面积是 .分析：这是三条中线分割三角形的情形，每一个小三角形的面积是相等，且等于原来三角形面积的61，2个就是面积的31. 解：因为三角形ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为31×12=4. 例2 三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题：（1）把一个三角形分成面积相等的4块（至少给出两种方法）；（2）在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图5，现被两条中线分成4块， 则四边形的一块（阴影部分）恰好可放养几只羊？分析：抓住等底同高的两个三角形面积相等,依托三角形的中线性质，完成求解.解：（1）此题的答案不是唯一的，只要分割的方法合理就可以，下面给出了几种分割方法，供同学们学习时，参考.(2)根据中线分割图形与原来三角形面积之间关系知道，四边形的面积是整个图形面积的三分之一，因为是均匀分布，所以这块面积应该有 31×84=28（只）羊. 例3 如图6 所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 且ABC S =42cm ，则S 阴影等于________．解：因为点D 是BC 的中点，所以ACD ABD S S =12ABC S =12×4=2. 因为点E 是AD 的中点，所以BED S S 12ABD S =12×2=1. 所以ED S S 12ACD S =12×2=1. 所以BEC S =BED S +ED S =1+1=2,因为点F 是EC 的中点，所以S =12BEC S =12×2=1. 所以S 阴影等于1. 例4 已知三角形ABC 的面积为a ，请边阅读，边完成问题的解答：1、如图7，延长BC 到D ，使得CD=BC ，则阴影部分的面积为 .2、如图8，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，则阴影部分的面积为 .3、如图9，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，则阴影部分的面积为 .4、如图10，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，,连接DF ，则阴影部分的面积为 ；三角形DEF 的面积是 .分析：依据条件，结合三个结论，认真分析，就能轻松完成解答.解：1、如图7，AC是三角形ABD的中线，所以阴影面积与三角形ABC的面积相等，所以应该填a；2、如图8，当我们连接AD时，不难发现三角形ACD的面积与三角形AED的面积相等，所以阴影部分的面积为2a；3、如图9，三角形AEF的面积与三角形CDE的面积是相等，所以阴影部分的面积是4a；4、如图10，三角形BFD的面积等于三角形CDE的面积，所以阴影部分的面积为6a；三角形DEF的面积为阴影部分的面积加三角形ABC的面积，所以是7a，也就是说此时三角形的面积是原来三角形ABC面积的7倍.我们不妨把得到的三角形DEF叫做三角形ABC的膨胀三角形，当CD=BC 时，膨胀三角形的面积是原来三角形面积的7倍，这个数字7我们不妨叫做三角形DEF的膨胀系数，感兴趣的读者，可以思考当延长线段是已知边长的2倍时，膨胀三角形的面积多大，膨胀系数多大？其中一般性的规律是什么？。
三角形中线等分面积专题
AB 到点 F ，使
让学生灵活运用所 获得的结论， 解决问 题，考查学生对结论 的理解。 增强学生把新知识 转化旧知识的能力。 从不同角度识别图 形的能力。 加强交流学习其他 同学思维上的优势。
BF AB ，连接 FD , EF ，得到 DEF （如图
4）．若阴影部分的面积为 S3 ，则 S3 =
,
教学 重点与难点
设计思路
教与学的方法
重点： 结论的推导和灵活运用
难点： 从复杂图形中找出含有中线的三角形这一基本图形
.
从学生学过的三角形面积入手，自己动手推导出三个结论，然后利用结论
推导三角形中重要的重心图的结论，最后联系中考
.对于四边形的面积问题
转化为三角形面积问题 .在课的结尾联系生活实际，让孩子打开思路 ,应用所
（用含 a 的代数式表示） ．
学生画图，求面积。 五 拓展与应用
如图 5，已知四边形 ABCD 的面积是 a ， E、 F、
G面积？
转化思想方法的应 用。 让学生灵活运用所 获得的结论， 解决问 题，考查学生对结论 的理解。 学生把新知识转化 旧知识的能力。 从不同角度识别图 形的能力。
E
A
A
B
C
D
结论：若底相等，则面积之比等于高之比
B
HFC
D
3.已知 S ABD 30, S ACD 12 ,问：线段 BD 与线
段 CD 的比值是多少？得出什么结论？
A
B
C D
学生动手画出
ABC , ECD 的高，
写出证明过程， 并能得 出结论，小组合作， 互 相检查书写规范与否。 学生到前面讲解
A
线等分三角形的面积 , 即如图 1 ，已知 AD 为 ABC 的 BC 边上的中线 ,则 S ABD S ADC
6.3三角形的中位线(教案)
一、教学内容
《三角形的中位线》选自人教版八年级数学上册第六章《全等三角形》第三节内容。本节课主要内容包括：三角形的中位线定义，中位线性质以及在实际问题中的应用。具体教学内容如下：
1.三角形的中位线定义：在三角形中，连接两个中点的线段称为三角形的中位线。
2.中位线性质：
（1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（3）应用中位线性质解决实际问题。
举例解释：
-重点讲解中位线定义，强调中位线是连接三角形两边中点的线段，且与第三边平行，是第三边长度的一半。
-通过实际作图，让学生直观感受中位线与第三边的关系，加强对中位线性质的理解。
-结合实际例题，让学生掌握如何应用中位线性质解决三角形相关问题，如求三角形面积、证明线段平行等。
（2）三角形的中位线将三角形分成两个面积相等的小三角形。
3.应用：利用中位线性质解决实际问题，如求三角形的面积、证明线段平行等。
二、核心素养目标
《三角形的中位线》一课的核心素养目标旨在培养学生的几何直观、逻辑推理、数学建模和数学运算能力。通过本节课的学习，使学生能够：
1.理解并掌握三角形中位线的定义，培养几何直观能力；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形中位线的基本概三边的一半。这个性质在几何学中具有重要意义，可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过案例分析，展示三角形中位线在实际中的应用，以及如何用它来求解三角形面积等问题。
在教学过程中，教师要针对重点内容进行反复讲解和强调，确保学生理解透彻。同时，针对难点内容，采取有效的教学方法，如引导学生进行讨论、分析，鼓励学生提问，及时解答学生疑惑，帮助他们突破难点，提高解题能力。
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》教案、教学设计
3.及时反馈原则：要求学生在规定时间内提交作业，教师及时给予评价和指导，帮助学生发现问题、提高自己。
-指出：“在解决几何问题时，我们要学会运用所学的性质，进行严密的逻辑推理。”
3.鼓励学生对所学知识进行自我反思，评价自己的学习效果。
-提问：“你认为自己在今天的课堂上有哪些收获？还有哪些地方需要进一步学习和提高？”
五、作业布置
为了巩固学生对三角形三条重要线段的理解和应用，以及提高他们的问题解决能力，我设计了以下作业：
3.引导学生通过观察、思考、总结，形成解决问题的策略和方法。
-教师鼓励学生在学习过程中积极思考，通过问题驱动的方式，引导学生总结三角形三条重要线段的相关性质。
-学生在教师的引导下，学会运用几何知识进行逻辑推理，形成解题的策略。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的探究欲望。
-通过设置具有挑战性的问题，教师激发学生的学习兴趣，鼓励学生主动探索三角形三条重要线段的秘密。
-学习笔记要体现学生的自主学习和思考过程，有助于他们梳理知识结构。
5.互动交流作业：鼓励学生与家长或同学分享今天学到的三角形知识，讨论解决实际问题的策略。
-通过互动交流，培养学生的沟通能力和团队合作精神。
作业布置时，注意以下原则：
1.分层次原则：针对不同学生的学习水平，提供不同难度的作业，使每个学生都能得到适当的挑战和锻炼。
-通过例题，让学生看到中线如何将三角形分成面积相等的两部分，角平分线如何将角平分，高线如何与底边垂直。
3.解释这些性质在解决几何问题中的应用，并展示解题步骤。
-以具体的几何题目为例，示范如何运用中线、角平分线、高线的性质来解决问题。
《三角形的角平分线、中线和高》word优质课获奖教案
本课在整个单元中，属于比较重要的环节。
除了起到承接上个课时、转接下课时的作用之外，还有一些重点的计算知识和转化相应的课时。
本单元在学科核心素养中，具体体现出非常重要的一环，就是在高效课堂的设计和转化过程中，注意学生主体意识的培养和学生学习兴趣的提高。
学习兴趣之于学生，是非常重要而且更加有意义的教学活动。
对于不同层次的学生来讲，环节上的应用更加大了不同学生之间互相弥合的意义。
三角形的高中线角平分线教学目标（1）知识与技能目标：通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点．（2）过程与方法目标：经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神．学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力．（3）情感与态度目标：通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心．教学重点能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别．教学难点在钝角三角形中作高．教学过程本节课按照“创设情境，引入新课”——“合作交流，探求新知”——“拓展创新，挑战自我”——“课堂小结，感悟反思”——“走出课堂，应用数学”的流程展开．二、合作交流探究新知活动1(一)探究三角形的高1．三角形高的定义：（你能描述三角形的高吗？）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图，在△ABC 中，AD⊥BC , 点D 是垂足，AD是△ABC的一条高．2．做一做：（每一个同学准备一个锐角三角形的纸片）你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗？从这三条高中你发现了什么？（这三条高之间有怎样的位置关系）（（可以反过来画好高后，找哪条边上高））3．议一议：（使折痕过顶点，,顶点的对边边缘重合）如果用直角三角形和钝角三角形纸片，你能通过折或画的方法找到它的高吗？它们的高有几条？它们又有什么样的位置关系？4．练一练：（1）AD为ABC∆的高，则ADB∠=∠=（2）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形（3）在下图中，正确画出△ABC中BC边上高的是（）．借助学生对问题的解决，唤醒学生对三角形的高的认识与确认，有助于新知的解决，并且发展学生的观察力与语言表述能力．通过折或画出三角形的高，提高学生的基本作图能力，发展其空间观念．小组合作交流，并通过观察、猜想经历知识的发展形成过程，体验了“发现”知识的快乐，变被动接受为主动探究．设计练习，使学生对三角形高的的有关知识加以巩固，让学生从运用所学知识解决问题的过程，获得成功的体验，从而激发他们学习的积极性．教学环节教学过程设计意图二、合作交流探究新知活动2(二)探究三角形的中线问题1：你能将ABC分为面积相等的两个三角形吗？（引出三角形中线）1．三角形中线的定义：三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线．）如图，D是BC的中点，则线段AD是△ABC的中线，此时有BD=DC=21BC．2．做一做：你能画出三角形的所有中线吗？观察你们所作的图形，你又有哪些发现？与同伴交流．（分组合作交流）3．练一练：如图，AD、BE为△ABC的中线交于点G,连结CG,并延长交AB于点F.(1)则AC= AE= EC，CD= , AF= AB.(2)若S△ABC=12cm2，则S△ABD= .通过解决面积问题，由三角形高自然引入三角形的中线，培养学生动脑、动手能力，语言表达能力．让学生继续动手、实验，亲历知识的发生、发展过程，并且在这个过程中学会与人合作．重点考察：①学生对三角形中线定义的理解及运用；②学生对图形的观察能力及数形结合的能力活动3(三)探究三角形的角平分线问题：准备一个三角形纸片ABC ，按图所示的方法折叠，展开后，折痕BD把∠ABC分成∠1和∠2两部分．观察∠1和∠2有什么关系？（由学生动手操作，观察思考，引出三角形的角平分线）1．三角形角平分线定义：三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图,BD是∠BAC的角平分线,那么有∠ABD=∠DBC=21∠ABC2.做一做:(分组合作,交流讨论)（准备三个三角形）(1) 你能分别画出或折出这三个三角形的角平分线吗?(2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?3.练一练:如图，AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ，∠3=21，∠ACB=2从学生熟悉的折纸入手，为三角形的角平分线的学习作铺垫。
相似三角形的中线和面积比较
相似三角形的中线和面积比较相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形。
在相似三角形中，中线和面积是两个重要的性质，它们之间存在一定的关系。
本文将探讨相似三角形的中线和面积的比较。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。
具体而言，若三角形ABC与三角形DEF相似，则有以下关系成立：1. 角的对应关系：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 边的成比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
相似三角形具有许多重要的性质，其中包括中线和面积的特点。
二、相似三角形中线的比较在相似三角形中，中线与对边之间也存在一定的比例关系。
设三角形ABC与三角形DEF相似，比例系数为k（即AB/DE = BC/EF = AC/DF = k）。
1. 中线比较：若AD和DF分别为三角形ABC和三角形DEF的中线，则它们的长度比为k/2。
即AD/DF = k/2。
证明：根据相似三角形的性质，有AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。
由于AD是三角形ABC的中线，因此AD = (1/2)AC。
同理，DF = (1/2)EF。
代入比例关系式中，得到AD/DF = (1/2)AC/(1/2)EF = AC/EF = k。
由此可知，在相似三角形中，中线的长度比是对应边长度比的一半。
2. 比较示例：举例说明中线比较的关系。
设有相似三角形ABC和三角形DEF，比例系数为k = 2。
则根据中线比较的结论，三角形ABC 的中线AD和三角形DEF的中线DF的长度比为2/2=1。
即AD/DF = 1。
三、相似三角形面积的比较在相似三角形中，面积与边长的关系是二次的比例关系。
设三角形ABC与三角形DEF相似，比例系数为k（即AB/DE = BC/EF = AC/DF = k）。
1. 面积比较：若S1和S2分别为三角形ABC和三角形DEF的面积，则它们的面积比为k^2。
三角形的中位线 优秀教案
又∵F 为 BC 中点，∴AG∥FB，AG=FB，∴四边形 ABFG 是平行四边形， ∴AB∥GF，AB=GF，
又∵D 为 AB 中点，E 为 GF 中点，∴DB∥ EF, DB= EF
∴四边形 DBFE 是平行四边形，
∴DE∥BF，即
DE∥BC，DE=BF=FC
即
DE=
1 2
BC.
证法三、（面积法）：
相关问题时，能联想到用三角形的中位线定理去解决.
【设计目的】1、让学生对三角形中位线定理有更深入的理解；2、让学生会规范书写；3、对能应用三角形
中位线定理来解决的问题形成感知.
（六）应用新知
1.己知：如图，E、F 分别为 AB、AC 的中点.
(1)∵ E、F 分别为 AB、AC 的中点，∴ EF∥BC（根据
四、教学重难点
重点：三角形中位线定理证明及应用 难点：添加辅助线的证明三角形中位线定理.
五、教学准备：
教师准备多媒体课件，三角板. 课前给每个学生发两个三角形（形状、大小各不相同），学生通过动手操作完成以下两个问题： 1、你能将一个三角形分成四个全等的三角形吗？ 2、你能通过剪拼的方式将一个三角形分成与它面积相等的平行四边形吗？（要求只剪一刀），并将操 作成果带入课堂.
三、教学目标
1.理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题； 2.进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展学生合情推理的能力、探究能力、演绎推理的能力； 3.在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力； 4.在定理的证明和应用过程中体会归纳、类比、转化等数学思想方法.
如图 3：取 BC 的中点 F,延长 FE 到 G 使得 EF=EG，连接 AG、GC、AF.
数学(人教版)八年级上册教学课件：11.1.3三角形的中线
三角形中 线性质3
三角形中线性质:
A
性质1:
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD=
性质2:
12BC
B
D
C
三角形的三条中线相交于三角形内部一点.
A
性质3:三角形中线平分面积
S△ABD=S△ACD
F OE
B
C
D
1A.B如三=什图2角,B1A么，D形F=(区A或的=D,B别AF，角)EB？=平E。，分C12线FB是C与Δ角ADBC的C的平三分条线中E线有C ，则
(3)=AC+CE+AE-AB-BE-AE
A
(4)=AC-AB
6
8
(5)=8-6 (6)=2
B DE
C
10
学习目标达到了吗
1.掌握三角形中线的定义、做法和性质； 2.会运用三角形中线的性质解决一些简单 问题；
你还有什么疑问吗？
三角形的角平分线是一条
线段,角的平分线是一条 F
A思 考
E
射线
B
D
C
图1
2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中
点,则下列说法不正确的是() D
A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BE=ECD.DE是△ABC的中线
A
D
B
E
C
3.如图所示:△ABC中,D,E分别为BC,AD的 中点,且S△ABC=4,则S阴为___1__
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
三角形的中线
在三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线
段叫做这个三角形这边的中线.
三角形中线的符号语言表示：
《三角形的高、中线、角平分线》优秀教案
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AB=2 ，BD=,AE=
1
.
2
5．如图 2， AD ， BE， CF 是 Δ ABC地三条角平分线，则∠ 1= ,
1
∠ 3=
,
2
∠ ACB=2.
A
F
E
A F 12 E
B
D
C
B
3 D
4
C
图1
图2
6．如图
3，
1
BD=
BC，则
BC边上地中线为
______，△ ABD地面积 =地面积．
2
图 3图 4 7．如图 4，△ ABC中，高 CD、 BE、AF 相交于点 O，则△ BOC?地三条高分别为线段 . 8．如图 5，在△ ABC中， D、 E 分别是 BC、AD地中点， S△ABC =4cm2，则 S△ABE = .
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人教版八年级上册13.3.2《等边三角形》教案
1.加强课堂互动，提高学生的参与度；
2.注重个体差异，因材施教，帮助每个学生掌握知识点；
3.加强课堂讨论的引导，确保讨论主题的针对性；
4.课后关注学生的反馈，及时解答疑问，巩固所学知识。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作，整体效果较好。但我也注意到，部分学生在讨论过程中存在依赖思想，不够积极主动。为了提高学生的参与度，我将在以后的课堂中加强引导，鼓励学生独立思考，勇于表达自己的观点。
此外，学生小组讨论环节，大家对于等边三角形在实际生活中的应用提出了很多有趣的见解。这说明学生们已经能够将所学知识运用到实际问题中，这让我感到很欣慰。但同时，我也发现部分学生在讨论时容易偏离主题，导致讨论效果受到影响。针对这个问题，我将在今后的教学中加强对学生的引导，确保讨论围绕主题展开。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等边三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作一个等边三角形，并观察其性质。
3.成果展示论（用时10分钟）
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解等边三角形的基本概念。等边三角形是三边长度相等的三角形。它具有独特的性质和判定方法，在几何图形中具有重要地位。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析等边三角形在建筑、艺术等领域的应用，了解它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等边三角形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
九年级数学《三角形中位线》教学设计
九年级数学《三角形中位线》教学设计教材依据：北师大版九年级数学上册第三章证明（三）第一节平行四边形第二课时三角形的中位线。
指导思想：教师必须树立正确的学生观，摆正教师和学生在教育过程中的位置，正确处理教师与学生的关系，主体与主导的有机结合，融为一体。
设计理念：义务教育阶段的数学应体现基础性、普及性和发展性，所以我的设计理念是引导学生进行探究式的学习活动，通过动手操作，发现规律，把自主探索作为数学学习的重要方式，让学生个性得到发展，让学生认识到数学的应用性，乐于投入数学学习中。
教材分析：三角形的中位线是几何学的主要标志之一，是初中数学的重要组成部分。
在当代社会中，三角形的中位线的应用非常广泛，它是人们参加社会生活，从事劳动和学习，研究现代科学技术必不可少的工具，他的内容，思想，方法和语言已广泛渗入自然科学，成为现代文化的重要组成部分。
而且三角形的中位线的性质也学习梯形中位线的基础，为四边形的中点问题服务。
学情分析：本班学生基础知识不是很扎实，因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。
在此过程中注重知识的迁移同时重点渗透转化、类比、归纳的数学思想方法，使学生的优势得以发挥，劣势得以改进，从而提高学生的整体水平。
教学目标：知识与能力目标：理解并掌握三角形中位线的概念，性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
培养学生解决问题的能力和空间思维能力。
过程与方法目标：1，经历探索三角形性质的过程，让学生动手实践，自主探索，合作交流。
2，通过对问题的探索研究，培养学生大胆猜想。
合理论证的科学精神，培养思维的灵活性。
情感与评价目标：通过学生的团结协作，交流，培养学生友好相处的感情。
体会数学学科的价值，建立正确的数学学习观。
教学的重点，难点：探索并运用三角形中位线的性质，是本课的重点。
从学生年龄特点考虑，证明三角形中位线性质定理的辅助线的添法和性质的灵活应用，运用转化思想解决有关问题是本课的难点。
三角形的高、中线、角平分线教案
三角形的高、中线、角平分线教案章节一：三角形的高教学目标：1. 理解三角形高的概念，掌握三角形高的作法。
2. 能够运用三角形高解决实际问题。
教学内容：1. 三角形高的定义：从三角形的顶点向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段称为三角形的高。
2. 三角形高的作法：a. 以一条边为底，作这条边的垂直平分线。
b. 垂直平分线与对边相交，交点即为垂足。
c. 连接顶点与垂足，即为所求的高。
教学活动：1. 导入：通过举例说明三角形高的概念，引导学生思考三角形高的作用。
2. 讲解：结合图形，讲解三角形高的定义和作法。
3. 练习：让学生独立完成一些三角形高的作图练习，巩固所学内容。
章节二：三角形的中线教学目标：1. 理解三角形中线的概念，掌握三角形中线的性质和作法。
2. 能够运用三角形中线解决实际问题。
教学内容：1. 三角形中线的定义：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段称为三角形的中线。
2. 三角形中线的性质：a. 三角形的中线等于第三边的一半。
b. 三角形的中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
教学活动：1. 导入：通过举例说明三角形中线的概念，引导学生思考三角形中线的作用。
2. 讲解：结合图形，讲解三角形中线的定义、性质和作法。
3. 练习：让学生独立完成一些三角形中线的作图练习，巩固所学内容。
章节三：三角形的角平分线教学目标：1. 理解三角形角平分线的概念，掌握三角形角平分线的性质和作法。
2. 能够运用三角形角平分线解决实际问题。
教学内容：1. 三角形角平分线的定义：从三角形的顶点出发，将顶点与对边连接，并把这条线段分为两部分，使这两部分的长度相等的线段称为三角形的角平分线。
2. 三角形角平分线的性质：a. 三角形的角平分线与对边相交，交点将对边分为两部分，这两部分的长度相等。
b. 三角形的角平分线将顶点的角平分为两个相等的角。
教学活动：1. 导入：通过举例说明三角形角平分线的概念，引导学生思考三角形角平分线的作用。
三角形的高、中线、角平分线的教案
三角形的高、中线、角平分线的教案一、教学目标：1. 让学生理解三角形的高、中线、角平分线的概念。
2. 让学生掌握三角形的高、中线、角平分线的性质。
3. 培养学生运用三角形的高、中线、角平分线解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 三角形的高：从三角形的某个顶点向对边作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高。
2. 三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
3. 三角形的角平分线：从一个顶点出发，把这个顶点的角平分的线段叫做三角形的角平分线。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形的高、中线、角平分线的概念及性质。
2. 教学难点：三角形的高、中线、角平分线的画法及运用。
四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生直观地了解三角形的高、中线、角平分线的概念。
2. 采用讲授法，讲解三角形的高、中线、角平分线的性质。
3. 采用练习法，让学生通过练习巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入：通过复习三角形的相关知识，引出本节课的主题——三角形的高、中线、角平分线。
2. 讲解：讲解三角形的高、中线、角平分线的概念及性质。
3. 演示：通过实物演示或电子白板，展示三角形的高、中线、角平分线的画法。
4. 练习：布置一些有关三角形的高、中线、角平分线的练习题，让学生独立完成。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调三角形的高、中线、角平分线的重要性质。
6. 作业：布置一些有关三角形的高、中线、角平分线的家庭作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂提问，检查学生对三角形的高、中线、角平分线概念的理解程度。
2. 通过练习题，评估学生对三角形的高、中线、角平分线性质的掌握情况。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，综合评价学生对三角形的高、中线、角平分线的学习效果。
七、教学拓展：1. 引导学生思考：在实际应用中，三角形的高、中线、角平分线有哪些作用？2. 介绍三角形的高、中线、角平分线在几何证明题中的应用。
三角形中线与面积问题教案
将四边形问题转化为三角形问题是数学中常见的转化思想。
拓展学生的思维能力。
练习2：如图，在 中，点D是BC边上任意一点,点E,F,G分别为线段AD,BE，CE的中点，则
证明:
练习3：如图，在 中，点D是BC边上任意一点，点E是线段AD的中点，点F，G分别为 与 的重心，则
解法1：直接应用结论：重心分中线为2：1，得到面积关系。
解法2：连接AF，AG，利用重心与顶点的连线将三角形面积三等分求解。
四、拓展
现有一块四边形的花坛,园艺工人要种植两种不同颜色的花卉，要求两种颜色花卉的面积相等,应该如何分配该花坛？
方法一：（做三条辅助线）
方法二：（做两条辅助线）
引入：
由上图做法想到，直接连接对边中点，则是否依然有
证明:
方法三：（做一条辅助线）
五、课堂小结
知识方面：
1、三角形中线等分三角形的面积。
2、三角形的重心与顶点的连线三等分三角形的面积。
通过实际问题入手，调动学生学习的积极性.
通过学生之间的讨论，提升学生与人交流与协作的能力。
通过学生在的展示，提升学生自信心.
该环节的设计主要有两个目的：
(1)学生复习“三角形中线等分三角形面积”这一结论，为后面的应用做准备；
（2)得到第三组的特殊划分图形,引出三角形的重心并继续探究。
培养学生言之有据的习惯，以及几何说理的能力.
教学重点
探究三角形重心的相关结论.
教学难点
1、论证三角形重心的结论;
2、将四边形面积问题转化为三角形面积问题。
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学生做法：连接一条对角线将四边形分成两个三角形。
连接两条对角线可以将四边形分成四个三角形。
这些做法实际上都是先将四边形划分为三角形，再将三角形面积等分。
教师提问：可否直接连接四边形对边中点，将面积进行划分在重组？
教师提示：前面的几种划分办法都是将四边形划分为几个三角形，既然我们已经知道三角形中线等分面积，能否将该四边形的面积转化为一个三角形的面积？
在学习本节课之前学生对重心的认识只是三条中线的交点，而本节课后再看到重心时还应想到：（1）重心与顶点的连线将三角形面积三等分；（2）重心将中线分为2：1的两部分。
将四边形问题转化为三角形问题是数学中常见的转化思想。
拓展学生的思维能力。
学生讲述证明思路，其他同学补充或修正，教师总结。
教师提问：
（1）中线对三角形面积的作用？
（2）学到了哪些有关于重心的知识？
学生思考并口述证明过程，教师板书和修正。
教师提问：此时图形中△EFD与△EGD的面积是否依然相等？该如何设参数？
学生用两种方法求解。
老师提问：这四个点可以继续变化，同学们可想可以想一想还有哪些情况，以及每种情况的面积比是多少？
3、三角形的重心将三角形的中线分为2:1两部分。
数学学习方法：
1、线段关系与三角形面积关系的相互转化。
2、用代数方法解决几何问题。
3、转化的思想。
六、作业
1、如何将三角形面积四等分。
2、五边形的花坛怎样划分使得两种颜色的花卉的种植面积相等。
学生展示自己的划分结果。
通过对第（2）组的讨论，指出哪些划分是相同的情况。并提醒学生在划分时三等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点要标注。
做法：
证明：
猜想：三角形的重心将中线分为长度为2:1的两条线段。
证明：
结论：三角形的重心将中线分为长度为2:1的两条线段。
小结：
（1）三角形的中线将三角形面积等分；
（2）三角形的重心与顶点的连线将三角形面积三等分；
（3）三角形的重心将中线分为2：1的两部分。
三、应用练习
练习1：如图，在 中，点D，E，F，G分别为线段BC，AD，BE，CE的中点，
练习2：如图，在 中，点D是BC边上任意一点，点E，F，G分别为线段AD，BE，CE的中点，则
证明：
练习3：如图，在 中，点D是BC边上任意一点，点E是线段AD的中点，点F，G分别为 与 的重心，则
解法1：直接应用结论：重心分中线为2：1,得到面积关系。
解法2：连接AF，AG，利用重心与顶点的连线将三角形面积三等分求解。
规范学生几何证明的书写过程。
通过边的关系可以得到三角形面积的关系，反过来通过三角形面积的关系也可以得到边之间的关系，从而得到三角形重心的重要结论。
将所得结论应用到图形面积的求解。
通过题目之间的改变使学生体会解决问题中方法的不变。
几何题中恰当的设参数可以是问题简化，更易理解和表达。
使学生感受用代数法解决几何问题的简便。
课题
应用三角形中线解决图形面积问题
教师
杜浩洋北京一零一中学
教学目标
1、使学生应用三角形中线的知识，进一步体会如何解决三角形面积等分的问题；
2、使学生通过“三角形中线等分三角形面积”这一发现，推导出关于三角形重心的重要结论。培养学生发现、猜想和论证的能力；
3、应用本节课所得结论解决四边形面积问题，进一步学会将未知转化为已知；
教学重点
探究三角形重心的相关结论.
教学难点
1、论证三角形重心的结论；
2、将四边形面积问题转化为三角形面积问题.
教学过程
教学设计
师生活动
设计意图
一、问题引入
问题：园艺工人要将一块三角形花坛分成三个面积相等的小三角形，分别种植三种不同的花卉，应该如何分配该花坛？
(1)
(2)
(3)
二、深入探究
在上述划分方法中有一个图形不同于其它图形，单独来研究一下。
四、拓展
现有一块四边形的花坛，园艺工人要种植两种不同颜色的花卉，要求两种颜色花卉的面积相等，应该如何分配该花坛？
方法一：（做三条辅助线）
方法二：(做两条辅助线)
引入：
由上图做法想到，直接连接对边中点，则是否依然有
证明：
方法三：（做一条辅助线）
五、课堂小结
知识方面：
1、三角形中线等分三角形的面积。
2、三角形的重心与顶点的连线三等分三角形的面积。
通过第（1）（2）组图形，复习三角形中线对三角形面积的等分作用。
老师提问：
（1）该图形是如何作图得到的？其中点G是怎样确定的？
（2）如何证明这种划分得到的三个小三角形的面积相等？
学生讲述自己作图过程，并复习关于三角形中线和重心的相关内容。
教师板书证明过程。
教师提问：重心是三条中线的交点，通过图形我们知道重心将每一条中线都分成了两部分，这两条线段之间有何数量关系？
通过实际问题入手，调动学生学习的积极性。
通过学生之间的讨论，提升学生与人交流与协作的能力。
通过学生在的展示，提升学生自信心。
该环节的设计主要有两个目的：
（1）学生复习“三角形中线等分三角形面积”这一结论，为后面的应用做准备；
（2）得到第三组的特殊划分图形，引出三角形的重心并继续探究。
培养学生言之有据的习惯，以及几何说理的能力。