四种命题与充要条件

常用逻辑用语与充要条件

【高考考情解读】1•本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的

命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查 2试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下.

1. 命题的定义

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.

2•四种命题及其关系

(1) 原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若 q则p:否命题为若「 p贝归q;逆否命题为若二q贝归P •

⑵原命题与它的逆否命题等价：逆命题与它的否命题等价•四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假.

命题真假判断的方法：

⑴对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明.若判断其为假命题只需举出一个反例.

(2) 对于复合命题的真假判断应利用真值表.

(3) 也可以利用互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假.

3. 充分条件与必要条件的定义

(1) 若p? q且q p，则p是q的充分非必要条件.

(2) 若q? p且p―q，则p是q的必要非充分条件.

(3) 若p? q且q? p，则p是q的充要条件.

(4) 若p―q 且 q—p，则 p是q的非充分非必要条件.

设集合A={x|x满足条件p}, B= {x|x满足条件q}，则有

⑴若A? B,则p是q的充分条件，若A B,则p是q的充分不必要条件；

⑵若B? A,则p是q的必要条件，若B A则p是q的必要不充分条件；

⑶若A= B,则p是q的充要条件；

(4) 若A? B,且B? A,则p是q的既不充分也不必要条件.

2 •充分、必要条件的判定方法

(1)定义法，直接判断若 p则q、若q则p的真假.

⑵传递法.

⑶集合法：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A={x|p(x)} , B= {x|q(x)}, 则①若A? B,则p是q的充分条件；②若B? A则p是q的必要条件；③若A= B,则p是q 的充要条件.

⑷等价命题法：利用 A? B与「B? n A, B? A与「A? n B, A? B 与n B? n A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础.

热点分类突破解斬离考

1. 简单的逻辑联结词

(1) 命题中的“且”、“或“非”凹作逻辑联结词.

(2) 简单复合命题的真值表：

2. 全称量词与存在量词

(1) 常见的全称量词有“任意一个” “一切”“每一个” “任给”“所有的”—

(2) 常见的存在量词有“存在一个”“至少有二个” “有些”“有一个” “某个”“有的”等.

3. 全称命题与特称命题

(1) 含有全称量词的命题叫全称命题.

(2) 含有存在量词的命题叫特称命题.

4. 命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.

（2）p或q的否定：非p且非q； p且q的否定:非p或非q.

注:

1. 逻辑联结词“或”的含义

逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同•如“x€ A或x€ B” , 是指：x € A且x?B; x?A且x€ B； x€ A且x€ B三种情况.再如“ p真或q真”是指：p 真且q假；p 假且q真；p真且q真三种情况.

2. 命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.

命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系.

3. 含一个量词的命题的否定

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

1. （2013皖南八校）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）

A .“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B .“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C. “若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D .“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数.选 B.

2. （2012湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）

A .任意一个有理数，它的平方是有理数

B .任意一个无理数，它的平方不是有理数

C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D .存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案 B

解析这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为全称量词“任意一个”，故选 B。

2. 已知a, b, c€ R，命题“若a+ b + c= 3,贝U a2+ b2+ c2>3”的否命题是（）

A .若 a+ b + C M 3,贝U a2+ b2+ c2<3

B .若 a+ b + C= 3,则 a2+ b2+ C2<3

C.若 a+ b + C M 3,贝U a2+ b2+ C2> 3

D .若 a2+ b2+ C2》3，贝V a+ b+ C= 3

答案 A

解析从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别.命题的否命