高中数学向量知识点总结(经典题型解题方法)

高中数学向量知识点总结（经典题型解题方法）

理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。了解空间向量的基本定理，掌握空间向量的数量积的定义及性质。理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念，握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件。下面通过以下知识点同学们全面讲解。

知识点归纳

1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示

2．空间向量的运算

空间向量的加法、减法与数乘向量运算：

OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()

OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a

b b a +=+⑵加法结合律：)

()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b

a b a

λλλ+=+)(3平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 4共线向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这

些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．

当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所

在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．

5．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要

条件是存在实数λ，使a ＝λb 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a

的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式

OP OA t =+ a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量6空间直线的向量参数表示式：

OP OA t =+ a 或()OP OA t OB OA =+- (1)t OA tOB =-+ ，中点公式．1()2

OP OA OB =+ 7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α ．通

常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量

说明：空间任意的两向量都是共面的

8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb

=+ 推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ ①

或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ②

或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③

上面①式叫做平面MAB 的向量表达式

9空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一

向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc

=++

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，

,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯

一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC

=++ 10空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一

点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；

且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<> ；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b

⊥ 11．向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或

模，记作：||

a

12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ??<> 叫做,a b 的数

量积，记作a b ? ，即a b ?= ||||cos ,a b a b ??<> ．

已知向量AB a = 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在

l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或

在e 上的正射影A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=? ．13．空间向量数量积的性质：

（1）||cos ,a e a a e ?=<> ．（2）0a b a b ⊥??= ．（3）．

14．空间向量数量积运算律：2||a a a =?

（1）()()()a b a b a b λλλ?=?=? ．（2）a b b a ?=? （交换律）．

（3）()a b c a b a c ?+=?+? （分配律）

经典例题导讲

[例1]和a =(3,－4)平行的单位向量是_________；

错解：因为a 的模等于5，所以与a 平行的单位向量就是51a ，即(35

，－45

)错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。

正解：因为a 的模等于5，所以与a 平行的单位向量是±51a ，即(35

，

－45)或(－35，45

)点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求

解“和a =(3,－4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。

[例2]已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C 是平行四

边形的三个顶点，求第四个顶点D 的坐标。

错解：设D 的坐标为（x，y），则有x-2=-1-3，y-1=4-2，即x=-2，y=3。故所求D 的坐标为（-2，3）。

错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD 的顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD。因此，还需要分类讨论。

正解：设D 的坐标为（x，y）

当四边形为平行四边形ABCD 时，有x-2=-1-3，y-1=4-2，即x=-2，y=3。解得D 的坐标为（-2，3）；

当四边形为平行四边形ADBC 时，有x-2=3-（-1），y-1=2-4，即x=6，y=-1。解得D 的坐标为（6，-1）；

当四边形为平行四边形ABDC 时，有x-3=-1-2，y-2=4-1，即x=0，y=5。解得D 的坐标为（0，5）。

故第四个顶点D 的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。

[例3]已知P 1(3,2)，P 2（8，3），若点P 在直线P 1P 2上，且满足

|P 1P|=2|PP 2|，求点P 的坐标。

错解：由|P 1P|=2|PP 2|得，点P 分P 1P 2所成的比为2，代入定比分点

坐标公式得P（3

8,319）错因：对于|P 1P|=2|PP 2|这个等式，它所包含的不仅是点P 为P 1，P 2的内分点这一种情况，还有点P 是P 1，P 2的外分点。故须分情况讨论。

正解：当点P 为P 1，P 2的内分点时，P 分P 1P 2所成的比为2，此时解

得P（3

8,319）；当点P 为P 1，P 2的外分点时，P 分P 1P 2所成的比为-2，此

时解得P（13，4）。

则所求点P 的坐标为（3

8,319）或（13，4）。点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。

[例4]设向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，0 ≠b ，则“b a //”是“1221y x y x =”

的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．

解：若b a //，∵0 ≠b ，则b r a =，代入坐标得：),(),(2211y x r y x =，即

21rx x =且21ry y =．消去r ，得1221y x y x =；

反之，若1221y x y x =，则21rx x =且21ry y =，即)

,(),(2211y x r y x =则b r a =，∴b

a //故“

b a //”是“1221y x y x =”的充要条件．

答案：C

点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．

[例5]．已知a =（1，-1），b =（-1，3），c =（3，5），求实数x、

y，使c =x a +y b ．

分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．解：由题意有

x a +y b =x（1，-1）+y（-1，3）=（x-y，-x+3y）．

又c

=（3，5）

∴x-y=3且-x+3y=5

解之得x=7且y=4

点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法．

[例6]已知A（-1，2），B（2，8），AC =31AB ，DA =-31BA ，求点C、D 和向量的坐标．

分析：待定系数法设定点C、D 的坐标，再根据向量，和CD 关系进行坐标运算，用方程思想解之．解：设C、D 的坐标为),(11y x 、),(22y x ，由题意得

AC =（2,111-+y x ），AB =（3，6），DA =（222,1y x ---），BA =（-3，-6）又=31AB ，DA =-31BA

∴（2,111-+y x ）=31（3，6），（222,1y x ---）=-31（-3，-6）即(2,111-+y x )=(1,2)，(222,1y x ---)=(1,2)

∴111=+x 且221=-y ，112=--x 且222=-y

∴01=x 且41=y ，且22-=x 0

2=y ∴点C、D 和向量CD 的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）

小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．

高中数学向量知识今天先分享到这里了，还有更的高中数学的知识点会持续为你分享。