人教版九年级上册圆内接四边形的性质与判定定理

合集下载

圆的内接四边形有什么性质

圆的内接四边形有什么性质
圆内接四边形是一个几何概念。

四个顶点在同一圆上的四边形称为圆内接四边形。

我们来看看它的属性。

以圆内接四边形ABCD为例，圆心为O，假设AC、BD交于Q，则：
1、圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，
∠ABC+∠ADC=180°
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：
∠CBE=∠ADC
3、圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：
∠AOB=2∠ACB=2∠ADB
4、圆内接四边形对应三角形相似：△ABQ∽△DCQ
5、同弧所对的圆周角相等：∠ABD=∠ACD
6、相交弦定理：AQ×CQ=BQ×DQ
7、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD
8、判定定理编辑
1.如果一个四边形的对角是互补的，那么这个四边形内接于一个圆。

2.如果一个四边形的外角等于其内对角线，那么这个四边形内接于一个圆。

3.如果一个四边形的四个顶点到一个固定点的距离相等，那么这个四边形内接于一个以该点为圆心的圆。

4.如果有两个三角形有相同的底边，其他顶点都在底边的同一侧，并且顶点相等，那么这两个三角形有一个公共外接圆。

5.如果一个四边形的张角相等，那么这个四边形内接于一个圆。

2.2_圆内接四边形的性质与判定定理 (1)

上述定理的逆命题是什么？它们成立吗？应该怎样来证明呢？
性质定理1的逆命题：如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
性质定理1的逆命题：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.
2.【圆内接四边形的判断定理】
假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.
A D A D A D A D
O B C B C
B
C B C
1.【圆内接四边形的性质】
直接研究较困难，那么我们可以先从问题的反面思考：
如果一个四边形内接于圆，那么这样的四边形有什么特征？
我们应该从哪些角度来思考呢？
观察下面这组图中的四边形都内接于圆.你能从中发现这些四边形的共同特征吗？
A D A D A D
A
D
O B C B C
B
C B C
1.【圆内接四边形的性质】
如图（1）连接OA,OC.则∠B= 360 0 1 0 0 B D 360 180 2
1 2
1 ,∠D= 2
D
C

A
同理可得 : A C 180
0

B
性质定理1
圆内接四边形的对角互补.
D
（1）
将线段AB延长到点E,得到图（2）由于ABC EBC 180 0.
而ABC D 180 0.
C
EBC D.
性质定理2
A
（2）
B
E
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
1.【圆内接四边形的性质】
性质定理1
性质定理2 思考3

九年级数学圆的内接四边形

半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。
内接四边形对角互补定理
圆内接四边形的对角互补，即任一外角等于其内对角。
利用角度关系求解问题
通过已知角度求解未知角度
01
利用内接四边形对角互补定理和圆心角定理，可以通过已知角
度求解出未知角度。
通过已知边长求解角度
02
在已知内接四边形的某些边长时，可以利用正弦、余弦定理等
利用边长关系求解问题
已知边长求角度
在已知内接四边形部分边长的情况下，通过边长比例关系求解未知角度。
已知角度求边长
在已知内接四边形部分角度的情况下，通过三角函数和边长比例关系求解未知边长。
综合应用
结合已知条件和所求问题，综合运用边长比例关系、三角函数和相似三角形等知识求解问题。
拓展：相似三角形在内接四边形中应用
求解出相应的角度。
角度与弧度的转换
03
在求解与圆相关的问题时，经常需要在角度与弧度之间进行转
换。
拓展：外角、内角和公式应用
内角和公式
多边形的内角和公式为（n-2） ×180°，其中n为多边形的边数。
对于圆内接四边形，其内角和为 360°。
外角公式
多边形的外角和公式为360°，即所有外角之和等于360°。对于圆内接四边形，每个外角都等于相邻的内对角。
02
若一个四边形的对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆，即这个四边形是某个圆的内接四边形。
性质定理梳理
圆内接四边形的对角互补：即对于圆内接四边形ABCD，有∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
若在圆内接四边形中，有一个角是直角，则其对角也是直角。

圆内接四边形的性质与判定定理

第 7课圆内接四边形的性质与判定定理【学习目的】理解圆内接四边形的性质与判定定理，能熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理解题。

【学习重点】能熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理解题。

【学习难点】能熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理解题。

【过程展示】1、圆内接四边形的性质定理：定理1：定理2：2、圆内接四边形的判定定理：推论：例1、如图，⊙1和⊙O 2都经过A 、B 两点，经过点A 的直线CD 与⊙O 1交于点C ，与⊙O 2交于点D 经过点B 的直线EF 与⊙O 1交于点E ，与⊙O 2交于点F ．求证：CE ∥DF ．例2、如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC ．（1）求证：FB ＝FC ；（2）若AB 是△ABC 的外接圆的直径， ∠EAC ＝120°，BC ＝6，求AD 的长．O 2 · · O 1F E DC B AA B F C D E你还有解以上各题的好方吗？站在大家面前，勇敢地展示你的想法和解法吧！你评、我评、大家评，评出精彩，评出智慧！6．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为2∶3∶6，则∠D 的度数为________．解析：设∠A ，∠B ，∠C 分别为2x,3x,6x ，因四边形ABCD 内接于圆，∴∠D ＝180°－∠B ＝180°－3x ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝2x ＋3x ＋6x ＋180°－3x ＝360°，解得x ＝22.5°.∴∠D ＝180°－3x ＝112.5°.答案：112.5°1、如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P 。

若PB=1，PD=3，则BC AD 的值为。

圆内接四边形的性质及其应用

03 圆内接四边形的面积和周长
面积的计算
面积公式
圆内接四边形的面积可以通过公式计算，公式为$S = frac{1}{2} times d times p$，其中$d$是圆的直径，$p$是圆内接四边形
的周长。
面积与半径的关系
圆内接四边形的面积与半径成正比，当半径增大时，面积也相应
增大。
面积与角度的关系
04 圆内接四边形的实际应用
在几何作图中的应用
性质利用
圆内接四边形的对角互补性质在几何作图中常被用来确定点或线的位置。例如，通过已知的两个相对角的度数，可以确定一个圆的圆心和半径。
VS
作图工具
圆内接四边形可以作为作图工具，帮助确定复杂图形的角和边的长度。例如，在绘制椭圆或更复杂的几何图形时，可以利用圆内接四边形的性质来辅助作图。
，证明相对的两个内角互补。
弦切角定理的证明
总结词
弦切角定理表明，在圆内接四边形中，切线与弦之间的夹角等于该弦所对的圆周角。
详细描述
要证明弦切角定理，可以首先在圆内接四边形中作一条切线，并连接该切线与弦的端点。然后，利用圆的切线性质和圆周角定理（圆周角等于同弧所对的圆心角的一半），证明弦切角定理成立。
切线长定理
总结词
切线长定理表明在圆内接四边形中，两条相对的切线长度相等，且两条切线的交点到两切点的距离也相等。
详细描述
在圆内接四边形ABCD中，如果AB和CD是切线，那么线段AC等于线段BD，即AC = BD。这是因为切线与半径垂直，而两条切线的交点到两切点的距离相等。这个定理可以用来判断一个四边形是否为圆内接四边形。
圆内接四边形的面积还与其相对的两个角度有关，相对角度越大，

第二讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理

答案：150°
5．若圆内接四边形中 3 个相邻的内角比为 5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为________．答案：120°
类型 1 性质定理的应用(规范解答) [典例 1] 如图所示，⊙O 是等腰三角形 ABC 的外接圆，AB＝AC，延长 BC 到点 D，使 CD＝AC，连接 AD 交⊙O 于点 E，连接 BE 与 AC 交于点 F. (1)判断 BE 是否平分∠ABC，并说明理由． (2)若 AE＝6，BE＝8，求 EF 的长．
3．如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
[迁移探究 1] (改变问法)典例 2 条件不变，试证明 G，B，C，F 四点共圆．证明：连接 DE.由 AD＝DB， AE＝EC，知 DE∥BC，所以∠ADE＝∠B. 又由 D，E，F，G 四点共圆，
失分警示：若漏掉此处的结论，则扣 1 分． EF AE 所以＝， EC DE AE·EC 9 所以 EF＝ DE ＝ .(10 分) 2
归纳升华圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，这两个性质可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．
[变式训练] 如图所示，已知四边形 ABCD 内接于圆，延长 AB 和 DC 相交于 E，EG 平分∠BEC，且与 BC、AD 分别相交于 F、G. 求证：∠CFG＝∠DGF. 证明：因为四边形 ABCD 是圆内接四边形，所以∠ECF＝∠EAG.
温馨提示圆内接四边形判定定理及推论为证明四点共圆提供两个方法．
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意三角形都有外接圆，但可能不止一个．( (2)矩形有唯一的外接圆．( (3)菱形有外接圆．( (4)正多边形有外接圆．( ) ) ) )

圆内接四边形课件

与矩形的关系
特殊的圆内接四边形是矩形，即对角线相等的平行四边形。
与菱形的关系
特殊的圆内接四边形是菱形，即四边相等的平行四边形。
与正方形的关联
正方形是特殊的矩形和菱形的结合体，因此也是特殊的圆内接四边形。
圆内接四边形的历史与发展
古代起源
01
古希腊数学家开始研究圆内接四边形，发现了其与圆的性质之
详细描述
圆内接四边形的定义是四个顶点都在同一个圆周上的四边形。这个圆被称为四边形的外接圆。
性质
总结词
圆内接四边形具有一些特殊的性质，包括对角互补、外角等于内对角等。
详细描述
圆内接四边形的性质包括对角互补，即相对的两个内角之和为180度；外角等于内对角，即外角等于另一个内角所对的弧上的圆周角。此外，圆内接四边形的对角线互相平分，且相对的两边之积等于另外两边之积。
分类
总结词
根据圆心与四边形相对位置的不同，圆内接四边形可以分为四种类型。
详细描述
根据圆心与四边形相对位置的不同，圆内接四边形可以分为四种类型，分别是正圆内接四边形、椭圆内接四边形、抛物线内接四边形和双曲线内接四边形。不同类型的圆内接四边形具有不同的性质和特点。
02
圆内接四边形的判定定理
定理内容
注意作图的精度
在绘制过程中，要注意作图的精度，尽量保证四边形各边的长度相等，角度相等，以提高作图的准确性。
05
圆内接四边形的实际应用
在几何图形中的应用
圆内接四边形是几何学中的基本图形之一，它在证明定理和推导公式等方面具有广泛的应用。例如，利用圆内接四边形的性质可以证明勾股定理、托勒密定理等重要的几何定理。
圆内接四边形也是解析几何和微积分中的基础概念，常用于研究曲线的性质和函数的极值等问题。

2圆内接四边形的性质与判定定理

2．2圆内接四边形的性质与判定定理一．教学目标1．知识与技能目标：（1）理解圆内接四边形的性质定理，能应用定理解决相关的几何问题；（2）理解圆内接四边形的判定定理，能应用定理及推论解决相关的几何问题2．过程与方法目标：经历定理的提出、证明、应用的过程，探究定理的本质，整理点共圆的重要知识3．情感态度与价值观目标：通过对圆内接四边形性质的探究，体会观察、归纳方法在数学命题中的应用；通过对圆内接四边形判定定理的探究，进一步体会分类思想以及反证法的应用二．重点圆内接四边形的性质定理，圆内接四边形的的判定定理及推论，判定定理证明中蕴涵的数学思想方法三．难点（1）判定定理的证明（2）运用运动变化思想方法探究几何问题四、教学过程（一）导入新课1．复习：圆内接四边形的定义2．提出问题：我们知道，任意三角形都有外接圆，那么，任意四边形有外接圆吗？（1）由学生通过画图得到初步结论，形成感性认识；（2）教师进一步提出问题：具备什么条件的四边形才有外接圆呢？（与原稿相比，这样设计目标更具体，过程更容易操作，更容易激发学生的探究欲望，从而为研究圆内接四边形的判定做好铺垫）（二）推进新课1．圆内接四边形性质的研究（1）阅读教材P．27“探究”：观察一组圆内接四边形，寻找其共同特征设计如下问题，帮助学生得出结论①图中都研究哪些四边形？它们有什么共同特征？②观察以上四个图形中各四边形四个内角的关系，你能够得出什么结论？③是不是所有的圆内接四边形都有这样的结论？④你能证明你的结论吗？(1)(2)(3)(4)（与原稿相比，这样设计能够突出学生的主体作用，学生分析问题和解决问题更有目的性，更能体现知识的形成过程）（2）性质定理1：圆的内接四边形的对角互补（3）性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角2．提出问题：（1）回顾平行线的性质定理与判定定理：性质定理：两直线平行，同位角相等……；判定定理：同位角相等，两直线平行……；（2）回顾等腰三角形的性质定理与判定定理：性质定理：在三角形中，等边对等角判定定理：在三角形中，等角对等边（3）从上述性质定理与判定定理的关系中，你能够得出什么结论？（通常情况下，性质定理与判定定理是互逆的）（4）圆内接四边形的性质定理的逆命题是否成立？即对角互补的四边形是否是圆内接四边形？（与原稿相比，这样设计沟通了通常情况下性质定理与判定定理的内在联系，更容易引起学生的思考，学生更容易接受，并且可以通过这样的规律学生其他定理，从而体会了数学定理衍生的一般过程）3．探究圆内接四边形的判定定理（1）画出图形，写出已知，求证如图，已知，四边形ABCD 中，180=∠+∠D B 求证：D C B A ,,,在同一圆上（简称四点共圆）（2）分析过程：①任意三点C B A ,,显然在同一圆上，过这三点作圆O ，只要证明点D 在圆上；②直接证明点D 在圆上比较困难，考虑反证法；让学生回顾证明点在圆上的方法，发现只有圆的定义，即到圆心的距离等于半径，对本题而言，这很难操作。

圆内接四边形的性质与判定

3．圆内接四边形的性质与判定一、基础知识回顾1．在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的相等，所对的也相等。

2. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条、两条、两个中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。

3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对。

(1) 半圆(或直径)所对的圆周角是 ; 90º的圆周角所对的弦是 . (2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ; 相等的圆周角所对的弧也 .二、知识延伸拓展如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

例如，图1中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。

圆内接四边形有以下性质：性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。

已知：如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE 是四边形ABCD 的外角。

求证：（1）∠A+∠BCD=180º，∠B+∠D=180º；（2）∠DCE=∠A 。

图1E图2BAD ⌒ BCD⌒ ⌒∠A 所对的弧是BCD∠BCD 所对的弧是BAD⌒ ⌒⌒m m .21,21A BAD BCD BCD =∠=∠1111证明：（1）∵，，∴∵和的度数和是360 º∴同理，∠B+∠D=180º。

(2) ∵∠DCE是四边形ABCD的外角，∴∠DCE+∠BCD=180º由（1）得∠A+∠BCD=180º∴∠DCE=∠A。

反过来，如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上吗已知：四边形ABCD中，∠B +∠D=180°求证：A,B,C,D在同一圆周上。

分析：根据不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨设A、B、C三点确定⊙O，则点D 与⊙O的位置关系有三种：在圆外、在圆上、在圆内，如果能排除点D在圆外和在圆内，则点D必在圆上。

人教版九年级上册24.14：圆内接四边形教案

人教版九年级上册24.14：圆内接四边形教案
一、教学内容
人教版九年级上册24.14：圆内接四边形教案
1.圆内接四边形的定义与性质
-圆内接四边形的定义
-圆内接四边形的对角互补性质
-圆内接四边形的对边平行性质
2.圆内接四边形的判定方法
-判定定理1：四边形ABCD是圆内接四边形的充分必要条件是它的对角互补，即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆内接四边形的定义和判定方法这两个重点。对于难点部分，如判定定理的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆内接四边形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示圆内接四边形的基本原理。
-圆内接四边形的定义与性质：理解圆内接四边形的内涵，掌握其对角互补、对边平行等重要性质。
-举例：解释为何圆内接四边形的对角互补，通过图形展示对边平行特点。
-圆内接四边形的判定方法：熟练运用判定定理1和定理2，判断四边形是否为圆内接四边形。
-举例：给出具体四边形，指导学生运用判定定理进行判断。
-圆内接四边形的周长与面积计算方法：掌握计算公式，能够准确求解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆内接四边形的基本概念。圆内接四边形是指四个顶点都在同一圆上的四边形。它在几何学中有着重要的作用，可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了圆内接四边形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
此外，实践活动中的分组讨论环节，学生们表现得相当积极，但也有一些小组在讨论过程中偏离了主题。我觉得这可能是因为我对讨论主题的引导不够明确，或者是学生在探索问题时缺乏足够的方向感。针对这个问题，我计划在下次的讨论中，提供更明确的讨论指南，并在讨论过程中加强个别辅导，确保每个小组都能围绕主题展开深入探讨。

圆内接四边形

所以E ADC .同样产生矛盾.
所以点D不可能在圆内.
综上所述, 点D只能在圆周上.即 A、B、C、D四点共圆.
圆内接四边形判定定理
如果一个四边形的对角互补,
那么这个四边形的四个顶点共圆.
在圆内接四边形判定定理的证明中, 我们用分类思想对点 D与ABC三点确定的圆的位置关系进行讨论 , 在每一种情形中都运用反证法 .当问题的结论存在多种情形时, 通过对每一种情形分别论证, 最后获证结论的方法, 称为穷举法 .
O
A
D
1
B A
2
C B
O
C D A
D
3
O
4
C
O
C
B
图2 5
B
单击图标 , 打开几何画板, 借助计算机来探究圆内接四边形的特征.
一般地 , 我们可以从四边形的边的关系、角的关系等来考察这些图形的共同特征.下面考察四个角的关系 .
D
C

O

B
显然,圆内接四边形的角都是圆周角.因此, 为了考察这些圆周角的关系, 我们可以借助圆周角定理 .
C
O
D
将图 2 6 1中的线段AB延长到点E , 得到图2 6 2 . 由于ABC EBC 180 , 所以EBC D.
于是又得性质定理 2 :
A B E
图2 6 2
定理2
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
经过上面的讨论 , 我们得到了圆内接四边形的两条性质.一个自然的想法是, 它们的逆命题成立吗 ? 如果成立 , 就可以得到四边形存在外接圆的判定定理 .

1
2
F
G
1 D 180 , D 60 , 1 120 , 同理 : 2 120 ,

22 圆内接四边形的性质与判定定理课件(人教A选修4-1)

返回
• •
3、引用入题法同学们，有一首诗这样写道：“多少人爱你青春欢畅的时候，爱慕你的美丽，也许假意或真心。只要我爱你朝圣者的灵魂，爱你衰老的脸上脸上的痛苦的皱纹。”诗中倾诉的是深沉真挚的爱，正如别林基斯所说：“爱是理解的别名。”知之愈深，才能爱之愈切，今天，带着这种爱，我要讲一讲我的祖国，讲一讲生我的这片土地。
返回
[悟一法]
(1)圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或
互补提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供
了一种新的途径． (2)在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意性质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意两者的综合运用．(3)构造全等或相似三角形，以达到证
明线段相等、角相等或线段成比例等目的．
返回
[通一类]
2．两圆相交于A、B，过A作两直线分别交两圆于C、D和E、F.若∠ EAB＝∠DAB，求证：CD＝EF. 证明：如图，连接EC、BE、BD、 BC、BF. 因为四边形ABEC为圆内接四边形，
所以∠2＝∠CEB.
返回
又因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠2，
所以∠CEB＝∠ECB.
所以BC＝BE. 在△CBD与△EBF中， ∠BCD＝∠BEF，∠D＝∠F，BC＝BE，所以△CBD≌△EBF. 所以CD＝EF.
返回
点击下图进入“创新演练”
返回
• • • • 求七、练习篇章六、练习词语五、编制提纲四、收集材料
• • • • • 三、满足听众的本能欲二、分析听众和场合一、决定话题和目的
七个阶段的准备
∴G、B、C、F四点共圆．返回