通用版2019年中考数学总复习第七章图形的变化第30讲锐角三角函数与解直角三角形练本课件
中考总复习解直角三角形
解直角三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；●掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；●掌握互为余角和同角三角函数间关系；●掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形；●了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题．复习策略：●复习本专题应从四方面入手：（1）直角三角形在角方面的关系；（2）直角三角形在边方面的关系；（3）直角三角形的边角之间的关系；（4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素．同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题．二、学习与应用知识点一：锐角三角函数“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识考点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#248924知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。
（一）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C是直角，如图（1）正弦：∠A的与的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；（2）余弦：∠A的与的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；（3）正切：∠A的与的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（二）同角三角函数关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A= ；（2）商数关系：tanA= ．（三）互余两角的三角函数关系sinA=cos（），cosA=sin（）．（四）特殊角的三角函数值（五）锐角三角函数的增减性（1）角度在0°～90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而（或）．（2）角度在0°～90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而（或）．要点诠释：∠A在0°～90°之间变化时，＜sinA＜，＜cosA＜，tanA＞知识点二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形．（一）三边之间的关系：a2+b2= （勾股定理）（二）锐角之间的关系：∠A+∠B= °（三）边角之间的关系：sinA= ，cosA= ，tanA=要点诠释：解直角三角形时，只要知道其中的个元素（至少有一个），就可以求出其余未知元素．知识点三：解直角三角形的实际应用（一）仰角和俯角：在视线与所成的角中，视线在上方的是仰角；视线在下方的是俯角．（二）坡角和坡度：坡面与的夹角叫做坡角．坡面的和的比叫做坡面的坡度（即坡角的值）常用i表示．（三）株距：相邻两树间的．（四）方位角与方向角：从某点的方向沿时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．从方向或方向到目标方向所形成的小于°的角叫做方向角．经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。
九年级数学专题复习锐角三角函数
总复习锐角三角函数【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点进阶：ABCabc(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点进阶：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点进阶：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点进阶：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，一角，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点进阶：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点进阶：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c==，cos sin b A B c ==，1tan tan a A b B==． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ；由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD ＝AD ＝BD ＝12AB ； ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径R ＝12AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c abr a b c+-==++． 直角三角形的面积： ①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B ===△．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABC S r a b c =++△．【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质例1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．举一反三：【变式】如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A ．B ．C ．D ．类型二、特殊角的三角函数值 例2．解答下列各题： (1)化简求值：tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．举一反三： 【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值.例3．如图，在锐角△ABC 中，AB=15，BC=14，S △ABC =84，求： （1）tanC 的值；（2）sinA 的值．CBA举一反三：【变式】如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米？(精确到0.1千米)类型三、解直角三角形及应用例4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长．例5．如图所示，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ，用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高(精确到0.1m)．(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．举一反三：【变式】如图所示，正三角形ABC的边长为2，点D在BC的延长线上，CD＝3．(1)动点P在AB上由A向B移动，设AP＝t，△PCD的面积为y，求y与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PC＝z，求z与t之间的函数关系式．例6．如图(1)所示，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子与地面的倾斜角α为60°．(1)求AO与BO的长．(2)若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图(2)所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD＝2:3，试计算梯子顶端A 沿NO下滑了多少米；②如图(3)所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35,则tan A 等于 ( )A ．35 B ．45 C ．34 D ．432．在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA=ab．则下列关系式中不成立的是（ ）A ．tanA•cotA=1B ．sinA=tanA•cosAC ．cosA=cotA•sinAD ．tan 2A+cot 2A=1第2题 第3题3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（ ） A ．34 B ．43 C ．35 D ．454．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( )A ．247B ．73C ．724D ．135．如图所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y ＝－33x ＋33，则cos α等于 ( ) A ．12B ．22C ．32D ．336．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB 长是（ ）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里二、填空题7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为5．则θ＝．8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 .9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= .第8题第9题第11题10．当0°＜α＜90°时，求21sincosαα-的值为．11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则t an∠OBE=．12．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 .三、解答题13．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m 时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）14. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，如图所示．按规定，地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）15．如图所示，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C、D间的距离．从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°，测得湖中小岛D的俯角为45°．已知小山AB的高为180米，求小岛C、D间的距离．(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA，交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系；然后证明你的猜想；(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C 不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)。
中考数学知识点专题分类复习：第30讲锐角三角函数
sin A cos B cos A sin B sin 2 A cos2 A 1
tan A cot B cot A tan B tan A 1 (倒数)
cot A
tan A cot A 1
3、任意锐角的正弦由值等A 于它B的余90角 的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦 B
故选 D． 【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之 和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
2. （2017 山东聊城）在 Rt△ABC 中，cosA= ，那么 sinA 的值是（ ）
A． B． C． D． 【考点】T3：同角三角函数的关系；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值即可． 【解答】解：∵Rt△ABC 中，cosA= ，
弦
斜边
sin A a c
0 sin A 1
(∠A 为锐角)
余 cos A A的邻边
弦
斜边
cos A b c
0 cos A 1
(∠A 为锐角)
正 tan A A的对边 tan A a
切
A的邻边
b
tan A 0
(∠A 为锐角)
余 cot A A的邻边
切
A的对边
cot A b a
cot A 0
值。
得B 90 A
斜边 c
对
a边
sin A cos B cos A sin B
sin A cos(90 A) A cos A sin(90 A)
b
C 邻边
4、任意锐角的正切值由等于A 它 的B余角90的 余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切
通用版2019年中考数学总复习第七章图形的变化第30讲锐角三角函数与解直角三角形讲本
中考失分点 33：没有先确定直角 1.一直角三角形的两边长分别为 6 和 8， 则该三角形中较 小锐角的正弦值为 .
2.网格中的每个小正方形的边长都是 1， △ ABC 每个顶点 都在网格的交点处，则 cosA＝ .
6.(2018· 黄石)如图， 无人机在空中 C 处测得地面 A， B两 点的俯角分别为 60° ， 45° ，如果无人机距地面高度 CD 为 100 3米，点 A，D，B 在同一水平直线上，则 A，B 两点间 的距离是 米.(结果保留根号)
锐角三角函数 例 1.(1)(2018· 孝感)如图，在 Rt△ ABC 中， ∠C＝90° ， AB ＝10，AC＝8，则 sinA 等于( A ) 3 A. 5 4 B. 5 3 C. 4 4 D. 3
题组训练 1.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长 度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点.△ ABC 的顶点都在 方格的格点上，则 cosA＝ .
2.(2018· 眉山)如图， 在边长为 1 的小正方形网格中， 点 A， B， C， D 都在这些小正方形的顶点上， AB， CD 相交于点 O， 则 tan∠AOD＝
2.如图，一辆小车沿倾斜角为 α 的斜坡向上行驶 13 米， 12 已知 cosα＝ ，则小车上升的高度是( A ) 13 A.5 米 B.6 米 C.6.5 米 D.12 米
3.(2018· 金华)如图， 两根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上， 量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿 AB 与 AD 的长度之比 为( B ) tanα sinβ sinα cosβ A. B. C. D. tanβ sinα sinβ cosα
4.(2018· 苏州)如图， 某海监船以 20 海里/小时的速度在某 海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至 A 处时，测得 岛屿 P 恰好在其正北方向，继续向东航行 1 小时到达 B 处， 测得岛屿 P 在其北偏西 30° 方向，保持航向不变又航行 2 小 时到达 C 处， 此时海监船与岛屿 P 之间的距离(即 PC 的长)为 (D) A.40 海里 C.20 3海里 B.60 海里 D.40 3海里
中考数学锐角三角函数(共56张PPT)
二、填空题
(1)求旋转木马E处到出口B处的距离； (2)求海洋球D处到出口B处的距离.(结果保留整数)
解：(1) ∵AE=80，∠BAE=30°，∠ABE =90°, ∴BE=AEsin30°=80× =40(m). 答：旋转木马E处到出口B处的距离为40 m.
(2) ∵∠CED=∠AEB，∠DCE=∠ABE =90°,
∴∠D=∠BAE=30°.
∵CD=34 m,
∴DE=
=
=
(m).
∴DB=BE+DE=
≈40+
≈79(m).
答：海洋球D处到出口B处的距离为79 m.
二、填空题
11. 小明在某次作业中得到如下结果： sin27°+ sin283°≈0．122+0．992=0．9945; sin222°+ sin268°≈0．372+0932=1．0018; sin229°+ sin261°≈0．482+0．872=0．9873; sin237°+ sin253°≈0．602+0．802=1．0000;
二、填空题
9. (2017北京)计算：4cos30°+
原式=4× +1-
+2
=
+1- +2=3.
-
+
.
10.(2017湘潭)某游乐场部分平面图如图Z2816所示，点C,E,A在同一直线上，点D,E,B在 同一直线上，测得A处与E处的距离为80 m， C处与D处的距离为34 m，∠C=90°，∠ABE =90°，∠BAE=30°. (2≈1．4，3≈1．7)
图Z28-7
A.
m
B.
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中考总复习：锐角三角函数综合复习--知识讲解(提高)
中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞0． 考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就Ca bc是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， (1)三边之间的关系：222a b c +=； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c==，1tan tan a A b B==． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ；由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则 ①CD ＝AD ＝BD ＝12AB ； ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径R ＝12AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c abr a b c+-==++． 直角三角形的面积： ①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B ===△．（h 为斜边上的高） ②如图所示，1()2ABC S r a b c =++△． 【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID ：408468 播放点：例2】1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边．(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【答案与解析】(1)选B．(2)在△ABC，∠C＝90°，3sin5 BCAAB==．设BC＝3k，则AB＝5k(k＞0)．由勾股定理可得AC＝4k，∴4432 cos tan5315k kA Bk k+=+=．(3)由已知，AD是半圆的直径，连接CD，可得∠ACD＝90°∠B＝∠D，所以sinB＝sinD＝23 ACAD=．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己尝试完成．举一反三：【变式】（2015•乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB==，AD==2cosA===，故选：D．类型二、特殊角的三角函数值【高清课堂：锐角三角函数综合复习 例1】2．解答下列各题： (1)化简求值：tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．【思路点拨】第(2)题可以先利用关系式sin 2 A+cos 2A ＝1对根号内的式子进行变形，配成完全平方的形式． 【答案与解析】解 (1)tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°(2)∵12sin cos A A -2(sin cos )|sin cos |A A A A =-=-，∴12sin cos A A -cos sin (045)sin cos (4590)A A A A A A -<⎧=⎨-<<⎩°≤°°°．【总结升华】由第(2)题可得到今后常用的一个关系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2． 例如，若设sin α+cos α＝t ，则21sin cos (1)2t αα=-． 举一反三：【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID ：408468 播放点：例1】 【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值. 【答案】∵3sin 22α，且2α为锐角， ∴2α＝60°，α＝30°． ∴12cos sin 22βα===， ∴β＝45°． ∴23tan()tan 3033β==°． 3．（2015春•凉州区校级月考）如图，在锐角△ABC 中，AB=15，BC=14，S △ABC =84，求： （1）tanC 的值；（2）sinA 的值．【思路点拨】（1）过A 作AD ⊥BC 于点D ，利用面积公式求出高AD 的长，从而求出BD 、CD 、AC 的长，此时再求tanC 的值就不那么难了．（2）同理作AC 边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA 的值． 【答案与解析】 解：（1）过A 作AD ⊥BC 于点D ． ∵S △ABC =BC •AD=84， ∴×14×AD=84，∴AD=12． 又∵AB=14， ∴BD==9．∴CD=14﹣9=5． 在Rt △ADC 中，AC==13，∴tanC==；（2）过B 作BE ⊥AC 于点E ． ∵S △ABC =AC •EB=84， ∴BE=，∴sin ∠BAC===．【总结升华】考查了锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，以及解直角三角形公式的灵活应用． 举一反三：【变式】如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米？(精确到)【答案】过点C 作CD ⊥AB 于点D.EABCCD 就是连接两岸最短的桥.设CD=x （千米）. 在直角三角形BCD 中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.在直角三角形ACD 中，∠ACD=30°，所以AD=CD ×tan ∠ACD=x ·tan30°=x.因为AD+DB=AB ，所以x+x=3，x=≈答：从C 处连接两岸的最短的桥长约为. 类型三、解直角三角形及应用4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长． 【思路点拨】解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程． 【答案与解析】解：作DE ∥AC 交CB 于E ，则∠EDC ＝∠ACD ＝90°．∵4cos 5CD DCE CE =∠=， 设CD ＝4k(k ＞0)，则CE ＝5k ，由勾股定理得DE ＝3k ．∵△ACD 和△CDB 在AB 边上的高相同，∴AD:DB ＝:2:3ACD CDB S S =△△．即553533AC DE k k ==⨯=． ∴44tan 55CD k A AC k ===．∵AC+CD ＝18， ∴5k+4k ＝18，解得k ＝2． ∴2241241AD AC CD k =+==．∴AB ＝AD+DB ＝AD+32AD ＝541． 【总结升华】在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等． 5．如图所示，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ，用高为的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高(精确到)．(参考数据：sin10°≈°≈°≈°≈°≈°≈ 【思路点拨】本题是求四边形一边长的问题，可以通过添加辅助线构造直角三角形来解． 【答案与解析】解：如图所示，延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB ． ∴DF ＝DB ·sinl5°≈50× CE ＝BF ＝DB ·cos15°≈50× ∴AE ＝CE ·tan10°≈× ∴≈答：树高约为． 【总结升华】一些特殊的四边形，可以通过切割补图形的方法将其转化为若干个直角三角形来解． 举一反三：【变式】如图所示，正三角形ABC 的边长为2，点D 在BC 的延长线上，CD ＝3．(1)动点P 在AB 上由A 向B 移动，设AP ＝t ，△PCD 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PC ＝z ，求z 与t 之间的函数关系式． 【答案】解：(1)作PE ⊥BC 于E ，则BP ＝AB-AP ＝2-t(0≤t ＜2)． ∵∠B ＝60°， ∴1133sin (2)2222PCD S CD PE CD BP B t ===-△， 即3333(02)42y t t =-+≤<． (2)由(1)不难得出，3(2)2PE t =-，1(2)2BE t =-． ∴112(2)(2)22EC BC BE t t =-=--=+． ∵22222231(2)(2)2444PC PE EC t t t t =+=-++=-+．∴224(02)z t t t =-+≤<．6．如图(1)所示，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60°．(1)求AO 与BO 的长．(2)若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．①如图(2)所示，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD ＝2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑了多少米；②如图(3)所示，当A 点下滑到A ′点，B 点向右滑行到B ′点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ′点，若∠POP ′＝15°，试求AA ′的长．【思路点拨】（1）在直角△AOB 中，已知斜边AB ，和锐角∠ABO ，即可根据正弦和余弦的定义求得OA ，OB 的长；（2）△APO 和△P′A′O 都是等腰三角形，根据等腰三角形的两底角相等，即可求得∠PAO 的度数， 和∠P′A′O 的度数，在直角△ABO 和△A′B′O 中，根据三角函数即可求得OA 与OA′，即可求得AA′的长．【答案与解析】解：(1)Rt △AOB 中，∠O ＝90°，α＝60°，∴∠OAB ＝30°．又AB ＝4米，∴OB ＝12AB ＝2米．OA ＝AB ·sin 60°＝4×2＝米)． (2)①设AC ＝2x ，BD ＝3x ，在Rt △COD 中，OC ＝2x ，OD ＝2+3x ，CD ＝4，根据勾股定理：OC 2+OD 2＝CD 2，∴2222)(23)4x x ++=．∴213(120x x +-=．∵x ≠0，∴13120x +-=．∴1213x =．24213AC x ==．即梯子顶端A 沿NO 下滑了2413米． ②∵点P 和点P ′分别是Rt △AOB 的斜边AB 与Rt △A ′OB ′的斜边A ′B ′的中点，∴PA ＝PO ，P ′A ′＝P ′O ．∴∠PAO ＝∠AOP ，∠P ′A ′O ＝∠A ′OP ′．∴∠P ′A ′O-∠PAO ＝∠POP ′＝15°．∵∠PAO ＝30°，∴∠P ′A ′O ＝45°．∴A ′O ＝A ′B ′·cos 45°＝42⨯=∴AA ′＝OA-A ′O ＝米．【总结升华】解答本题的关键是理解题意．此题的妙处在于恰到好处地利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而求出∠P′A′O=45°，让我们感受到了数学题真的很有意思，做数学题是一种享受．。
锐角三角函数复习课课件
90度角
总结词
正弦值和余弦值不存在，正切值为无穷大
详细描述
在90度角时，正弦函数值和余弦函数值都不存在，因为无法定义与x轴的角度；正切函数值为无穷大 ，因为在直角三角形中，对边长度可以无限小而保持与斜边的比值不变。
03
锐角三角函数的图像与性质
正弦函数图像
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其图像在直角坐标系中呈波 浪形。
用三角函数来处理角度和旋转。
05
常见题型解析与解题技巧
选择题
• 题型特点：选择题通常考察学生对锐角三角函数基础知识的理 解和应用，题目会给出一些具体的数值或图形，要求选择正确 的答案。
选择题
排除法
根据题目给出的选项，逐一排除明显 错误的答案，缩小选择范围。
代入法
对于涉及数值计算的题目，可以将选 项中的数值代入题目中，通过计算验 证答案的正确性。
在研究磁场和电场时，我们经常需要使用锐 角三角函数来描述场的方向和强度。
日常生活中的问题
建筑和设计
在建筑设计、工程规划和土木工程中，锐角 三角函数用于计算角度、高度和距离等参数 ，以确保结构的稳定性和安全性。
游戏和娱乐
在许多游戏和娱乐活动中，锐角三角函数也 起着重要作用。例如，在制作动画、设计游 戏关卡或创建虚拟现实环境时，我们需要使
总结词
正弦值为0，余弦值和正切值不存在
详细描述
在0度角时，正弦函数值为0，表示射线与x轴重合；余弦函数值不存在，因为无 法定义与x轴的角度；正切函数值也不存在，因为没有对边形成直角三角形。
30度角
总结词
正弦值为0.5，余弦值为0.866，正切值为1/3
详细描述
在30度角时，正弦函数值为0.5，表示对边长度为斜边长度的一半；余弦函数值 为0.866，表示邻边长度为斜边长度的一半的平方根；正切函数值为1/3，表示对 边长度与邻边长度的比值。
人教版初三数学：《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解(提高)
《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确使用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.30∠A 30°45°60°sinAcosAtanA 130°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：要点诠释：1已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
初三锐角三角函数复习讲义
锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA ∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA ，它们称为∠A 的锐角三角函数①斜边)(sin =A ＝______，②斜边)(cos =A ＝______，③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，【特别提醒：1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关。
2、取值范围 <sinA< ， <cosA< ，tanA> 例1. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ．32C ．35D ．455.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECB F7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．22D C B A Oyx第8题图类型三. 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是 （ ）A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12B ．55 C ．1010D ．2552．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 3．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 （ ）A.41 B. 31 C.21D. 14．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．55B.2 5 5 C.12D. 2 CB A ABO知识点二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1.计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 22.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°3．计算：030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ 4．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°锐角α30°45°60°sin αcos αtan α类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (2)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；（3）．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米 2． 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）图13ABCD 45° 30°3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.A BCD E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得点A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1米．参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈)5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i =1:10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE =35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tan α=37，升旗台高AF =1m ，小明身高CD =1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度.3.如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪影响的时间.30°80米OMNAP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC =4米，AB =6米，中间平台宽度DE =1米，EN 、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N 、M 、B ，∠EAB =31°，αABD CEF i FC =1:10DF ⊥BC 于F ，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。
中考专项复习锐角三角函数
与几何图形有关的锐角三角函数问题
总结词
理解几何图形中的角度关系与边长关 系，掌握三角函数的定义及使用。
详细描述
在几何图形中，锐角三角函数通常被 用于求解角度、边长等问题。例如， 在直角三角形中，可以用正弦、余弦 、正切等函数来描述各边与斜边的关 系。
与实际生活有关的锐角三角函数问题
总结词
将实际问题转化为数学问题，通过锐 角三角函数求解。
余弦函数的图像与性质
图像描述
余弦函数图像也是周期性的，但其波形与正弦函数相反，波 峰和波谷随着x的增大而交替出现，且函数值先正后负，周期 为2π。
性质总结
余弦函数具有对称性和周期性，其对称轴为y轴，对称中心为 (kπ+π/2,0)，其中k为整数。此外，余弦函数在区间[0,π/2] 上为增函数，在区间[π/2,π]上为减函数。
中考专项复习锐角三角函
数
汇报人：
2023-12-11
• 锐角三角函数概述 • 锐角三角函数的图像与性质 • 锐角三角函数的应用题解析 • 锐角三角函数的实际应用 • 中考中锐角三角函数的常见考点与题
型 • 中考真题解析与备考策略01锐角三角函数概述
锐角三角函数的定义
正弦函数（sine function）： 锐角α的正弦值与直角三角形 斜边长度的比值，记作sin α。
总结
中考中锐角三角函数一般以填空题和选择题 的形式出现，主要考察的是锐角三角函数的 定义以及运用。题目会设定一个或者几个锐 角，然后利用锐角三角函数的定义，求出这 个锐角的三角函数值。
例子
例如，如果一个锐角A的对边长度为4，邻 边长度为3，那么我们可以使用锐角三角函 数的定义来求出这个锐角的正弦值和余弦值 。根据定义，正弦值=对边长度/斜边长度
中考数学总复习29锐角三角函数与解直角三角形 (共40张PPT)
3 在 Rt△ABF 中，tan∠BAF＝tan∠EFC＝4， BF 3 ∴AB＝4， ∵AB＝8x，∴BF＝6x，
∴BC＝BF＋CF＝10x，∴AD＝10x.
在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD2＋DE2＝AE2，
即(10x)2＋(5x)2＝(5 5 )2，解得x＝1，
∴AB＝8x＝8，AD＝10x＝10，
正弦正切递增值，余弦递减恰相逆.
3.锐角三角函数的性质 (1)同角三角函数之间的关系： sin2α＋cos2α＝ 1；tanα＝ ①sin(90°－α)＝ cosα ； ②cos(90°－α)＝ sinα . (3)锐角三角函数的增减性(0°<α<90°)： ①sinα，tanα的值都随α增大而 增大 ； ②cosα的值都随α增大而 减小.
(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角.
(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角.
(5)坡角：坡面与水平面的夹角. (6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况 下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度， h 即i＝ ＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡. l
A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一
艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿
北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不
明船只，问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？
(最后结果保留整数)
(参考数据：cos75°＝0.2588，sin75°＝0.9659，tan75°＝3.732， 3＝
5.直角三角形在现实生活中的应用
直角三角形的边角关系在现实生活中有着广泛的应用，它经常涉
中考数学 第一轮 系统复习 夯实基础 第七章 图形的变化 第33讲 锐角三角函数和解直角三角形
综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数来解直 角三角形．
8．(原创题)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左 侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC.
【解析】作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出 tan∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC＝∠CDO.
由题意得：AB＝80 海里，BC＝3x 海里，在直角三角形 ABQ 中，
∠BAQ＝60°，∴∠B＝90°－60°＝30°，∴AQ＝21AB＝40，BQ＝ 3
AQ＝40 3，在直角三角形 AQC 中，∠CAQ＝45°，∴CQ＝AQ＝40，
∴BC＝40＋40
3＝3x，解得 x＝40＋340
3 .
即该船行驶的速度为40＋40 3
°，∴∠C＝120°＞90°，∴这种情况不存在；⑤如图 5，BA＝BC，∵
BD⊥AC，∴AD＝CD，在 Rt△ABD 中，∵BD＝1，tan∠ABD＝ 3，∴
AD＝
3，∴CD＝
3.综上所述，CD 的长为 2＋
3或 2－
3或
3或 3
3
1．在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程， 叫做解直角三角形．
5
求锐角三角函数值时，解题的关键是：(1)确定所求的角所在的直角三角 形；(2)准确需要应用三角函数的公式；(3)若无直角，必须构造一个直角 三角形．
4．在△ABC 中，如果∠A，∠B 满足|tanA－1|＋(cosB－21)2＝0，那 么∠C＝_7_5__°___．
解析：先根据△ABC 中内角的三角函数值求出对应的角的度数，进 而可得出结论．
③如图 3，∠C 为钝角且为顶角时，∵tan∠ABD＝ 3，∴∠ABD＝ 60°，∴∠A＝30°，∴∠C＝120°，∴∠BCD＝60°，∵BD＝1，∴CD
通用版2019年中考数学总复习第七章图形的变化第30讲锐角三角函数与解直角三角形练本课件
5.如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧
道(点 A，B 在同一水平面上).为了测量 A，B 两地之间的距
离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C 处，
在 C 处观察 B 地的俯角为 α，则 A，B 两地之间的距离为(D )
A.800sinα 米 B.800tanα 米
C.s8i0n0α米
D.t8a0n0α米
6.如图，已知点 C 与某建筑物底端 B 相距 306 米(点 C 与 点 B 在同一水平面上)，某同学从点 C 出发，沿同一剖面的斜 坡 CD 行走 195 米至坡顶 D 处，斜坡 CD 的坡度(或坡比)i＝ 1∶2.4，在 D 处测得该建筑物顶端 A 的俯视角为 20°，则建 筑物 AB 的高度约为(精确到 0.1 米，参考数据：sin20°≈0.342，
12.(2018·绍兴)如图 1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，
图 3 是图 2 中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨 MN 安装在 窗框上，托悬臂 DE 安装在窗扇上，交点 A 处装有滑块，滑 块可以左右滑动，支点 B，C，D 始终在一直线上，延长 DE 交 MN 于点 F.已知 AC＝DE＝20 cm，AE＝CD＝10 cm，BD ＝40 cm.
三、解答题 11.小明在某次作业中得到如下结果： sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.9945， sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018， sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873， sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.0000， sin245°＋sin245°＝( 22)2＋( 22)2＝1.
九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定 义表达式取值范围关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin caA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A baA =tan0tan >A(∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin21 2223 1)90cot(tan A A -︒= B A cot tan =B A tan cot =)90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒=B A cos sin =B A sin cos =A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 斜边 CBb ac A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B Aαcos1 23 2221 0 αtan33 1 3-6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来 度数三角函数[来源:Z 。
xx 。
]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________． 【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二 ：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ． 在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ． 答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。
2019年中考数学第六章空间与图形6.3锐角三角函数(讲解部分)素材
（ 参考数据：ｓｉｎ ７０ʎ ʈ ０． ９４， ｃｏｓ ７０ʎ ʈ０． ３４， ｔａｎ ７０ʎ ʈ２． ７５， ｓｉｎ ３７ʎ ʈ０． ６０，ｃｏｓ ３７ʎ ʈ０． ８０，ｔａｎ ３７ʎ ʈ０． ７５） 解析㊀ 由题可知øＡＣＤ ＝ ７０ʎ ，øＢＣＤ ＝ ３７ʎ ，ＡＣ ＝ ８０． ＣＤ ＣＤ 在 ＲｔәＡＣＤ 中，ｃｏｓøＡＣＤ ＝ ，ʑ ０． ３４ʈ ，ʑ ＣＤʈ２７． ２， ＡＣ ８０ ＢＤ ＢＤ 在 ＲｔәＢＣＤ 中，ｔａｎøＢＣＤ ＝ ，ʑ ０． ７５ʈ ，ʑ ＢＤʈ２０． ４． ＣＤ ２７． ２ 答：还需要航行的距离 ＢＤ 的长为 ２０． ４ 海里．
３
图ａ
㊀
图ｂ
第六章㊀ 图形与变换
４７ ㊀
１４８
方法一㊀ 解直角三角形的基本类型及思路
㊀ ㊀ 解直角三角形是求直角三角形中未知元素的过程， 已知两 个元素中至少有一条边， 可以运用三角函数㊁ 勾股定理㊁ 直角三 角形的性质求角，对于比较复杂的图形， 常需要通过添加辅助线 构造直角三角形，在直角三角形中求边或角．
α ３０ʎ ４５ʎ ６０ʎ
示意图
ｓｉｎ α ｃｏｓ α ｔａｎ α
１ ２ ３ ２ ⑤㊀ ３ ㊀ ３
２ ２ ④㊀ １ ２ ㊀ ２
③㊀ １ ２
３ ㊀ ２
１． 在 ＲｔәＡＢＣ 中，øＣ ＝ ９０ʎ，øＡ㊁øＢ㊁øＣ 的对边分别为 ａ， ｂ，ｃ，则有下列关系： （１） 直角三角形中角的关系：øＡ ＋øＢ ＝ ９０ʎ． （２） 直角三角形中边的关系：⑥㊀ ａ ２ ＋ ｂ ２ ＝ ｃ２ ㊀ ． ａ （３） 直 角三 角形 中边 角的关 系： ｓｉｎ Ａ ＝ ｃｏｓ Ｂ ＝ ， ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｂ １ ａ ＝ ⑧㊀ ㊀ ． ｃｏｓ⑦㊀ Ａ㊀ ＝ ，ｔａｎ Ａ ＝ ｃ ｔａｎ Ｂ ｂ ２． 坡度与坡角： 如图 ａ， 通常把坡面的铅垂高度 ｈ 和水平宽 ｈ 度 ｌ 的比叫做坡度，用字母 ｉ 表示，即 ｉ ＝ ， 坡度一般写成 １ ʒ ｍ ｌ 的形式． 坡面与水平面的夹角 （ 锐角 ） 叫做坡角， 记作 α， 则有 ｉ ＝ ｈ ＝ ｔａｎ α． ｌ ３． 方向角：如图 ｂ，Ａ 点位于 Ｏ 点的北偏东 ３０ʎ 方向， 而 Ｂ 点 位于 Ｏ 点的南偏东 ６０ʎ 方向．
解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)
解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)解直角三角形》专题复一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。
几何表示：因为∠C=90°，所以∠A+∠B=90°。
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
几何表示：因为∠C=90°，且∠A=30°，所以BC=AB。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：因为∠ACB=90°，D为AB的中点，所以CD=AB=BD=AD。
4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何表示：在Rt△ABC中，因为∠ACB=90°，所以a²+b²=c²。
5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，所以CD²=AD•BD，AC²=AD•AB，BC²=BD•AB。
6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。
（a•b=c•h）由上图可得：AB•CD=AC•BC。
二、锐角三角函数的概念在△ABC中，∠C=90°，锐角A的正弦、余弦、正切、余切分别为sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a。
锐角三角函数的取值范围：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.三、锐角三角函数之间的关系1）平方关系：同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1，即sin²A+cos²A=1.2）倒数关系：互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数，即tanA•tan(90°—A)=1，cotA•cot(90°—A)=1.3）弦切关系：tanA= sinA/cosA，cotA=cosA/sinA。
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20
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1
一、选择题
1.cos30°的值等于( B )
2
3
A. 2
B. 2
C.1
D. 3
2.(2018·云南)在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝
3，则∠A 的正切值为( A )
1
10
3 10
A.3 B.3 C. 10
D. 10
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2
3.(2018·哈尔滨)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD
AD＝200 米，∴tan∠DAF＝ 33，∴∠DAF＝30°，
∴DF＝12AD＝12×200＝100， ∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四边形 DECF 是矩形， ∴EC＝BF＝100(米)，∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，
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19
∴∠ABC＝45°，∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝30°， ∴∠ABD＝15°，∠BAD＝∠BAC－∠1＝45°－30°＝15°， ∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD＝200 米，在 Rt△ BDE 中， sin∠BDE＝BBDE，∴BE＝BD·sin∠BDE＝200× 23＝100 3， ∴BC＝BE＋EC＝100＋100 3(米).
h
14
(1)窗扇完全打开，张角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框
的夹角∠DFB 的度数；
(2)窗扇部分打开，张角∠CAB＝60°，求此时点 A，B 之
间的距离(精确到 0.1 cm).
(参考数据： 3≈1.732， 6≈2.449)
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15
解：(1)∵AC＝DE＝20 cm，AE＝CD＝10 cm， ∴四边形 ACDE 是平行四边形，∴AC∥DE， ∴∠DFB＝∠CAB，∵∠CAB＝85°，∴∠DFB＝85°；
筑物 AB 的高度约为(精确到 0.1 米，参考数据：sin20°≈0.342，
cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( A )
A.29.1 米
B.31.9 米
C.45.9 米 D.95.9 米
h
6
二、填空题
7.(2018·广州)如图，旗杆高 AB＝8 m，某一时刻，旗杆影
子长 BC＝16 m，则 tanC＝
h
17
12.(2018·遂宁)如图，某测量小组为了测量山 BC 的高度，
在地面 A 处测得山顶 B 的仰角 45°，然后沿着坡度为＝1∶ 3 的坡面 AD 走了 200 米达到 D 处，此时在 D 处测得山顶 B 的 仰角为 60°，求山高 BC(结果保留根号).
h
18
解：作 DF⊥AC 于 F.∵DF∶AF＝1∶ 3，
.
h
9
10.(2018·宁波)如图，某高速公路建设中需要测量某条江
的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角 分别为 45°和 30°.若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为 米(结果保留根号).
h
10
三、解答题 11.小明在某次作业中得到如下结果： sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.9945， sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018， sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873， sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.0000， sin245°＋sin245°＝( 22)2＋( 22)2＝1.
A.100sin35°米 B.100sin55°米 C.100tan35°米 D.100tan55°米
h
4
5.如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧
道(点 A，B 在同一水平面上).为了测量 A，B 两地之间的距
离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C 处，
在 C 处观察 B 地的俯角为 α，则 A，B 两地之间的距离为(D )
h
16
(2)作 CG⊥AB 于点 G，∵AC＝20，∠CGA＝90°， ∠CAB＝60°，∴CG＝10 3，AG＝10，∵BD＝40，CD＝10， ∴CB＝30，∴BG＝ 302－(10 3)2＝10 6， ∴AB＝AG＋BG＝10＋10 6≈10＋10×2.449＝34.49≈34.5 cm， 即 A，B 之间的距离为 34.5 cm.
h
11
据此，小明猜想：对于任意锐角 α，均有 sin2α＋sin2(90° －α)＝1.
(1)当 α＝30°时，验证 sin2α＋sin2(90°－α)＝1 是否成立； (2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成 立，请举出一个反例.
h
12
解：(1)当 α＝30°时，sin2α＋sin2(90°－α)＝sin230°＋sin260°＝ (12)2＋( 23)2＝14＋34＝1； (2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ ABC 中， ∠C＝90°，设∠A＝α，则∠B＝90°－α， ∴sin2α＋sin2(90°－α)＝(BACB)2＋(AACB)2＝BC2A＋BA2 C2＝AABB22＝1.
.
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7
8.(2018·德州)如图，在 4×4 的正方形方格图形中，小正方
形的顶点称为格点，△ ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的
正弦值是
.
h
8
9.在直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，D，E 是边 AB
上两点，且 CE 所在直线垂直平分线段 AD，CD 平分∠BCE，
BC＝2 3，则 AB＝ 4
相交于点 O，BD＝8，tan∠ABD＝34，则线段 AB 的长为( C )
A. 7 B.2 7 C.5 D.10
h
3
4.(2018·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的
距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC
＝100 米，∠PCA＝35°，则小河宽 PA 等于( C )
h
13
12.(2018·绍兴)如图 1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，
图 3 是图 2 中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨 MN 安装在 窗框上，托悬臂 DE 安装在窗扇上，交点 A 处装有滑块，滑 块可以左右滑动，支点 B，C，D 始终在一直线上，延长 DE 交 MN 于点 F.已知 AC＝DE＝20 cm，AE＝CD＝10 cm，BD ＝40 cm.
A.800sinα 米
B.800tanα 米
C.s8i0n0α米
D.t8a0n0α米
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5
6.如图，已知点 C 与某建筑物底端 B 相距 306 米(点 C 与
点 B 在同一水平面上)，某同学从点 C 出发，沿同一剖面的斜
坡 CD 行走 195 米至坡顶 D 处，斜坡 CD 的坡度(或坡比)i＝
1∶2.4，在 D 处测得该建筑物顶端 A 的俯视角为 20°，则建