光波导中计算方法比较和总结

光束传输法(BPM)是目前光波导器件研究与设计领域最流行的方法之一，其基本思想是在给定初始场的前提下，一步一步地计算各个传播截面上的场分布。

特点：计算量较小，应用范围非常广泛

适用范围：计算光波导的模式、色散、双折射、传输损耗等；分析波导传输、连接、耦合，光栅的传输特性等。

有限差分法(FDM)是利用划分网格的方法将定解区域离散化为网格离散节点的集合，然后基于差分原理，以各离散点上函数的差商来近似替代该点上的偏导数，这样待求的偏微分方程定解问题可转化为一组相应的差分方程的问题。根据差分方程组，解出各离散点上的待求函数值，即为所求定解问题的离散解，再应用插值方法便可从离散解得到定解问题在整个场域上的近似解。

方法特点：原理简单、通用性好；对复杂结构，计算量大(矩阵运算)。(频域分析) 适用范围：计算光波导的模式求解。

现状：适用于较简单结构的分析。

时域有限差分方法(FDTD)是对电磁场E、H分量在空间和时间上分别采取交替抽样的离散方式,每一个E(或者H)场分量周围都有四个H(或者E)场分量环绕,应用这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦旋度方程转化为一组差分方程,并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。(它通过将麦克斯韦方程在时间、空间上离散化的方法实现对电磁波传播的模拟)

计算过程为：设置初始场，然后依时间步推进计算，并在每一时间步交替地计算每一离散点的电场和磁场。

特点：不需要矩阵运算，只需简单的加减乘除运算由前一时刻的场来获得下一时刻场的值。而且，它还非常适合于并行计算，这正好与当今计算机的发展趋势相吻合，这就更加提高了时域有限差分法解决实际复杂问题的能力。

适用范围：计算光波导的模场分布、有效折射率；研究波导之间的连接、耦合问题。

有限元法(FEM)是以变分原理为基础，把所要求解的微分方程转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题。将分析的区域划分为很多的三角形或四边形（每个多边形构成一个基元），每个基元内部的场用多项式来表达，然后加入不同基元间场的连续条件，就可以得到整个横截面的场分布。

特点：较复杂---需要前处理(三角化，剖分)；后处理：（场分布，伪解剔除）（通用性强，精度高）根据该方法对于各种各样的电磁计算问题具有较强的适应能力性，所形成的代数方程矩阵求解容易、收敛性好。

主要缺点：对于形状和分布复杂的三维问题，由于其变量多和剖分要求细，往往因计算机内存而受到限制。程序设计复杂、计算量较大。

适用范围：求解光波导的模式（有效折射率、色散、双折射、传输损耗等）。现状：功能最强大的数值方法之一。特别是上世纪90年代出现的矢量有限元方法，完全解决了有限元方法出现的伪解问题，大大降低了有限元法的后处理过程。