利用导数求参数取值范围的几种类型
利用导数求参数范围举例
利用导数求参数范围举例例1.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f (1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． 解：(1)2,21-=-=b a 2122)2(]2,1[)(,2)2(,21)1(23)1(,2722)32(132023,23)().2(222'>-<+>+=-+=+=-+-=+=-=-==----=c c c ，c c f x f c f c f cf c f x x x x x x x f 或解得从而上的最大值为在所以且或得由例2.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值 (1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围. 解:(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x M x x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)2,3(230)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(100)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g 例3．已知,)(2c x x f +=且)1()]([2+=x f x f f 。
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围
导数的应用——利用单调性求参数的取值范围在解题中，我们首先要确定参数的取值范围是有限的，也就是参数不能无限制地取值。
然后我们利用导数的单调性来排除一些不符合要求的取值范围，从而找到参数的合理取值范围。
为了更好地理解这个方法，我们来看一个具体的例子：问题：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a > 0。
如果函数f(x)在定义域内是递增函数，求参数b的取值范围。
解答：首先，我们要明确函数f(x)是递增函数的定义：对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
我们可以通过求函数f(x)的导函数f'(x)来判断函数f(x)的单调性。
在本例中，函数f(x)的导函数为f'(x) = 2ax + b。
由于函数f(x)为递增函数，所以f'(x)应该大于0。
即对于任意的x，有f'(x)>0。
我们可以把f'(x) > 0看作是一个一次函数y = 2ax + b > 0的解。
这个一次函数的解为x < -b/2a。
也就是说，对于任意的x<-b/2a，有f'(x)>0。
这样一来，我们就可以得出结论，函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数。
但是我们并不能马上就得出参数b的取值范围是x<-b/2a。
因为函数f(x)的定义域可能不包含这个区间。
为了求出参数b的取值范围，我们需要进一步考虑函数f(x)的定义域。
对于函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的定义域是所有实数集合R。
因此，对于任意实数x，函数f(x)都有定义。
由于我们已经确定了函数f(x)在x<-b/2a的区间上是递增函数，所以我们只需要确定使得这个区间包含在定义域内的参数b的取值范围即可。
如果我们假设b/2a为一个实数k，那么我们可以得出-x>k。
即对于任意的x>-k，函数f(x)是递增的。
然而，x的取值范围是所有实数，所以我们可以把任意实数k当作是b/2a。
(完整版)导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。
（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。
(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。
这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。
因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。
（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。
故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围方法归纳导数是微积分中的重要概念，可以用于求函数的变化率、极值、最值等问题。
利用导数求参数的取值范围可以帮助我们找到函数的关键点、拐点以及定义域的范围等信息。
下面是一些常见的方法归纳。
求函数在处的导数：1.首先，计算函数的导数表达式。
2.将参数值代入导数表达式，得到函数在该处的导数。
3.根据导数值的正负来判断函数在该处的增减性。
求函数的关键点：1.通过导数求出函数的导数表达式。
2.设置函数的导数等于零的方程，并求解得到参数的取值。
3.将参数的取值代入原函数，得到关键点的横坐标。
4.进一步求得关键点的纵坐标，得到函数的关键点。
求函数的拐点：1.首先，求出函数的二阶导数表达式。
2.解出二阶导数等于零的方程，得到参数的取值。
3.将参数的取值代入原函数，求出拐点的横坐标。
4.进一步求得拐点的纵坐标，得到函数的拐点。
求函数的定义域范围：1.首先，确定函数的定义区间，并计算函数在该区间的导数。
2.判断导数的正负情况，以确定函数的单调性。
3.判断函数在定义区间的端点处是否存在极值。
若存在，则考虑边界条件。
4.根据以上分析，确定函数在定义区间的取值范围。
举例说明：1. 求函数 f(x) = ax^2 + bx 的最值：首先，求出函数的导数 f'(x) = 2ax + b。
令导数等于零，得到 2ax + b = 0，解方程可得 x = -b/(2a)。
将x的值代入原函数，得到最值的纵坐标。
进一步分析函数的单调性和边界条件，得到函数的取值范围。
2. 求函数 g(x) = sin(ax) 的最值：首先，求出函数的导数 g'(x) = acos(ax)。
判断导数的正负情况，确定函数的单调性。
根据函数的周期性和边界条件，得出函数在定义区间的取值范围。
3. 求函数 h(x) = log(x + a) 的定义域范围：首先，确定函数的定义区间为x+a>0，即x>-a。
对函数求导，得到导数h'(x)=1/(x+a)。
利用导数求参数范围的八种策略
策略一：分离变量法案例1、（2009福建卷）若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________.答案：(,0)a ∈-∞案例2、（2008湖北卷）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞- 答案：C案例3、（2008广东卷）设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <- 答案：B案例4、（2008江苏卷）设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 ．答案：4a =．案例5、（2005湖北卷）已知向量a =(2x ,1+x )，a =(x -1,t )，若b a x f ∙=)(在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.答案：[5，+≦）案例6、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
答案：2a >案例7、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
答案：1322a -<< 策略二：主次元变换法（略）策略三、极值法案例1.（07全国卷二）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<答案：（1）23(31)2y t x t =--；（2）（略）案例2、（2009陕西卷）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间；()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。
专题2.14 利用导数求参数范围(解析版)
第十四讲利用导数求参数范围【修炼套路】考向一利用单调性求参数【例1】已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围．【答案】a≤0【解析】由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.【举一反三】1．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围．【答案】a≤3【解析】因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，即a≤3.2.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．【答案】见解析【解析】由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a≥3时，f(x)在区间(－1,1)上为减函数．3.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值．【答案】3【解析】由例题可知，f(x)的单调递减区间为(－3a3，3a3)，∴3a3＝1，即a＝3.4.已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．【答案】（0,3）【解析】∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，即0＜a＜3.【套路总结】用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()f x ≥（≤）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ,得函数的单调递增（减）区间。
导数大题求参归类(学生版)
导数大题求参归类目录题型01 恒成立求参：常规型题型02 恒成立求参：三角函数型题型03恒成立求参：双变量型题型04 恒成立求参：整数型题型05恒成立求参：三角函数型整数题型06“能”成立求参：常规型题型07“能”成立求参：双变量型题型08“能”成立求参：正余弦型题型09 零点型求参：常规型题型10 零点型求参：双零点型题型11 零点型求参：多零点综合型题型12 同构型求参：x1，x2双变量同构题型13 虚设零点型求参高考练场热点题型归纳题型01恒成立求参：常规型【解题攻略】利用导数求解参数范围的两种常用方法：(1)分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；(2)分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.1(2024上·北京·高三阶段练习)设a>0，函数f(x)=x a ln x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≤x，求a的取值范围；(3)若f (x)≤1，求a．2(2024上·甘肃武威·高三统考期末)已知函数f x =2xe x+a ln x+1.(1)当a=0时，求f x 的最大值；(2)若f x ≤0在x∈0,+∞上恒成立，求实数a的取值范围.【变式训练】1(2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习)已知函数f x =x2-ax e x．(1)若f x 在-2,-1上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若f x ≥sin x对x∈-∞,0恒成立，求实数a的取值范围．2(2024上·山西·高三期末)已知函数f x =m x-12-2x+2ln x，m≥2.(1)求证：函数f x 存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间a,b的长度b-a的取值范围；(2)当x≥1时，f x ≤2xe x-1-4x恒成立，求实数m的取值范围.3(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)=2x2-a ln x-1，a∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意的x∈(0,+∞)，不等式f(x+1)>(x+1)2+1x+1-1e x恒成立，求实数a的取值范围．题型02恒成立求参：三角函数型【解题攻略】三角函数与导数应用求参：1.正余弦的有界性2.三角函数与函数的重要放缩公式：x≥sin x x≥0.1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin xx，g x =a cos x．(1)求证：x∈0,π2时，f x <1；(2)当x∈-π2,0∪0,π2时，f x >g x 恒成立，求实数a的取值范围；(3)当x∈-π2,0∪0,π2时，f x2>g x 恒成立，求实数a的取值范围．2(2023上·全国·高三期末)已知函数f (x )=e x sin x -2x .(1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；(2)求f (x )在区间0,π2上的最大值；(3)设实数a 使得f (x )+x >ae x 对x ∈R 恒成立，求a 的最大整数值.【变式训练】1(2023上·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习)已知函数f x =e ax -2ax a ∈R ,a ≠0 .(1)讨论f x 的单调性；(2)若不等式f x ≥sin x -cos x +2-2ax 对任意x ≥0恒成立，求实数a 的取值范围.2(2023上·甘肃定西·高三甘肃省临洮中学校考阶段练习)已知函数f x =e x-sin x-cos x,f x 为其导函数．(1)求f x 在-π,+∞上极值点的个数；(2)若f (x)≥ax+2-2cos x a∈R对∀x∈-π,+∞恒成立，求a的值．题型03恒成立求参：双变量型【解题攻略】一般地，已知函数y =f x ,x ∈a ,b ，y =g x ,x ∈c ,d(1)若∀x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，总有f x 1 <g x 2 成立，故f x max <g x min ；(2)若∀x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x max <g x max ；(3)若∃x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x min <g x min ；(4)若∃x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x min <g x max ．1(2023·四川攀枝花·统考模拟预测)已知函数f x =ae x -x a ∈R ．(1)当a =1时，求f x 的单调区间；(2)设函数g x =x 2-1 e x -x -f x ，当g x 有两个极值点x 1,x 2x 1<x 2 时，总有tg x 2 ≥2+x 1 ex 2+x 22-3 成立，求实数t 的值．2(2024上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习)设函数f x =e x -ax ，其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )在[1,+∞)上的极值；(2)若函数f (x )有两零点x 1,x 2x 1<x 2 ，且满足x 1+λx 21+λ>1，求正实数λ的取值范围.【变式训练】1(2023·上海松江·校考模拟预测)已知函数f (x )=ax -a ln x -e xx.(1)若a =0，求函数y =f (x )的极值点；(2)若不等式f (x )<0恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数y =f (x )有三个不同的极值点x 1、x 2、x 3，且f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)≤3e 2-e ，求实数a 的取值范围.2(2023下·山东德州·高三校考阶段练习)已知函数f x =2ln x +12(a -x )2，其中a ∈R .(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若f x 存在两个极值点x 1,x 2x 1<x 2 ,f x 2 -f x 1 的取值范围为34-ln2,158-2ln2 ，求a 的取值范围.题型04恒成立求参：整数型【解题攻略】恒成立求参的一般规律①若k ≥f (x )在[a ,b ]上恒成立，则k ≥f (x )max ；②若k ≤f (x )在[a ,b ]上恒成立，则k ≤f (x )min ；③若k ≥f (x )在[a ,b ]上有解，则k ≥f (x )min ；④若k ≤f (x )在[a ,b ]上有解，则k ≤f (x )max ；如果参数涉及到整数，要注意对应解中相邻两个整数点函数的符号1(2023上·湖北·高三校联考阶段练习)已知f x =e x -2x +a ．(1)若f x ≥0恒成立，求实数a 的取值范同：(2)设x 表示不超过x 的最大整数，已知e x +2ln x -e +2 x +2≥0的解集为x x ≥t ，求et ．(参考数据：e ≈2.72，ln2≈0.69，ln3≈1.10)2(2023上·浙江·高三校联考阶段练习)已知函数f x =ae x-2，g x =x+1x+2ln x，e=2.71828⋯为自然对数底数．(1)证明：当x>1时，ln x<x2-12x；(2)若不等式f x >g x 对任意的x∈0,+∞恒成立，求整数a的最小值．【变式训练】1(2023·江西景德镇·统考一模)已知函数f x =sin x+sin ax，x∈0,π2.(1)若a=2，求函数g x =f x +sin x值域；(2)是否存在正整数a使得f xx>3cos x恒成立？若存在，求出正整数a的取值集合；若不存在，请说明理由.2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =5+ln x，g x =kxx+1k∈R．(1)若函数f x 的图象在点1,f1处的切线与函数y=g x 的图象相切，求k的值；(2)若k∈N∗，且x∈1,+∞时，恒有f x >g x ，求k的最大值．(参考数据：ln5≈1.61,ln6≈1.7918,ln2+1≈0.8814)题型05恒成立求参：三角函数型整数1(2020·云南昆明·统考三模)已知f(x)=e x-2x-1 2．(1)证明：f(x)>0；(2)对任意x≥1，e sin x+x2-ax-1-ln x>0，求整数a的最大值．(参考数据：sin1≈0.8,ln2≈0.7)2(2020上·浙江·高三校联考阶段练习)已知函数f x =a sin x +sin2x ，a ∈R .(1)若a =2，求函数f x 在0,π 上的单调区间；(2)若a =1，不等式f x ≥bx cos x 对任意x ∈0,2π3恒成立，求满足条件的最大整数b .【变式训练】1(2022·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=e x +a cos x -2x -2，f ′(x )为f (x )的导函数．(1)讨论f ′(x )在区间0,π2 内极值点的个数；(2)若x ∈-π2，0时，f (x )≥0恒成立，求整数a 的最小值．2(2023·云南保山·统考二模)设函数f x =x sin x ，x ∈R (1)求f x 在区间0,π 上的极值点个数；(2)若x 0为f x 的极值点，则f x 0 ≥λln 1+x 20 ，求整数λ的最大值.题型06“能”成立求参：常规型【解题攻略】形如f x ≥g x 的有解的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x max≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a≥φx 或a≤φx 恒成立，即a≥φx min或a≤φx max恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可.1(2023上·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中)已知函数f x =a ln x+x，a∈R.(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若存在x∈e,e2，使f x ≤ax+1 2ln x成立，求实数a的取值范围.注：e为自然对数的底数.2(2023上·湖南长沙·高三统考阶段练习)已知函数f x =a2e2x+a-2e x-12x2，y=g x 是y=f x 的导函数.(1)若a=3，求y=g x 的单调区间；(2)若存在实数x∈0,1使f x >32a-2成立，求a的取值范围.【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f x =x2+a ln ex．(1)讨论f x 的单调性；(2)若存在x∈1,e，使得f x -ax-a≤2，求实数a的最小值．2(2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习)已知函数f x =a ln x+1-a2x2-x a∈R.(1)若a=2，求函数f x 的单调区间；(2)若存在x0≥1，使得f x0<aa-1，求a的取值范围.题型07“能”成立求参：双变量型【解题攻略】一般地，已知函数y =f x ,x ∈a ,b ，y =g x ,x ∈c ,d(1)相等关系记y =f x ,x ∈a ,b 的值域为A , y =g x ,x ∈c ,d 的值域为B ,①若∀x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 =g x 2 成立，则有A ⊆B ；②若∃x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，有f x 1 =g x 2 成立，则有A ⊇B ；③若∃x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 =g x 2 成立，故A ∩B ≠∅；(2)不等关系(1)若∀x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，总有f x 1 <g x 2 成立，故f x max <g x min ；(2)若∀x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x max <g x max ；(3)若∃x 1∈a ,b ，∀x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x min <g x min ；(4)若∃x 1∈a ,b ，∃x 2∈c ,d ，有f x 1 <g x 2 成立，故f x min <g x max ．1(2022·江西上饶·高三校联考阶段练习)已知函数f (x )=2ax -e x +2，其中a ≠0.(1)若a =12，讨论函数f (x )的单调性；(2)是否存在实数a ，对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f x 1 +f x 2 =4成立？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．2(2023上·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习)已知函数f x =a ln x +1xx >0 ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若存在x 1，x 2满足0<x 1<x 2，且x 1+x 2=1，f x 1 =f x 2 ，求实数a 的取值范围．【变式训练】1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ax 2-2+5a x +5ln x a ∈R ，g x =x 2-52x .(1)若曲线y =f x 在x =3和x =5处的切线互相平行，求a 的值；(2)求f x 的单调区间；(3)若对任意x 1∈0,52 ，均存在x 2∈0,52，使得f x 1 <g x 2 ，求a 的取值范围．2(2023上·重庆·高三校联考阶段练习)已知函数f (x )=ax +ln x (a ∈R ),g (x )=x 2-2x +2．(1)当a =-12时，求函数f (x )在区间[1,e ]上的最大值和最小值;(2)若对任意的x 1∈[-1,2]，均存在x 2∈(0,+∞)，使得g x 1 <f x 2 ，求a 的取值范围．题型08“能”成立求参：正余弦型1(2017·江苏淮安·高三江苏省淮安中学阶段练习)函数f (x )=a cos x -x +b (a >0,b >0).(1)求证：函数f (x )在区间0,a +b 内至少有一个零点；(2)若函数f (x )在x =-π6处取极值，且∃x ∈0,π2 ，使得f (x )<3cos x -sin x 成立，求实数b 的取值范围.2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )=x +2-2cos x(1)求函数f (x )在-π2，π2 上的最值：(2)若存在x ∈0，π2使不等式f (x )≤ax 成立，求实数a 的取值范围【变式训练】1(2020·四川泸州·统考二模)已知函数f (x )=sin x x,g (x )=(x -1)m -2ln x .(1)求证：当x ∈(0,π]时，f (x )<1；(2)求证：当m >2时，对任意x 0∈(0,π]，存在x 1∈(0,π]和x 2∈(0,π](x 1≠x 2)使g (x 1)=g (x 2)=f (x 0)成立.2(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =ln1+x-a sin x，a∈R．(1)若y=f x 在0,0处的切线为x-3y=0，求a的值；(2)若存在x∈1,2，使得f x ≥2a，求实数a的取值范围．题型09零点型求参：常规型【解题攻略】零点常规型求参基础：1.分类讨论思想与转化化归思想2.数形结合与单调性的综合应用：一个零点，则多为所求范围内的单调函数，或者“类二次函数”切线处(极值点处)3.注意“找点”难度，对于普通学生，可以用极限思维代替“找点思维”。
与单调性有关的求参数取值范围的三种策略
与单调性有关的求参数取值范围的三种策略在数学和统计学中，单调性是指函数图像或数据集的一种特性，确保函数或数据的增减关系不发生变化。
在一些问题中，我们需要确定一个或多个参数的取值范围，以满足特定的单调性要求。
以下是与单调性有关的求参数取值范围的三种策略。
一、求导数法（Derivative Method）求导数法是一种常用的确定参数取值范围的方法，特别适用于连续函数。
通过求函数的导数，我们可以判断函数是否单调递增或单调递减，从而确定参数的取值范围。
具体步骤如下：1.首先，根据问题的要求，确定函数的单调性是递增还是递减。
2.然后，针对函数求导，得到导函数。
3.对导函数进行解析，确定导函数的零点。
4.根据导函数的零点，可以将参数取值范围划定为单调递增或递减的区间。
5.最后，根据导函数的取值范围，进一步确定参数的取值范围。
例如，假设我们需要确定函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的参数 a 的取值范围，以保证函数单调递增。
我们可以进行如下的推导：1. 函数 f(x) 的导数为 f'(x) = 2ax + b。
2.函数f'(x)为一次函数，为了保证f(x)单调递增，需要保证f'(x)大于零。
3. 将 f'(x) 大于零进行解析：2ax + b > 0。
4. 当 a > 0 时，对任意 x 都有 2ax + b > 0。
5.因此，确定参数a的取值范围为a>0。
二、函数图像法（Graphical Method）函数图像法是一种直观的方法，通过绘制函数的图像来确定参数的取值范围，以满足单调性要求。
具体步骤如下：1.根据问题的要求，确定函数的单调性是递增还是递减。
2.将函数表示为y=f(x)的形式，并绘制函数的图像。
3.根据图像的走向，确定函数递增或递减的区间。
4.通过观察函数图像，确定参数的取值范围，使函数在递增或递减的区间内。
例如，假设我们需要确定函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的参数 a 的取值范围，以保证函数单调递减。
导数求参数范围方法
导数求参数范围方法
1. 分离参数法！哇塞，就比如函数 f(x)=x^2+ax+1 ，已知它在某个区间上恒大于零，这时候我们就可以把参数 a 分离出来单独研究呀，这样不就能快速求出参数范围啦！
2. 端点值分析法嘞！想想看，对于函数 f(x)=e^x-mx 在某个区间有解
的问题，难道我们不应该重视端点值的情况吗？这可是关键哦！
3. 构造函数法也超好用呀！假如有个问题说函数 f(x)和 g(x)，要让它们满足某种关系时求参数，我们果断构造个新函数呀，就像在黑暗中找到了明灯！比如 f(x)=x^3+x，g(x)=mx+2，我们就可以通过构造来找思路呀！
4. 利用单调性来解决，哎呀呀，这就好比找到了通关密码！像函数
f(x)=lnx+ax 有单调性的情况，利用单调性来求参数范围不就容易多啦！
5. 极值点分析法别忘记呀！要是遇到函数 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d 的极值问题，那极值点可太重要了，能让我们顺藤摸瓜找到参数范围呢！
6. 不等式法也不能小瞧哦！就好像生活中的小窍门一样，面对函数
f(x)≥g(x)恒成立求参数，用不等式法那简直妙不可言，比如f(x)=x^2+2x，g(x)=kx 这种情况呀！
7. 图像法简直是直观的利器呀！看着函数图像，就像看着地图找宝藏一样，一下子就能锁定参数范围啦！比如那个函数 f(。
利用导数求参数的取值范围
利用导数求参数的取值范围导数是微积分中的重要概念之一，它可以用于求解函数的变化率、极值以及函数的图像性质等。
在求参数的取值范围时，通过导数可以帮助我们确定参数的有效取值范围。
首先，让我们回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)，它在点x0处的导数可以通过以下公式计算：f'(x0) = limit(h->0) [f(x0+h) - f(x0)] / h这个公式表示了函数在x0处的切线的斜率。
如果导数大于0，则函数在该点处递增；如果导数小于0，则函数在该点处递减。
在解决参数的取值范围时，一种常见的方法是通过导数的正负性来确定。
具体而言，我们可以通过以下步骤来求解参数的取值范围：1.确定函数表达式：首先，我们需要确定待求参数所在的函数表达式。
这通常是一个关于自变量x和参数p的函数，如f(x;p)。
2.求导：接下来，我们对函数f(x;p)关于自变量x求导。
这将给出函数在每个点处的导数表达式，如f'(x;p)。
3.确定导数的正负性：根据导数的正负性，我们可以确定函数在每个点处的增减情况。
4.设置约束条件：根据问题的要求，我们可以确定一定的约束条件来限制参数p的取值范围。
这些约束条件可以是函数在一些点处递增或递减，或函数在一些区间内具有特定性质等。
5.解方程或不等式：最后，我们将约束条件与导数的正负性结合起来，解方程或不等式来确定参数p的取值范围。
实际问题中，求参数的取值范围也可能涉及到其他数学方法和定理，如最值问题、平均值定理等。
这些方法将在下面的具体例子中进行讨论。
例子1：确定函数f(x;p) = px^2 + 2x + 1的参数p的取值范围，使得函数在整个定义域上递增。
1. 求导：对函数f(x;p)关于自变量x求导，得到f'(x;p) = 2px +22. 导数的正负性：由于希望函数在整个定义域上递增，所以导数f'(x;p)应当大于0。
解不等式2px + 2 > 0，得到p > -1所以参数p的取值范围为p>-1例子2：确定函数f(x;p) = px^3 + x^2 + 1的参数p的取值范围，使得函数在整个定义域上的平均增加率大于0。
利用导数求解一类含参数取值范围问题的常用方法
2020年第10期(上)中学数学研究33利用导数求解一类含参数取值范围问题的常用方法广东省广州市第七中学陆曼丽摘要利用导数求解参数取值范围问题是导数应用的一个重点,此类问题的解决,对培养学生的逻辑推理能力、数学抽象能力,数学运算能力和知识整合能力有很大的帮助.本文主要介绍常见的三种解决此类问题的方法,并在具体例题中探讨各类方法的优缺点,帮助学生在解题中能优中择优.关键词分离参数法;含参讨论法;分离函数法利用导数求解参数取值范围问题是一类常见的探索性问题,是导数应用的一个重点,若能掌握此类问题的解法,对培养学生的逻辑思维能力、数学抽象能力,数学运算能力和知识整合能力有很大的帮助.一、梳理方法,加深理解利用导数求解参数取值范围常见的方法有:分离参数法、含参讨论法、分离函数法.这三种方法各有特点.分离参数法:若参数的系数符号确定(无需讨论符号的正负便可以把参数分离出来),而且构造的函数相对容易求出导函数,并能确定导函数的正负,可选择分离参数法.含参讨论法:若含有参数的函数表达式是一些简单且常见的基本初等函数的四则混合运算的形式,可考虑用含参讨论法,但要注意对参数进行分类讨论,不重不漏.分离函数法:一般适用于能分离出含参数和不含参数的两类初等函数,再对含参数和不含参数的两个函数进行分析,本文主要分析一类能分离出含参数的一次函数的题型.二、甄别细微,领会异同例1函数f(x)=x ln x+ax2(a为常数)有两个极值点x1,x2,求实数a的取值范围.解法1(分离参数法)因为f′(x)=ln x+1+2ax (x>0),而函数f(x)=x ln x+ax2(a为常数)有两个极值点x1,x2等价于f′(x)=0有两个不相等的变号的实数根x1,x2,由f′(x)=0,即−2a=ln x+1x(x>0),设g(x)=ln x+1x(x>0),则g′(x)=−ln xx2,令g′(x)=0,得x=1;所以,当0<x<1时,g′(x)>0,g(x)在区间(0,1)内单调递增;当x>1时,g′(x)<0,g(x)在区间(1,+∞)内单调递减.g(x) g(1)=1,且x→0+时,g(x)→−∞; x→+∞时,g(x)→0+.从而,由g(x)=f′(x)=0有两个不相等的变号的实数根x1,x2,得0<−2a<1,即−12<a<0.方法点睛函数有极值点是其导函数所对应的方程有实数根的充分不必要条件,所以一定要强调并教会学生证明它的必要性.而函数有极值点的充分且必要条件是导函数对应的方程有变号的实数根.对题目进行适当的变形,并使用分离参数法解题,能避免对参数进行分类讨论的麻烦,只需求y=−2a这条水平线与函数g(x)=ln x+1x图像有两个变号的交点即可.因为C,P,Q三点共线,所以−−→CP//−−→CQ.又−−→CP=(a cosα−x C,b sinα−y C),−−→CQ=(a cosβ−x C,b sinβ−y C),所以(a cosα−x C)(b sinβ−y C)=(a cosβ−x C)(b sinα−y C),整理得ab sin(α−β)−bx C(sinα−sinβ)+ay C(cosα−cosβ)=0,即ab cos α−β2−bx C cosα+β2−ay C sinα+β2=05⃝又C在l2上,所以y C=bx C sinθa cosθ,即bx C=ay C cosθsinθ,代入5⃝,化简得cos α−β2=y C cos(θ−α+β2)b sinθ,代入4⃝,得|OM|·|ON|=b sinθ+y Cb sinθ−y C·|OA|2=y C+y By C−y B·|OA|2,故结论成立.以上由特殊到一般,揭示了这道定值问题的根源与本质.在教学中,教师要帮助学生养成良好的学习习惯,敢于质疑、善于思考、把握本质,厘清知识、结论的来龙去脉,这样的数学学习才更加有意义,数学核心素养的提升才会指日可待.参考文献[1]刘刚.一道椭圆联赛题的探究与拓展[J].中学数学研究(华南师范大学版),2019(7,上半月):19-20.[2]刘刚,赵毅.一个定值问题的一般化探究[J].中学数学月刊,2017(12):54-55.[3]刘刚,赵毅.2016年全国高中数学联赛江西预赛第9题的探究与推广[J].中学数学月刊,2017(2):64-65.34中学数学研究2020年第10期(上)解法2(含参讨论法)因为f′(x)=ln x+1+2ax(x>0),而函数f(x)=x ln x+ax2(a为常数)有两个极值点x1,x2等价于f′(x)=0有两个不相等的变号的实数根x1,x2,设h(x)=ln x+1+2ax,则h′(x)=1x+2a(x>0),当a 0时,h′(x)>0恒成立,所以h(x)在(0,+∞)单调递增,最多有一个零点,不符合题意;当a<0时,由h′(x)=0得:x=−12a>0.当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况列表如下:x (0,−12a)−12a(−12a,+∞)h′(x)+0−h(x)↗极大值↘所以,h(x)在区间(0,−12a)内单调递增,在区间(−1 2a ,+∞)单调递减,h(x) h(−12a)=ln(−12a),且x→0+,h(x)→−∞;x→+∞,h(x)→−∞,所以,由f′(x)=ln x+1+2ax=0有两个不相等的变号的实数根x1,x2,得ln(−12a)>0,解得−12<a<0.方法点睛函数h(x)=ln x+2ax+1的表达式是一些简单的初等函数的加减运算的形式,所以可以尝试使用含参讨论法.因为函数的单调性与参数有关,从而在讨论导函数的正负符号时,需要对参数a进行讨论,而a 0时,导函数h′(x)>0恒成立,函数单调递增,最多有一个零点,从而直接排除.此外还需留意函数f(x)的导函数f′(x)有两个变号零点是函数有两个极值的充要条件.解法3(分离函数法)因为f′(x)=ln x+1+2ax (x>0),而函数f(x)=x ln x+ax2(a为常数)有两个极值点x1,x2等价于f′(x)=0有两个不相等的变号实数根x1, x2,由f′(x)=0,得ln x=−2ax−1(x>0),设φ(x)=ln x (x>0),从而f′(x)=0有两个不相等的变号实数根x1, x2等价于函数φ(x)=ln x图像与直线y=−2ax−1有两个变号交点.设过定点(0,−1)的直线y=−2ax−1与函数φ(x)=ln x相切时,切点为(x0,ln x0),因为直线的斜率等于曲线φ(x)=ln x在该点处的导数,则φ′(x)=1x.所以ln x0+1x0−0=1x0,即x0=1,此时直线斜率为1,要使函数y=φ(x)图像与直线y=−2ax−1有两个变号交点,则0<−2a<1,即−12<a<0.方法点睛分离函数法的解法很灵活,要求学生能熟悉各类基本初等函数的图像,并能分析它与过定点的直线无交点、相切、相交的情形,特别是有变号交点等各类情况.而直线与曲线相切时,解题的关键是:切点是公共点,切线的斜率是导数值.这需要学生有很强的数学建模,逻辑推理和直观想象能力.三、灵活处理,优中择优在具体的解题中,我们常常让学生优先使用分离参数法求解含参数取值范围问题.分离参数法能避免分类讨论的麻烦,比如:例2设函数f(x)=(x−1)ln x+ax(a∈R).若f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.思路探求因为参数a的系数为x,且x是恒正的,优先考虑用分离参数法,则f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,等价于(x−1)ln xx>−a在(0,+∞)上恒成立,等价于((x−1)ln xx)min>−a.设g(x)=(x−1)ln xx,x∈(0,+∞),只需求g(x)的最小值.由g′(x)=ln x+x−1x2,再设h(x)=ln x+x−1,则h′(x)=1x+1>0,则h(x)单调递增,且h(1)=0,所以x∈(0,1),h(x)<0,g′(x)<0,g(x)单调递减;x∈(1,+∞),h(x)>0,g′(x)>0,g(x)单调递增; g(x)的最小值为g(1)=0,所以−a<0,即a>0.方法点睛本题适合用分离参数法,由于含有参数,对很多学生来说常常感到束手无策,含参讨论往往牵涉到分类讨论,而分类讨论又恰好是一个难点,一个痛点.所以能用分离参数法来做的题目,我们优先选择用分离参数法.其实,在本题中分离函数法也是不错的选择,因为f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,等价于(x−1)ln x>−ax在(0,+∞)上恒成立,可以通过求导得出φ(x)=(x−1)ln x在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,且φ(x)min=φ(1)= 0,只需过原点的直线y=−ax在φ(x)=(x−1)ln x图像下方即可求出a的范围.分离参数法有时的确能避免分类讨论的麻烦,但是并不是所有的题目都适合用分离参数法,接下来的例3、例4的解答方法中,含参讨论法是优先选择的方法.例3若x=1是f(x)=[x2−(a+3)x+2a+3]e x 的极小值点,则实数a取值范围是()A.(1,+∞)B.(−1,+∞)C.(−∞,−1)D.(−∞,1)思路探求因为f′(x)=[x2−(a+1)x+a]e x= (x−1)(x−a)e x,且e x>0,所以f′(x)符号的正负与(x−1)(x−a)的符号正负相同,要使x=1是f(x)的极小值点,则x=1是变号零点,且在点x=1附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.由二次函数y=(x−1)(x−a)的图像知,图像开口向上,且零点x=a在零点x=1的左侧,所以a<1.方法点睛该题目适合用含参讨论法,参数问题因受各种因素的制约,多数题目很难一次性处理,分类讨论是其常2020年第10期(上)中学数学研究35见解法,若在解题前注意思维策略,适当作一些“技术处理”,则可避免或简化讨论,达到掌控解题节奏的目的,也收到事半功倍的效果.例4已知函数f (x )=ln x −ax,若a 0,不等式x 2f (x )+a 2−e 对x ∈(0,+∞)恒成立,求a 的取值范围.思路探求因为a 0,x 2f (x )+a 2−e 对x ∈(0,+∞)恒成立,等价于x ln x −ax +a −2+e 0对x ∈(0,+∞)恒成立.设g (x )=x ln x −ax +a −2+e,x ∈(0,+∞),g ′(x )=ln x +1−a ,令g ′(x )=0,得x =e a −1,当x ∈(0,e a −1),g ′(x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(e a −1,+∞),g ′(x )>0,g (x )单调递增;所以g (x )的最小值为g (e a −1)=(a −1)e a −1+a +e −2−a e a −1=a +e −2−e a −1所以原不等式等价于a +e −2−e a −1 0.令t (a )=a +e −2−e a −1,a 0,则t ′(a )=1−e a −1,令t ′(a )=0,得a =1,当a ∈[0,1),t ′(a )>0,t (a )在[0,1)单调递增;当a ∈[1,+∞),t ′(a )<0,t (a )在[1,+∞)单调递减;所以ⅰ)当a ∈[0,1),g (x )的最小值g (e a −1)=t (a ) t (0)=e −2−1e>0,则0 a <1;ⅱ)当a ∈[1,+∞),要使g (x ) 0恒成立,则g (x ) g (ea −1)=t (a )=a +e −2−ea −10=t (2),则1 a <2,所以,a 的取值范围是[0,2].方法点睛本题适合用含参讨论法.我们常常遇到这样的情形,参数并不好被分离出来,或者即使参数好分离,但被分离参数之后的函数很复杂且很难研究它的最值和单调性等性质,这时候就要尝试用含参讨论法去研究.本题就是参数不好被分离出来的典型,因为参数a 的系数为x −1,而x −1的正负符号不确定,从而考虑使用含参讨论法,利用导数性质,结合分类讨论思想就能求出a 的取值范围.四、反馈训练,巩固提高1.(2019广东二模)若函数f (x )=x 3−k e x在区间(0,+∞)上单调递减,则k 的取值范围是()A.[0,+∞)B.[27e 3,+∞)C.[12e 2,+∞)D.[3e,+∞)2.(2014新课标全国Ⅰ)已知函数f (x )=ax 3−3x 2+1,若f (x )存在唯一的零点x 0,且x 0>0,则a 的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,−2)D.(−∞,−1)3.(2019广东一模)已知函数f (x )=(kx −2)ln x ,g (x )=2ln x −x ,若f (x )<g (x )在(1,+∞)上的解集中恰有两个整数,则k 的取值范围为()A.[1−12ln 2,43−1ln 3)B.(1−12ln 2,43−1ln 3]C.[43−1ln 3,2−1ln 2)D.(43−1ln 3,2−1ln 2]4.已知函数f (x )=e x −e x +a 与g (x )=ln x +1x的图像上存在关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围为()A.[−e ,+∞)B.[−1,+∞)C.(−∞,−1]D.(−∞,−e ]5.(2019广州二模)已知函数f (x )=ln x −kx 2(k ∈R ),若函数f (x )有两个零点x 1,x 2,求k 的取值范围.6.(2019广州一模)已知函数f (x )=e 2x −ax 2,a ∈R ,若f (x )在(0,+∞)上单调递增,求a 的取值范围.7.(2020广州二模)已知函数f (x )=ln x −sin x ,记f (x )导函数为f ′(x ),若h (x )=ax +1x−f ′(x )是(0,+∞)上的单调递增函数,求实数a 的取值范围.五、教学反思,延伸思考导数的应用是高考考查的重点也是难点,是高三复习的重要内容,其中的求解含参数取值范围的问题是考查学生综合素养的重要载体,备受命题者青睐.这类试题中蕴含着函数和方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法,体现了数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.试题知识点多,把方程、函数、不等式、几何等内容联系起来;试题综合性强,在知识点的交会处命题,体现了很好的区分度和选拔功能.教师要引导学生灵活选择适当的方法求解,不断提高学生的解题能力,提升学生的数学核心素养.教师更要深挖教材和加强对试题的研究,提高自身的专业知识素养,更好地开展中学数学教学.参考文献[1]夏繁军.利用导数研究曲线的切线问题[J].中学数学教学参考(上旬),2019(4):38-42.[2]曹凤山,周杰华.极值问题[J].中学数学教学参考(上旬),2019(4):43-47.[3]黎海燕.2019年高考全国Ⅰ卷函数与导数试题分析与备考建议[J].中学数学研究(上半月),2019(9):46-50.。
利用导数求参数取值范围的几种类型
利用导数求参数取值范围的几种类型类型1. 与函数单调性有关的类型 例1.已知0a>，函数3()f x x ax =-在[)1,x ∈+∞是一个单调函数。
(1) 试问函数()f x 在[)1,+∞上是否为单调减函数？请说明理由； (2) 若函数()y f x =在[)1,+∞上是单调增函数，试求a 的取值范围。
解：（1）'2()3f x x a =-，若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，则'2()30f x x a =-≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，即23x a ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，这样的a 值不存在。
所以函数()f x 在区间[)1,+∞上不是单调减函数。
（2）函数()y f x =在区间[)1,+∞上是单调增函数，则'2()3f x x a =-0≥，即23a x ≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，在此区间上233y x =≥，从而得03a <≤规律小结：函数在区间(a ，b)上递增'()0f x ⇔≥，递减'()f x ⇔0≤在此基础上再研究参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）注意：解出的参数的值要是使'()f x 恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则保留。
类型2：与极值有关的类型例2：．(创新拓展)设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． 解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋(2b －9)x ＋c ＝0的两个根分别为1,4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*)(1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12，又因为曲线y ＝f (x )过原点， 所以d ＝0，故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，∵f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点，∴f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立． 由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a ，又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．解⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9(a －1)(a －9)≤0.得a ∈[1,9]，即a 的取值范围为[1,9]．类型3. 与不等式有关的类型例3.（2008安徽高考题理20）设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且 （1） 求函数()f x 的单调区间；（2） 已知12axx >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围解：（1）'22ln 1()ln x f x x x +=-，'1()0,f x x e==若则，列表如下：x1(0,)e 1e1(,1)e(1,)+∞'()f x+ 0—— ()f x单调增极大值1()f e单调减单调减所以的单调增区间为，单调减区间为（3） 在12axx >两边取对数，得1ln 2ln a x x >由于01x <<所以1ln 2ln a x x>① 由（1）的结果知，当(0,1)x ∈时，1()()f x f e e≤=-。
导数中求参数的取值范围
导数中求参数的取值范围导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点的变化率。
在实际应用中，经常需要根据导数的特性来求解参数的取值范围。
下面我们将讨论几种常见的求解参数取值范围的方法。
一、导数的符号在其中一点的导数的符号能够告诉我们函数在该点的增减性。
具体地，如果导数大于零，则函数在该点是增函数；如果导数小于零，则函数在该点是减函数；如果导数等于零，则函数在该点取得极值（可能是极大值或极小值）。
1.寻找函数的增减区间要求解参数的取值范围，首先需要找到函数的增减区间。
具体步骤如下：（1）找到函数的导数；（2）将导数求零，即找到导数为零的点，这些点可能是函数的极值点；（3）根据导数的符号可知道函数增减的情况。
2.判断函数的极值是否为最值找到函数的极值点并不一定能够得到最值。
我们可以使用二阶导数的符号来判断函数的极值是否为最值。
具体来说，如果二阶导数大于零，说明该极值点为函数的极小值；如果二阶导数小于零，说明该极值点为函数的极大值；如果二阶导数等于零，无法判断该极值点的大小。
3.列出函数的不等式当我们已经找到了函数的增减区间和极值点以后，可以通过列出函数的不等式来求解参数的取值范围。
比如，如果我们需要找到函数在一些区间上的最大值，可以列出函数在该区间上的不等式，并且将该区间的端点带入函数进行比较，最终求解出参数的取值范围。
二、导数的连续性导数的连续性是求解参数取值范围的另一个重要条件。
在一些点处，如果函数的导数存在且连续，则函数在该点处具有可导性。
如果函数在一些点处不可导，那么该点就是一个临界点。
1.求解临界点为了找到可能的临界点，我们需要计算函数的一阶导数和二阶导数，并求解出导数为零或不存在的点。
通过这些点，我们可以判断参数的取值范围。
2.判断导数的连续性对于一般的函数而言，一阶导数存在且连续的点称为可导点。
如果函数在一些点的导数不连续，那么该点为不可导点。
针对不可导点，我们需要观察其特点，并结合其他条件来进行求解。
含参导数求参数范围的几种方法
含参导数求参数范围的几种方法
含参导数求参数范围那可真是高中数学里的一道硬菜啊！咱先说说分离参数法吧。
嘿，这就好比把一个大麻烦拆分成小问题来解决。
如果能把参数分离出来，那就变成了求函数最值的问题。
先求导，判断函数单调性，找到最值。
这过程可得仔细喽，一步错步步错呀！要是不认真，那可就惨啦，就像在黑暗中摸索却找不到方向。
那分离参数法有啥好处呢？它能把复杂的问题简单化呀！比如一些不等式恒成立问题，用这方法就很妙。
就像有了一把神奇的钥匙，能打开难题的大门。
再说说分类讨论法。
哎呀呀，这就像是走在一条充满岔路的小道上，得根据不同情况来选择走哪条路。
先分析参数对导数的影响，然后分类讨论函数的单调性和极值。
这可不能马虎，得考虑周全。
要是漏了一种情况，那可就糟糕啦，就像建房子少了一块砖。
分类讨论法虽然有点麻烦，但它很靠谱啊！能把各种情况都考虑到，确保答案的准确性。
咱来个实际案例瞧瞧。
比如有个函数，让求参数范围使得函数在某个区间上单调递增。
用分离参数法，把参数分离出来，求另一边函数的最值。
或者用分类讨论法，讨论参数不同取值下函数的单调性。
哇塞，通过这些方法，难题不就迎刃而解了嘛！
含参导数求参数范围的方法在高考和各种考试中那可太重要啦！掌握了这些方法，就像有了强大的武器，能在数学战场上冲锋陷阵。
所以呀，大家一定要好好掌握这些方法，让自己在数学的海洋里畅游无阻。
我的观点结论就是：含参导数求参数范围的方法很实用，大家一定要认真学习掌握，它们可是数学学习中的好帮手。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围方法归纳导数在数学中广泛应用，它可以表示函数的变化率。
在求取参数的取值范围时，可以利用导数的性质来推导出函数与参数之间的关系。
下面将介绍利用导数求参数取值范围的一些常见方法。
一、利用导数判断函数的单调性：考虑函数$f(x)$的单调性，可以使用导数来帮助我们判断。
如果函数$f(x)$在其中一区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是递增的；如果导数恒小于零，那么函数递减。
1.对于一元函数$f(x)$，可以计算其导数$f'(x)$，然后解方程$f'(x)=0$，将问题转化为求解函数的极值点。
如果求解出的极值点满足题目给定的参数范围条件，则参数的取值范围就是极值点的区间。
2.对于二元函数$f(x,y)$，可以将其看作一个以参数$y$为变量的函数$g(x)=f(x,y)$。
然后计算$g'(x)$，利用一元函数的方法来判断参数的取值范围。
3.对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以对其中的一个变量求导，将其它变量视为常数，从而转化为一元函数的问题。
二、利用导数判断函数的极值：考虑函数$f(x)$的极值情况，可以求取其导数$f'(x)$，然后判断导数的正负性。
1.对于一元函数$f(x)$，如果导数$f'(x)$在特定点$x_0$处为零，并且$x_0$处的导数的左右性质相异，那么函数在$x_0$处取得极值。
2.对于二元函数$f(x,y)$，可以将其看作一个以参数$y$为变量的函数$g(x)=f(x,y)$。
然后计算$g'(x)$，判断导数的正负性来确定参数的取值范围。
3.对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们可以对其中的一个变量求导，将其它变量视为常数。
然后再对求得的一元函数进行求导判断极值。
三、利用导数判断函数的凸凹性：考虑函数$f(x)$的凸凹性质，可以使用导数$f''(x)$来判断。
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利用导数求参数取值范围的几种类型
学习目标：（1）学会利用导数的方法求参数的取值范围
（2）通过学习培养善于思考，善于总结的思维习惯
学习重点：学会利用函数的单调性求参数的取值范围；学会利用不等式求参数的取值范围 学习难点：在求参数的取值范围中构造关于x 的函数
学习过程：
类型1. 与函数单调性有关的类型
例1. 已知0a >，函数3
()f x x ax =-在[)1,x ∈+∞是一个单调函数。
(1) 试问函数()f x 在[)1,+∞上是否为单调减函数？请说明理由；
(2) 若函数()y f x =在[)1,+∞上是单调增函数，试求a 的取值范围。
解：（1）'2
()3f x x a =-，若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，则'2()30f x x a =-≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，即23x a ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，这样的a 值不存在。
所以函数()f x 在区间[)1,+∞上不是单调减函数。
（2）函数()y f x =在区间[)1,+∞上是单调增函数，则'2
()3f x x a =-0≥，即23a x ≤在[)1,x ∈+∞上恒成立，在此区间上233y x =≥，从而得03a <≤
规律小结：函数在区间(a ，b)上递增'
()0f x ⇔≥，递减'()f x ⇔0≤在此基础上再研究参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）注意：解出的参数的值要是使'()f x 恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则保留。
类型2. 与不等式有关的类型
例2. 设函数1()(01)ln f x x x x x
=>≠且 （1） 求函数()f x 的单调区间；
（2） 已知12a
x x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围
解：（1）'22ln 1()x f x +=-，'1()0,f x x ==若则，列表如下：
所以的单调增区间为，单调减区间为
（3） 在1
2a x x >两边取对数，得1ln 2ln a x x >由于01x <<所以1ln 2ln a x x
>① 由（1）的结果知，当(0,1)x ∈时，1
()()f x f e e ≤=-。
为使①式对所
有(0,1)x ∈成立，当且仅当ln 2
a e >-即ln 2a e >- 规律小结：在利用不等式求参数取值范围时，通常要构造一个新的函数()g x ，若类似于
()a g x ≥，则只要研究max ()a g x ≥；若类似于()a g x ≤，则只要研究min ()a g x ≤ 类型3：与极值有关的类型
例3：若函数2
()(1)x f x e x ax a =+++没有极值点，求a 的取值范围。
解：由已知可得'2()(1)(2)x x f x e x ax a e x a =+++++= 22)21x e x a x a ⎡⎤++++⎣⎦（，若函数不存在极值点，则在方程'()0f x =即22)210x a x a +
+++=（中，有22(2)4(21)40a a a a ∆=+-+=-≤，解之得04a ≤≤
规律小结：极值点的个数，一般是使'()0f x =方程根的个数，一般情况下导函数若可以化
成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助图形研究。
类型4：与方程有关的类型
例4：试确定a 的取值范围，讨论x xe a =解的个数（解略）
练习：
1. 已知321(2)33
y x bx b x =
++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是___
2. 设3()f x ax x =+恰有三个单调区间，则a 的范围是______
3. 已知321()22f x x x x c =-
-+，若对[]1,2x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围
4. 已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++同时有极大值和极小值，求a 的取值范围。
归纳总结：。