正弦定理的证明

正弦定理的证明

（方法一）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则

sin sin a

b

A

B

=

同理可得sin sin c

b

C B =

从而

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，

从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（方法二）利用向量证明

如图，在∆ABC 中，过点A 作一个单位向量j ，使j AC ⊥。

当BAC ∠为钝角或直角时，同理可证上述结论。 从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k

使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；

（2）

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

等价于

sin sin a

b

A

B

=

，

sin sin c

b

C

B

=

，

sin a

A

=

sin c

C

下面还介绍几种证明的方法，供感兴趣同学探索。 （方法三）利用复数证明

如图，如图2，建立平面直角坐标系．在复平面内，过点A 作BC 的平行线，过点C 作AB

的平行线，交于点D ．

根据复数相等的定义，实部等于实部，虚部等于虚部．可以得出

（方法四）利用∆ABC 的外接圆证明Ⅰ 如图，O Θ是∆ABC 的外接圆，设半径为R ，分

别连结OA 、

OB 、OC ，过点作,OD BC ⊥垂足为D 。

证明：

（方法五）利用∆ABC 的外接圆证明Ⅱ

如图，O Θ是∆ABC 的外接圆，设半径为R ，连结BO 并延长，交 O 于点D ，连结AD 。

证明：

（方法六）利用∆ABC的高线证明

如图，在∆ABC中，过点B作BD AC

⊥，垂足为D 证明：

（方法七）利用两角和的正弦公式证明

如图，在∆ABC中，过点B作BD AC

⊥，垂足为D