三角形中线与面积问题教案
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BDF ABE S E AD S ??∴=∴=为的中点ABD S ?∴=
三角形全等的证明教案
三角形全等的证明 【知识梳理】 （一）三角形概述： 1．定义（包括内、外角） 2．性质：三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n 边形内角和;④n 边形外角和。 ⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 ⑶角与边：在同一三角形中 3．三角形的主要线段 （1）定义：高线、中线、角平分线、中垂线 （2）××线的交点—-- 三角形的×心及性质 4．特殊三角形（等腰三角形、等边三角形）的判定与性质 等腰三角形： 定理：等腰三角形的两个底角相等，（简称：“等边对等角”） 定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，（简称：“三线合一”） 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，（简称“等角对等边”）。 等边三角形的性质及判定： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 5．全等三角形 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 全等的判定：SAS 、ASA 、AAS 、SSS ： 注意问题： （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等； （2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA ；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA 。 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 寻找对应元素的方法： （1）根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 （2）根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。 翻折 如图（1），?BOC ≌?EOD ，?BOC 可以看成是由?EOD 沿直线AO 翻折180?得到的； 等边 等角 大边 大角 小边 小角
三角形中线
三角形中线 1.三角形中线定义：连结三角形一个顶点和对边中点的线段； 2.三角形中线能将三角形分成面积相等的两部分； 3.三角形的三条中线必交于一点，该交点为三角形重心； 4.重心定理：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍； 5.三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分； 6.解决三角形中线问题，常作的辅助线是倍长中线，塑造全等三角形，或平行四边形； 7.遇到三角形两条中线同时出现时，常需考虑三角形中位线：三角形中位线平行且等于第三边一半； 8.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 9.如果三角形一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 10.等边三角形顶角平分线，底边上的高，底边上的中线，互相重合； 重心，是三边上的中线的交点 垂心，是三边上的高线的交点 内心，是三个内角的平分线的交点 外心，是三边的垂直平分线的交点 三角形的五心 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边距离的2倍，上述交点叫做三角形的重心，上述定理为重心定理。 外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心。 垂心定理三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心。 内心定理三角形的三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心。 旁心定理三角形的一内角平分线与另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。 可以根据这些“心”的定义，得到很多重要的性质： （1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）外心扫三顶点的距离相等； （3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心； （4）内心、旁心到三边距离相等； （5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）外心是中点三角形的垂心； （7）中心也是中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。
公开课《三角形的面积》教案
三角形的面积 教学内容： 人教版五年级上册 教学目标： 1、引导学生用多种方法推导三角形面积的计算公式，理解长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。 2、通过操作使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题。 3、理解三角形的面积与形状无关，与底和高有关，会运用面积公式求三角形面积。 4、引导学生积极探索解决问题的策略，发展动手操作、观察、分析、推理、概括等多种能力，并培养学生的创新意识。 教学重点：理解并掌握三角形面积的计算公式。 教学难点：理解三角形面积的推导过程。 教法与学法：教法：演示讲解、指导实践。 学法：小组合作、动手操作。 教学准备：三角形卡片、多媒体课件 教学过程： 一、情境引入 同学们，我们每天都佩戴着鲜艳的红领巾，高高兴兴地来到学校学习新的知识，那你知道做一条红领巾需要多少布料呢？（不知道）我们佩戴的红领巾是什么形状的？（三角形），怎样计算三角形的面积呢？这节课我们就一起来研究三角形的计算方法（板书课题） 二、探究新知 1、复习平行四边形面积的求法 回忆一下，平行四边形面积计算公式是什么？是怎么推导的？ 我们是先把平行四边形转化成长方形，运用学过的长方形面积的计算公式，找到平行四边形与长方形之间的联系，推导出了平行四边形面积的计算公式，今天这节课，我们继续用转化的数学思想来探索三角形的面积怎样计算。 2、第一次操作实践 怎样把三角形转化成我们所学过的图形呢？请同学们拿出学具袋里的各种三角形，两人一组想一想，拼一拼。（教师巡回指导） 3、交流反馈 谁来说说你是怎样拼的？
（学生汇报并且交流拼法，明确用两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形。）看看这几种拼法它们有什么共同点呢？认真观察，同桌互相说说。 4、第二次操作实践 下面我们再次合作，根据你们转化的图形，找到它们之间的联系，推导出三角形面积的计算公式。（生讨论交流） 学生汇报 师板书：三角形的面积＝底×高÷2 下面请同学再仔细观察所拼成的平行四边形的底与三角形的底，所拼成的平行四边形的高与三角形的高看看有什么发现？ 我们把这种相等的关系叫等底等高。 那么三角形的底乘以三角形的高求出的是什么？（与三角形等底等高的平行四边形的面积。） 为什么除以2呢？（因为三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半，所以要除以2。） 无论什么样的三角形，它的面积都可以转化成平行四边形的面积来计算，所以我们得到三角形的面积公式＝底×高÷2 能用字母表示三角形的面积公式 师板书s=ah÷2（生齐读） 三、运用公式，解决问题 （1）这里有一条红领巾，求它的面积，你需要知道什么条件？你能估测一下这条底边有多长吗？（100厘米） 师：（出示课件）它的高是33厘米，你能计算出它的面积吗？ 四、总结收获 这节课我们运用转化的思想，通过拼摆把三角形转化成与它等底等高的平行四边形，推导出三角形面积公式，大家还有不明白的地方吗？实际上我们还可以运用剪拼或折叠的方法来推导三角形面积公式（课件演示）课下同学们可以动手试一试。 这节课你们最大的收获是什么？（学会了三角形的面积怎样计算；学会了用转化的方法推导三角形的面积计算公式。） 下节课我们继续运用转化的思想探究梯形面积的计算方法。
《三角形面积计算》教案设计
《三角形面积计算》教案设计Teaching plan design of triangle area calculation
《三角形面积计算》教案设计 前言：本文档根据题材书写内容要求展开，具有实践指导意义，适用于组织或个人。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 教学内容： 教材第910页例4、例5及练一练、试一试、练习二第 6-9题。 教学目标： 1．通过操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动，探索并掌握三角形的面积公式，能正确地计算三角形的面积，并应用公式解决简单的实际问题。 2．进一步体会转化方法的价值，培养自己应用已有知识解决新问题的能力，发展自己的空间观念和初步的推理能力。教学重点： 经历探究三角形面积计算公式的过程，理解并掌握三角 形的`面积计算公式。 教学难点： 理解三角形面积公式的推导过程。
教学准备： 多媒体课件、教材第115页的三角形。 探究方案： 一、自主准备 1．说一说：下面每个小方格表示1平方厘米，你知道涂色三角形的面积各是多少平方厘米吗？你是怎么想的？ （）（）（） 2．思考：（1）三角形的面积与它拼成的平行四边形的面积有什么关系？ （2）有没有直接计算三角形面积的方法呢？ （3）假如要你探究三角形的面积，你打算把它转化成什么图形进行研究？我想转化成 二、自主探究 1．拼一拼：从课本第115页上选两个完全一样的三角形剪下来，看看能不能拼成平行四边形。
2．填一填：你剪下的两个完全一样的三角形能拼成平行四边形吗？如果能，拼成的平行四边形的面积和每个三角形的面积各是多少？请填写下表。 3．想一想 （1）拼成平行四边形的两个三角形有什么关系？ （2）拼成的平行四边形的底和高与原三角形的底和高有什么关系？每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积呢？ （3）根据平行四边形的面积公式，怎样求三角形的面积？ 三、自主应用 试一试：完成书上第10页的试一试。 四、自主质疑 说一说： （1）三角形的面积公式是怎么推导的？你还有什么疑问？ （2）你认为本节课应学会什么？ -------- Designed By JinTai College ---------
【北师大版初三数学】第1讲：三角形的证明-教案
知识讲解： 1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理： （1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论： 性质：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等． 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每个角都等于60°； 等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等． 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形； 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）与直角三角形有关的结论： 勾股定理的逆定理； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL) （3）与一般三角形有关的结论：
在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）． 2．命题的逆命题及其真假： 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．其中一个定理称为另一个定理的逆定理．例如勾股定理及其逆定理． 3．尺规作图 线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形 角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线． 课堂练习： 考点一：等腰三角形 【例题】 1、【14外国语期中】等腰三角形的一边为5另一边为9，这这个三角形的周长为（）A．19 B.23 C .14 D.19或23 2、【14外国语月考】等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（） A．有一个内角是600 B.有一个外角是1200 C．有两个角相等 D.腰与底边相等 3、【经开一中月考】将两个全等的有一个角为３００的直角三角形拼成如图所示，其中两条直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（） Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．１ 4、【14外国语月考】腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为。 5、【经开一中月考】一个等腰三角形有一角是７００，则其余两角分别为。 6、【经开一中月考】等腰直角三角形一条边长是1cm,那么它斜边上的高是 cm. 7、【经开一中月考】已知：如图ＡＢ＝ＡＣ，DE∥AC求证：△ＤＢＥ是等腰三角形。 8、【14外国语月考】如图，等边△ABC中，AO是BC边上的中线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD 下方作等边△CDE，连结BE。 （1）求证：AD＝BE
《三角形的面积》教学设计 最新 优质课
《三角形的面积》教学设计 教学内容：人教版五年级上册三角形的面积。 教学目标： １、使学生理解和掌握三角形面积计算的公式，能够应用公式计算三角形的面积；２、经历探索三角形面积计算方法的过程，培养学生抽象概括的能力。 ３、在解决实际问题的过程中体验数学与生活的联系 教学重点：探索并掌握三角形面积计算公式，能正确计算三角形的面积。 教学难点：理解三角形面积公式的推导过程。 教学关键：让学生经历操作、合作交流、归纳发现和抽象公式的过程。 教具准备：课件、两个完全一样的三角形各四组。 学具准备:每个小组至少准备完全一样的直角三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个。 教学过程： 一、创设情境，揭示课题 师：老师今天给大家带来了一个你们比较熟悉的朋友——红领巾，那你们知道做一条红领巾需要多少布料吗？ 师：同学们，求需要多少布料也就是求红领巾的什么？（面积）红领巾是什么形状的？（三角形）你会算三角形的面积吗？这节课 我们就一起研究、探索这个问题。（板书：三角形面积的计算） 二、动手操作，自主探究 1、复习平行四边形面积的求法 师：回忆一下，我们上节课学习了什么图形的面积？生：平行四边形的面积，师：平行四边形面积计算公式是什么？在推导平行四边形面积时我们是把平行四边形转化成了什么图形来求面积，能不能把三角形也转化成我们会求面积的图形来计算它的面积呢？为此老师给大家准备了学具，请同学们拿出学具袋里的学具，看一看按角分有哪些类型的三角形，把它们分分类。比一比你发现什么？（突出每组中的两个三角形完全一样） 2、分组实验，合作学习。 在实验之前先请同学们听清实验要求：
1，请同学们用两个三角形小组合作拼出不同的图形并摆在桌面上； 2，小组长组织讨论并做好实验记录。 好，下面同学们开始实验吧！ 教师巡视，及时了解学生在操作和讨论中存在的问题，并针对性地进行指导 学困生师：你是怎样拼的？能说一说你的拼法吗？ （3）学生自己展示自己的剪拼过程，交流汇报。 ①各小组汇报实验情况。（让学生将转化后的图形贴在黑板上，再选择 代表性的情况汇报） 展示：（用两个完全一样的三角形摆拼） （两锐角三角形）（两钝角三角形）（两直角三角形）（两等腰直角三角形） 底×高÷2 底×高÷2 长×宽÷2 边长×边长÷2 (上面是每个三角形的面积)在每组同学在黑板汇报时 同学们有什么不懂的地方， 可以问问这位小老师。 同学们现在我们已经把三角形转化成了我们已经学过的图形了并且求出了它 的面积，那以后我们每次求三角形的面积时都把它先拼成这些图形再求面积，你 觉得怎么样？你想说什么？(孩子们可能说我觉得太麻烦了，要有一个只属于它自 己的公式就好了)，师：大家都是这样想的吗？
【教学设计】三角形面积的计算 (3)
优选精品资源欢迎下载选用 第3课时：三角形面积的计算教学内容：教材第9- 10页例4、例5。教学目标： 1．使学生经历操作、观察、填表、讨论、归纳等数学活动，探索并掌握三角形的面积公式，能正确地计算三角形的面积，并应用公式解决简单的实际问题。2．使学生进一步体会转化方法的价值，培养学生应用已有知识解决新问题的能力，发展学生的空间观念和初步的推理能力。教学重点：理解并掌握三角形面积的计算公式教学难点：理解三角形面积公式的推导过程教学过程：一、复习导入：复习平行四边形面积公式的推导过程二、探究新知：1．教学例 4：师：仔细观察这 3 个平行四边形，请说出如何求每个涂色的三角形的面积？先自己想，随后在小组中交流。学生讨论后汇报（平行四边形的面积÷2）师：为什么可以用"平行四边形的面积÷2"求出每个涂色的三角形的面积？三角形与平行四边形究竟有怎样的关系？三角形的面积有应当如何计算？今天继续运用“转化”的方法来研究三角形面积的计算。（板书课题：三角形面积的计算）2．教学例 5：（1）出示例 5：师：用例 5 中提供的三角形拼成平行四边形。（注意：课前进行准备）（2）小组交流：你认为拼成一个平行四边形所需要的两个三角形有什么特点？要使学生明确：用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。（3）测量计算拼成的平行四边形的面积和一个三角形的面积并填表。师：如何计算一个三角形的面积？从表中可以看出三角形与拼成的平行四边形还有怎样的关系？（小组交流）得出以下结论：这两个完全一样的三角形，无论是直角、锐角，还是钝角三角形，都可以拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底等于三角形的底，这个平行四边形的高等于三角形的高。每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。板书如下：因为：平行四边形的面积 = 底 × 高所以：三角形的面积 = 底×高÷2（4）用字母表示三角形面积公式：S = a h÷2三、巩固练习：1．完成练一练第1题：先让学生回忆拼得过程，再回答。2．完成练一练第2题：3．完成练习二第 7- 9题：四、全课总结：通过今天的学习有哪些收获？
八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考教案1新版北师大版
《回顾与思考》 教学目标 1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思 路和方法，尺规作图等。 2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规 范的数学语言表达论证过程的能力。 教学重点 通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固 教学难点 本章知识的综合性应用。 教学过程 知识回顾 1、等腰三角形的性质：（边）_______________ ；（角）_______________ ；“三线合一”的 内容____________________________________ 。 2、等边三角形的性质：（边）_______________ ;（角）__________________ 。 3、判定等腰三角形的方法有：（边）_______________ ;（角）________________________ 。 4、判定等边三角形的方法有：（边）_______________ ;（角）________________________ 。 5、_________________________________________________ 线段垂直平分线的性质定理：。 逆定理：____________________________________________________________________ 。 三角形的垂直平分线性质：___________________________________________________ 。 6、_____________________________________________________________ 角的性质定理：。 逆定理：____________________________________________________________________ 。 三角形的角平分线性质：_____________________________________________________ 。 7、___________________________________________________ 三角形全等的判定方法有：。 8 30°锐角的直角三角形的性质： ______________________________________________ 。 9、方法总结： （1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性 质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 （2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。
《三角形的面积》教学案例
《三角形的面积》教学案例 柳林县陈家湾中心校冯利花 【背景】 教学十几年来，讲了很多节课，每节课都值得反思，尤其是《三角形的面积》这节课记忆犹新。“三角形的面积”这部分内容是在学生初步认识了长方形、正方形及平行四边形的面积的基础上,特别是学习了平行四边形面积公式的基础上学习的这部分内容。结合本班学生的实际和学生已有知识开展教学活动，让学生人人都有操作机会，在积累了一定的感性认识后，再引导学生归纳、总结三角形的面积计算公式，然后运用所学知识解决生活中的实际问题，体会到数学与现实生活的密切联系，从而学会解决生活中的实际问题。 【《三角形的面积》教学案例】 1、创设情景：电脑出示长方形、正方形、平行四边形、三角形的图片。 让学生分别说出前三种图形的面积的求法，思考三角形的面积该如何求，面积公式怎么推导。学生尝试，老师引导。 2、实践操作：学生独立思考后分组交流讨论，教师巡视指导。 提问：请同学试着说说你们组是怎么操作的，得到什么结论了。 提示：可不可以用割补法？ 生：将一张直角三角形纸片的三个角向内对折，折成一个长方形，得到长方形的长是原来三角形底的一半，宽就是三角形的高的一半，为此，
三角形的面积等于小长方形面积的2倍。2倍与其中的一个“一半”抵消，还剩一个“一半”为此，三角形的面积等于底乘高除以2 3、再引导：这个办法怎么样？谁还有不同想法，做法？ 生1：这个办法还不错。 生2：将三角形的顶角向底边平行对折，再沿折痕剪开，把得到的小三角形沿中间对折再剪开，分别补在剩下图形的两侧，变成一个长方形。三角形的底没变，高缩小了一半，为此，三角形的面积等于底乘高除以2 师：这个办法怎么样？ 生：也是一个不错的办法。 师：你还有其他做法吗？ 生：选两个同样的三角形，将两个三角形颠倒相拼，拼出一个平行四边形，拼得的平行四边形的底是原来三角形底的2 倍，高不变，所以，三角形的面积等 于底乘高除以2。 师：这个办法怎么样？看来同学们在探究三角形面积的推导想出的办法还真不少，那么，你感觉哪种办法最好？最有创意？ 师：无论哪一种，我们都得出了同样的结论，就是。。。。 生：三角形的面积等于底乘高除以2。 4、共同把这个结论用公式的形式表示出来。 师：谁愿意到黑板面前写一下？
三角形面积的计算教案
教案 教学内容三角形面积的计算课型新授课 教学目标1．理解三角形面积公式的推导过程，正确运用三角形面积计算公式进行计算． 2．培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力． 3．培养学生勤于思考，积极探索的学习精神． 教学重点理解三角形面积计算公式，正确计算三角形的面积 教学难点理解三角形面积公式的推导过程． 教具准备每个学生准备三种类型三角形(每种类型准备2个完全一样的)和一个平行四边形。 教学过程一、激发：1．出示平行四边形 1.5厘米 2厘米 提问：(1)这是什么图形?怎样计算平行四边形的面积。 （板书：平行四边形面积＝底×高） (2)底是2厘米，高是1.5厘米，求它的面积。 (3)平行四边形面积的计算公式是怎样推导的? 2．出示三角形。三角形按角可以分为哪几种? 教师：今天我们一起研究“三角形的面积”（板书） 二、指导探索 （一）推导三角形面积计算公式． 1．拿出手里的平行四边形，想办法剪成两个三角形，并比 较它们的大小． 2．启发提问：你能否依照平行四边形面积的方法把三角形 转化成已学过的图形，再计算面积呢？ 3．用两个完全一样的直角三角形拼． （1）教师参与学生拼摆，个别加以指导 （2）演示课件：拼摆图形 （3）讨论 ①两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形能帮助我 们推导出三角形面积公式吗？为什么？ ②观察拼成的长方形和平行四边形，每个直角三角形的面 个人修改 3．既然平行四边形都可以利用公式计算的方法，求它们的面积，三角形面积可以怎样计算呢?（揭示课题：三角形面积的计算）
积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？ 4．用两个完全一样的锐角三角形拼． （1）组织学生利用手里的学具试拼．（指名演示） （2）演示课件：拼摆图形（突出旋转、平移） 教师提问：每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？ 5．用两个完全一样的钝角三角形来拼． （1）由学生独立完成． （2）演示课件：拼摆图形 6．讨论： （1）两个完全相同的三角形都可以转化成什么图形？ （2）每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？ （3）三角形面积的计算公式是什么？ 7、引导学生明确： ①两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。 ②每个三角形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。（同时板书） ③这个平行四边形的底等于三角形的底。（同时板书） ④这个平行四边形的高等于三角形的高。（同时板书） ？ （二）教学例1 红领巾的底是100cm，高33cm，它的面积是多少平方厘米？ 1．由学生独立解答． 2．订正答案（教师板书） 三、质疑调节 （一）总结这一节课的收获，并提出自己的问题． （二）教师提问： （1）要求三角形面积需要知道哪两个已知条件？ （2）求三角形面积为什么要除以2？ 四、反馈练习(3)三角形面积的计算公式是怎样推导出来的?为什么要加上“除以2”？（强化理解推导过程） 板书：三角形面积＝底×高÷2 （4）如果用S 表示三角形面积，用a和h 表示三角形的底和高，那么三角形面积的计算公式可以写成什么
北师版八年级数学下册教案第一章三角形的证明
第一章三角形的证明 1等腰三角形 第1课时全等三角形及等腰三角形的性质 1．理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理． 2．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步掌握证明的基本步骤和书写格式． 3．掌握等腰三角形性质定理的推论． 重点 掌握等腰三角形的性质定理及推论． 难点 证明等腰三角形的相关性质． 一、复习导入 1．请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： (1)两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； (2)两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； (3)两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； (4)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)； (5)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)． 2．在此基础上回忆全等三角形的判定定理：(推论)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)，并要求学生利用前面所提到的公理进行证明． 3．回忆全等三角形的性质． 二、探究新知 1．等腰三角形的性质定理 问题1：什么是等腰三角形？ 问题2：你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来． 问题3 ：试用折纸的方法回忆等腰三角形有哪些性质． 引导学生得出等腰三角形的性质： 等腰三角形的两底角相等．(简称为“等边对等角”) 问题4：你能利用已有的基本事实和定理证明这些结论吗？ 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B＝∠C. 分析：方法一：作∠BAC的平分线，交BC边于点D；方法二：过点A作AD ⊥BC于点D；方法三：取BC的中点D. 证法一：取BC的中点D，连接AD. ?? ? ?? AB＝AC BD＝CD AD＝AD ?△ABD≌△ACD?∠B＝∠C.
三角形的中线与面积的三个重要结论
三角形的中线与面积的三个重要结论 三角形的中线与三角形的面积有着密切的关系，下面就来探讨一下这个话题. 一、三角形的中线与面积 1、三角形的一条中线与面积 如图1，AD 是三角形ABC 的中线，则ABD S 三角形=ACD S 三角形=2 1ABC S 三角形. 证明：因为AD 是三角形的中线，所以BD=CD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 则ABD S 三角形= 21×BD ×AE,ACD S 三角形=2 1×CD ×AE ，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形， 所以ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形. 由此得到如下结论： 1、等底同高的两个三角形面积相等. 2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等. 2、三角形的二条中线与面积 如图2，AD ，BE 是三角形ABC 的中线，则①BDF S 三角形=AEF S 三角形；②ABF S 三角形=CDFE S 四边形； ③ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=3 1ABC S 三角形. 证明：因为AD 、BE 是三角形的中线，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形，ABE S 三角形=BCE S 三角形， 所以BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形---（1）， AEF S 三角形+ABF S 三角形=BDF S 三角形+CDFE S 四边形——-（2），
（1）—（2）得 BDF S 三角形-AEF S 三角形=AEF S 三角形-BDF S 三角形，所以BDF S 三角形=AEF S 三角形； 因为BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形，所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形； 如图2，连接CF ，易得BDF S 三角形=CDF S 三角形=AEF S 三角形=CEF S 三角形, 所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形= 31ABC S 三角形. 由此得到如下结论： 1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等. 2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍. 3、三角形的三条中线与面积 如图3，AD ，BE,CF 是三角形ABC 的中线，设△BGD 的面积为1S ,△BGF 的面积为2S ,△AGF 的面积为3S ,△AGE 的面积为4S ,△CGE 的面积为5S ,△CGD 的面积为6S ，△ABC 的面积为S.则1S =2S =3S =4S =5S =6S =6 1S. 证明：因为AD 是三角形ABC 的中线，所以BD=CD ，因为三角形ABD 和三角形ACD 的高相同，所以三角形ABD 的面积和三角形ACD 的面积相等，即1S +2S +3S =4S +5S +6S . 因为三角形BGD 和三角形CGD 的高也是相同的，所以两个三角形的面积相等即1S =6S . 所以2S +3S =4S +5S .因为三角形BGF 和三角形AGF 的高相同，BF=AF ，所以AFh BFh 2 121 ，其中h 是点G 到AB 的距离，所以2S =3S ，同理可证4S =5S ，所以23S =24S ，所以3S =4S ， 所以2S =3S =4S =5S ，同理可证1S =2S =3S =6S .所以1S =2S =3S =4S =5S =6S .因为三角形ABC 的面积为S ，所以1S =2S =3S =4S =5S =6S = 6 1S. 由此我们得到如下结论： 三角形的三条中线分三角形成六个小三角形，则六个小三角形的面积相等，等于三角形面
三角形面积公式教学设计
三角形面积教学设计 教学内容：人教版五年级上册84----85页 教材分析：三角形的面积是本单元教学内容的第二课时，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的，是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础，教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题，接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念。学情分析：学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，学生学习时并不陌生，在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础，教学时从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标：1、引导学生用多种方法推导三角形面积的计算公式，理解长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。 2、通过操作使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题。 3、理解三角形的面积与形状无关，与底和高有关，会运用面积公式求三角形面积。 4、引导学生积极探索解决问题的策略，发展动手操作、观察、分析、推理、概括等多种能力，并培养学生的创新意识。 教学重点：理解并掌握三角形面积的计算公式。 教学难点：理解三角形面积的推导过程。 教法与学法：教法：演示讲解、指导实践。 学法：小组合作、动手操作。 教学准备：三角形卡片、多媒体课件 教学过程： 一、情境引入 师：同学们，我们每天都佩戴着鲜艳的红领巾，高高兴兴地来到学校学习新的知识，那你知道做一条红领巾需要多少布料呢？（不知道）我们佩戴的红领巾是什么形状的？（三角形），怎样计算三角形的面积呢？这节课我们就一起来研究三角形的计算方法（板书课题） [设计意图]通过情境的创设，给学生提供现实的问题情境，使学生产生解决问题的欲望，积极主动地参与到学习活动之中。 二、探究新知 1、复习平行四边形面积的求法 师：回忆一下，平行四边形面积计算公式是什么？是怎么推导的？ 师：我们是先把平行四边形转化成长方形，运用学过的长方形面积的计算公式，找到平行四边形与长方形之间的联系，推导出了平行四边形面积的计算公式，今天这节课，我们继续用转化的数学思想来探索三角形的面积怎样计算。
三角形面积的计算教案
一、复习： 提问：同学们，上节课我们学习了平行四边形面积的计算，谁能说说它的面积计算公式是怎样的？你知道它是通过什么方法推导出来的？ 二、导入新课： 你们看，（屏幕出示三个三角形）这些是什么图形？那谁来说说看，哪个三角大？哪个三角小？（到底哪个大，哪个小呢？）要比较它们的大小，必须要知道这三个三角形的面积。那可以用什么方法知道这三个三角形的面积呢？ 三、新课： （一）好，我们就用数方格的方法来求这三个三角形的面积。同样每个方格表示1平方厘米。下面，就请同学们拿出老师发给你们的方格纸，请你数出这三个三角形的面积，看谁数的又对又快。 小结：通过数方格，我们得到了这三个三角形的面积都是12平方厘米，因此，它们的面积是相等的。 那你们觉得用数方格的方法计算三角形的面积，方便吗？既不方便，又不精确。 像一块大的三角形土地，你能用数方格的方法求出它们的面积吗？那有没有更好的方法呢？（把三角形转化成已经学过的图形来计算面积）你真聪明 师：这才是最科学的方法。今天，我们继续用这种方法研究三角形的面积。板书：三角形面积的计算 师：在研究之前，请同学们仔细观察，张老师把这一张长方形纸这样对折，对折出来的是什么图形？那么，折出的其中一个直角三角形是不是这张长方形纸的一半呢？（老师把它剪开，重叠）我们会发现这2个直角三角形是完全一样的，所以其中一个直角三角形就是这张长方形纸的一半。 （二）下面老师就请同学们拿出给你们准备的2个直角三角形、2个钝角三角形，请分别把它们叠起来，发现什么？（重合）说明了什么？（2个直角三角形完全一样的，2个……）那就请同学们想一想：用2个完全一样的三角形可以拼成哪些已学过的图形？ 1、先用2个完全一样的直角三角形拼拼看？ （长方形、平行四边形、形状不同的三角形）的面积我们会计算吗？我们只会计算长方形和平行四边形的面积，那我们就请拼成平行四边形的同学来演示，说说你是怎样拼的？（同学演示） 我们一起来看一下电脑是怎样清楚地操作的？ 2、看清楚了吗？好，我们可以用这种方法想一想，能把2个完全一样的锐角三角形、钝角三角形拼成一个平行四边形吗？开始操作，同桌可互相说说我是怎样拼的？分别请2个同学
《三角形的证明》复习教案
第一章《三角形的证明》 1、性质和判定 2、尺规作图 垂直平分线的应用： （1）确定到两点（三点）距离相等的点的位置 （2）确定线段的中点 （3）过一点作已知直线或线段的垂线 角平分线的应用 （1）把一个角分成n2等份 （2）确定到角的两边或三角形三边距离相等的点 （3）与垂直平分线结合，解决实际问题 3、全等三角形的判定（AAS，SSS，SAS，ASA，HL） 双基训练： 1．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是____________. 2．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是________________. 3．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是________________. 4．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 . 5．已知⊿ABC中，∠A = 090，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC = . 6．在△ABC中，∠A=40°，AB=AC ，AB的垂直平分线交AC与D，则∠DBC 的度数为． 7．Rt⊿ABC中，∠C=90o，∠B=30o，则AC与AB两边的关系
是 ， 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300 ，腰长为6，则其底边上的高是 。 9. 如图，在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ， 要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（ ） A.∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D 10．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ） A.30° B.36° C.45° D.70° 11．如图，△ABC ≌△AEF ，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，则对于结论①AC ＝AF ；②∠FAB ＝∠EAB ；③EF ＝BC ；④∠EAB ＝∠FAC ，其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12． 如图， DC ⊥CA ，EA ⊥CA ， CD=AB ，CB=AE ．求证：△BCD ≌△EAB ． 13.如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC ； 14．如图，在△ABD 和△ACE 中，有下列四个等式： ①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE ．以其中．．三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程。 已知： . 求证： . 证明： 提升练习 16.如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD. 求证：D 在∠BAC 的平分线上. D E C B A
三角形中线专题
中线：顶点到对边中点的连线段 第一、 中线等分面积； 1．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是 ( ) A ．中线 B ．角平分线 C ．高线 D ．三角形的角平分线 2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 上两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三角形 有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况） 3．△ABC 的周长为16cm ，AB ＝AC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 分成周长相等的两个三角形．若BD ＝3cm ，求AB 的长． 4．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案． 第二、 中线提供了对应全等的一组边——倍长中线构造全等； 实例：△ABC 中 AD 是BC 边中线 D A B C N D C B A M F E D C B A 方式1：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN 方式3：过点C 作CF ⊥AD 于F ，过点B 作BE ⊥AD 的延长线于E ； 【经典例题】 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围
D C B A 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示： 方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ） 例6：在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD 【融会贯通】 第 1 题图 A B F D E C
人教版小学数学《三角形的面积》教案
三角形的面积 教学目标 知识与技能：创设学生自主探索三角形面积计算方法的学习情境，通过实践操作、猜想验证、交流讨论等学习形式，使学生推导出三角形面积的计算公式，并能运用公式计算三角形的面积，解决一些实际生活中的面积计算问题。 问题解决与数学思考：通过操作、交流、观察、比较，使学生发现三角形的面积与长方形、平行四边形的面积之间的联系，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展学生的空间观念。情感与态度：激发学生探索问题、发现问题的兴趣，培养学生的创新意识、数学应用意识和实践能力。 教学重难点 重点：理解并掌握三角形面积的计算公式。 难点：理解三角形面积计算公式的推导过程。 教学过程 一、情境引入 教师：老师给大家带来了一件你们非常熟悉的物品，请看，（教师慢慢打开它）是什么？ 教师：大家都知道，红领巾是国旗的一角，是少先队员的象征。那么其实在红领巾当中，也包含着许多数学知识，比如说，红领巾是什么形状？有关三角形你还记得哪些知识？ 选2-3个学生
教师：大家的记忆力真不错，三角形与“3”很有缘，三角形有三条边，三个顶点，三个角。每条边都能记作底，然后画出他们对应的高。还记得怎么画高吗？我们回顾一下。 教师：那如果老师想做这么一条红领巾，需要多大的布，该怎么办？学生：求它的面积 揭题 教师：今天老师就和大家一起来探讨研究三角形面积的计算。 二、探究新知 1、复习平行四边形的计算公式 教师：回忆一下，平行四边形的面积计算公式是如何推导出来的？ 学生回答 教师：先通过剪拼法把它转化成长方形，然后找到平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽，最后利用长方形的面积公式推导出平行四边形的面积。其实这个过程我们可以简单地概括成转化、找关系、推导（一边板书）。 教师：我们在研究三角形的面积计算公式时，能不能从平行四边形面积的推导过程中得到一点启发，把三角形的面积转换成学过的图形的面积呢？ 2、四人小组动手合作 教师：请同学们拿出自己的三角形，拼拼看，能拼出什么图形？ 学生四人合作 学生汇报