简单的线性规划1
04-06线性规划-1
最优解（optimal solution）
使目标函数取得最大值（或最小值）的可行解 称为最优解。
LP一般形式
一组决策变量
满足这三个要素的 问题就是线性规划 问题
每个问题都用一组决策变量表示某个方案，通 常要求这些未知数取值是非负的。
一个线性目标函数
max s CX s.t. AX b X 0
一般称C为价值向量，b为资源向量，A为技术系数矩阵
关于标准型要把握几点
决策变量大于等于0 约束条件均为等式 约束条件右端项bi大于等于0 目标函数为求max
如何将一般问题化为标准型？
若目标函数是求最小 值 Min z = CX 令 z’= - z, 则 Max z’= - CX
该问题可行域为空集， 即无可行解，也不存在 最优解
第3部分 线性规划的标准型(SLP)
线性规划标准型(SLP)
写成缩小形式或矩阵形式
max s c j x j
j 1
n
n aij x j bi , i 1,2,, m s.t. j 1 x 0, j 1,2,, n j
产品A 9 4 3 产品B 4 5 10 资源限额
360工时 200台时 300公斤
70
120
问：如何安排生产使该厂获利最大？
解：设x1,x2分别表示A、B两种产品的产量 那么其总利润为： z=70x1+120x2 并且由于资源限制，应有： 9x1＋4x2≤360
4x1+5x2≤200
3x1+10x2≤300 我们的目标是使z最大
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约束方程的
影响独立于其他变量的，目标函数值是每个决策变量对 目标函数贡献的总和
1.线性规划
通常是求最大值或 最小值；
2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不
等式或等式。
【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天， 轮流休息。根据统计，商场每天至少需要的营业员如表1.2所示。
表1.2 营业员需要量统计表
min f (x), s.t. x∈.
约束条件
可行解域
线性规划（Linear Programming,缩写为LP） 是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广 泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便， 应用领域更广泛和深入。 线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运 行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼 顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企 业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得 最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
运筹学的主要内容
数 学 规 划 组 合 优 化 随 机 优 化
线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划 多目标规划 双层规划 最优计数问题 网络优化 排序问题 统筹图 对策论 排队论 库存论 决策分析 可靠性分析
学 科
内
容
许多生产计划与管理问题都可以归纳为最优 化问题, 最优化模型是数学建模中应用最广泛的 模型之一,其内容包括线性规划、整数线性规划、 非线性规划、动态规划、变分法、最优控制等. 近几年来的全国大学生数学建模竞赛中，几 乎每次都有一道题要用到此方法. 此类问题的一般形式为： 目标函数
星 期 需要 人数 星 期 需要 人数
一
二 三 四
300
300 350 400
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第1课时)教案 必修5
3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】 画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域， 如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a 2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32. 1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． 【解】 (1)作出可行域，如图所示， ∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页) 直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示： 其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： 又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。
高考数学一轮复习第七章7.1二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件文北师大版
1
m∈(0,2].
√2
,
2
考点2
求目标函数的最值问题 (多考向探究)
考向1 求线性目标函数的最值
2 + -2 ≤ 0,
【例 2】(1)(2020 全国 1,文 13)若 x,y 满足约束条件 --1 ≥ 0, 则 z=x+7y
+ 1 ≥ 0,
的最大值为
.
2 + -2 ≥ 0,
(2)(2020 福建福州模拟,理 13)设 x,y 满足约束条件 -2 + 4 ≥ 0,则 z=x-3y
(1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式(组).若满足不
等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域;否则
就表示直线与特殊点异侧的那部分区域.当不等式中带等号时,边界画为实线,不
带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.
(2)也常利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于
(3)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.( × )
(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( √ )
(5)在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截
距.( × )
-3 + 6 < 0,
2.不等式组
表示的平面区域是(
- + 2 ≥ 0
.
思考如何利用可行域求非线性目标函数最值?
答案 (1)A
11
(2)
2
解析 (1)作不等式组表示的可行域,如图所示.
由于
又
+1
k= 表示动点
江苏省泰兴市第一高级中学苏教版必修五数学《3.3.3 简单的线性规划问题(1)》教学设计
3.3。
3简单的线性规划问题（1）江苏省泰兴市第一高级中学陈燕教学目标：1．让学生了解线性规划的意义，以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念．2．让学生掌握线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值与最小值．教学重点:用图解法求线性规划问题的最优解．教学难点:对用图解法求解简单线性规划问题的最优解这一方法的理解和掌握．教学方法：1．在学生的独立探究和师生的双边活动中完成简单的线性规划的数学理论的构建，在实践中掌握求解简单的线性规划问题的方法—-图解法．2．渗透数形结合的思想，培养分析问题、解决问题的能力．教学过程:一、问题情境1．情境：我们先考察生产中遇到的一个问题：（投影）某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需要A种原料4t 、B 种原料12t,产生的利润为2万元;生产1t 乙种产品需要A 种原料1t 、B 种原料9t ，产生的利润为1万元．现有库存A 种原料10t ，B 种原料60t ，问如何安排才能使利润最大？为理解题意,可以将已知数据整理成下表:（投影)x 、y ，根据题意，A 、B 两种原料分别不得超过10t 和60t ，即41012960x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，，，即4104320x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，．．这是一个二元一次不等式组，此外,产量不可能是负数，所以0,0≥≥y x ③于是上述问题转化为如下的一个数学问题：在约束条件410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，．④下,求出x ，y ,使利润（万元）y x P +=2达到最大．2．问题:上述问题如何解决？ 二、学生活动①①让学生探究解决这个问题分几个步骤；②让学生分组讨论：如何在不等式组确定的区域中找到y=2取P+x得最大值的数对（x，y)；③由学生整理解决这个问题的思路．（投影）首先，作出约束条件所表示的区域．其次，考虑yP+=2变x=2的几何意义,将yxP+形为P=2,它表示斜率为－2，在y轴上截距为P-y+x的一条直线．平移直线P34=x与20+yx的-xy+=2，当它经过两直线104=+y交点A(1.25,5）时，直线在y轴上的截距P最大．因此,当5x=2取得最大值5.7x时，yP+=y25,.1=+⨯，即甲、乙两2=525.1种产品分别生产1.25t和5t时，可获得最大利润7。
第一部分 第三章 3.3 第二课时 简单的线性规划问题
5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设 备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每 天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天 的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该 公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租 赁费最少为__________元．
3.3
第 三 章
二元 一次 不等 式组
第二 课时
简单
不 等 式
与简 单的 线性 规划
的线 性规 划问 题
问题
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
考点一 考点二 考点三
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第二课时 简单的线性规划问题 返回
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现在是信息时代，广告可以给公司带来效益．某公 司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的 广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙两个电视台的 收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟． 问题1：设在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x分 钟，y分钟，试ห้องสมุดไป่ตู้出满足条件的不等关系．
答案：9
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2．在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)， 目标函数z＝x－y，则使z取得最小值的点的坐标 为____________．
解析：对直线y＝x＋b进行平移，注意b越大，z越 小故，四个点中，过点A(1,1)时 z取最小值0. 答案：(1,1)
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[例 2]
0≤x≤1 (2011·苏 北 四 市 三 调 )在 约 束 条 件 0≤y≤2 2y－x≥1
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[一点通] 解答线性规划应用题的一般步骤： (1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准 确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量 有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题 目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺． (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而 将实际问题转化为数学上的线性规划问题． (3)求解——解这个纯数学的线性规划问题． (4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
线性规划案例1
线性规划案例研究韦德玻璃制品公司新产品生产问题李克很兴奋，他领导的小组获得了显著的成功。
作为韦德玻璃制品公司发展部经理，李克凭着自己领导的小组开发的创新产品，使公司取得了相当大的增长，公司总裁吴总已公开表示过李克在公司近来的成功中所起的关键作用。
事情是这样的，吴总在6个月之前要求李克小组开发了下列新产品：2米的铝矿玻璃门；1米*1.5米的双把木框窗尽管这些规格的门窗产品其他几家公司已有生产，吴总还是认为李克能施展他惯用的魔法在产品中引入使人兴奋异常的新特征，而这些新特征将会建立新的工业标准。
现在李克真是喜不自禁，因为他们已经开发出新产品了。
背景韦德玻璃制品公司生产高质量的玻璃制品，包括工艺精湛的窗和玻璃门。
尽管这些产品昂贵，但它们是为客户提供的行业中最高质量的产品。
公司有三个工厂：工厂1：生产铝矿和五金件工厂2：生产木框工厂3：生产玻璃和组装窗与门由于某些产品销售量的下降，高层管理部门决定调整公司的产品线。
如果征得管理部门的同意，不盈利的产品要停止生产并撤出生产能力来生产李克小组开发的两个新产品。
此外，韦德公司的生产计划是以周为单位制定的。
收到李克所写的两个新产品的备忘录，吴总召集了一次会议来讨论当前的问题。
包括吴总、李克，制造副总裁老毕和营销副总裁安娜参加了会议。
李克介绍了了产品的特性。
他认为玻璃门有三个特性能够引起消费者的驻足和注意。
一是玻璃门的隔热价值，它比市场上现有的任何一个玻璃门都要高得多。
开发人员采用了三种方式来实现这个特性：第一种是两面上光；第二种是在两面玻璃之间充入惰性气体；第三种是使用了特殊涂层和色料。
第二个特性是李克所使用的玻璃比一般的玻璃有更佳的紫外线防护能力，第三个特性是这种玻璃很难打破，用大锤都不容易打碎它，有人在玻璃上行走或者一只鸟撞向玻璃，它都不会破碎。
双把木框窗所用的玻璃与玻璃门相同。
此外，木材的精细加工使其保存极为长久，而且窗还有一个专门机关，使得它比一般的窗更容易滑动。
简单的线性规划问题(第1课时)课件2
x＋2y 8
x 2 y 8
4 4y x
16 12
x y
4 3
x 0
x
0
y 0
y 0
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获 利3万元，采用那种生产安排利润最大？
0.06 0.06
174xx174
y y
6 6
x 0
x 0
y 0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y 4 x z
它表示斜率为 4
3 28
3
随z变化的一组平行直
线系
6/7 y
z 28 是直线在y轴上 5/7 M
为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题，统称为线性规划问题。y
满足线性约可束行的域解 4 3
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成
的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做这个问题的最优解。
三、例题
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
y
y 2 x z
4
3
3
3
它表示斜率为
2 3
的
M
直线系，z与这条直线
的截距有关。
o
4
8x
如图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距
最大，即z最大。
3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
高中数学课件归纳必修5第三章不等式3.3.2简单线性规划(第1课时)课件
（1课时）
y
o
x
一、问题引入
问题1:
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产 一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产 品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所 有可能的日生产安排是什么?
3.线性规划
在线性约束下求线性目标函数的最值问题, 统称为线性规划.
4.可行解 5.可行域 6.最优解
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解. 所有可行解组成的集合叫做可行域.
使目标函数取得最值的可行解叫做这个问 题的最优解.
变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙 产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
B组 3
把z=2x+3y变形为y=-
2 3
x+
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为
z 3
的直线,
当点P在可允 许的取值范 围内
求
z 的最值 3
求
z的最值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 问题：求利润z=2x+3y的最大值.
y
x 2 y 8，
4
44
x y
16， 12，
3
x
0，
0
y 0.
Zmax 4 2 2 3 14.
（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线；
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
体 验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解. 二、最优解一般在可行域的顶点处取得.
线性规划_1
解
假设我们想要让 变成基变量, 即选择 为进基 变量, 根据基本可行解的表示式, 必须让 只出 现在一个等式约束中
在
的各行除以 的系数
可得
在
中选定一行, 用其它行
减去该行, 即可达到只有一行有 的目的, 例如, 用一、二行减去第三行可以得到
整理后可得 问题：第一个方程的右边出现负数！
为了避免前面的问题, 在方程
第一、证明可行集总是凸集, 总有顶点是最优解, 所有顶点组成的集合总是有限集第二、如何计算顶 点
第三、如何在顶点集中找到最优解
凸集
如果某个集合中任意两点连起来的直线都属于该集合, 则称其为凸集, 否则为非凸集, 如下图所示
凸集
非凸集
数学定义:
是凸集
当且仅当对任意实数和任意的
均成立
线性规划的可行集是凸集 规范形式可行集
其中
如果要选
）进基, 则应该仅保留第 行
（的 , 出基, 其中 满足
即
为获得 进基、 出基后的基本可行解的表 示式, 需要对原来的表示式
进行行等价变换, 使 前面的系数向量
变成
具体做法: 先在第 行除 以乘以 加到第
, 再将第 行分 别行
可以利用数据表完成换基运算 的表示式
由下面的数据表完全确定 （基变量）
基变量的函数关系代入
以
获得仅含非基变量的
,相
下面前三行等式将第四行的基变量的系数变成当于0
利
用
对于扩充约束 将第一行乘以-1加到第四行就可以得到 我们将其称为基本可行解 的扩充表示式
从扩充表示式
可以获得下述信息:
是基本可行解 的目标函数值满足 目标函数可以写成
,即 , 因此
第一 线性规划(共188张PPT)
x1 ≥0， x2 ≥0
• 综上所述，该问题的数学模型表示为
maxZ= 3x1 +5 x2
x1
≤8
2x2 ≤12
3x1 +4 x2 ≤36
x1 ≥0, x2 ≥0
5
第一节 线性规划一般模型
• 例2. 运输问题 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、 A2、A3,其一级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、 B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj 的每吨饮料运费为Cij，为发挥集团优势，公司要统 一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。
(3)约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足：
▪ 供应平衡条件
x11+x12+x13+x14=5 x21+x22+x23+x24=2 x31+x32+x33+x34 =3
§ 销售平衡条件
x11+x21+x31=2 x12+x22+x32=3 x13+x23+x33=1 x14+x24+x34=4
§ 非负性约束
29
第三节 线性规划的标准型
§ 标准化2
minZ= x1 +2 (x2′-x 2〃) +3 x3′
函数。可能是最大化，也可能是最小化。 • 线性规划一般模型的代数式 为：
max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤(≥,＝)b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤(≥,＝)b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤(≥,＝)bm x1,x2,…,xn ≥(≤)0
线性规划整数规划0-1规划
mn
Min f =
i=1 j=1
cij
xij
n
s.t. xij =ai i = 1,2,…,m
j=1
m
xij bj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
只要在模型中的产量限制约束（后n 个不等式约束）中引入n个松弛变量 xm+1j j = 1,2,…,n即可，变为：
xi2 1100
i1
x23x13 C
2
xi3 200
乙
4
x2i 1100
x14 x24 D
i1
2
xi4 100
i 1
j1
x ij 0(i 1 ,2 ;j 1 ,2 ,3 ,4 )
min f 21x11 25x12 7x13 15x14
51x21 51x22 37x23 15x24
足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
数学模型：
mn
min
z
cij x ij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2, , m
j1
m
s .t .
xij b j , j 1,2, , n
i1
xij 0, i 1,2, , m ; j 1,2, , n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，
解 令 x i , j 为在第 j 节车上装载第 i 件包装箱的
数量（i 1,2,L 7; j 1,2）；ni 为第i 种包装箱需 要装的件数；wi 为第i 种包装箱的重量；ti 为第i 种 包 装 箱 的 厚 度 ； cl j 为 第 j 节 车 的 长 度 （cl j 1020）；cw j 为第 j 节车的载重量； s 为特 殊限制（s 302.7）。
线性规划模型(1)
线性规划模型简介线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种重要分支，它旨在寻找一组线性方程的最佳解。
线性规划模型广泛应用于运筹学、经济学、管理学等领域，具有较强的实践意义。
基本概念目标函数在线性规划模型中，目标函数是线性方程组中的一个方程，用于表示要优化的目标。
通常情况下，线性规划问题有两类目标：最小化目标和最大化目标。
最小化目标函数的线性规划问题称为“最小化问题”，最大化目标函数的线性规划问题称为“最大化问题”。
约束条件线性规划的约束条件是一个线性方程组，用于限制解的可行域。
约束条件可以是等式约束或不等式约束。
等式约束要求线性方程组的解满足给定的等式关系，不等式约束要求线性方程组的解满足给定的不等式关系。
可行解在线性规划问题中，可行解是满足所有约束条件的解。
可行解是问题的解空间中的一个点。
最优解最优解是在线性规划模型中要求得的解，它是使目标函数取得最大（或最小）值的可行解。
线性规划问题的一般形式线性规划问题可以用以下一般形式表示：max/min Z = c^T * xsubject to:Ax <= bx >= 0其中，Z是目标函数的值，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量。
A是约束条件矩阵，b是约束条件的右侧常数列。
线性规划模型的求解方法线性规划模型可以通过多种方法来求解，常见的方法有： 1. 单纯形法（Simplex Method）：单纯形法是一种迭代求解线性规划问题的方法。
该方法通过逐步移动顶点来搜索可行解空间，直到找到最优解。
2. 内点法（Interior Point Method）：内点法是一种直接求解线性规划问题的方法。
该方法利用内点理论，在可行解空间内搜索最优解。
3. 分支定界法（Branch-and-Bound Method）：分支定界法将线性规划问题划分为多个子问题，并通过剪枝策略逐步缩小搜索范围，直到找到最优解。
4. 整数规划算法（Integer Programming Algorithms）：当线性规划问题的决策变量要求为整数时，可以使用整数规划算法进行求解。
第01-03章线性规划(1)
s.t.
x1+x2+x3≤7
x1-x2+x3≥2
-3x1+x2+2x3＝5
x1，x2≥0
24
(3)
Min z = -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 ≤ 28 4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 ≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 ≤ - 58 x1 , x3 , x4 ≥ 0 解：首先，将目标函数转换成极大化： 令 z’ = -z = 3x1–5x2–8x3+7x4 ； 其次考虑约束，有3个不等式约束，引进松弛变 量x5 ,x6 ,x7 ≥0 ； 由于x2无非负限制，可令x2=x2’-x2”,其中x2’≥0 ， x2”≥0 ； 由于第3个约束右端项系数为-58，于是把该式两 端乘以-1 。 25
矩阵，一般有0<m<n
A=[aij]m×n i=1,2,..,m;j=1,2,…,n是约束条件方程的系数
X=(x1,x2,…,xn)T b= (b1,b2,…,bn)T
17
二、标准形式
1.标准型的描写形式
繁写形式
Max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 . . . am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm x1 ，x2 ，… ，xn
内容提要如何建立一个简单的线性规划模型线性规划模
2.2 线性规划的图解法
画出直线2x212，定出2x2≤12的平面。 由于原点满足不等式2x2＜12，所以2x2≤12 为含直线2x212在内的下半平面。画出直线 x18，定出x1≤8的半平面，由于原点满足该 不等式，所以x1≤8表示含原点在内的左半平 面及直线x18本身。本模型的可行域图形如 图2.1阴影部分所示，即标识为R的部分。
17百袋，B工地需要用水泥1800袋，C工地需要水 泥1500袋。为此，甲、乙两个水泥厂每天生产 2300袋水泥和2700袋水泥专门供应三个工地。两 个水泥厂至工地的单位运价如表2.2所示。
问：如何组织调运使总运费最省。
2.1 线性规划及其数学模型
表2.2
水泥厂至工地运价
千元/百袋
工地
A
B
C
水泥厂
由题意容易得到如下数学模型：
minz=x11 +1.5x12 +2x13 +2x21 +4x22 +2x23
x11 x12 x13 23
x
21
x22
x23
27
s.t.
x11 x12
x21 x22
17 18
x13
x23
15
xij
其中，min是英文minimize（最小化）的缩写。
（2-1） （2-2）
2.1.2 线性规划的一般模型
建立一个实用的线性规划模型必须明确以 下四个组成部分的含义：
第一，决策变量。决策变量是模型中的可控而未知的 因素，经常使用带不同下标的英文字母表示不同的变 量，如式（2-2）中的xj。 第二，目标函数。线性规划模型的目标是求系统目标 的极值，可以是求极大值，如企业的利润和效率等， 也可以是求极小值，如成本和费用等。式（2-1）即为 最优化目标函数，简称目标函数。式中opt即optimize （最优化）的缩写，根据问题要求不同，可以表示为 max（最大化）或min（最小化）。
线性规划知识点
线性规划知识点引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在经济学、工程学、管理学等领域得到广泛应用。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用领域。
一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标函数是要最大化或最小化的数学表达式。
它通常是一组决策变量的线性组合。
1.2 约束条件：线性规划的约束条件是对决策变量的限制条件，可以是等式或不等式。
约束条件限制了决策变量的取值范围。
1.3 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值组合称为可行解。
线性规划的目标是找到最优的可行解。
二、线性规划模型建立2.1 决策变量的定义：线性规划中，需要定义决策变量，表示问题中需要优化的变量。
2.2 目标函数的构建：根据问题的具体要求，将目标转化为数学表达式，并构建目标函数。
2.3 约束条件的建立：根据问题的约束条件，将其转化为数学表达式，并建立约束条件。
三、线性规划的求解方法3.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制目标函数和约束条件的图形来找到最优解。
3.2 单纯形法：单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法。
它通过迭代计算，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。
3.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法求解。
这种方法在实际问题中具有重要应用价值。
四、线性规划的应用领域4.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，使得生产成本最低或产量最高。
4.2 资源分配：线性规划可以用于优化资源分配，使得资源利用效率最大化。
4.3 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，确定最佳的运输方案，以降低运输成本。
结论：线性规划是一种重要的数学优化方法，它通过建立数学模型，求解最优解，解决了许多实际问题。
了解线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用领域，对于提高问题解决能力和决策水平具有重要意义。
线性规划1
习题一1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
(1) min z ＝6x1＋4x2(2) max z ＝4x1＋8x2st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤103x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8x1, x2≥0 x1, x2≥0(3) max z ＝x1＋x2(4) max z ＝3x1－2x2st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤14x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥42x2≥4 x1, x2≥0x1, x2≥0(5) max z ＝3x1＋9x2(6) max z ＝3x1＋4x2st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8－x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12x2≤6 2x1＋x2≤162x1－5x2≤0 x1, x2≥0x1, x2≥01.2. 在下列线性规划问题中，找出所有基本解，指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。
(1) max z ＝3x1＋5x2(2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3st. x1＋x3＝4 st. x1＋3x3－x4＝32x2＋x4＝12 2x2＋2x3－x5＝5 3x1＋2x2＋x5＝18 x j≥0 （j＝1, (5)x j≥0 （j＝1, (5)1.3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
(1) max z ＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8x1, x2≥0(2) max z ＝100x1＋200x2st. x1＋x2≤500x1≤2002x1＋6x2≤1200x1, x2≥0９１０1.4. 分别用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类：(1) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3 (2) max z ＝2x 1＋ x 2＋ x 3st. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 st. 4x 1＋2x 2＋2x 3≥42x 1＋ x 2 ≤4 2x 1＋4x 2 ≤20x 1＋ x 2－ x 3＝5 4x 1＋8x 2＋2x 3≤16x j ≥0 （j ＝1,2,3） x j ≥0 （j ＝1,2,3）(3) max z ＝ x 1＋ x 2 (4) max z ＝x 1＋2x 2＋3x 3－x 4st. 8x 1＋6x 2≥24 st. x 1＋2x 2＋3x 3＝154x 1＋6x 2≥－12 2x 1＋ x 2＋5x 3＝202x 2≥4 x 1＋2x 2＋ x 3＋ x 4＝10x 1, x 2≥0 x j ≥0 （j ＝1, (4)(5) max z ＝4x 1＋6x 2 (6) max z ＝5x 1＋3x 2＋6x 3st. 2x 1＋4x 2 ≤180 st. x 1＋2x 2＋ x 3≤183x 1＋2x 2 ≤150 2x 1＋ x 2＋3x 3≤16x 1＋ x 2＝57 x 1＋ x 2＋ x 3＝10x 2≥22 x 1, x 2≥0，x 3无约束x 1, x 2≥01.5 线性规划问题max z ＝CX ，AX ＝b ，X ≥0，如X*是该问题的最优解，又λ＞0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化：（1） 目标函数变为max z ＝λCX ；（2） 目标函数变为max z ＝（C ＋λ）X ；（3） 目标函数变为max z ＝C X ，约束条件变为AX ＝λb 。