利用导数求参数的取值范围方法归纳(可编辑修改word版)
导数篇(导数取值方法汇总)
导数取值范围问题方法汇总：导数取值范围问题（1）恒成立问题（2）零点问题（3）单调性问题（4）极值问题解题方法1、分离变量2、分类讨论3、数形结合例1、已知函数x x m mx x f ln 1)(---=，x x x g ln 1)(+=，R m ∈ 求：设xe x h 2)(=，若在],1[e 上至少存在一个x ，使得)()()(x h x g x f >-成立，求m 的取值范围？例2、已知函数1)(--=ax xe x f x ，试讨论函数零点的个数以及对应a 的取值范围？3、导数取值问题——与单调性关的问题例3、已知函数)0(,33)(23≠++=a x x ax x f ， 求：若)(x f 在区间)2,1(是增函数，求a 的取值范围例4、（浙江高考）已知函数25)1()(223-++--=x x k k x x f ，1)(22++=kx x k x g ，其中R k ∈（1）设函数)()()(x g x f x p +=，若)(x p 在区间)3,0(上不单调，求k 的范围？4、导数取值问题——与极值有关的问题例5、（北京高考）已知函数)0(3)(23>+++=a d cx bx x a x f 且方程09)('=-x x f 有两个根分别为1，4，（1）若)(x f 在),(+∞-∞上无极值点，求a 的取值范围？导数取值范围问题——分类与讨论例6、（陕西高考）已知函数)0(11)1ln()(≥+-++=x xx ax x f ，其中0>a （1）求)(x f 的单调区间（2）若)(x f 的最小值为1，求a 的取值范围例7、（北京高考）已知函数kx e k x x f •-=2)()(（1）讨论函数)(x f 单调性：（2）若对于任意的),0(+∞，都有e x f 1)(≤，求k 的取值范围。
高三利用导数求参数的取值范围
授课类型T （导数与参数的取值范围）C （恒成立问题与参数取值范围）T （含参函数的综合问题）授课日期及时段教学内容导数与参数的取值范围一、同步知识梳理知识点1：利用导数判断函数的单调性的方法：如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数．知识点2：利用导数研究函数的极值：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点．如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．知识点3：求函数()y f x =的极值的方法：第1步求导数()f x '；第2步求方程()0f x '=的所有实数根；第3步考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化．如果()f x '的符号由正变负，则0()f x 是极大值；如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值．知识点4：函数()f x 的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值．求函数最大（小）值的方法：第1步求()f x 在指定区间内所有使()0f x '=的点；第2步计算函数()f x 在区间内使()0f x '=的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．二、同步题型分析题型1：已知函数单调性，求参数的取值范围类型1．参数放在函数表达式上例1、设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．恒成立与参数的取值范围上是增函数；上是减函数；相同的零点>，函数或因而当时，（Ⅱ）时因此当，即当任给，存在使得；或则二次函数值域必满足主要是题目中出现两个不同的自变量，即要求，这与前面讲解的最大值最小值问题有不同，需要学生具有很强的分析。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围方法归纳导数是微积分中的重要概念，可以用于求函数的变化率、极值、最值等问题。
利用导数求参数的取值范围可以帮助我们找到函数的关键点、拐点以及定义域的范围等信息。
下面是一些常见的方法归纳。
求函数在处的导数：1.首先，计算函数的导数表达式。
2.将参数值代入导数表达式，得到函数在该处的导数。
3.根据导数值的正负来判断函数在该处的增减性。
求函数的关键点：1.通过导数求出函数的导数表达式。
2.设置函数的导数等于零的方程，并求解得到参数的取值。
3.将参数的取值代入原函数，得到关键点的横坐标。
4.进一步求得关键点的纵坐标，得到函数的关键点。
求函数的拐点：1.首先，求出函数的二阶导数表达式。
2.解出二阶导数等于零的方程，得到参数的取值。
3.将参数的取值代入原函数，求出拐点的横坐标。
4.进一步求得拐点的纵坐标，得到函数的拐点。
求函数的定义域范围：1.首先，确定函数的定义区间，并计算函数在该区间的导数。
2.判断导数的正负情况，以确定函数的单调性。
3.判断函数在定义区间的端点处是否存在极值。
若存在，则考虑边界条件。
4.根据以上分析，确定函数在定义区间的取值范围。
举例说明：1. 求函数 f(x) = ax^2 + bx 的最值：首先，求出函数的导数 f'(x) = 2ax + b。
令导数等于零，得到 2ax + b = 0，解方程可得 x = -b/(2a)。
将x的值代入原函数，得到最值的纵坐标。
进一步分析函数的单调性和边界条件，得到函数的取值范围。
2. 求函数 g(x) = sin(ax) 的最值：首先，求出函数的导数 g'(x) = acos(ax)。
判断导数的正负情况，确定函数的单调性。
根据函数的周期性和边界条件，得出函数在定义区间的取值范围。
3. 求函数 h(x) = log(x + a) 的定义域范围：首先，确定函数的定义区间为x+a>0，即x>-a。
对函数求导，得到导数h'(x)=1/(x+a)。
利用导数探求参数的取值范围
利用导数探求参数的取值范围
作者：沈波
来源：《试题与研究·教学论坛》2016年第13期
一、与曲线的切线有关
函数y=f（x）在点x=x0处的导数f′（x）就是相应曲线在点（x0，f（x0）处切线的斜率，即k=f′（x0），此类试题先求导数，然后转化为关于自变量x0的函数，通过求值域，从而得到切线斜率k的取值范围，而切线斜率又与其倾斜角有关，所以又会转化为求切斜角范围问题。
例1 已知点P在曲线y=ex+x上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为_______。
思路分析：先求导函数f′（x）的值域，即切线斜率范围，而k=tanα（0
解析：由导数的几何意义，函数y=ex+x上任意一点P处切线的斜率等于改点的导函数值。
点评：第一问中要注意导函数中根与定义域的位置关系，并结合图象判断导函数的符号；第二问中需要正确理解全称量词和特称量词的含义，将其转化为f（x）max
综合上述四种类型，利用导数求解含参问题时，首先具备必要的基础知识（导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等），其次要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法、分类讨论思想和数形结合思想等，涉及极值和最值问题时，一般情况下先求导函数，然后观察能否分解因式，若能则比较根的大小，并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号，划分单调区间，判断函数大致图象；若不能分解因式，则考虑二次求导，研究函数是否具有单调性。
利用导数处理参数范围问题并不可怕，关键在于通过解题不断摸索解题思路，形成一种解题格式和套路。
（作者单位：江西省吉安县第二中学）。
利用导数求参数的取值范围
f ( x ) x ax
3
2
x （ a R ） 1 在区间 - 2 ， 1 ）内为减函数，求 a 的取值范围。 （ 3 3
2
变式：函数 f ( x ) x 3 ax 变式：函数 f ( x )
ax 1 x 2
的减区间为 1 ， ，求 a 的值。 x （ a R ） 1 （ 1） 3
在区间 ( 2 , ) 为增函数，求 a 的取值范围。
2
变式：设函数 f ( x ) x 3 ax
（1 4
在区间 - 2 ， 1 ）内为减函数，在区间 x （ a R ） 1 （ 3 3
内为增函数，求 a 的取值范围。 , ）
2
变式 2： 设函数 f ( x ) x 3 ax
1 x
.
3.若函数 y
1 3
x
3
1 2
ax
2
( a 1) x 1 在区间 (1, 4 ) 内为减函数，在区间 ( 6 , ) 内为增函
数，试求实数 a 的取值范围.
4.已知函数 f ( x ) ax 3
1 2 (sin ) x
2
2 x c 的图象过点 (1,
6． 已知函数 f ( x )
1 2
x a ln x ,
2
g ( x ) ( a 1) x , a 1 ．若函数 f ( x ),
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
g (x)
在区间 [1, 3] 上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数 a 的取值范围；
x 1 在区间 - 2 ， 1 ） 内存在减区间， a 的取值范围。 求 （ 3 3
变式 3：设函数 f ( x ) x 3 ax 2 x 1 在区间 - 2 ， 1 ）内不单调，求 a 的取值范围。 （ 3 3
利用导数求参数的取值范围
高考题中的利用导数求参数范围一 .与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系 求解策略：利用“要使a x f >)(成立，只需使函数的最小值a x f >min)(恒成立即可；要使a x f <)(成立，只需使函数的最大值a x f <max)(恒成立即可”.这也是近两年高考考查和应用最多的一种.例1已知向量a =(2x ,1+x )，a =(x -1,t )，若b a x f ∙=)(在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.解析：由向量的数量积定义，)(x f =2x (x -1)+(1+x )t =3x-+2x +tx +t∴)(x f '=23x -+x 2+t .若)(x f 在区间(-1,1)上是增函数，则有)(x f '≥0⇔t ≥23x -x 2在 (-1,1)上恒成立. 若令)(x g =23x -x 2=-3(31-x )2-31在区间[-1,1]上，max)(x g =)1(-g =5，故在区间(-1,1)上使t ≥)(x g 恒成立，只需t ≥)1(-g 即可，即t ≥5. 即t 的取值范围是[5，∞）.点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。
例2使不等式4x -22x >a -2对任意的实数x 都成立，求实数a 的取值范围. 解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.令)(x f =4x -22x ，则如果原不等式对任意的实数x 都成立等价于m in)(x f >a -2.又)(x f '=34x -x 4=42x (1-x )，令)(x f '=0，解得，x =0或x =1.)(x f '的符号及)(x f 的单调性如下：x(-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) )(x f ' - 0 - 0 + )(x f↘无极值↘极小值↗因为)(x f 在R 上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即m in)(x f =)1(f = -1，∴m in)(x f = -1>a -2，即a >3.点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。
利用导数求参数的取值范围方法归纳
利用导数求参数的取值范围一．已知函数单调性，求参数的取值范围类型1．参数放在函数表达式上例１． 设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．的取值范围求上为增函数在若的值求常数处得极值在若a x f a x x f ,)0,()()2(.,3)()1(-∞=二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型１．参数放在不等式上例3.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f（1）求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．（2）若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围． __________)(]2,1[,522)(.323的取值范围是则实数都有若对任意已知函数m m x f x x x x x f >-∈+--=类型2．参数放在区间上例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=235)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值.（1）求)(x f 的解析式.（2）当),0(m x ∈时, )(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围.分析:(1)935)(23++-=x x x x f ]3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,31(9)0()()(,0)()31,0(3,310)()3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由m m x f m ，m x f m f x f x f x f x f x f ，x f x f x x x x f x x x x x f >∈>>=><∈=>>∈===--=+-=基础训练：.___________24.434的取值范围是则实数都成立对任意实数若不等式a ，x a x x -≥-三．知函数图象的交点情况，求参数的取值范围．例5.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值(1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围.略解(1)求得x x x f 3)(3-=(2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x Mx x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)2,3(230)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(100)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x 轴交点个数.基础训练：轴仅有一个交点与曲线在什么范围内取值时当的极值求函数为实数设x x f y a x f ax x x x f a )(,)2()()1()(,.523=+--=变式2：若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，求a 的取值范围。
利用导数求参数的取值范围
函 数， ． 。 ． ４ｈ （ ｘ ） 一 一 告（ ３ × １ ＋ ÷） 一 ２ ， 即。 的 取 值范 围
为ｎ ≤２ ．
（ １ ） 当 △一４ ａ 。 一１ ２ ≤ｏ ， 即一√ ３ ≤口 ≤√ ３ 时， ｇ（ ） 在
区间［ １ ， ２ ］ 上恒为增 函数 ， 即满足题设要求．
数学 ・ 解题指南
利 用 导 数 求 参 数 的 取 值 范 围
广 西 防城 港 市高级 中学 （ ５ ３ ８ ０ ０ ０ ） 杜 莱 熙
导数 是高 等数学 的基础 部分 ， 因而 近几年来 ， 导数 是高考 的必考题 目． 导数具 有运算量 大 、 思维灵 活多 变、 解题方法多种多样等特点． 如何 利用导数 求参数 的取值 范 围既是考试 的重点又是难 点． 利用导数 求参数 的取值
解 决 问题 ．
一
② 当１ ＜ 号 ＜ ２ ， 即３ ＜ ａ ＜ ６ 时 ， ｇ （ 詈 ） 一 １ 一 等 ≥ ｏ ，
得 一√ ３ ≤ａ ＜√ ３ ， 则在（ ２ ） 的条件下 ， ａ无解 ；
３２ ， 即ａ ３ ６时 ， ｇ （ ２ ） ３０ ， 即１ ２ —４ ａ ＋１ ≥
即一√ ３ ≤口 ≤√ ３ ， 此时 口无解 ＠ ￣Ｔ ３２ ， 即ａ ３６ 时， ｇ （ ２ ） ≥Ｏ ， 即 １ ２ —４ ａ ＋１ ≥
０， 得。 ≤ ， 则 此 时 ｎ无 解 ．
综上所述 ， ａ的取值范围为 ａ ≤２ ． 小结： 法二 首先判 断 函数 的单调 性 ， 再确 保 问题 中 的 区间是函数的单调递增 （ 递减 ） 区间的一个子 区间 ， 则
矗（ ｚ） 丌 ｍ．
１ 一—— 一
一
， ｚ 。 ２ 一 一—— 一
利用导数求参数的取值范围
高考题中的利用导数求参数范围一 .与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系求解策略：利用“要使a x f >)(成立，只需使函数的最小值a x f >min)(恒成立即可；要使a x f <)(成立，只需使函数的最大值a x f <max)(恒成立即可”.这也是近两年高考考查与应用最多的一种.例1已知向量a =(2x ,1+x )，a =(x -1,t )，若b a x f •=)(在区间(-1,1)上是增函数，求t 的取值范围.解析：由向量的数量积定义，)(x f =2x (x -1)+(1+x )t =3x -+2x +tx +t若)(x f 在区间(-1,1)上是增函数，则有)(x f '≥0⇔t ≥23x -x 2在 (-1,1)上恒成立.若令)(x g =23x -x 2=-3(31-x )2-31在区间[-1,1]上，max)(x g =)1(-g =5，故在区间(-1,1)上使t ≥)(x g 恒成立，只需t ≥)1(-g 即可，即t ≥5. 即t 的取值范围是[5，∞）.点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。
例2使不等式4x -22x >a -2对任意的实数x 都成立，求实数a 的取值范围. 解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.令)(x f =4x -22x ，则如果原不等式对任意的实数x 都成立等价于m in)(x f >a -2.又)(x f '=34x -x 4=42x (1-x )，令)(x f '=0，解得，x =0或x =1.)(x f '的符号及)(x f 的单调性如下：)(x f m in)(x f =)1(f = -1，∴m in)(x f = -1>a -2，即a >3.点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。
导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1 •求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论 1 1 ★已知函数f(x)x 3 (a 2)x 2 2ax (a>0),求函数的单调区间 3 2f (x) =x _(a 亠2)x 亠2a =(x _a)(x -2)2a★★例1已知函数f(x)二x (a U 2)lnx (a>0)求函数的单调区间x2x -(a 2)x 2a f (x)2 x(I)当a =1时，求曲线y = f x 在点2, f 2 处的切线方程； (n)当a=0时，求函数f x 的单调区间与极值。
解: (I)当a =1时，曲线y = f x 在点2,f 2处的切线方程为6x 25y-32 = 0。
2(n)由于a 式0，所以f ⑺/嗔切了 ,由f'(x)=O ，得x 1 =(x +1 )I 1 '■-2a x - a x2―—义域R 内，但不知它们之间(x 2+1)a 的取值分a 0和a ：：： 0两种情况进行讨论。
函数f x 在x 2 =a 处取得极大值f a =1 o1 —(-一「：)内为增函数，在区间a1 」 1(a,)为减函数。
故函数 f x 在％处取得极小值aaX 2二a 处取得极大值f a = 1。
(x-2)(x-a)2x22ax -a 1 x 21x R ，其中a R 。
1, X 2 = a 。
这两个实根都在定 a2 22a x 1；-2x 2ax - a 1f x二2 2 (x 2+1)的大小。
因此，需对参数 (1)当 a 0 时，则 x 'x 2。
易得f x 在区间，a, •：：内为减函数,在区间i l,aI a为增函数。
故函数1i 1 f x 在为处取得极小值f a [1 I a 」2--a ; (1) 当a ”：0时，则x 1 x 2。
(完整word)利用导数解参数范围的八种策略hai
巧用导数解参数问题的八种策略现以近几年的高考题为例，探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略. 策略一：分离变量法所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式（方程)变形到不等号(等号)两端,使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在(有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量,其中一个范围已知,另一个范围未知。
解决问题的关键： 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循。
以下结论均为已知x 的范围，求a 的范围： 结论一、 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.结论二、 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值)；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤(即求解()f x 的最小值）。
案例1、（2009福建卷）若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________。
分析:)0(12)(>+='x xax x f依题意方程120ax x +=在()0,+∞内有解，即)0,()0(212-∞∈⇒>-=a x xa 案例2、（2008湖北卷)若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是（ ）A. [1,)-+∞ B 。
(1,)-+∞ C 。
(,1]-∞- D. (,1)-∞- 分析：由题意可知02)(≤++-='x bx x f ，在(1,)x ∈-+∞上恒成立， 即1)1()2(2-+=+≤x x x b 在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，案例3、（2008广东卷)设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则( ） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-分析：'()3ax f x ae =+,若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根.当有'()30ax f x ae =+=成立时，显然有0a <，此时13ln()x a a=-，由0x >得3a <-。
利用导数求参数的取值范围
课题：利用导数求参数取值范围（3）一、复习回顾
1. 利用导数求函数单调区间的方法步骤：
. 2、 利用导数求函数极值的方法步骤： . 3、 利用导数求函数最值的方法步骤： . 二、课前热身：
1、已知函数()3
2
34f x x ax x =++-在R 上单调递增, 则实数a 的取值范围
2、已知函数2
()()e
x
f x x ax a -=++．若()f x 在0x =时取得极小值，则实数的取值范
围
小结： 三、例题
例1、已知函数2
()ln 20)f x a x a x
=
+-> (.若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；
提升训练：已知函数()1ln f x x x
=+
，若对于[1,)x ∀∈+∞都有()a
f x x >成立，求实数a 的取值范围？
解题回顾和方法梳理：
例2、已知函数2
()ln 2f x x x b x
=
++--，函数()f x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求a
实数b 的取值范围.
变式：若将题目改为有且只有一个零点呢？
解题回顾和方法梳理： 四、巩固练习 已知函数()1
ln f x x x
=+的图像总在直线a y =的上方，求实数的取值范围.
课堂小结： 基础知识方法： 数学思想方法：
a。
利用导数求参数的取值范围
高考题中的利用导数求参数范围一与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系求解策略：利用“要使f (x) a成立，只需使函数的最小值f(x) a恒成立即可；要使f (x)min只需使函数的最大值f(x) a恒成立即可”.max这也是近两年高考考查和应用最多的一种.―r —■- ―r—tr2例1已知向量a =(x ,x 1)，a=(i x,t)，若f(x)a?b在区间(-i,i)上是增函数，求t的取值范围2 3 2解析：由向量的数量积定义，f(x) = x(1 x)+( x 1) t = x+x+tx + t2••• f (x)= 3x +2x + t.2若f (x)在区间(-1,1)上是增函数，则有f (x) > 0 t > 3x -2x在(-1,1)上恒成立.2 12 1右令g(x) =3x -2x=-3( x )--3 3在区间［-1,1］上，g(x) = g( 1)=5，故在区间(-1,1)上使t > g(x)恒成立，max只需t > g( 1)即可，即t > 5.即t的取值范围是［5 ,R).点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。
4 2例2使不等式x -2x >2 a对任意的实数x都成立，求实数a的取值范围.解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导4 2令f(x) = x -2x ,则如果原不等式对任意的实数x都成立等价于f(x) >2 a.min3 2又f (x)=4x -4x=4x (x 1),令f (x)=o，解得，x=0或x=1.f (x)的符号及f (x)的单调性如下:因为在R上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即•- f (x) = -1> 2 a，即a >3.min a成立,f (x) = f (1)= -1 ,min点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。
含参导数求参数范围的几种方法
含参导数求参数范围的几种方法
含参导数求参数范围那可真是高中数学里的一道硬菜啊！咱先说说分离参数法吧。
嘿，这就好比把一个大麻烦拆分成小问题来解决。
如果能把参数分离出来，那就变成了求函数最值的问题。
先求导，判断函数单调性，找到最值。
这过程可得仔细喽，一步错步步错呀！要是不认真，那可就惨啦，就像在黑暗中摸索却找不到方向。
那分离参数法有啥好处呢？它能把复杂的问题简单化呀！比如一些不等式恒成立问题，用这方法就很妙。
就像有了一把神奇的钥匙，能打开难题的大门。
再说说分类讨论法。
哎呀呀，这就像是走在一条充满岔路的小道上，得根据不同情况来选择走哪条路。
先分析参数对导数的影响，然后分类讨论函数的单调性和极值。
这可不能马虎，得考虑周全。
要是漏了一种情况，那可就糟糕啦，就像建房子少了一块砖。
分类讨论法虽然有点麻烦，但它很靠谱啊！能把各种情况都考虑到，确保答案的准确性。
咱来个实际案例瞧瞧。
比如有个函数，让求参数范围使得函数在某个区间上单调递增。
用分离参数法，把参数分离出来，求另一边函数的最值。
或者用分类讨论法，讨论参数不同取值下函数的单调性。
哇塞，通过这些方法，难题不就迎刃而解了嘛！
含参导数求参数范围的方法在高考和各种考试中那可太重要啦！掌握了这些方法，就像有了强大的武器，能在数学战场上冲锋陷阵。
所以呀，大家一定要好好掌握这些方法，让自己在数学的海洋里畅游无阻。
我的观点结论就是：含参导数求参数范围的方法很实用，大家一定要认真学习掌握，它们可是数学学习中的好帮手。
利用导数求参数的取值范围之欧阳美创编
利用导数求参数的取值范围课型：专题复习课复习重点：利用导数的有关知识，求参数的取值范围基础知识：导数的几何意义、函数的极值和最值的求法、函数单调性的充要条件的应用．复习难点：解题方法灵活变通．一． 已知函数单调性，求参数的取值范围类型1．参数放在函数表达式上例． 设函数R a ax x a x x f ∈+++-=其中86)1(32)(23．略解：（１）由的极值点为时经检验知解得)(3,3.30)3('x f x a a f ====（２）方法１：)1)((66)1(66)(2'--=++-=x a x a x a x x f.)0,()(,0.10,)0,()(,),1(),,()(,1.),()(,0)1(6)(,1.,),(),1,()(,12上递增在时综上所述则上递增在要保证上递增在时当上递增在恒成立时当符合条件上递增在时当-∞≥<≤-∞+∞-∞<+∞-∞≥-==+∞-∞>x f a a x f a x f a x f x x f a a x f a 方法２：方法３．解题方法总结：求)('x f 后，若能因式分解则先因式分解，讨论)('x f =0两根的大小判断函数)(x f 的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题.基础训练：类型2．参数放在区间边界上例２．已知函数)(,0)(23x f y x d cx bx ax x f ==+++=曲线处取得极值在过原点和点ｐ(-1,2),若曲线)(x f y =在点P 处的切线与直线 452的夹角为x y =且切线的倾斜角为钝角.(1) 求)(x f 的表达式(2) 若)(x f 在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值范围.略解 (1)233)(x x x f +=总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可.基础训练：二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型１．参数放在不等式上例3.已知时都取得极值与在132)(23=-=+++=x x c bx ax x x f(1) 求ａ、ｂ的值及函数)(x f 的单调区间．(2) 若对2)(],2,1[c x f x <-∈不等式恒成立，求ｃ的取值范围．略解：(1)2,21-=-=b a总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值.基础训练：类型2．参数放在区间上例４．已知三次函数d cx x ax x f ++-=235)(图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且)(x f 在x=3处有极值.（） 求)(x f 的解析式.（） 当),0(m x ∈时,)(x f >0恒成立,求实数m 的取值范围.分析:(1)935)(23++-=x x x x f]3,0(),0(0)(]3,0(),0(0)(30)3()(,)(,0)()3,31(9)0()()(,0)()31,0(3,310)()3)(13(3103)().2(''21‘2'的取值范围为所以内恒成立在时当且仅当内不恒成立在时所以当所以单调递减时当所以单调递增时当得由m m x f m ，m x f m f x f x f x f x f x f ，x f x f x x x x f x x x x x f >∈>>=><∈=>>∈===--=+-=基础训练：三．知函数图象的交点情况，求参数的取值范围．例5.已知函数1,13)(23=-=-+=x x x bx ax x f 在处取得极值(1) 求函数)(x f 的解析式.(2) 若过点)2)(,1(-≠m m A 可作曲线y=)(x f 的三条切线,求实数m 的取值范围.略解(1)求得x x x f 3)(3-= (2)设切点为33)(),3,(2'0300-=-x x f x x x M 因为200'20300020300200302066)(332)(,0332)1)(33(3),1)(33(x x x g m x x x g x A m x x x x m x x Mx x m y -=++-=**=++---=----=-则设有三个不同的实数根的方程所以关于可作曲线的三条切线因为过点即所以又切线过点所以切线方程为)2,3(230)1(0)0(1,0)(,)1,0(,),1(),0,()(100)(00000000'---<<-⎩⎨⎧<>*==+∞-∞===的取值范围是所求的实数解得条件是有三个不同实根的充要的方程所以关于的极值点为故函数上单调递减在上单调递增在所以或得由m m g g x x x x g x g x x x g总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x 轴交点个数.基础训练：四. 开放型的问题，求参数的取值范围。
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1 ' 利用导数求参数的取值范围
一．已知函数单调性，求参数的取值范围
类型 1．参数放在函数表达式上
例１． 设函数 f (x ) = 2x 3 - 3(a + 1)x 2 + 6ax + 8其中a ∈ R ．
(1) 若f (x )在x = 3处得极值, 求常数a 的值.
(2) 若f (x )在(-∞,0)上为增函数, 求a 的取值范围
二．已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围
类型１．参数放在不等式上
例 3.已知 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c 在x = - 2
与x = 1时都取得极值 3
（1） 求ａ、ｂ的值及函数 f (x ) 的单调区间．
（2） 若对 x ∈[-1,2],不等式f (x ) < c 2 恒成立，求ｃ的取值范围．
3. 已知函数f (x ) = x 3 - x 2 - 2x + 5, 若对任意x ∈[-1,2]都有f (x ) > m 则实数m 的取值范围是
类型 2．参数放在区间上
例４．已知三次函数 f (x ) = ax 3 - 5x 2 + cx + d 图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且 f (x ) 在 x=3 处有极值.
（1）求 f (x ) 的解析式.（2）当 x ∈ (0, m ) 时, 分析:(1) f (x ) = x 3 - 5x 2 + 3x + 9
(2). f ' (x ) = 3x 2 - 10x + 3 = (3x - 1)(x - 3)
f (x ) >0 恒成立,求实数 m 的取值范围.
由f ‘ (x ) = 0得x = 1 , x 3 2 = 3当x ∈ (0, )时f (x ) > 0, f (x )单调递增， 所以f (x ) > 3 f (0) = 9 当x ∈ (1 ,3)时f ' (x ) < 0, f (x )单调递减, 所以f (x ) > 3
f (3) = 0 所以当m > 3时f (x ) > 0在(0, m )内不恒成立， 当且仅当m ∈ (0,3]时f (x ) > 0在(0, m )内恒成立
所以m 的取值范围为(0,3]
基础训练：
4. 若不等式x 4 - 4x 3 ≥ 2 - a 对任意实数x 都成立， 则实数a 的取值范围是 .
1 2
0 0 0 0 ⎩
0 0 0
三．知函数图象的交点情况，求参数的取值范围．
例 5.已知函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 - 3x 在x = -1, x = 1处取得极值
(1) 求函数 f (x ) 的解析式.
(2) 若过点 A (1, m )(m ≠ -2) 可作曲线 y= f (x ) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.
略解(1)求得 f (x ) = x 3 - 3x
(2)设切点为 M (x 0 , x 3 - 3x ),因为f
' (x ) = 3x 2 - 3 所以切线方程为y - m = (3x 2 - 3)(x - 1), 又切线过点M
所以x 3 - 3x - m = (3x 2 - 3)(x - 1)
即2x 3 - 3x 2 + m + 3 = 0 * 0 0
因为过点A 可作曲线的三条切线, 所以关于x 0的方程* 有三个不同的实数根
设g (x ) = 2x 3 - 3x 2 + m + 3则g ' (x ) = 6x 2 - 6x 0 0 0 0 0 0
由g ' (x ) = 0得x = 0或x = 1 所以g (x 0 )在(-∞,0),(1,+∞)上单调递增, 在(0,1)上单调递减,故函数g (x 0 )的极值点为x 0 = 0, x 0 = 1
⎧g (0) > 0
所以关于x 0的方程* 有三个不同实根的充要条件是⎨g (1) < 0 解得- 3 < m < -2 所求的实数m 的取值范围是(-3,-2)
总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与 x 轴交点个数
.基础训练：
5. 设a 为实数,函数f (x ) = x 3 - x 2 - x + a
(1) 求f (x )的极值
(2) 当a 在什么范围内取值时,曲线y = f (x )与x 轴仅有一个交点
变式 2：若函数 f (x ) = ax 3 - x 2 + x - 5 在(-∞,+∞) 上单调递增，求 a 的取值范围。
1
变式 3：已知函数 f (x ) = 2ax -
, x ∈(0,1] ，若 f (x ) 在区间(0,1] 上是增函数，求 a 的取值范围。
x 2
变式 4：已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + x +1， a ∈ R ．
（Ⅰ）讨论函数 f (x ) 的单调区间；
（Ⅱ）设函数 f (x ) 在区间⎛ - 2
，- 1 ⎫ 内是减函数，求 a 的取值范围． 3 3 ⎪ ⎝ ⎭
0 0 0
变式1：已知f (x) =x3-1
x2- 2x + 5, x ∈[-1,2], f (x) <m 恒成立，求实数m 的取值范围2
★高考真题演练
(2017 年理 21)已知函数 f (x) =ae2x+ (a - 2)e x-x （1）讨论f (x) 的单调性；
（2）若f (x) 有两个零点，求a 的取值范围。
(2017 年文 21)已知函数 f (x) =e x(e x-a) -a2x （1）讨论f (x) 的单调性；
（2）若f (x) ≥ 0 ，求a 的取值范围。
（2017 年文科14）曲线y =x2+1
在点(1,2) 处的切线方程为。
x
（2016 年文、理 21） 已知函数 f (x) = (x - 2)e x+a(x -1)2（1）讨论f (x) 的单调性；
（2）若f (x) 有两个零点，求a 的取值范围.
x be
（2014 年文科 21）设函数 f (x)=a ln x + （1）求b; 1-a
2
x2-bx (a ≠1)，曲线 y = f (x)在点(1，f (1))处的切线斜率为0
（2）若存在x0≥1, 使得f (x0)<
a
a -1
，求a 的取值范围。
（2014 年理科 21）设函数 f (x0 =ae （Ⅱ）证明： f (x) > 1 .
x-1
ln x +
x
，曲线y =
f (x) 在点（1，f (1) 处的切线为y =e(x -1) + 2 . (Ⅰ)求a, b ；
（2013 年理科21）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y＝4x+2
（Ⅰ）求a，b，c，d 的值
（Ⅱ）若x≥－2 时，f(x)≤kgf(x)，求k 的取值范围。