圆锥曲线(椭圆)推论及证明
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线（椭圆）推论及证明
引言
圆锥曲线作为一类特殊图形由于它的灵活性而成为热门考题。 而在江苏的试题中 它往往与函数相伴而行成为解析几何的题型。这些题目的形式大多是两问或三 问，前面的问题以特殊情况来求出一种结论， 最后一问将这个结论推广到给定条 件下的任意情况， 而这类题目中曲线又多是椭圆。 这次我们就来总结椭圆的一些 特性。 文档收集自网络，仅用于个
人学习
我们都学过在圆上过圆心的直线 AB 交圆的两点 A 、 B 及圆上另一与 A 、B 不重合
的点 C 形成的三角形为直角三角形，其中∠ ACB=90°（图 1） 于个人学习
放在坐标系中则得 k AC k BC =-1。 那么是否在椭圆中过椭圆中心的直线
AB 与椭圆交于 A 、B 两点（图 2），
其中 k AC k BC 为定值？ 由投影变换（图 3）我们可以预测这种关系 下面我们来证明其正确性：
证： 设 A （ x,y ） ,B -x,-y ),C (m,n )
m xm
x
2
2
n y
2 2
m
x
22 2
am (a
2
2
)
b
2
2
m
2 22
2 ax
am
b 2
b
2 n y n y k AC k
BC 22
mx 2 a
b
2
(a
2
x
2
22
a b
2
x 22
)
证毕
小结：
这个结论需要牢记，因为在很多问题中我们会用到这个结论
投
圆
影 变 换
椭圆
文档收集自网络，仅用
例如右图所示，图中AC与AB斜率积为定值，CD与AB斜率积
也为定值，那么AC与CD斜率的商就可以求出是定值
C B
22
而若AB是椭圆a x2 b y21的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0) 为AB
的中点，则 k OM k AB b
a2
，即
a K AB
b2x0
2。
a2y0
证：
设A x1,y1 ，B x2,y2 ，则M为x1
2
x2y1 y2
2
设AB 为 y kn n ，椭圆方程为
2
x
2
a
2
y
b2
1两式联立得12
a k2
b2
2kn
b2
x
2 n
b2
根据韦达定理得
x1 x2 2
2kn
2
k2
b2
b
1
2
a
kn
b2
b
2
a
2
k
2
a
2
b
2
a
2
kn
2
a
2
k
2
所以
y1 y2
2
2n k x1 x2
y1 k OM
y2 2 x1 x2 2
k OM k AB b2 k
证毕小结：
22
akn
2 2 2 b2a2k2
b
2
n
b
2
a
2
k
2
b2
a
2
k
b2
2
a
这个问题曾在题目中出现过，主要就是抓住直线与椭圆的方程联立，运用韦达定
1
理求出 x 1 x 2 并通过完全平方公式的互化求解 文档收集自网络，仅用于个人学习 椭圆上点 P 处的切线 PT 平分 F 1PF 2在点 P 处的外角。
证： 2 设椭圆 x 2 a 2 b y 2 1,F 1(-c,0),F 2
(c,0),P
x 0, y 0
PF 1斜率为 k 1， PT 斜率为 k 2 PF 2斜率为
k
3
由题即证 PT 平分 PF 1、PF 2 T
F 2
即证 k
2 1 k 1k 2 1 k 1 k
3 k 2 k 2k
3 PT 为 x 02x y 02y
2 b 2 b 2
k 2 x0
2 a k 2 k 1 1 k 1k 2 b 2x 0 c
b2x
0 ,k 1 2 ,k 1 a y 0 y 0 2 b x 0 y 0 2
a y 0 c x 0
2
1 y 0 b x 0
c x 0 a 22 x 0 a y 0 2 y 0
2
y 0c cx 0 a
22
b a cx 0 2
a y0
,k 3 c x 0
b 2
x 0 2 a y 0 22 x 0a
2 ac 2 2 2
b x 0 a y 0 y 0
c cx 0
y
x 0 c
y
c x 0
2
a c x 0b
x
0 2
b cx 0 2
a
b 2
x 0
2
a y 0 2
c x 0
2 ac
22 ab y 0c cx 0 同理： k 3 k 1
1 k 2k 3
2
b cx 0
b 2 y 0c
b
2
2 y 0ca cx 0 y 0c
y
c x 0
2 ac
x
2 b cx 0 2 y 0c cx 0 a
k 2 k 1 1 k 1k 2 k
3 k
2
1
k
2k 3 k 2 k
1
k
3 k
2
1 k 1k
2 1 k 2k 3