上册 微专题十一 概率与代数几何知识的综合人教版九级数学全一册课件
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【思想方法】 概率与代数、几何的综合运用其本质还是求概率，但需要应用代 数和几何的方法确定某些限制条件的事件数．一般的方法是利用列表或画树状图求 出所有等可能的情况，再求出满足条件的情形，进一步求概率，此类问题能很好地 考查学生将概率知识与其他知识的综合．
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有三张卡片(形状、大小、颜色、质地都相同)，正面分别写上整式 x2 ＋1，－x2－2，3.将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的 整式为 A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为 B，于是得到代数式 A B.
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能的结果； (2)若 m，n 都是方程 x2－5x＋6＝0 的解时，则小明获胜；若 m，n 都不是方程 x2－5x＋6＝0 的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？ 解：(1)画树状图如答图所示；
变形 3 答图
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由表可知，总共有 9 种等可能的结果，甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程 ax －y＝5 的解的结果有 3 种：(0，－5)，(2，－1)，(3，1)，
∴甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程 ax－y＝5 的解的概率为39＝13.
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解：(2)画树状图如答图所示，
变形 2 答图 共有 6 种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有 2 种，故 P(拼 成轴对称图形)＝26＝13.
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∴PAB是分式＝46＝23.
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二 概率与几何的综合
[2019·黔三州]平行四边形 ABCD 中，AC，BD 是两条对角线，现从以
下四个关系：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC 中随机取一个作为
变形1答图
∴该点刚好落在第一象限的概率为26＝13.
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[2019·孝感]一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字－ 2，－1，0，1，它们除了数字不一样外，其他完全相同．
件2a－ 3 1>3，则 a>5，∴满足条件的 a 的值为 6，7，8，9，∴有解的概率 P＝49.
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在学习“二元一次方程组的解”时，张老师设计了一个数学活动：有 A， B 两组卡片，每组各 3 张，A 组卡片上分别写有 0，2，3，B 组卡片上分别写有－5， －1，1，每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从 A 组中随机抽取一张 记为 x，乙从 B 组中随机抽取一张记为 y.
点 M 的所有等可能的结果有 16 种，点 M 落在四边形 ABCD 内(含边界)的结果 有(－2，0)，(－1，－1)，(－1，0)，(0，－2)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)共 8 个，
∴P＝186＝12.
上册 微专题十一 概率与代数、 几几 何何 知知 识识 的的 综综 合合 人-教20版20九秋级人数教学版全九一年册级课数件学全一 册课件 (共28 张PPT)
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五 概率与函数的综合
[2019·枣庄]从－1，2，3，－6 这四个数中任取两个数，分别记作 m，n，
那么点(m，n)在函数 y＝6x图象上的概率是( B )
三 概率与方程(或不等式)的综合
有 9 张卡片，分别写有 1～9 这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，
4x≥3（x＋1），
任意抽出一张，记卡片上的数字为 4
a，则使关于
x
的不等式组2x－x－2 1<a
有
解的概率为___9___．
【解析】 设不等式组有解，则不等式组的解为 3≤x<2a－ 3 1，那么必须满足条
1 (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是___4___；
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图2
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(2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的 横坐标，然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 M 的纵坐标．如图 2，已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(－2，0)，B(0， －2)，C(1，0)，D(0，1)，请用画树状图或列表法，求点 M 落在四边形 ABCD 内(含 边界)的概率．
条件，即可推出平行四边形 ABCD 是菱形的概率为( B )
1 A.4
B．12
C．34
D．1
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[2019·常州]将图 1 中的 A 型(正方形)、B 型(菱形)、C 型(等腰直角三角 形)纸片分别放在 3 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这 3 个盒子装 入一只不透明的袋子中．根据以上信息，解决下列问题：
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[2018·株洲]从－5，－130，－ 6，－1，0，2，π 这七个数中随机抽取一
个数，恰好为负整数的概率为( A )
A.27
B．37
C．47
D．57
【解析】 ∵负整数有－5 和－1，∴恰好为负整数的概率为27.故选 A.
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3
x2＋1 －x2－2 x2＋1
3
－Hale Waihona Puke Baidu2－2
－x2－2 x2＋1
－x2－2 3
3
3 x2＋1
3 －x2－2
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(2)代数式BA所有可能的结果共有 6 种，每种结果出现的可能性相等，其中代数式 AB是分式的结果有 4 种，
解：(1)∵从盒中随机取出一枚棋子是黑棋的概率是38， ∴x＋x y＝38，即 y＝53x；① (2)∵往盒中再放进 10 枚黑棋，取得黑棋的概率变为12， ∴x＋x＋y＋1010＝12.② 由①②，解得xy＝＝2155.，
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(1)若甲抽出的数字是 2，乙抽出的数是－1，它们恰好是 ax－y＝5 的解，求 a 的 值；
(2)在(1)的条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程 ax－y＝5 的解的概率 (请用树状图或列表法求解)．
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[2019·甘肃模拟]在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相 同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字 1，2，3，4，乙口袋中的小球上分 别标有数字 2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为 m，再从乙袋中摸 出一个小球，记下数字为 n.
微专题十一 概率与代数、几何知识的综合
一
二
三
四
五
一 概率与代数的综合 (教材 P141 习题 25.2 第 9 题) 盒中有 x 枚黑棋和 y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别． (1)从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，写出表示 x 和 y 关系的 解析式； (2)往盒中再放进 10 枚黑棋，取得黑棋的概率变为12，求 x 和 y 的值．
(1)请用画树状图或列表的方法，写出代数式AB所有可能的结果； (2)求代数式AB恰好是分式的概率．
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解：(1)列表：
第一次 A B 第二次
x2＋1
x2＋1 －x2－2
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四 概率与坐标系的综合
从－2，1，3 这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标．
(1)写出该点所有可能的坐标；
(2)求该点在第一象限的概率． 解：(1)画树状图如答图， ∴所有可能的坐标为(1，3)，(1，－2)，(3，1)，(3，－2)， (－2，1)，(－2，3)； (2)∵共有 6 种等可能的结果，其中点(1，3)，(3，1)落在第一 象限，
解：(1)把 x＝2，y＝－1 代入 ax－y＝5，得 2a＋1＝5，解得 a＝2；
(2)列表：
A (x，y) B
－5
0 (0，－5)
2 (2，－5)
3 (3，－5)
－1
(0，－1)
(2，－1)
(3，－1)
1
(0，1)
(2，1)
(3，1)
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0
(－2，0) (－1，0) (0，0) (1，0)
1
(－2，1) (－1，1) (0，1) (1，1)
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解：(2)列表如下：
小聪
－2
－1
0
1
小明
－2 (－2，－2) (－1，－2) (0，－2) (1，－2)
－1 (－2，－1) (－1，－1) (0，－1) (1，－1)
1 A.2
B．13
C．14
D．18
【解析】 从－1，2，3，－6 这四个数中任取两个数，所有可能的结果有 12 种，
每种结果的可能性相同，其中，点(m，n)在函数 y＝6x图象上的情况有 4 种，因此 P
＝142＝13.故选 B．
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(2)解 x2－5x＋6＝0，得 x1＝2，x2＝3， 由树状图知共有 12 个等可能的结果，m，n 都是方程 x2－5x＋6＝0 的解的结果 有 4 个， m，n 都不是方程 x2－5x＋6＝0 的解的结果有 2 个， 则小明获胜的概率为142＝13，小利获胜的概率为122＝16， 小明获胜的概率大．
图1 (1)搅匀后从中摸出 1 个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的
2 概率是___3___；
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(2)搅匀后先从中摸出 1 个盒子(不放回)，再从余下的 2 个盒子中摸出 1 个盒子， 把摸出的 2 个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概 率．(不重叠无缝隙拼接)
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有三张卡片(形状、大小、颜色、质地都相同)，正面分别写上整式 x2 ＋1，－x2－2，3.将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的 整式为 A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为 B，于是得到代数式 A B.
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能的结果； (2)若 m，n 都是方程 x2－5x＋6＝0 的解时，则小明获胜；若 m，n 都不是方程 x2－5x＋6＝0 的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？ 解：(1)画树状图如答图所示；
变形 3 答图
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由表可知，总共有 9 种等可能的结果，甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程 ax －y＝5 的解的结果有 3 种：(0，－5)，(2，－1)，(3，1)，
∴甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程 ax－y＝5 的解的概率为39＝13.
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解：(2)画树状图如答图所示，
变形 2 答图 共有 6 种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有 2 种，故 P(拼 成轴对称图形)＝26＝13.
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∴PAB是分式＝46＝23.
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二 概率与几何的综合
[2019·黔三州]平行四边形 ABCD 中，AC，BD 是两条对角线，现从以
下四个关系：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC 中随机取一个作为
变形1答图
∴该点刚好落在第一象限的概率为26＝13.
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[2019·孝感]一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字－ 2，－1，0，1，它们除了数字不一样外，其他完全相同．
件2a－ 3 1>3，则 a>5，∴满足条件的 a 的值为 6，7，8，9，∴有解的概率 P＝49.
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在学习“二元一次方程组的解”时，张老师设计了一个数学活动：有 A， B 两组卡片，每组各 3 张，A 组卡片上分别写有 0，2，3，B 组卡片上分别写有－5， －1，1，每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同．甲从 A 组中随机抽取一张 记为 x，乙从 B 组中随机抽取一张记为 y.
点 M 的所有等可能的结果有 16 种，点 M 落在四边形 ABCD 内(含边界)的结果 有(－2，0)，(－1，－1)，(－1，0)，(0，－2)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)共 8 个，
∴P＝186＝12.
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五 概率与函数的综合
[2019·枣庄]从－1，2，3，－6 这四个数中任取两个数，分别记作 m，n，
那么点(m，n)在函数 y＝6x图象上的概率是( B )
三 概率与方程(或不等式)的综合
有 9 张卡片，分别写有 1～9 这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，
4x≥3（x＋1），
任意抽出一张，记卡片上的数字为 4
a，则使关于
x
的不等式组2x－x－2 1<a
有
解的概率为___9___．
【解析】 设不等式组有解，则不等式组的解为 3≤x<2a－ 3 1，那么必须满足条
1 (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是___4___；
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图2
上册 微专题十一 概率与代数几何知识的综合人教版九级 数学全 一册课 件
(2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的 横坐标，然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 M 的纵坐标．如图 2，已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(－2，0)，B(0， －2)，C(1，0)，D(0，1)，请用画树状图或列表法，求点 M 落在四边形 ABCD 内(含 边界)的概率．
条件，即可推出平行四边形 ABCD 是菱形的概率为( B )
1 A.4
B．12
C．34
D．1
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[2019·常州]将图 1 中的 A 型(正方形)、B 型(菱形)、C 型(等腰直角三角 形)纸片分别放在 3 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这 3 个盒子装 入一只不透明的袋子中．根据以上信息，解决下列问题：
上册 微专题十一 概率与代数几何知识的综合人教版九级 数学全 一册课 件
[2018·株洲]从－5，－130，－ 6，－1，0，2，π 这七个数中随机抽取一
个数，恰好为负整数的概率为( A )
A.27
B．37
C．47
D．57
【解析】 ∵负整数有－5 和－1，∴恰好为负整数的概率为27.故选 A.
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3
x2＋1 －x2－2 x2＋1
3
－Hale Waihona Puke Baidu2－2
－x2－2 x2＋1
－x2－2 3
3
3 x2＋1
3 －x2－2
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(2)代数式BA所有可能的结果共有 6 种，每种结果出现的可能性相等，其中代数式 AB是分式的结果有 4 种，
解：(1)∵从盒中随机取出一枚棋子是黑棋的概率是38， ∴x＋x y＝38，即 y＝53x；① (2)∵往盒中再放进 10 枚黑棋，取得黑棋的概率变为12， ∴x＋x＋y＋1010＝12.② 由①②，解得xy＝＝2155.，
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(1)若甲抽出的数字是 2，乙抽出的数是－1，它们恰好是 ax－y＝5 的解，求 a 的 值；
(2)在(1)的条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程 ax－y＝5 的解的概率 (请用树状图或列表法求解)．
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一
二
三
四
五
一 概率与代数的综合 (教材 P141 习题 25.2 第 9 题) 盒中有 x 枚黑棋和 y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别． (1)从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，写出表示 x 和 y 关系的 解析式； (2)往盒中再放进 10 枚黑棋，取得黑棋的概率变为12，求 x 和 y 的值．
(1)请用画树状图或列表的方法，写出代数式AB所有可能的结果； (2)求代数式AB恰好是分式的概率．
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解：(1)列表：
第一次 A B 第二次
x2＋1
x2＋1 －x2－2
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四 概率与坐标系的综合
从－2，1，3 这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标．
(1)写出该点所有可能的坐标；
(2)求该点在第一象限的概率． 解：(1)画树状图如答图， ∴所有可能的坐标为(1，3)，(1，－2)，(3，1)，(3，－2)， (－2，1)，(－2，3)； (2)∵共有 6 种等可能的结果，其中点(1，3)，(3，1)落在第一 象限，
解：(1)把 x＝2，y＝－1 代入 ax－y＝5，得 2a＋1＝5，解得 a＝2；
(2)列表：
A (x，y) B
－5
0 (0，－5)
2 (2，－5)
3 (3，－5)
－1
(0，－1)
(2，－1)
(3，－1)
1
(0，1)
(2，1)
(3，1)
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0
(－2，0) (－1，0) (0，0) (1，0)
1
(－2，1) (－1，1) (0，1) (1，1)
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解：(2)列表如下：
小聪
－2
－1
0
1
小明
－2 (－2，－2) (－1，－2) (0，－2) (1，－2)
－1 (－2，－1) (－1，－1) (0，－1) (1，－1)
1 A.2
B．13
C．14
D．18
【解析】 从－1，2，3，－6 这四个数中任取两个数，所有可能的结果有 12 种，
每种结果的可能性相同，其中，点(m，n)在函数 y＝6x图象上的情况有 4 种，因此 P
＝142＝13.故选 B．
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上册 微专题十一 概率与代数几何知识的综合人教版九级 数学全 一册课 件
(2)解 x2－5x＋6＝0，得 x1＝2，x2＝3， 由树状图知共有 12 个等可能的结果，m，n 都是方程 x2－5x＋6＝0 的解的结果 有 4 个， m，n 都不是方程 x2－5x＋6＝0 的解的结果有 2 个， 则小明获胜的概率为142＝13，小利获胜的概率为122＝16， 小明获胜的概率大．
图1 (1)搅匀后从中摸出 1 个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的
2 概率是___3___；
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(2)搅匀后先从中摸出 1 个盒子(不放回)，再从余下的 2 个盒子中摸出 1 个盒子， 把摸出的 2 个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概 率．(不重叠无缝隙拼接)