1.3 布喇菲空间点阵
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1.2 布喇菲格子 原胞和晶胞 1.3 密堆积
Cl-的坐标为
1 1 1 , ,， 2 2 2
Cs+的坐标为
(0,0,0)
第三节 密堆积
密堆积、配位数和致密度
1.密堆积(close-packed) 如果晶体由完全相同的一种粒子组成,而粒子被看作小 球,这些全同的小球最紧密的堆积称为密堆积. 2.配位数(coordination number) 在布拉菲格子中，离某一格点最近的格点,称为该格点 的最近邻(nearest neighbour),格点周围最近邻数称为 该格子的配位数.常用符号 z 表示。 它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列 越紧密，配位数越大。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
则以 a1 , a2 , a3 为棱的平行六面体是晶格体积的最 小重复单元，即原胞 原胞的体积为 a1 (a2 a3 )
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一，但无论如 何选取，原胞均有相同的体积，每个原胞平均只包 含一个格点。 2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成，则每 个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，如：平移对称性。
氯化钠结构属面心立方。 氯化钠的原胞选取方法与面心立方简单格子的选 取方法相同。 每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含4个格点 基元由一个Cl-和一个Na+组成。 Cl-的坐标为
1 1 1 , , ， 2 2 2
Na+的坐标为
(0,0,0)
(c)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位 移1/2的长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格 子，其布拉维晶格为简立方，氯化铯结构属简立方。 每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含1个格点。 基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
原胞晶胞 ppt课件
(i
j
k)
面心立方
小结
复式格子
氯化钠结构：由两个面心 立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移二分之 一长度套构而成。 属于复式面心立方结构。
面心立方原胞与晶胞
1) 晶胞基矢 a a i ,b a j,c a k
体积 V a ( b c ) a 3
节点数 4?
晶胞
面心立方原胞与晶胞 1) 晶胞基矢 a a i ,b a j,c a k
体积 V a ( b c ) a 3
节点数：4 2）原胞基矢
晶体的对称性
点阵的对称性
布喇菲空间点阵
晶体的内部结构可以看成有一些相同相的同点的（点结点？）
在空间作规则的周期性的无限分布。
a
晶体结构
a
基元
点阵
晶体结构 = 点阵 + 基元
布喇菲空间点阵
基元：晶体的基本结构单元 (1) 一个基元对应一个节点 (2) 基元（结点）周围的环境相同（等效性） (3) 基元内部有结构，可以由一种或数种原子构成
3. 反映晶格结构周期性与对称性特征的体积重复单元。 原胞只反映晶格的周期性特征， 晶胞则同时反映晶格周期性和对称性。
a
ai ,
b aj,
c
ak
简立方
a1
a 2
(j
k)
a 2
a 2
(k
i)
a3
a 2
(i
j)
体心立方
a1
a 2
(i
j
k)
a2
a 2
(i
j
k)
a3
a 2
1) 晶胞基矢 a a i ,b a j,c a k
1 3布拉菲空间点阵原胞晶胞【精选】
简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成 的晶格却不一定是简单晶格。如金刚石和hcp晶格都是复 式晶格。
简单晶格
复式晶格
二 原胞
在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周 期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成 晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为
晶胞（即布喇菲原胞）的体积: V a3
属于立方晶系的晶胞有简立方、体心立方、面心立方
(a)简立方（sc）
a1 ai 每个晶胞包含1个格点。
c b
a2 a j 固体物理学原胞的体积 Ω a3
a3 ak
a
既是晶胞也是原胞
(b)面心立方（fcc）
ak
a1
a2
aj
a3
原胞
ai
平均每个晶胞（布喇菲原胞）包含4个格点。
基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
晶格+基元=晶体结构
1.1基元、结点（格点）和晶格
(a)
(1)基元
(b)
(c)
在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个
基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 特点：任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。
氯化钠的固体物理学原胞选取方法
与面心立方简单格子的选取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个晶胞包含4个格点。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。
简单晶格
复式晶格
二 原胞
在晶格中取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周 期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿
三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格，形成 晶体，这个平行六面体即为原胞，代表原胞三个边的矢量称为
晶胞（即布喇菲原胞）的体积: V a3
属于立方晶系的晶胞有简立方、体心立方、面心立方
(a)简立方（sc）
a1 ai 每个晶胞包含1个格点。
c b
a2 a j 固体物理学原胞的体积 Ω a3
a3 ak
a
既是晶胞也是原胞
(b)面心立方（fcc）
ak
a1
a2
aj
a3
原胞
ai
平均每个晶胞（布喇菲原胞）包含4个格点。
基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。
晶格+基元=晶体结构
1.1基元、结点（格点）和晶格
(a)
(1)基元
(b)
(c)
在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个
基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，
基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 特点：任何两个基元中相应原子周围的情况是相同的，
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。
氯化钠的固体物理学原胞选取方法
与面心立方简单格子的选取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个晶胞包含4个格点。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。
1.3布喇菲空间点阵、原胞、晶胞
2
2
a2 a i j k 1 a b c
2
2
ai
a
1
a3 i j k a b c
2
2
平均每个晶胞包含2个格点。
1 原胞体积为晶胞体积的 2
原胞的体积
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
碱金属Li,Na,K,Rb,Cs以及过渡金属α-Fe,Cr（铬）,Mo
2
2
平均每个晶胞包含4个格点。
原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 为晶胞体积的 1
4
4
贵金属Cu,Ag,Au及Pb,Ni,Al等属于面心立方结构。
19:35
(c)体心立方(Body Centered Cubic)
ak
a1
a2 aj
a3
a1 a i j k 1 a b c
➢ 晶胞的体积是原胞体积的整数倍；
➢晶胞中平均包含不止一个格点。（晶格常数a通常指单胞的边长）
19:35
原胞基矢通常用 a1 , a2 , a3 表示。
体积为： Ω a1 a2 a3
基矢：晶胞的基矢一般用 a, b, c 表示。
体积为： v a b c n Ω
19:35
三、 立方晶系晶格原胞、基矢选取实例
19:35
§1.3 布喇菲空间点阵、原胞、晶胞
简单晶格结构周期性描述起来很方便，而复式晶格描述起 来很麻烦，为集中反映晶体结构的周期性，引入点阵概念。
布喇菲提出空间点阵学说：晶体内部结构可以看成是由一
些相同的点子在空间作规则的周期性的无限分布。
人们把这些点子的总体称为布拉菲点阵。它是对实际晶 体的一个数学抽象，只反映晶体结构的周期性，（平移对 称性）。 空间点阵中的点子称为结点。
固体物理第一章1
晶格物理性质周期性（平移对称性）：
Γ (x+na) = Γ (x)
上式表示原胞中任一处x的物理性质，同另一原胞相应处的物 理性质相同。
原子
一维的喇菲格子
例：一维复式格子
定义：晶格中含有n(n≥2)类原子，其周围情况不一样，它们组成一维无
限周期性点列，周期为a。 原胞：长为a的一根直线段，一类原子在其两端点，其余原子在线段上。 每个原胞含n个原子。 周期性： Γ (x+na) = Γ (x)
晶体分单晶体和多晶体
单晶体( Single Crystal ) 原子排列的周期性是在整个固体内部存在的；无限大的严格的单 晶体可以看成是完美晶体。 多晶体( Multiple Crystal ) 由很多不同取向的单晶体的晶粒组成的固体；仅在各晶粒内原子 才有序排列，不同晶粒内的原子排列是不同的。
单晶体是个凸多面体，围成这个凸多面体的面是光滑的，称 为晶面。 晶面的大小和形状受晶体生长条件的影响，它们不是晶体品 种的特征因素。
1 a 1 ( a b c ) 2 1 a 2 (a b c ) 2 1 a 3 (a b c ) 2
a a1 ( i j k) 2 a a 2 (i - j k) 2 a a 3 (i j k) 2
四、各向异性
晶带：单晶体的晶面排列成带状，晶面的交线（称为晶棱）互相平行， 这些晶面的组合称为晶带。晶棱的方向称为带轴。 晶轴：重要的带轴，互相平行的晶棱（晶面的交线）的共同方向。
各向异性： 晶体的物理性质，常随方向不同而有量的 差异，晶体所具有的这种性质——各向异性。
如介电常数、压电常数、弹性常数等。
1.3布喇菲空间点阵汇总
硫化锌（ZnS）
UESTC
（b）氯化钠结构
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的
长度套构而成。 Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。 氯化钠结构属面心立方。
UESTC
氯化钠结构的原胞特点
氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选 取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4个格 点。
a2 a i j k 2
a3 a i j k 2
平均每个布喇菲原胞包含2个格点。
固体物理学原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 2
UESTC
简单晶格和复式晶格
简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每 个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为 简单晶格。
UESTC
1.3.2 原胞的分类
1. 原胞（固体物理学原胞，初基原胞）
周期：晶格中某一方向上两相邻结点的距离称为该方向上的 周期。
原胞：以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平 行六面体可作为晶格的一个重复单元，其中体积最小的重复 单元称为原胞。
特点： ① 体积最小的重复单元； ② 格点只出现在该平行六面体
1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
UESTC
(a)
(b)
(c)
如何描述晶体中原子排列的有序性？？
布喇菲点阵学说
UESTC
1.3.1 布喇菲空间点阵
晶体内部结构可以看成是一些相同的点子在空间 做规则的周期性无限分布
相关概念：结点，点阵 基元：晶体的基本结构单元
(a)
(b)
(c)
UESTC
点阵的特点
一个晶胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。
UESTC
（b）氯化钠结构
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的
长度套构而成。 Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其布喇菲晶格为面心立方。 氯化钠结构属面心立方。
UESTC
氯化钠结构的原胞特点
氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选 取方法相同。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4个格 点。
a2 a i j k 2
a3 a i j k 2
平均每个布喇菲原胞包含2个格点。
固体物理学原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 2
UESTC
简单晶格和复式晶格
简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每 个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为 简单晶格。
UESTC
1.3.2 原胞的分类
1. 原胞（固体物理学原胞，初基原胞）
周期：晶格中某一方向上两相邻结点的距离称为该方向上的 周期。
原胞：以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平 行六面体可作为晶格的一个重复单元，其中体积最小的重复 单元称为原胞。
特点： ① 体积最小的重复单元； ② 格点只出现在该平行六面体
1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
UESTC
(a)
(b)
(c)
如何描述晶体中原子排列的有序性？？
布喇菲点阵学说
UESTC
1.3.1 布喇菲空间点阵
晶体内部结构可以看成是一些相同的点子在空间 做规则的周期性无限分布
相关概念：结点，点阵 基元：晶体的基本结构单元
(a)
(b)
(c)
UESTC
点阵的特点
一个晶胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。
2、空间点阵、原胞 晶胞
§1.2 密堆积
配位数情况
如果晶体不是由同一种原子构成，那么相应小球的体积不 等，从而不可能形成密积结构，因此配位数一定小于12。 考虑到周期性和对称性的特点：晶体不可能具有配位数11、 10和9，所以，次一个配位数应该是8、6。
Page 9 第9页
§1.2 密堆积 晶体的配位数也不可能是5，则下一个配位数是4，为四 面体。 配位数是3的为层状结构，而配位数是2的则为链状结构。
显然，WS 原胞也只包含一个格点，因此它与固体物理学原胞的体积 一样，也是最小周期性重复单元。
Page 第 24 24 页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
原胞常取以基矢为棱边的平行六面体，体积为：
上述取法只是原胞的习惯取法，但原则上原胞可以任意多种取法， 只要满足是晶体的最小重复单元这个条件。 无论如何选取，原胞均有相同的体积，每个原胞含有一个格点。对 有限大的晶体（非理想晶体），所含原胞和格点数相等。
但实际上各种晶格结构已有习惯的原胞选取方式。
Page 第 23 23 页
§1.3 布喇菲空间点胞并不能反映晶格的全部宏观对称性，为此，威格纳和
塞兹提出了另一种原胞，称为威格纳—塞兹原胞，简写为WS原胞。 如图所示，若选定某一格点，从 格点出发连接其它邻近的格点并作 这些连线的中垂面，则被这些中垂 面所围成的多面体就是WS原胞。
由于布喇菲格子中格点相互等价，每一格点有相同的最近邻数。
一个粒子周围最近邻的粒子数称为配位数。用以描写晶体中粒子排列 的紧密程度。
最大配位数: 密堆积所对应的配位数。
Page 2 第2页
§1.2 密堆积
Page 3
Page 3 第3页
§1.2 密堆积
Page 4
晶体结构
四、结晶学原胞与固体物理学原胞间的相互转化
结晶学中，属于立方晶系的不喇菲原胞有简 立方、体心立方和面心立方。 • • • • • • • • • • •
•
•
• •
• 简立方
• 体立方
• • • • ••• • • • • • • • 面心立方
立方晶系不喇菲原胞 1. 简立方
原胞的基矢为： a1=ia,
1. 简单立方晶格
二、晶格的实例
2. 体心立方晶格 3. 原子球最紧密排列的两种方式
晶体格子（简称晶格）：晶体中原子排列的具体形 式。
原子规则堆积的意义：把晶格设想成为原子规则堆 积，有助于理解晶格组成，晶体结构及与其有关的 性能等。
1. 简单立方晶格
特点： 层内为正方排列，是原子球规则排列的最简单形式；
•
复式原胞 重复的 晶体结构
基元中任意点子或结点作周期性重复的晶体结构
• •
•
•
• •
•
• •
• •
•
• ° •• ° • • ° • • • • • • ° • • ° • • ° • • • • • •
•
°
晶面的特点：
（1）通过任一格点，可以作全同的晶面与一晶面平行，构成 一族平行晶面.
（2）所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏； （3）一族晶面平行且等距，各晶面上格点分布情况相同； （4）晶格中有无限多族的平行晶面。
三、晶向
一族晶列的特点是晶列的取向，该取向为晶向； 同样一族晶面的特点也由取向决定，因此无论对于晶 列或晶面，只需标志其取向。 注：为明确起见，下面仍只讨论物理学的不喇菲格子。
1.3原胞晶胞
面心立方
原胞 原胞（固体物理学原胞）：以一个结点为顶点，以三个不同
方向的周长为边长的平行六面体。
原胞特点？
原胞
特点: (1) 体积最小的重复单元 (2) 格点只出现在该平行六面体的顶角上。 (3) 每个原胞平均包含一个格点 (4) 原胞的选择方式有多种（形状），但原胞的体积相等。
基矢： 原胞的边长矢量
体心立方的致密度
4 3 r : 原子球半径 r 3 致密度 : n V : 晶胞体积（立方体的体积） V n : 一个晶胞内含有的原子球的个数
4 3 4 3 r r 23 1 3 3 V a
3a (4r ) 3a 2r
2 2
4 3 r 3 3 2 0.68 V 8
立方晶系原胞
简立方
体心立方
面心立方
简立方原胞与晶胞
1) 晶胞基矢 a ai , b aj , c ak 体积 V a (b c ) a3
2）原胞基矢
a1 ai , a2 aj , a3 ak 体积 a1 (a2 a3 ) a3
面心立方 fcc a3 4 a3/4 12
2a 2
体心立方的A层原子球的间隙
体心立方晶格中，A层中原子球的距离
0.31 r
面心立方的致密度？
4 3 r : 原子球半径 r 3 致密度 : n V : 晶胞体积（立方体的体积） V n : 一个晶胞内含有的原子球的个数
1.以刚性原子球堆积模型计算六角密积结构的致密度。 六角密排致密度？
原胞体积 节点数：?
原胞节点只能在顶点
基矢： a1, a2 , a3
3、 晶列、晶面指数、倒格空间
第 28 页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
(4)闪锌矿（立方ZnS）型结构
如果在金刚石结构中，顶角与面心处为硫离子，而在立方单元的内部 为锌离子，就形成闪锌矿型结构。
闪锌矿型结构为由硫离子和锌离子各自构成的面心立方子晶格沿立方
体对角线平移1/4长度相互错开穿套而成。 其基由一对硫离子与锌离子组成。 许多重要的化合物半导体，如锑化铟、砷化镓等都是闪锌矿型结构。
的点子，通常代表基元的重心。 点阵学说概括了晶体的周期性 晶体结构
第1页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
第2页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
布拉菲格子（ Bravais lattice）：布拉菲格子是矢量
第3页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
第4页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
由氯离子和钠离子组成的两个面心立方晶格，彼此沿立方体边错开
a/2的距离而穿套。a为立方体边长。 子晶格为面心立方的复式格子晶体结构。 固体物理学原胞基矢就是面心立方的基矢，原 胞内包含两个异号离子（氯离子和钠离子）。 注意：不要将这种结构视为原胞边长为a/2 的简立方，因为氯离子和钠离子是不等价的。
格子，一个晶胞内包含8个原子。 固体物理学原胞的取法同面心立方的布拉菲原胞的取法相同，原胞中
包含两个不等价的原子。
第 27 页
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
原子在金刚石结构立方晶胞中的位置分布图
0 1/2 0 1/4
3/4
1/2
0
1/2
1/4
3/4
0
1/2
0
图中分数值表示以立方体边长为单位，其原子处在基面上方的高度。
1-3布拉菲空间点阵+原胞+晶胞
1 1 1 ， 2 2 2
Cs+的坐标为 (000)。 )
典型的晶体结构 结构型 单晶胞中 原子在单晶 最近邻 原子个数 胞中的位置 距离 配位数
(Cu) )
fcc
4 2
Cs+ 1 Cl- 1
bcc
11 ( 0) (000) 22 1 1 ( 0 ) (0 1 1) 2 2 22
2a 2 3a 2 3a 2
每个格点包含2个原子，属于复式晶格。 每个格点包含2个原子，属于复式晶格。
1 2 3 4
1 4
1 2
1 4 3 4 1 2
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向
金刚石结构每个固体物理学原胞 包含1个格点 基元由两个碳原子组成, 个格点, 包含 个格点,基元由两个碳原子组成, 位于（ ） 位于（000）和 (b)氯化钠结构 b)氯化钠结构
a a1 = − i + j + k 2 a a2 = i − j + k 2 a a3 = i + j − k 2
( ( (
)
) )
平均每个布拉维原胞包含2个格点。 平均每个布拉维原胞包含 个格点。 固体物理学原胞的体积
1 3 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a 2
(
)
立方晶系中几种实际晶体结构
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞 1.3
一. 布喇菲空间点阵
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同 ) ) )为二维晶体结构示意图，它们有何异同?
(a)Leabharlann (b)(c)一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重 复排列而成的。 复排列而成的。 所有晶体的结构可以用布喇菲格子 又称晶格）来描述， 布喇菲格子（ 所有晶体的结构可以用布喇菲格子（又称晶格）来描述， 这种晶格的每个格点上附有一群原子， 这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 晶体结构 晶格+基元= 晶格+基元=晶体结构
Cs+的坐标为 (000)。 )
典型的晶体结构 结构型 单晶胞中 原子在单晶 最近邻 原子个数 胞中的位置 距离 配位数
(Cu) )
fcc
4 2
Cs+ 1 Cl- 1
bcc
11 ( 0) (000) 22 1 1 ( 0 ) (0 1 1) 2 2 22
2a 2 3a 2 3a 2
每个格点包含2个原子，属于复式晶格。 每个格点包含2个原子，属于复式晶格。
1 2 3 4
1 4
1 2
1 4 3 4 1 2
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向
金刚石结构每个固体物理学原胞 包含1个格点 基元由两个碳原子组成, 个格点, 包含 个格点,基元由两个碳原子组成, 位于（ ） 位于（000）和 (b)氯化钠结构 b)氯化钠结构
a a1 = − i + j + k 2 a a2 = i − j + k 2 a a3 = i + j − k 2
( ( (
)
) )
平均每个布拉维原胞包含2个格点。 平均每个布拉维原胞包含 个格点。 固体物理学原胞的体积
1 3 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a 2
(
)
立方晶系中几种实际晶体结构
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞 1.3
一. 布喇菲空间点阵
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图，它们有何异同 ) ) )为二维晶体结构示意图，它们有何异同?
(a)Leabharlann (b)(c)一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重 复排列而成的。 复排列而成的。 所有晶体的结构可以用布喇菲格子 又称晶格）来描述， 布喇菲格子（ 所有晶体的结构可以用布喇菲格子（又称晶格）来描述， 这种晶格的每个格点上附有一群原子， 这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 基元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 晶体结构 晶格+基元= 晶格+基元=晶体结构
固体物理1-3
六角密排晶体一个 六角密排晶体 原胞包含A层和B层 原子各一个，共两 个原子。 个原子
小结 小结 只有简单晶格的结构与点阵形式上是一 简单晶格 致的。复式晶格的结构与点阵形式上不一致， 复式晶格 它可以看成若干个与其点阵形式相同的子格子 套购而成。这些子格子相互不能通过点阵平移 套购 重合。子格子数目恰恰等于基元中原子（离子） 的数目。同时可以看到，同一种点阵可以对应 的数目 不同的晶体结构，但它们具有相同的平移对称 不同的晶体结构 性。
固体物理
Solid State Physics
§1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞 §1.3
布喇菲 空间点阵学说： 空间点阵学说
晶体的内部结构可以概括为一些相同的点 子在空间有规律地作周期性的无限分布。 点 阵： 这些点子的总体称为点阵。
空间点阵学说含义
点子 点子 代表着结构中相同的位置，叫做结点。 结点 特征： 每个结点在空间分布具有完全相同的周围环境 同一种原子，结点是原子本身位置 同一种原子 数种原子，一个结点对应一个基元 数种原子
原胞的体积： 3 Ω = a1 ⋅ (a 2 × a3 ) = a / 4
⎧ a = ai ⎪ 晶胞基矢： b = aj ⎨ ⎪ c = ak ⎩
晶胞的体积：
Ω = a ⋅ (b × c ) = a 3
二、立方晶系中的复式格子
异种原子 异种原子
氯化钠结构
氯化纳结构是由两个面心立方的子晶格彼 面心立方 此沿立方空间对角线位移1/2的长度套构 而成。固体物理学原胞是面心立方，每个 晶胞中包含八个原子。 八个原子
简立方
⎧ a1 = ai 原胞基矢： ⎪ a 2 = aj ⎨ ⎪ a = ak ⎩ 3 原胞的体积：
Ω = a1 ⋅ (a 2 × a3 ) = a 3
1.2布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
1．2布喇菲空间点阵原胞晶胞
1.2.1布喇菲空间点阵
晶体内部结构可以看成是由一些相同的点子在空间作规则的周期性无限分布，这些点子的总体称为布喇菲点阵。
二维晶体结构，基元及其点阵：
沿三个不同方向通过点阵中的结点作平行的直线族，把结点包括无遗，点阵便构成一个三维网格．这种三维格子称为晶格，又称为布喇菲格子，结点又称格点．
1.2.2 原胞
以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平行六面体可作为晶格的一个重复单元．体积最小的重复单元，称为原胞或固体物理学原胞.它能反映晶格的周期性．原胞的选取不是惟一的，但它们
的体积都相等．
下图示出了原胞与基矢．
原胞与基矢
原胞选取的任意性
1.2.3 晶胞
为了同时反映晶体对称的特征，结晶学上所取的重复单元，体积不一定最小，结点不仅在顶角上，还可以是体心或面心．这种重复单元称作晶胞、惯用晶胞或布喇菲原胞．
我们称重复单元的边长矢量为基矢．若以a1、a2和a3表示原胞的基矢。
简立方
原胞基矢与晶胞基矢的关系：
简立方晶胞
体心立方
原胞基矢
体积：
面心立方
原胞基矢
体积：
立方晶系中几种实际晶体结构：氯化铯：
氯化钠：
金刚石：
钙钛矿：。
第一章 晶体的结构v
简单格子：晶体只有一种原子组成，且基元中只含有一 个原子，原子中心与格点重合，这种晶格位简单格子。 复式格子：晶体只有一种原子组成，且基元中含有两个 或两个以上原子，或晶体由多种原子构成晶体的基元包括 两种或两种以上的原子。 复式格子中，各单元中相应的同种原子组成与阵点相同 的网络构成简单格子；基元中不同原子构成的简单格子是 相同的，相互之间有一定的位移。
68.0% 52.4
18
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
晶体的微观结构包括 （1）组成晶体的原子的成分； （2）粒子在空间规则排列的方式。 为描述晶体内部结构的空间规则排列（长程有序） 的方式，布拉菲提出空间点阵学说。 晶体可以看成由一些相同的点子（格点）在三维空间做 周期性分布所构成的系统，所有的点子是等价的，这些 点子的总体称为布喇菲点阵；这些点子称为格点。 与晶体结合特征相同，无任何物理实质的，仅有格点之 间相互连接形成的网络为晶格，又称点阵。
30
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
布喇菲晶胞的选取原则： （1）选取的平行六面体代表整个晶体点阵的对称性 （2）平行六面体中应有尽可能多的相等的棱边和顶角； （3）平行六面体中应有尽可能多的直角；
（4）在上述条件下选择体积最小的平行六面体。
31
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
简立方（sc）
原胞基矢与晶胞基矢的关系：
a1 ai, a2 aj, a3 ak
简立方晶胞仅含有一个原子；
是最小的重复单元，与原胞相 同
简立方晶胞
32
体心立方
（1）顶角的原子和体心的原子是等同的，体心立方晶 格属于布喇菲格子；
胞 晶胞
体心立方
原胞基矢
体积：
1 a1 (a b c) 2 1 a2 (a b c) 2 1 a3 (a b c) 2
68.0% 52.4
18
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
晶体的微观结构包括 （1）组成晶体的原子的成分； （2）粒子在空间规则排列的方式。 为描述晶体内部结构的空间规则排列（长程有序） 的方式，布拉菲提出空间点阵学说。 晶体可以看成由一些相同的点子（格点）在三维空间做 周期性分布所构成的系统，所有的点子是等价的，这些 点子的总体称为布喇菲点阵；这些点子称为格点。 与晶体结合特征相同，无任何物理实质的，仅有格点之 间相互连接形成的网络为晶格，又称点阵。
30
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
布喇菲晶胞的选取原则： （1）选取的平行六面体代表整个晶体点阵的对称性 （2）平行六面体中应有尽可能多的相等的棱边和顶角； （3）平行六面体中应有尽可能多的直角；
（4）在上述条件下选择体积最小的平行六面体。
31
1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
简立方（sc）
原胞基矢与晶胞基矢的关系：
a1 ai, a2 aj, a3 ak
简立方晶胞仅含有一个原子；
是最小的重复单元，与原胞相 同
简立方晶胞
32
体心立方
（1）顶角的原子和体心的原子是等同的，体心立方晶 格属于布喇菲格子；
胞 晶胞
体心立方
原胞基矢
体积：
1 a1 (a b c) 2 1 a2 (a b c) 2 1 a3 (a b c) 2
固体物理
a3
c b a
a2 a1
面心立方(FCC)
a=ai b=aj c=ak
a1 = 1/2 ( b + c) a2 = 1/2 ( a + c) a3 = 1/2 ( a +b)
c
a1 b a2
a3 a
六方(Hexagonal)
k
a4
a3
a2 a1
j i
a3
a2
a1
a1 = a/2 (31/2 i + j) a2 = a/2 (-31/2 i + j)
几种常见的晶胞
简立方(SC)
a1 = a i a2 = a j a3 = a k
a=ai b=aj c=ak
j i
k
c b a
体心立方(BCC)
a=ai b=aj c=ak
a1 = 1/2 (-a + b + c) a2 = 1/2 ( a – b + c) a3 = 1/2 ( a +b - c)
式过于复杂而难以求解。
--- 狄拉克 (1929)
参考书目
1. 《固体物理教程》 王矜奉 编著 （山东大学出版社） 2. 《固体物理导论》 基泰尔 （C. Kittel) (化学工业出版社） 3. 《固体物理学》 黄昆、韩汝琦 （高等教育出版社） 4. 《凝聚态物理学》上卷 冯端、金国钧 高等教育出版社） 5. 《Solid State Physics》 G. Grosso 、G. P. Parravicini (Elsevier)
a1
h1 : h2 : h3 = 1/r : 1/s : 1/t
(1). 晶面族的面指数可以有晶面组中任意晶面在基矢坐标轴上的截矩的系数 的倒数求出
1.2-布喇菲格子-原胞和晶胞-1.3-密堆积PPT优秀课件
这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性 平移，就可以充满整个晶格，形成晶体。
a3 a2 a1
9
a3 a2 a1
如图:对于三维晶格 R n n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
则以 a1,a2,a3 为棱的平行六面体是晶格体积的最
小重复单元，即原胞
原胞的体积为 a 1•(a 2a 3)
a 2
a 2
i jk
a 3
a 2
i
jk
平均每个晶胞包含2个格点。
原胞的体积 Ωa1a2a312a3
晶胞的体积 V 2
18
复式格子(complex crystal lattice) (a)金刚石结构(diamond,简称：DIA)
cc
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移 1/4的长度套构而成,其晶胞为面心立方。由面心立方 晶胞的中心到顶角引8条连线，在互不相邻的4条连线 的中点各加一个原子就得到了金刚石晶格结构。
10
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一，但无论如何 选取，原胞均有相同的体积，每个原胞平均只包含一 个格点。
2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成，则每 个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，如：平移对称性。
(rR n) (r)
4). 由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反映晶格 的周期性，而不能反映晶格的对称性。
第二节、布拉菲格子 原胞和晶胞
1
1. 晶体结构的周期性
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图
三者各自有相同的基本结构单元，且在平面内作周期 性分布
2
1).基元、布拉菲空间点阵、格点和晶格
a3 a2 a1
9
a3 a2 a1
如图:对于三维晶格 R n n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
则以 a1,a2,a3 为棱的平行六面体是晶格体积的最
小重复单元，即原胞
原胞的体积为 a 1•(a 2a 3)
a 2
a 2
i jk
a 3
a 2
i
jk
平均每个晶胞包含2个格点。
原胞的体积 Ωa1a2a312a3
晶胞的体积 V 2
18
复式格子(complex crystal lattice) (a)金刚石结构(diamond,简称：DIA)
cc
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移 1/4的长度套构而成,其晶胞为面心立方。由面心立方 晶胞的中心到顶角引8条连线，在互不相邻的4条连线 的中点各加一个原子就得到了金刚石晶格结构。
10
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一，但无论如何 选取，原胞均有相同的体积，每个原胞平均只包含一 个格点。
2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成，则每 个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，如：平移对称性。
(rR n) (r)
4). 由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反映晶格 的周期性，而不能反映晶格的对称性。
第二节、布拉菲格子 原胞和晶胞
1
1. 晶体结构的周期性
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图
三者各自有相同的基本结构单元，且在平面内作周期 性分布
2
1).基元、布拉菲空间点阵、格点和晶格
第一章结晶学基础-1.3.1十四种布拉维点阵_6.14ZSQ
材料科学基础第1 章1.3.1 十四种布拉维点阵十四种布拉维点阵一、单位平行六面体的选取二、十四种布拉维点阵三、晶胞空间点阵的划分 空间点阵是一个由无限多结点在三维空间作有规则排列的图形。
整个空间点阵就被这些平行线分割成多个紧紧地排列在一起的平行六面体有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）单位平行六面体的 选取原则 3.大小原则体积最小 1 对称性原则应能反映空间点阵对称性 2 角度原则 直角关系尽可能多4 对称性规定夹角不为直角 结点间距最小的行列做棱，夹角最接近直角的平行六面体二维平面点阵的划分(A)具有L44P的平面点阵；(B)具有L22P的平面点阵单位平行六面体在空间点阵中，选取出来的能够符合这几条原则的平行六面体称为单位平行六面体；可以用三条互不平行的棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ来描述，如下图所示。
点阵常数棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ的大小称为点阵常数。
晶体的点阵常数十四种布拉维点阵（格子）简单（原始）点阵（格子）(P) 结点分布在角顶，每个点阵包含一个结点体心点阵（格子）（I）结点分布在角顶和体心，每个点阵包含二个结点十四种布拉维点阵（格子）面心点阵（格子）(F) 结点分布在角顶和面心，每个点阵包含四个结点单面心点阵（格子）(A/B/C) 结点分布在角顶和一对面心，每个点阵包含2个结点根据布拉维推导，从一切晶体结构中抽象出来的空间点阵，按上述原则来选取平行六面体，只能有14种类型，称为14种布拉维点阵。
十四种空间点阵正交P(简单) C(底心) I(体心) F(面心) 点阵常数 a ≠ b ≠ cα= β= γ= 90°立方简单立方(P) 体心立方（I）面心立方（F）点阵常数 a =b =cα= β= γ= 90°如图立方为什么没有底心呢？假如有底心，将破坏立方的3L 4的对称性，只有1L 4。
立方三方（R ） 90120≠<====γβαc b a 点阵常数：六方（H ）12090===≠=γβαcb a 点阵常数： 四方（P ） 四方（I ）90===≠=γβαc b a 点阵常数：四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少”的条件，还可画出只有一个点阵点的格子。
空间点阵、原胞 晶胞资料
1 r ( 2 3 R 2 R ) 0.73 R 2
此时 ，配位数最大，等于8。
Page 第 15 15 页
§1.2 密堆积 如果小球r 增大:大球将不再相切，但由于小球与大球仍 相切，故结构依然稳定，配位数仍为8。所以当
r 1 0 .73 R R
时 ，两种球为氯化铯型；
若小球r 变小:小球在中心的位置不固定，结构不稳定，
于是结构取配位数较小的堆积，即配位数位6的堆积，此时
就不是氯化铯结构型。
Page 第 16 16 页
氯化钠结构
若氯粒子在体心，它与处于面心位置的6个钠粒子构成
最近邻，如图所示。
当处在中央的小球 r与其左
右上下前后的 6个大球R 相切时，
无论大球R 是否相切，结构都是 稳定的，此时，配位数为6。 若增大6个大球的半径，直到大球R也相互相切时达到最 紧堆积。
§1.2 密堆积
Page 1
Page 1 第1页
§1.2 密堆积
密堆积:晶体中的原子（或离子）在没有其他因素（例如价键的方向性、 正负离子的相间排列等）的影响下，由于彼此之间的吸引力会尽可能地靠 近，以形成空间密堆积排列的稳定结构。 空间堆积的致密度用空间利用率（晶胞内原子总体积占晶胞体积的百分数） 表示。 配位数: 在布喇菲格子中，离某一格点最近的格点，称为该格点的最近邻，
§1.2 密堆积
配位数情况
如果晶体不是由同一种原子构成，那么相应小球的体积不 等，从而不可能形成密积结构，因此配位数一定小于12。 考虑到周期性和对称性的特点：晶体不可能具有配位数11、 10和9，所以，次一个配位数应该是8、6。
Page 9 第9页
§1.2 密堆积 晶体的配位数也不可能是5，则下一个配位数是4，为四 面体。 配位数是3的为层状结构，而配位数是2的则为链状结构。
1.3原胞晶胞
方向的周长为边长的平行六面体。
原胞特点？
原胞
特点:
(1) 体积最小的重复单元
(2) 格点只出现在该平行六面体的顶角上。
(3) 每个原胞平均包含一个格点
(4) 原胞的选择方式有多种（形状），但原胞的体积相等。
基矢： 原胞的边长矢量
a1,a2,a3
体 a 积 1 ( a 2 a 3 ) ： a 3
原胞如何选取？
点阵中任意两格点之间的位置矢量：
Rl = l1 a1 + l1 a1 + l3 a3
原胞——二维
特点: (1) 体积最小的重复单元 (2) 格点只出现在该平行六面体的顶角上。 (3) 每个原胞平均包含一个格点 (4) 原胞的选择方式有多种（形状），但原胞的体积相等。
立方晶系原胞
简立方
体心立方
面心立方
简立方原胞与晶胞
1) 晶胞基矢 a a i,b a j,c a k
体积 V a ( b c ) a 3
2）原胞基矢
a 1 a i,a 2 a j,a 3 a k 体积 a 1 (a 2 a 3 ) a 3
原胞内包含的节点数：？1
面心立方原胞与晶胞
a
晶体结构
a
基元
点阵
点阵结构的描述
布喇菲空间点阵：沿三个不同的方向通过点阵中的结点做平 行的直线族，将节点包揽无遗，形成一个三维网格（晶格）。 周期：某一方向上两相邻结点的距离，称为该方向的周期。
如何描述点阵结构？
原胞和晶胞
晶胞
晶胞：反映晶体周期性和对称性体积最小重复单元.
结点可以在顶点、体心或面心. 晶胞的棱尽可能垂直.
基矢： 晶胞的边长矢量. a,b,c
a a i.b b j.c c k
原胞特点？
原胞
特点:
(1) 体积最小的重复单元
(2) 格点只出现在该平行六面体的顶角上。
(3) 每个原胞平均包含一个格点
(4) 原胞的选择方式有多种（形状），但原胞的体积相等。
基矢： 原胞的边长矢量
a1,a2,a3
体 a 积 1 ( a 2 a 3 ) ： a 3
原胞如何选取？
点阵中任意两格点之间的位置矢量：
Rl = l1 a1 + l1 a1 + l3 a3
原胞——二维
特点: (1) 体积最小的重复单元 (2) 格点只出现在该平行六面体的顶角上。 (3) 每个原胞平均包含一个格点 (4) 原胞的选择方式有多种（形状），但原胞的体积相等。
立方晶系原胞
简立方
体心立方
面心立方
简立方原胞与晶胞
1) 晶胞基矢 a a i,b a j,c a k
体积 V a ( b c ) a 3
2）原胞基矢
a 1 a i,a 2 a j,a 3 a k 体积 a 1 (a 2 a 3 ) a 3
原胞内包含的节点数：？1
面心立方原胞与晶胞
a
晶体结构
a
基元
点阵
点阵结构的描述
布喇菲空间点阵：沿三个不同的方向通过点阵中的结点做平 行的直线族，将节点包揽无遗，形成一个三维网格（晶格）。 周期：某一方向上两相邻结点的距离，称为该方向的周期。
如何描述点阵结构？
原胞和晶胞
晶胞
晶胞：反映晶体周期性和对称性体积最小重复单元.
结点可以在顶点、体心或面心. 晶胞的棱尽可能垂直.
基矢： 晶胞的边长矢量. a,b,c
a a i.b b j.c c k
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基元
晶体微观结构的周期性结构单元
基元：随晶体
简称
不同，基元可以是单个原子，也可以是若干原子之集 团，如:Ca、Cu、Ag、Au、Al、Pb等元素晶体，基元为 单个原子；Mg、Ti、Zn、Cd等元素晶体，基元包括两个 原子 ； 结构较复杂的无机化合物晶体：基元所含原子数目可多 达十几或几十，甚至上百。 结构更复杂的有机化合物晶体：基元所含原子数目多达 一万多，如蛋白质晶体 。
a1 , a2 , a3
简单晶格，任一原子A的位置矢量：
Rl l1a1 l2 a2 l3a3
Rl 2a1 3a2
Rl 3a1 a2 a3
单胞 —— 为了反映晶格的对称性 常取最小重复单元的几倍作为重复单元 单胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期 单胞的基矢—— 单胞三个边的矢量
每个晶胞共含有4对离子，其原胞的基矢取法与fcc相同。
5 CsCl晶体的结构 CsCl结构 —— 两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间 对角线位移1／2 的长度套构而成
6. 金刚石晶格结构
—— 碳原子构成的一个面心立方原胞内还有四个原子 分别位于四个空间对角线的 1／4处 —— 一个碳原子和其它四个碳 原子构成一个正四面体 —— 金刚石结构的半导体晶体 Ge、Si等
1.3 布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
19th cent.,Bravais：物质结构研究表明物质内部 有空隙 空间点阵学说：
晶体的内部结构可以概括为由大量相同的点子（格点） 在空间有规则地作周期性的无限分布构成的系统,即布 喇菲点阵。 空间点阵学说+物质微观结构的原子理论 晶体宏观特征起源于晶体独特的微观结构： 组成晶体的原子（或离子，或分子）在空间的规则排 列呈现出一种周期性。X射线衍射技术验证晶体微观结构 的周期性。
1 简立方
—— 原子球在一个平面 内呈现为正方排列 —— 平面的原子层叠加起 来得到简单立方格子
用圆点表示原子的位置 —— 得到简单立方晶格结构
常又简记为sc(simple cubic),其原胞如图1-10中所示，是一个边 长为a的立方体。 格点分布于原胞的八个顶点， 所包含的平均格点数为 8× 1/8=1（格点/原胞） 因此原胞就是其Bravais格子中 体积最小的周期性重复单元，即初 基原胞。所以，sc的基矢与轴矢是 相同的
—— 晶体可以看作是在布喇菲点阵(Lattice)的每一个格点上 放上一组原子(Basis 基元)构成的
基矢、原胞和晶胞
晶格共同特点 —— 周期性，可以用原胞和基矢来描述
原胞 —— 晶格中最小重复单元
原胞 —— 一个晶格中最小重复单元 基矢 —— 原胞的边矢量 —— 三维晶格的重复单 元是平行六面体 —— 重复单元的边长矢量
1 a1 b c 2
1 a2 c a 2
1 a3 a b 2
(1-3)
初基元胞的体积只是惯用元胞体积的四分之一
1 3 a1 (a 2 a3 ) a 4
4 NaCl晶体的结构 氯化钠由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体 Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子
C层原子球排列之二 —— 面心立方晶格
B层原子球排列
C层原子球排列
原子球排列 —— ABC ABC ABC …… —— 层的垂直方向是对称性为3的轴，是立方体的空间对角线 面心立方晶格结构晶体 Cu、Ag、Au、Al
3°面心立方Bravais格子 常又简记为fcc(face－centered cubic),其惯用元胞如图中虚线 所示，是一个边长为a的立方体。 除顶点外，格点还分布于面心，所包含的平均格点数为 8×1/8+6×1/2=4（格点） 因此惯用元胞不是其Bravais 格子中体积最小的周期性重复 单元。以六个面心格点和体 对角线相连的两个顶点格点作 为八个顶点所形成的边长为a/2 的棱形六面体就是fcc的初基元胞， 如图中实线所示。故fcc三个基矢为
7. ZnS晶体的结构 —— 闪锌矿结构 立方系的硫化锌 —— 具有金刚石类似的结构 化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
简单晶格
—— 由完全等价的一种原子构成的晶格
复式晶格
—— 复式格子包含两种或两种以上的等价原子
复式格子的特点：不同等价原子各自构成相同的简单晶格 复式格子由它们的子晶格相套而成 NaCl晶格 —— Na+和Cl－各有一个相同的面心立方晶格
1 a1 a b c 2
1 a2 a b b c 2
(1－2)
初基元胞的体积只有惯用元胞体积的一半
1 3 a1 (a 2 a3 ) a 2
3 面心立方
a1 a , a2 b , a3 c
（1－1）
2 体心立方
体心立方晶格结构 原子球排列形式
体心立方原子球排列方式表示 —— AB AB AB ……
2°体心立方Bravais格子 常又简记为bcc(body－centered cubic),其惯用元胞如下图所 示，是一个边长为a的立方体。 除顶点外，格点还分布于体心，所包 含的平均格点数为 8×1/8+1×1=2（格点/惯用元胞） 因此惯用元胞不是其Bravais格子中体积 最小的周期性重复单元。以体心格点 到彼此不共棱边且两两面对角线相连的 三个顶点格点的三条连线作为共顶点的 三条棱边所形成的边长为a/2的棱形六面 体就是bcc的初基元胞，如图中虚线所示。所以，bcc的三个基矢分 别如下
单胞基矢 a , b , c
一些情况下 —— 单胞就是原胞 一些情况下 —— 单胞不是原胞 简单立方 — 单胞是原胞 面心立方 — 单胞不是原胞
为了进一步熟悉、了解晶体的Bravais格子，下面以 几种最常见、最简单的Bravais格子为例，来深入分析 Bravais格子的其它种种特征。