小学数学几何五大模型教师版

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小学数学五大几何模型

小学数学五大几何模型知识框架一、等积模型DC BA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DC BA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A BC DO baS 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

小学数学五大直线型面积模型

小学数学五大直线型面积模型一：等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等2、两个三角形高相等面积比等于他们的底的比3、两个三角形的底相等，面积比等于他们的高的比二：鸟头定理1、两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形，面积比等于对应角（相等或互补）两角夹边的乘积之比三、蝴蝶定理任意四边形与四边形、长方形、梯形、连接对角线所形成四部分比例关系是一样的四、相似三角形模型1、相似三角形是形状相同，但大小不一样的三角形叫相似三角形2、相似三角形一切对应线段成比例，并且这个比例等于相似比3、相似三角形的面积比等于相似比的平方一：等积变换1、用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．2、如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．3、如右图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BC 的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S △BEF ．4、如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．HGFE D CBA HGFE D CBA5、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.6、长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任一点。

求图中阴影部分的面积是多少？7、(2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是平方厘米．FE DCBA8、图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?二、鸟头定理1、如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA2、如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？EDCB A3、如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA4、如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？5、已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA6、如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB ECDDC EB A7、(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A8、如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF作业：1、如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBA2、已知三角形ABC 的面积为1，BE=2AB ，BC=CD ，求三角形BDE 的面积？3、如右图，在梯形ABCD 中，AC 与BD 是对角线，其交点O ，求证：△AOB与△COD 面积相等．4、如右图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积．三、蝴蝶定理1、如图所示，已知 1.,2.ABCSAE ED BD DC ===求图中阴影部分的面积.2、下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？3、右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？ 4、梯形ABCD 的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米。

小学奥数之几何五大模型

一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。

四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

小学奥数之几何五大模型

如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。

四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

1数学几何五大模型

数学几何五大模型一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S 1S 2S ab图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：（1） 1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯（2）()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)（1）2213::S S a b =（2）221324::::::S S S S a b ab ab =；（3）梯形S 的对应份数为()2a b +。

四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型（1）AD AE DE AFAB AC BC AG===；（2）22::ADE ABCS S AF AG =△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)讲课教案

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那三角形等高模型与鸟头模型么三角形ABC 的面积是多少？EDC B AA B C DE【解析】连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 2】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【解析】由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯．又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD的面积．H GFED CBAA BCDEFGH【解析】连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=．于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△．又2ABCS=，所以0.5FCES=．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【解析】连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFCS =，32ABFE S =，24ABFS=，所以12ABGS=平方厘米．【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是．B DCEA【解析】从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

小学奥数几何五大模型短期班第一讲教师版讲义

7 / 14
【解析】 A
4 2
B
C
将正六角星等分为 12 个相同的等边三角形，其中三角形 ABC 由 9 个组成，占总体的 9 3．
12 4 A
4 D
11
B
13
E 2C
根据鸟头模型，
SBDE

1113 15 15
SABC

143 225
3 4

S总
=
143 300
S总
，
S阴影

SABC
C
G Q
F
P
O
H
K
G Q
F
P
O
H
K
A
B
E
A
B
E
【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接 FK 、GE 、 BD ，则 BD / /GE / /FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得 SDGE SBGE ， SKGE SFGE ，所以阴影部分的面积就等于正方形 GFEB 的面积，即为102 100 平方厘米．
1.已知正方形 ABCD 边长为10，正方形 BEFG 边长为6，求阴影部分的面积．
A
D
A
D
F G
F G
J
I
J
I
B
ECH
B
E
C
H
【解析】如果注意到 DF 为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到 DF 与 CI 是平行的．所以可以连接 CI 、 CF ，如上图．由于 DF 与 CI 平行，所以 DFI 的面积与 DFC 的面积相等．而 DFC 的面积为 10 4 1 20 ，所以 DFI 的面积也为 20． 2

小学数学五大几何模型总结

五大模型（二）知识框架一、等积模型DC BA①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△(1)(2)(3)(4)三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．S 4S 3S 2S 1O DC BA梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．A B C DO ba S 3S 2S 1S 4四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E AB CD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

小学数学几何必考五大模型

在学习小学数学的时候，几何模型算是比较新颖的一个模块，学生们熟练掌握五大面积模型，并掌握五大面积模型的各种变形，
今天就为大家推荐一篇小学数学几何五大模型的内容。
一、等积模型
A
B
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
S1 S2
如右图
a
b
C
D
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
；
反之，如果
，则可知直线平行于。
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于
解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成右图：
这样阴影部分的面积就是△DEF的面积，根据鸟头定理，则有：
【巩固】
它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
A
D
D E
A E
B
C
图⑴
B
C
图 (2)
如图在 E在AC上)，则
中，D、E分别是AB、AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ① S1 : S2 = S4 : S3 或者 S1 ×S3 =S2 × S4 ② AO : OC = (S1 + S2 ) : ( S4 +S3 ) 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

小学奥数几何五大模型

奥数几何模型
一、等积模型
1、等底等高的两个三角形面积相等；
S△ABD=S△ABC
2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比；
h1为公共的高，所以
S△ABC：S△ADC= AB：AC
3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比h1:h2；
AB为公共边，所以
二、相似模型
相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似；
④S的对应份数为(a+b)2
四、鸟头模型（共角定理）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；
共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
S△ABC：S△ADE=(AB*AC)：(AD*AE)；
五、燕尾模型
△ABC，AD、BE、CF 交于同一点O,
S△AOB：S△AOC=BD：CD；
S△BDO：S△CDO=BD：CD；
同理，
S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；
S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE。
由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型。
六、共边模型：
有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
共边定理：设直线AB与PQ交于点M，
1、金字塔模型2、沙漏模型
注意: 都含有BC平行DE这样的一对平行线！
三、风筝模型
1、风筝模型（任意四边形）：
S1*S3=S2*S4，
S1:S4=S2:S3=AO:CO,
S1:S2=S4:S3=DO:BOS1:S3=a2:b2
③S1:S2:S3:S4=a2:ab:b2:ab
则:S△PAB：S△QAB=PM：QM；

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)讲课教案

资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在 △ ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点如图(1)(或D 在BA 的延长线上， E 在AC 上如图2), 则 S ABC ：S A ADE (AB AC)：(AD AE)厘米，求△ ABC 的面积.【解析】连接 BE , S ^ADE : S ^ ABE AD : AB2 :5(2 4): (5 4),S ^ ABE: S^ ABC AE:AC 4:7 (45)：(7 5)，所以 ADE : S^ ABC(24):(7 5)，设 S^ ADE8份，则s ^ ABC 35份，s ^ ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC 的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形 ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形 ADE 的面积等于1，那【例1】如图在△ ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 AD: AB 2:5 , AE: AC4:7 , s^ADE16平方图⑵资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除ACCB 【解AA乙乙CCDD【解5耳【DDA AEECCB B 【解A B【例3】5: 2AB: AD 6份，则 E 在AC 上，且 △ ABC 的面积.DC 4, BE 3, AE 6，乙部分面如图在 △ ABC 中，D 在BA 的延长线上， 12平方厘米，求如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为AB 的中点，AF 2CF ，三角形AFE （图中阴影部分）的面积为8平方厘米•平行四边形的面积是多少平方厘米？D------------------ C如图，三角形 ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD 积是甲部分面积的几倍？S ^ ABC 25份，S A ADE 12平方厘50平方厘米•由此我们得到（相等角或互补角）两夹边的乘积之比AD : AB 2:5 (2 3): (5 3)3: (3 2) (3 5): (3 2) 5 ,＞：5 (3 2) 6:25，设 S A ADE 25份就是50平方厘米 B ----------------- 连接BE .T EC 3AE…SVABC3S VA BE又••• AB 5AD…S V ADE S V ABE 5S V ABC 15，…&ABC15S VA DE 15AE : EC 3: 2 , SA ADED、、EDE at 甲B —甲连接 BE , SA ADE: SA ABESA ABE : S A ABC AE : AC : 所以 S A ADE : S A ABC （3 2）米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC 的面积是一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角连接AD .••• BE 3 , AE 6…AB 3 BE , S/ABD 3SVBDE 又••• BD DC 4,…B/ABC 2S V ABD ，… S/A BC 6S V BDE ， S 乙A么三角形ABC 的面积是多少?E【解连接FB .三角形 AFB 面积是三角形 CFB 面积的2倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的2 倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积【解析】S A BDE:S A ABC (BDBE)：(BA BC)(11):(23)1:6 ,S A CEF ::S A ABC (CE CF):(CB CA)(13):(24)3:8S A ADF:S A ABC (AD AF):(AB AC)(21):(34)1:6设S A ABC 24份，则S A BDE4份，S A ADF4份，S A CEF 9 份，S A DEF 24 4 4 9 7 份，恰好是7平方厘米，所以ABC 24平方厘米【例5】如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE 2:5 , BC:CD 3: 2，三角形BDE的面积是多少？【解析】由于ABC DBE 180，所以可以用共角定理，设AB 2份，BC 3份，贝U BE 5份，BD 3 2 5 份，由共角定理S A ABC：S A BDE (AB BC):(BE BD) (2 3):(5 5) 6:25，设S A ABC 6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5 12.5平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米( 2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，AE 1AC, CF - BC .3 3三角形DEF的面积为_________ 平方厘米.S A CDE : S A ACD 2 :3; ，S A CDE 18 3 2 12，S A CDF故S A DEF S A CEF S A DEC S A DFC 4 12 6 10 (平方厘米).【例7】如图，已知三角形CA至F，使AF ABC面积为1，延长AB至D，使BD3AC，求三角形DEF的面积.AB ;延长BC至E，使CE 2BC ;延长的2倍，所以平行四边形的面积是三角形8 6 48(平方厘米).AFE面积的(3 2) 6倍•因此，平行四边形的面积为【例4】已知△DEF的面积为7平方厘米, BE CE, AD 2BD,CF 3AF，求△ABC 的面积.【例6】【解析】由题意知AE ^AC、C F3BC，可得S A CEF : S A ABC (CF CE) :(CB AC)2CE - AC •根据”共角定理”可得，32 :(3 3) 2:9 ;而S A ABC 6 6 218 ；所以S A CEF 4 ;同理得,【解析】（法1）本题是性质的反复使用. 连接AE、CD .S V ABC 1s 1■，F ABC 1，S VDBC 1 …S VDBC 1. 同理可得其它，最后三角形DEF的面积（法2）用共角定理■•在VABC和VCFE中,• S VABCS VFCE 又ABC 同理可得所以S/DEF18.ACB与FCE互补,AC BC 1 1 1FC CE 4 2 8 '1，所以S VFCE8 .S VADF 6，S VBDE 3•S VABC S VFCE S VADF S VBDE 1【例8】如图，平行四边形ABCD , BE AB , CF2CB, GD 3DC , HA 4AD，平行四边形ABCD的【解析】【例9】面积是2 ,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.E连接AC、BD •根据共角定理E■•在△ABC 和△BFE中,ABC与FBE互补,S A ABC AB BCS A FBE BE BF又S A ABC同理可得1，所以S A FBES A GCF所以S EFGH所以^ABCDS EFGH8，S A DHG15，S A AEHS A AEH S A CFG S A DHG S A BEF S A BCD15+3+2 36.36 18如图，四边形EFGH的面积是的面积.66平方米，EA AB, CB BF , DC CG, HD DA,求四边形ABCD【解析】连接BD .由共角定理得S A BCD : S A CGF (CD CB)：(CG:S A AHE 1:2，即S A AHE 2S A ABDCF) 1:2，即S A CGF2S A CDB【例10】【解析】【例11】【例12】同理S A ABD所以S A AHE连接AC ,S A CGF2(S A CBD S A ADB ) 2S四边形ABCD冋理可以得到S A DHG S A BEF 2S四边形ABCDS四边形EFGH所以S四边形ABCD 66S L\ AHECGF S A HDG5 13.2平方米ABCD的四条边四边形ABCD的面积为5，则四边形如图，将四边形连接AC、BD .由于BE 2 AB , BF 2BC，于是于是S BEF再由于AES HDG3AB,那么S AEHS EFGH如图,S CFGS BEFS A BEF S四边形ABCDAB、CB、CD、EFGH的面积是5S四边形ABCDAD分别延长两倍至点E、S BEF 4S ABC，冋理S HDG 4 S ADC -4S ABCD .AH 3AD，于是S AEH 9S ABD，同理S CFG 9S4S ABC 4S ADC9S ABD 9S CBD 9S ABCD .S HDG S AEH S CFG S ABCD 4S ABCD 9S ABCD S ABCD在△ABC中，延长AB至D，使BD AB，延长BC至E ,中点，若△ABC的面积是2，则A DEF的面积是多少?4【解析】FCE互补,AC BC 2 22 ABC S AFCE FC CE 1 112S ABCD使CE -260BC ,G、H，若F是AC的又Q ABC同理可得2，所以S/FCE0.5 .S A ADF 2，S A BDE所以S A DEF S A ABC S A CEF S A DEB S A ADF 2 0.5 3 2 3.55BD , AC 4EC , DG GS SE, AF FG.求S VFGS .如图, S A ABC 1，BC【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的 3种情况•因为S A BCF S A CDE- 82 16，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积 4比等于夹这个角的两边长度的乘积比” S V AEF 8 , S V EFG 8，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比” ，得到S V BFC16 , S ABF E 32 ,S VABF 24，所以S VABG 12平方厘米.【例14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积.形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为 1,三角形DEF 的面积为聖.6 6由于FA 4a , FB 3a ，所以AFB与三角形DEF 的面积之比为--12.7 7 49同理可知 BDC 、AEC 与三角形DEF 的面积之比都为 12 所以ABC 的面积占三角形DEF 面积49的1123翌,49 13所以ABC 的面积的面积为竺13134949649 6【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是 1,则图中虚线围成的五边形 ABCDE 的面积是 _____________【解析】从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正最后求得S ^FGS 的面积为S A FGS4 3 2 1 1 15 4 3 2 2 10【例13】如图所示，正方形 ABCD 边长为8厘米,三角形ABG 的面积是多少平方厘米？E 是AD 的中点,F 是CE 的中点，G 是BF 的中点,【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形 DEF ，则假设正六边形的边长为为 a ，则 AGF 与 CEH 7,那么它的面积为单位小正三角形面积的 AGF 与CEH 都是正三角形. 的边长都是4a ，所以大正三角形49倍.而一个正六边形是由DEF 的边长为6个单位小正三角【解E六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的1,所以虚线外图形的面积等于1 3 12 31，所以五边形的面积是10 3- 6-.6 6 3 3 38、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。

小学数学五大经典几何图形模型及解题思路精讲

小学数学五大经典几何图形模型及解题思路精讲1、等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积之比等于底之比；（3）两个三角形底相等，面积在之比等于高之比；（4）在一组平行线之间的等积变形。

【例题】如图，三角形A B C的面积是24，D、E、F分别是B C、A C、A D的中点，求三角形DE F的面积。

2、鸟头（共角）定理模型（1）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；（2）共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

【例题】如图在△A B C中，D在B A的延长线上，E在AC上，且A B：A D=5：2，AE：E C=3：2，△A D E的面积为12平方厘米，求△ABC的面积。

3、蝴蝶模型（1）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S2=S4（因为S△ABC= S△DBC，所以S△ABC－S△OBC= S△DBC－S△OBC）S1：S3=a2：b2②S1：S3：S2：S4= a2：b2：ab：ab③梯形S的对应份数为（a+b）2。

（2）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）①S1：S2=S4：S3或者S1×S3=S4×S2；②AO：OC=（S1+S2）：（S4+S3）蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例题】如图，己知正方形AB C D的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为B F的中点，求三角形BD G的面积。

4、相似模型（1）相似三角形：形状相同，大小不相等的两个三角形相似。

（2）寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）相似三角形性质①相似三角形的一切对应线段（对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。

小学奥数几何五大模型短期班第二讲教师版讲义

A1D : A3D 1: 3 ,在 △A1A2 A3 中，设 S△ A1A2G 1 份，则 S△A2 A3G 3 份, S△A3A1G 3 份，
所以 S△A2 A3G

3 7 S△A1A2 A3

3 7

1 3

1 2
S正六边形

1 14
S正六边形
，
因此
S阴影
（1 1 14
6）S正六边形
A
A
E H
F
I
G
E H
F
I
G
B
D
CB
D
C
【解析】连接 BG,设 S△BGC 1 份，根据燕尾定理 S△AGC : S△BGC AF : FB 2 :1 ,
S△ABG : S△AGC BD : DC 2 :1 ,得 S△AGC 2 (份)，S△ABG 4 (份),则 S△ABC 7 (份)，因
面积的
1 4
，
所以三角形 BEF 的面积为12 1 1 1 ，梯形 AEFC 的面积为 1 1 3 ．在梯形
24 8
288
AEFC 中，由于 EF : AC 1: 2 ，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：
12 :1 2 :1 2 : 22 1: 2 : 2 : 4 ，所以三角形 EFN 的面积为 3
三角形 AEF 的面积是 1.求阴影部分的面积．
A
E
F
IJ
B GH D
C
【解析】 S AIF : S BCI AF 2 : BC2 1: 9 AEF 面积是 1，那么 S BDF S BDC 9 , 所以 AEF 与 ACE 的高之比是 1：7，所以 S ACE =7,