八年级数学不等式复习
北师大版初中数学八年级上册第七章复习、回顾与思考(教案)
1.教学重点
（1）不等式的性质与解法：重点在于理解不等式的性质，如传递性、加减乘除同性质等，以及掌握不等式的解法，如移项、合并同类项等。
举例：对于不等式3x - 2 > 7，学生需要掌握如何将不等式移项（加2到两边）得到3x > 9，然后除以3得到x > 3。
（2）一元一次不等式组的解法：重点在于掌握不等式组的解法原则，如同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了等。
4.关注学生的思维发展：在教学过程中，我注意到学生对问题的思考和分析能力有所提高，但仍有一部分学生在面对复杂问题时，不能很好地运用所学知识进行解决。为此，我需要在今后的教学中，多关注学生的思维发展，引导他们运用所学知识分析问题、解决问题。
5.课堂氛围的营造：在本节课中，我努力营造一个轻松、愉快的课堂氛围，让学生在愉悦的心情中学习。但从课堂实际情况来看，部分学生在课堂上的积极性仍有待提高。我需要继续探索如何激发学生的学习兴趣，让他们在课堂上更加活跃。
3.不等式的应用：探讨在实际问题中如何构建不等式模型，解决实际问题。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过不等式的性质与解法复习，让学生运用逻辑推理解决问题，提高其逻辑思维能力。
2.培养学生的数学建模素养：引导学生将实际问题抽象为一元一次不等式组，培养学生建立数学模型的能力。
2.教学难点
（1）不等式的性质理解：难点在于理解不等式性质的适用条件，尤其是乘除性质在变号时的处理。
举例：对于不等式-2x > 6，学生需要掌握除以-2时不等号方向改变，得到x < -3。
（2）一元一次不等式组的解法：难点在于解决含有多个不等式的复杂情况，尤其是含有不等式的乘除运算。
人教版 八年级下册数学 同步复习 第14讲 一次函数与方程(组)、不等式 讲义
课程标准1. 能用函数观点看一次方程（组），能用辨证的观点认识一次函数与一次方程的区别与联系.2．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 3．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．知识点01 一次函数与一元一次方程的关系一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数），当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值. 注意：（1）求一次函数与x 轴的交点，令y=0，解出x 即为与x 轴交点的横坐标；（2）一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）是一个关于x 和y 的二元一次方程，这个方程有无数组解，但若已知x 的值（或y 的值），即可求出y 的值（或x 的值）；（3）若一次函数y kx b =+，满足等式mk b n += 或0mk b n +-=，则函数必过点（m,n ）;同理，若一次函数图像上有个点（m ，n ），则二元一次方程有一组解为x my n =⎧⎨=⎩；知识点02 一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 注意：（1）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数学生/课程 年级 8年级 学科 数学 授课教师日期时段核心内容一次函数与方程（组）、不等式 （第14讲）24y x =-+与31322y x =-图象的交点为(3，－2)，则32x y =⎧⎨=-⎩就是二元一次方程组2431322y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩的解.（2）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组3531x y x y -=⎧⎨-=-⎩无解，则一次函数35y x =-与31y x =+的图象就平行，反之也成立.（3）当二元一次方程组有无数组解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.知识点03 方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．知识点04 一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 注意：（1）求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0.从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （2）常见的解集：0(0)y kx b >+>或0(0)y kx b ≥+≥或0(0)y kx b <+<或0(0)y kx b ≤+≤或x m >x m ≥x m <x m ≤2x >2x ≥ 2x < 2x ≤2x <-2x ≤- 2x >- 2x ≥-4x <4x ≤ 4x > 4x ≥无论求0(0)y kx b >+>或还是0(0)y kx b <+<或，都应首先求出一次函数与x 轴交点的横坐标（即令y=0），再根据题目要求，确定x 的取值范围： ①y ＞0时，取x 轴上方图像自变量的范围； ②y ＜0时，取x 轴下方图像自变量的范围；知识点05 一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 注意：（1）不等式的解集中，端点无论取到取不到，该值都是对应方程的解；例如：一次函数y kx b =+，若0y >时，x 的取值范围是2x >，则方程0kx b +=的解为2x =，且一次函数y kx b =+过点(2,0)；（2）一次函数y kx b =+，若当a x m << 时，y 的取值范围是b y n <<，则可得出一次函数过点(,),(,)(,),(,)a b m n a n m b 或；知识点06 如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．两个一次函数比较大小，求自变量x 的取值范围，首先要求出两一次函数的交点横坐标（列二元一次方程组），再根据图像判断。
初二数学不等式知识点总结
初二数学不等式知识点总结一、不等式的概念。
1. 不等式的定义。
- 用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子叫做不等式。
例如：2x + 1>5，3y - 2≤slant4等。
2. 不等式的解。
- 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x + 3>5，x = 3是它的一个解，因为当x = 3时，3+3 = 6>5。
3. 不等式的解集。
- 一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 1>0的解集是x>1，表示所有大于1的数都是这个不等式的解。
- 可以用数轴来表示不等式的解集。
例如x≥slant2在数轴上表示为：在数轴上找到2这个点，然后用实心圆点（因为包含2这个值），然后向数轴正方向画一条线，表示所有大于等于2的数。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（不等式的传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如：若5>3，3>1，则5>1。
2. 性质2（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变）- 如果a>b，那么a±c>b±c。
例如：若x + 3>5，两边同时减3，得到x>2。
3. 性质3（不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc（或(a)/(c)>(b)/(c)）。
例如：若2x>4，两边同时除以2（2是正数），得到x > 2。
4. 性质4（不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）- 如果a>b，c<0，那么ac（或(a)/(c)<(b)/(c)）。
例如：若- 3x>6，两边同时除以 - 3（-3是负数），得到x<-2。
三、一元一次不等式。
1. 一元一次不等式的定义。
- 含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
八年级下册解不等式
八年级下册解不等式随着数学学科的深入发展，不等式作为一种重要的数学概念和工具得到了广泛的应用。
在八年级下册的数学学习中，解不等式是一个重要的知识点。
下面，笔者将用1000字左右的篇幅，为大家详细介绍八年级下册解不等式的相关知识。
一、不等式的定义和性质不等式是数学中的一个常见概念。
与等式不同，不等式中的两个数不相等，它们之间的关系是大于、小于、大于等于、小于等于等。
对于不等式，我们常用比较运算符号“>”、“<”、“≥”和“≤”来表示。
不等式的基本性质包括：1. 若a>b，那么a+c>b+c2. 若a>b，且c>0，那么ac>bc3. 若a>b，c<0，那么ac<bc4. 若a>b且b>c，那么a>c以上的四个性质是解不等式的基础，需要我们在后续的学习中加以掌握和运用。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指一个只含有一个变量的一次方程。
在解一元一次不等式时，我们可以通过移项和分离变量的方法来得到方程的解。
例如，我们要解以下的不等式：3x+4<10我们可以将其转化为：3x < 6x < 2从而得到该不等式的解集为：x < 2。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指一个只含有一个变量的二次不等式，也是我们在八年级下册解不等式中要学习的知识点之一。
与一元一次不等式类似，解一元二次不等式也需要运用移项和配方法等技巧。
例如，我们要解以下的不等式：x^2 - 5x + 6 > 0我们可以将其转化为：(x-2)(x-3) > 0因此，该不等式的解集可以表示为：x ∈ (-∞,2) ∪ (3,+∞)。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指涉及绝对值的不等式。
对于绝对值不等式，我们需要先将其转化为含有一元一次不等式的形式，然后再进行解答。
例如，我们要解以下的不等式：|2x-5| > 3我们可以将不等式拆分为两个部分：2x - 5 > 3 或 2x - 5 < -3化简得到：x > 4 或 x < 1因此，该不等式的解集为：x ∈ (-∞,1) ∪ (4,+∞)。
不等式的性质八年级数学下学期重要考点精讲精练
2.2不等式的性质不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，那么a±c ＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或)． 注意：对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．题型1：利用不等式的性质判定正误1.如果a ＞b ，那么下列结论一定正确的是（ ）A ．a ﹣3＜b ﹣3B ．＞C ．a +3＜b +3D ．﹣3a ＞﹣3b【变式1-1】已知a ＜b ，则（ ）A ．a +1＜b +2B ．a ﹣1＞b ﹣2C ．ac ＜bcD ．＞（c ≠0）【变式1-2】以下是两位同学在复习不等式过程中的对话：小明说：不等式a ＞2a 永远都不会成立，因为如果在这个不等式两边同时除以a ，就会出现1＞2这样的错误结论！a b c c>a b c c <题型2：利用不等式确定字母的取值范围2.已知x＞1，x+a＝1，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a≤0C．a＞0D．a≥0【变式2-1】若x＜y，且（6﹣a）x＞（6﹣a）y，则a的取值范围是．题型3：利用不等式的性质将不等式变形3.根据不等式的性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9；（2）6x＜5x﹣3；（3）；（4）﹣．【变式3-1】根据要求，回答下列问题：（1）由2x＞x﹣，得2x﹣x＞﹣，其依据是；（2）由x＞x﹣，得2x＞6x﹣3，其依据是；（3）不等式x＞（x﹣1）的解集为．【变式3-2】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＜a或x＞a的形式：（1）x﹣2＜3；（2）4x＞3x﹣5；（3）x＜；（4）﹣8x＜10．题型4：利用不等式的性质比较大小4.若﹣2a＞﹣2b，则a与b的大小关系为．题型5：利用不等式的性质化简不等式5.已知关于x的不等式（m﹣1）x＞6，两边同除以m﹣1，得x＜，试化简：|m﹣1|﹣|2﹣m|．【变式5-1】已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2，两边都除以（1﹣a），得x＜，试化简：|a﹣1|+|a+2|．【变式5-2】已知x满足不等式组，化简|x+3|+|x﹣2|．题型6：利用不等式的性质求最值6.代数式|x﹣1|﹣|x+4|﹣5的最大值为（）A．0B．﹣10C．﹣5D．3【变式6-1】已知0≤m﹣n≤2，2≤m+n≤4，则当m﹣2n达到最小值时，3m+4n＝．题型7：数轴与不等式7.若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（）A．a﹣c＞b﹣c B．a+c＜b+c C．ac＞bc D．＜【变式7-1】已知有理数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，则下列式子中正确的是（）A．ab2＞ac2B．ab＜ac C．ab＞ac D．c+b＞a+b【变式7-2】已知实数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，请判断下列不等式的正确性．（1）bc＞ab（2）ac＞ab（3）c﹣b＜a﹣b（4）c+b＞a+b（5）a﹣c＞b﹣c（6）a+c＜b+c．题型8：不等式的简单应用8.江南三大名楼指的是：滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼．其中岳阳楼位于湖南省岳阳市的西门城头、紧靠洞庭湖畔，始建于三国东吴时期．自古有“庭天下水，岳阳天下楼”之誉，因北宋范仲淹脍炙人口的《岳阳楼记》而著称于世．某兴趣小组参观过江南三大名楼的人数，同时满足以下三个条件：（1）参观过滕王阁的人数多于参观过岳阳楼的人数；（2）参观过岳阳楼的人数多于参观过黄鹤楼的人数；（3）参观过黄鹤楼的人数的2倍多于参观过滕王阁的人数．若参观过黄鹤楼的人数为4，则参观过岳阳楼的人数的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【变式8-1】如图，一个倾斜的天平两边分别放有2个小立方体和3个砝码，每个砝码的质量都是5克，每个小立方体的质量都是m克，则m的取值范围是（）A．m＜15B．m＞15C．m＞D．m＜【变式8-2】有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上。
八年级不等关系知识点总结
八年级不等关系知识点总结关于八年级不等关系的知识点总结
八年级是初中学习中一个重要的环节，也是学生初步接触不等关系的年级。
不等关系能够培养学生善于观察与思考的能力，同时也能够提升学生的逻辑思维和数学技巧。
因此，对于八年级的学生来说，掌握不等关系的知识点是至关重要的。
下面就来总结一下八年级不等关系的重点知识。
一、不等式的基本性质
1.1 传递性质
不等式的传递性是指，若a<b,b<c，则a<c。
1.2 对称性质
不等式的对称性是指，若a<b，则b>a。
1.3 反称性质
不等式的反称性是指，若a<b，则不可能有b<=a。
二、不等式的解法
2.1 联立法
联立法是指，将不等关系联立到一起，通过消元的方法求出不
等式的解。
2.2 分类讨论法
分类讨论法是指，将不等式中的未知数按照大小关系分成几类，分别讨论每一类的解法，最后将结果合并起来。
2.3 取绝对值法
取绝对值法是指，将不等式中的未知数都取绝对值，通过比较
绝对值之间的大小关系来判断不等式的解。
三、不等式的应用
3.1 引理
引理是指，通过不等关系的性质，推导出一些结论，可以用来
简化不等式的求解。
3.2 应用
在生活中，不等关系也有着广泛的应用，如货币兑换、失业率、贷款等方面。
综上所述，不等关系的知识点对于八年级学生来说是至关重要的。
通过深入理解不等关系的基本性质、掌握不等式的解法和应用，可以提升学生的数学思维和问题解决能力。
初二不等式基本知识点总结
初二不等式基本知识点总结一、一元一次不等式1. 不等式的定义不等式是使用大于号(>)、小于号(<)、大于等于号(≥)、小于等于号(≤)等符号来表示两个数量的大小关系。
例如：a < b、c > d。
2. 不等式的解法对于一元一次不等式ax + b > c，其中a、b、c为已知数，x为未知数，解不等式的步骤如下：(1) 将不等式化为等价不等式，即去掉绝对值号，并根据a的正负情况变号；(2) 通过化简和移项找出不等式的解集。
3. 不等式组的解法对于一元一次不等式组{ax + b > c, dx + e < f}，其中a、b、c、d、e、f为已知数，x为未知数，解不等式组的步骤如下：(1) 分别解出每个不等式的解集；(2) 将每个不等式解集进行交并运算，得到不等式组的解集。
4. 不等式的图像表示使用数轴可以方便地表示一元一次不等式的解集。
对于不等式ax + b > c，首先画出表示常数c的点，然后根据a的正负情况，确定画出的区域是大于还是小于c的区域。
二、一元二次不等式1. 不等式的定义一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0的不等式，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
2. 不等式的解法对于一元二次不等式ax² + bx + c > 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数，解不等式的步骤如下：(1) 求出二次函数的零点，即ax² + bx + c = 0的解；(2) 根据二次函数的图像，确定不等式的解集。
3. 不等式的图像表示一元二次不等式和二次函数的图像表示是相互联系的。
通过画出二次函数的图像，并确定大于0的区域，可以得到不等式的解集。
三、一元一次不等式组1. 不等式组的定义一元一次不等式组是多个一元一次不等式的组合，其中每个不等式都是以相同的未知数为变量。
2. 不等式组的解法对于一元一次不等式组{ax + b > c, dx + e < f}，其中a、b、c、d、e、f为已知数，x为未知数，解不等式组的步骤如下：(1) 分别解出每个不等式的解集；(2) 将每个不等式解集进行交并运算，得到不等式组的解集。
人教版八年级下册数学《一次函数与方程、不等式》一次函数研讨复习说课教学课件
探究一：一次函数与一次方程的关系
例2.已知一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图像经过（ 2,3），则方程kx+b=-3的解为_______
【答案】 x=2 【解析】
方程kx+b=-3可看为一次函数y=kx+b，当y=-3时，对应的 x的值，此时x=2，所以该方程的解为x=2.
探究二：一次函数与一元一次不等式的关系
【答案】 x=3 【解析】
方程kx+3=-x+b表示函数y=kx+3和y=-x+b的图象交点，交 点为（2,4），则可得方程的解为x=2.
课后作业
1.(中)根据图象，你能直接说出一元一次方程x+3=0的解吗?
【答案】 x=-3 【解析】
根据图象可以看出，函数y=x+3与x轴的交点为（-3,0）， 说明当x=-3时，x+3=0，即为方程的解。
当y 0时，0 2x 1，解得x - 1 ； 2
当y -1时，-1 2x 1，解得x -1
探究一：一次函数与一次方程的关系
变式:1(易)已知一次函数y=2x+1，当y=3时，2x+1等于几？当 y=0，y=-1时，2x+1又等于几呢？你能把它们写成一个方程的 形式吗？怎样从函数的角度对解这三个方程进行解释呢？
小结
注意: ①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 ②选择使用公式的方法:主要从项数上看，若多项式是二项式 可考虑平方差公式;若多项式是三项式可考虑完全平方公式。
因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否 则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内 因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式 的结果，必须是几个整式的积的形式。
初二数学基本不等式知识点
初二数学基本不等式知识点数学中的不等式是我们在初中阶段学习的重要内容之一。
不等式是数学中表示大小关系的一种运算符号，用于表示两个数的大小关系。
在初二数学中，我们学习了基本的不等式知识点，下面将为大家详细介绍。
1. 不等式的定义和表示方法不等式是用不等号（>、<、≥、≤）表示的数学关系。
具体表示方法有：- 常见不等式：例如x > 3，表示x大于3；a ≤ 5，表示a小于等于5。
- 不等式组：由多个不等式组合而成的数学表达式，例如x > 3与x< 5可以合并成不等式组3 < x < 5。
- 绝对值不等式：含有绝对值符号的不等式，例如|2x - 3| > 7。
2. 不等式的性质不等式具有以下性质：- 反身性：对于任意实数a，a ≥ a与a ≤ a都成立。
- 传递性：若a > b，b > c，则a > c。
- 加法性：若a > b，则a + c > b + c。
- 乘法性：若a > b，且c > 0，则ac > bc；若c < 0，则ac < bc。
3. 不等式的解集表示不等式的解集是使得不等式成立的数的集合。
表示解集有三种常见方法：- 空集表示法：当不等式无解时，解集为空集，用符号∅表示。
- 集合表示法：使用集合的形式表示解集，例如解集{x | x > 2}表示大于2的实数集合。
- 区间表示法：使用区间来表示解集，例如(3, +∞)表示大于3的实数区间。
4. 一元一次不等式一元一次不等式是一元一次方程的不等式形式，例如ax + b > 0。
解一元一次不等式的基本步骤是：- 化简不等式，将其转化为标准形式。
- 确定不等式的解集表示方法，可以使用集合表示法或区间表示法。
- 根据解集表示方法，求解不等式，并求出解集。
5. 二元一次不等式二元一次不等式是含有两个未知量的一次不等式，例如ax + by > c。
八年级数学上册-第3章 一元一次不等式 复习课件-浙教版
不等式的性质
不 等 式
1.加减不改变 2.乘除正不变 3.乘除负改变 4.对称性 5.同向传递性
一元一次 不等式
解一元一次不等式 解一元一次不等式组
在数轴上表示 不等式的解
根据下列数量关系列不等式：
⑴a不是正数。
a0
⑵x与y的一半的差大于-3。
x 1 y 3 2
（ 4 a<6 ）
4.若不等式2x+k<5-x没有正数解则k的范围是（ K 5 ）
5.同时满足-3x大于或等于0与4x+7>0的整数是（ 0 ，-）1
6.不等式（a-1）x<a-1的解集为x>1则a的范围是（ a<1 ）
7.不等式组 6x-1>3x-4 的整数解为（ 0，1 ） -1/3≤x 2/3
5
2
并把它的解集表示的数轴上。
x
20 3
其解集在数轴上表示如右图
4.解不等式 y 1 y 1 y 1 32 6
并把它的解集在数轴上表示出来。
2( y 1) 3( y 1) y 1 y 3
解集在数轴上表示如右图
一元一次不等式组的解集及记忆方法
图形
数学语言
文字记忆
ba ba ba ba
a
X＞a
条件是__m__＜___5____。
5.已知不等式3x-m≤0有4个正整数解，则m的取值范
围是_1_2__≤_m__≤_1_5_。
x＞a+2
6.若不等式组
无解，
x＜3a-2
则a的取值范围是____a_≤_2__。 7.若(a 2)xa23 8 2a是关于x的一元一次不等式则a的
值____-_2_____。
北京四中八年级下册数学一元一次不等式与不等式组全章复习与巩固(基础)知识讲解
《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a≤等；另一种是>，x a用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．方程ax b +＝0（a ≠0）的解值为0？（即直线y ＝0）交点的横坐标.求关于x 、y 的二元一次方程组1122=+⎧⎨=+⎩，．y a x b y a x b 的解．x 为何值时，函数11y a x b =+与函数22y a x b =+的值相等？ 确定直线11y a x b =+与直线22y a x b =+的交点的坐标.求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集 x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.【典型例题】 类型一、不等式1.用适当的符号语言表达下列关系： （1）a 与5的和是正数. （2）b 与-5的差不是正数. （3）x 的2倍大于x. （4）2x 与1的和小于零.（5）a 的2倍与4的差不少于5. 【答案与解析】解：（1）a+5>0；（2）b-（-5）≤0； （3）2x>x ； （4）2x+1<0；（5）2a-4≥5. 【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于…… . 举一反三：【变式】用适当的符号语言表达下列关系：（1）y 的12与3的差是负数.（2）x 的12与3的差大于2.（3）b 的12与c 的和不大于9. 【答案】（1）1302y -<； （2）1322x ->；（3）192b c +≤.2.用适当的符号填空：（1）如果a<b ，那么a-3__b-3； 7a__7b ；-2a__-2b. （2）如果a<b ，那么a-b__0；a+5b__6b ；11__22a b b -. 【思路点拨】不等式的基本性质1,2,3． 【答案】（1）＜； ＜；＞． （2）＜；＜；＜． 【解析】（1）在不等式a<b 两边同减去3，得a-3＜b-3；在不等式a<b 两边同乘以7，得7a ＜7b ； 在不等式a<b 两边同乘以﹣2，得-2a ＞-2b ． （2）在不等式a<b 两边同减去b ，合并得a-b ＜0；在a<b 两边同加上5b ，合并得a+5b ＜6b ； 在a<b 两边同减去12b ，合并得1122a b b -<． 【总结升华】刚开始在面对不等式的基本变形时，要不断强化在变形上所运用的具体性质，同时也要逐步积累一些运用性质变形后的化简结果，这样学习到的不等式的基本性质才能落在实处．举一反三：【变式1】用适当的符号填空： （1）7a+6__7a-6；（2）若ac ＞bc ，且c ＜0，则a b ． 【答案】（1）>；（2）＜． 【变式2】判断（1）如果a b >，那么22ac bc >； （2）如果22ac bc >，那么a b >. 【答案】（1）×；（2）√． 类型二、一元一次不等式3. 解不等式：3(1)5182x x x +-+>-． 【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形．去分母时，不要忘记给分子加括号． 【答案与解析】解：去分母，得8x+3(x+1)＞8-4(x -5)， 去括号，得8x+3x+3＞8-4x+20， 移项，得8x+3x+4x ＞8+20-3，合并同类项，得15x ＞25，系数化为1．得53x >． ∴不等式的解集为53x >．ax ＝bax ＞bax ＜b解：当a ≠0时，b x a=； 当a ＝0，b ≠0时，无解； 当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数． 解：当a ＞0时，b x a>； 当a ＜0时，b x a<； 当a ＝0，b ≥0时，无解； 当a ＝0，b ＜0时，x 为任意有理数． 解：当a ＞0时，b x a<； 当a ＜０时，b xa>；当a ＝0，b ≤0时，无解； 当a ＝0，b ＞0时，x 为任意有理数．举一反三：【变式】(湖南益阳)解不等式5113x x -->，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：去分母得5x -1-3x ＞3，移项、合并同类项，得2x ＞4， 系数化为1，得x ＞2，解集在数轴上的表示如图所示．4.某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润不低于10%，那么商店最多降价多少元出售商品？【思路点拨】利润＝售价－进价，售价＝进价＋利润＝进价×（1＋利润率）. 【答案与解析】解：设商店降价x 元出售该商品，则225x -≥150(110%)⨯+， 解得x ≤60.答：商店最多降价60元出售商品。
2022-2023学年浙教版八年级数学上册《第3章一元一次不等式》期末综合复习题(附答案)
2022-2023学年浙教版八年级数学上册《第3章一元一次不等式》期末综合复习题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x＝3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7中，不等式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．据气象台预报，2019年某日武侯区最高气温33℃，最低气温24℃，则当天气温（℃：）的变化范围是（）A．t＞33B．t≤24C．24＜t＜33D．24≤t≤333．下列说法中，正确的是（）A．x＝1是不等式2x＜1的解B．x＝3是不等式﹣x＜1的解集C．x＞﹣1是不等式﹣2x＜1的解集D．不等式﹣x＜1的解集是x＞﹣14．不等式组的解集是（）A．x＜3B．x＞5或x＜3C．x＞5D．无解5．若a+b＝﹣2，且a≥2b，则（）A．有最小值B．有最大值1C．有最大值2D．有最小值6．一个正数m的平方根是a﹣3与1﹣2a，则关于x的不等式ax+＞2x的解集为（）A．x＞B．x＜C．x＞D．x＜7．若关于x，y的方程组的解满足x﹣y＞﹣，则m的最小整数解为（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．08．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（）A．5B．8C．9D．15二．填空题（共8小题，满分40分）9．若2x﹣y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为．10．已知关于x的不等式（2a﹣b）x＞a﹣2b的解集是，则关于x的不等式ax+b＜0的解集为．11．如果关于x的不等式3x﹣a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围．12．不等式的负整数解的积是．13．符号表示运算ac﹣bd，对于整数a，b，c，d，已知1＜＜3，则b+d的值是．14．不等式组的解集是．15．不等式组无解，则m的取值范围为．16．若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是．三．解答题（共6小题，满分40分）17．已知a+1＞0，2a﹣2＜0．（1）求a的取值范围；（2）若a﹣b＝3，求a+b的取值范围．18．已知x＝1满足不等式组，求a的取值范围．19．（1）解不等式：x+2﹣3（x+1）＞1；（2）解不等式组．20．求不等式组的整数解．21．先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题：例：解不等式x2﹣9＜0．解：∵x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），∴原不等式可化为（x+3）（x﹣3）＜0．由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得：①，或②．解不等式组①得﹣3＜x＜3，解不等式组②无解，∴原不等式x2﹣9＜0的解集为﹣3＜x＜3．请你模仿例题的解法，解决下列问题：（1）不等式x2﹣4＞0解集为；（2）不等式x2+3x≤0解集为；（3）拓展延伸：解不等式．22．某学校计划购进一批电脑和电子白板，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元；购进2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有哪几种购买方案？（3）请你求出学校在（2）的购买活动中最多需要多少资金？参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以（1），（2），（4），（6）为不等式，共有4个．故选：C．2．解：由题意知：武侯区的最高气温是33℃，最低气温24℃，所以当天武侯区的气温（t℃）的变化范围为：24≤t≤33．故选：D．3．解：A、解不等式得到解集是x，则x＝1不是不等式2x＜1的解，故不符合题意．B、不等式﹣x＜1的解集是x＞﹣1，∴x＝3是它的一个解，而不是解集，故不符合题意．C、不等式﹣2x＜1的解集是x＞﹣，∴x＞﹣1不是它的解集，故不符合题意．D、不等式﹣x＜1的解集是x＞﹣1，故符合题意．故选：D．4．解：∵比大的大比小的小无解，故选D．5．解：∵a+b＝﹣2，∴a＝﹣b﹣2，b＝﹣2﹣a，又∵a≥2b，∴﹣b﹣2≥2b，a≥﹣4﹣2a，移项，得﹣3b≥2，3a≥﹣4，解得，b≤﹣＜0（不等式的两边同时除以﹣3，不等号的方向发生改变），a≥﹣；由a≥2b，得≤2 （不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变）；A、当a＞0时，＜0，即的最小值不是，故本选项错误；B、当﹣≤a＜0时，≥，有最小值是，无最大值；故本选项错误；C、有最大值2；故本选项正确；D、无最小值；故本选项错误．故选：C．6．解：根据题意得a﹣3+1﹣2a＝0∴a＝﹣2，∴a﹣3＝﹣5，∴m＝25，∴不等式为﹣2x+＞2x，解得x＜，故选：B．7．解：，①﹣②得：x﹣y＝3m+2，∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y＞﹣，∴3m+2＞﹣，解得：m＞﹣，∴m的最小整数解为﹣1，故选：C．8．解：，解不等式①得x≤k，解不等式②得x＜7，由题意得k＜7，解关于y的方程2y＝3+k得，y＝，由题意得，＞0，解得k＞﹣3，∴k的取值范围为：﹣3＜k＜7，且k为整数，∴k的取值为﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，当k＝﹣2时，y＝＝，当k＝﹣1时，y＝＝1，当k＝0时，y＝＝，当k＝1时，y＝＝2，当k＝2时，y＝＝，当k＝3时，y＝＝3，当k＝4时，y＝＝，当k＝5时，y＝＝4，当k＝6时，y＝＝，∵为整数，且k为整数，∴符合条件的整数k为﹣1，1，3，5，∵﹣1+1+3+5＝8，∴符合条件的所有整数k的和为8．故选：B．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵2x﹣y＝1，∴y＝2x﹣1，∵0＜y＜1，∴0＜2x﹣1＜1，解得＜x＜1．故答案为：．10．解：∵关于x的不等式（2a﹣b）x＞a﹣2b的解集是，∴2a﹣b＞0，x＞∴2a＞b，＝∴2a﹣4b＝10a﹣5b∴8a＝b∴2a＞8a∴a＜0∵ax+b＜0∴ax＜﹣b∴x＞﹣∵8a＝b∴x＞﹣8故答案为：x＞﹣8．11．解：3x﹣a≤0的解集为x≤；其正整数解为1，2，3，则3≤＜4，所以a的取值范围9≤a＜12．12．解：不等式的解集是x＞﹣，因而负整数解是：﹣1，﹣2，则其积是2．13．解：根据题意得：，解得：1＜bd＜3，∵b、d是整数，∴bd＝2，则b、d的值是1和2，或﹣1，﹣2．则b+d＝3或﹣3．故答案是：±3．14．解：，解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜4，故答案为：﹣1＜x＜4．15．解：，解不等式①，得x≥3，∵不等式组无解，∴m＜3，故答案为：m＜3．16．解：解不等式2x﹣3＞5，得：x＞4，解不等式x﹣m＜1，得：x＜m+1，不等式租的解集为4＜x＜m+1，∵不等式组仅有3个整数解，∴7＜m+1≤8，∴6＜m≤7，故答案为：6＜m≤7．三．解答题（共6小题，满分40分）17．解：（1）根据题意得，解①得a＞﹣1，解②得a＜1，则a的范围是﹣1＜a＜1；（2）∵a﹣b＝3，∴b＝a﹣3，∴a+b＝2a﹣3，∵﹣1＜a＜1，∴﹣2＜2a＜2，∴﹣5＜2a﹣3＜﹣1，即﹣5＜a+b＜﹣1．18．解：将x＝1代入3x﹣5≤2x﹣4a，得4a≤4，解得a≤1；将x＝1代入3（x﹣a）＜4（x+2）﹣5，得a＞﹣．不等式组解集是﹣＜a≤1，a的取值范围是﹣＜a≤1．19．解：（1）x+2﹣3（x+1）＞1，x+2﹣3x﹣3＞1，x﹣3x＞1﹣2+3，﹣2x＞2，x＜﹣1；（2）解不等式5x﹣1≤3（x+1），得：x≤2，解不等式≥x﹣1，得：x≤4，则不等式组的解集为x≤2．20．解：由①得，由②得x≤1，所以这个不等式组的的解集是，∴不等式组的整数解是﹣1，0，1．21．解：（1）∵x2﹣4＞0，∴（x+2）（x﹣2）＞0，则①，②，解不等式组①，得：x＞2，解不等式组②，得：x＜﹣2，∴不等式x2﹣4＞0解集为x＞2或x＜﹣2，故答案为：x＞2或x＜﹣2；（2）∵x2+3x≤0，∴x（x+3）≤0，则①，②，解不等式组①，得：不等式组无解；解不等式组②，得：﹣3≤x≤0，故答案为：﹣3≤x≤0；（3）∵≤0，∴①，②，解不等式组①，得：﹣3≤x≤5，解不等式组②，得：不等式组无解；所以原不等式的解集为﹣3≤x≤5．22．解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：，解得，，答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元；（2）设需购进电脑m台，则购进电子白板（30﹣m）台，根据题意得：，解得：15≤m≤17，又∵m为正整数，∴m可以为15，16，17，∴共有3种购买方案：方案1：购进电脑15台，电子白板15台；方案2：购进电脑16台，电子白板14台；方案3：购进电脑17台，电子白板13台．（3）选择方案1所需费用为0.5×15+1.5×15＝30（万元）；选择方案2所需费用为0.5×16+1.5×14＝29（万元）；选择方案3所需费用为0.5×17+1.5×13＝28（万元）．∵30万元＞29万元＞28万元，∴学校在（2）的购买活动中最多需要30万元．。
(完整版)北师大版八年级下册数学复习知识点及例题相结合
一. 不等关系第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1. 一般地,用符号“<”(或“ ≥”), “>”(或“ ≤”)连接的式子叫做不等式.2.区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3.准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数⇔ 非正数⇔ 大于等于0( ≥ 0) ⇔小于等于0( ≤ 0) ⇔0 和正数0 和负数⇔不小于0⇔不大于0二. 不等式的基本性质1.掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, a >b .c c(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, a <bc c2.比较大小:(a、b 分别表示两个实数或整式) 一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b;如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b;即:a>b ⇔ a-b>0 a=b ⇔ a-b=0 a<b ⇔ a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要作差即可)例下列各式一定成立的是( )A．7a﹥4a B. a﹥-a C. a+1﹥a－1 D. a≤a2例若a﹥b,且a、b 同号，以下不等式中一定成立的有①a2﹥b2 ②a3＜b3 ③1/a＜1/b ④a/b﹥1A. 0B. 1C. 2D. 3三. 不等式的解集:1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2.不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3.不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心点,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2.解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3.解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4.一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0 时,解为x >b;②当a=0 时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0 时,且b≥0,则a无解;③当a<0 时, 解为x <b ;a5.不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.例不等式mx﹥n(m≠0)的解集是( )A．x﹥n/m B.当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜-n/mC．x＜n/m D．当m﹥0 时，x﹥n/m，当m＜0 时，x＜n/m例如果不等式(a+1) x﹥(a+1)的解集为x＜1，则a 必须满足的的条件是：A. a＜0B. a≤-1C. a﹥-1D. a＜-1例已知关于x 的不等式(2a－b)x+a－5b ﹥0 的解集为x＜10/7,则ax+b﹥0 的解集为例若不等式组x﹥a 无解，则不等式组x﹥2－a 的解集是例水果店进了某中水果1t，进价是7 元/kg。
北师大版数学八年级下第一章、一元一次不等式与不等式组培优复习讲义(一)
戴氏西门总校数学资料北师大版八年级下第一章、一元一次不等式与不等式组复习讲义（一）第一部分、要点概况（一）不等关系1、一般地，用符号“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”连接的式子叫做不等式。
注意：⑴要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。
⑵常用的不等号有：＜、≤、＞、≥、≠。
⑶列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如： “正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”， “超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”， “不大于（≤0）”， “不小于（≥0）”⑷除了⑶常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a －b ＞0，则a 大于b ； ②若a －b ＜0，则a 小于b ； ③若a －b ≥0，则a 不小于b ； ④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0ab >，则a 、b 同号； ⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号。
⑸不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。
例1：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。
①32>-； ②21x ≤； ③21x -； ④s vt =； ⑤283m x <-；⑥124x x ->-；⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨240x +>；⑩230xπ+>。
不等式： 。
变式训练1：已知下列各式：①-1<0，②2+3=5 ③3x>7 ④2x-3y=1 ，其中不等式有不等式： 。
例2：⑴a 是正数： ；⑵x 的平方是非负数： ； ⑶a 不大于b ： ；⑷x 的3倍与－2的差是负数： ；⑸长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2： 。
变式训练2：用不等式表示：（1）x 与1的差不大于y 的3倍； （2）a 与b 的平方和是非负数；例3：试判断237a a -+与32a -+的大小变式训练3-1：比较1415-与1314-的大小。
八年级数学不等式的基本性质
乘法性质
定义
如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bc。
证明
假设a>b>0，且c>d>0，那么我们可以得到ac-bc=(a-b)c>0（因为a-b>0且c>0），即ac>bc。
除法性质
定义
如果a>b>0，且c>d>0，那么a/c>b/d。
证明
假设a>b>0，且c>d>0，那么我们可以得到a/c-b/d=(ad-bc)/(cd)>0（因为ad-bc>0且cd>0），即 a/c>b/d。
答案
$frac{9}{2} < frac{a^{2}}{b} < 3$
2. 题目
已知$- frac{1}{3} < a < frac{1}{2}$，则 $frac{1}{a}$的取值范围是____．
答案
$- 3 < frac{1}{a} < - frac{3}{4}$
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表示左右两边的数或量相 等。
02 不等式的性质
传递性
定义
如果a>b且b>c，那么a>c。
证明
假设a>b，b>c，那么我们可以得到a-b>0和b-c>0，从而推出a-c=(a-b)+(bc)>0，即a>c。
加法性质
定义
如果a>b，那么a+c>b+c。
证明
假设a>b，那么a-b>0，所以(a+c)-(b+c)=(a-b)>0，即a+c>b+c。
8年级下册数学北师大 版第2单元复习课件
课堂小结
谈一谈你这节课的收获吧
不等式的故事结束啦 下期再见！
解：设张三每天读x页，则李四读（x+3)页， 由题意得 7x＜98
（ 7 x 3)＞98
解得：11＜x＜14.整数解为：x=12,13. 答：张三每天读12页或者13页.
应用提高
4.某公司有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨待运. 现计划用50节A、B两种型号的车厢来运送这批货物，每 节A型车厢的运费是0.5万元，可以装载甲种货物35吨和乙种货 物15吨；每节B型车厢的运费是0.8万元，可以装载甲种货物 25吨和乙种货物35吨.按此要求安排车厢节数，有哪些方案？ 哪种方案最省钱？请设计出来.
–5 –4 –3 –2 –1 0 1
巩固练习
2xx814xx211解不等式组
① ②
解：解不等式 ①，得 x ＞ 2
解不等式 ②，得 x ＜3 在同一条数轴上表示不等式 ① ② 的解集
–1 0 1 2 3 4 5 6
不等式组的解集为：2＜x＜3.
知识点回顾
三、一元一次不等式（组）的应用：
1. 一元一次不等式与一次函数的关系.
2.已知 a-1 + 2a-b-x =0，b是负数，求x的取值范围.
解：由题意得
a 1 2a ຫໍສະໝຸດ b0 x0
解得：a=1,b=2-x.
又∵b是负数，
∴2-x＜0.
解得：x＞2
应用提高
3.一本故事书共98页，张三读了7天还没读完，而李四 不到7天就读完了.已知李四每天比张三多读3页，求张三 平均每天读多少页（答案取整数）？
概念 性质
一元一次 不等式
不等式的 解集
一元一次 不等式组
不等式组 的解集
数学：第七章《一元一次不等式》复习课件(苏科版八年级下)
x<6 在同一条数轴上表示不等式①②的解集, 如下图
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
。
。
因此,不等式组的解集为
3 <x<6
1
例1 如图是一个一次函数，请根据图像回答问题： （1）写出直线对应的一次函数的表达式 ； （2）当x＝0时，y＝ ，当y＝0时，x＝ ； 当y=4时,x= .
1 （3）一元一次方程 x 2 0 和一次 2 1 函数 有什么联系？ y x2 2
(3) x 3 x 2 ． 5 2
下列解不等式过程是否正确，如果不正确 请给予改正。 x x 1 x 8 1 解不等式 x 2 3 6 去分母得 6x－3x＋2（x+1）＜6＋x＋8 去括号得 6x－3x＋2x+2 ＜6＋x＋8 移项得 6x－3x＋2x—x＜6＋8－2 合并同类项得 6x＜16 8 系数化为1，得 x〉
7
X 4 3
3X 1 － >1， 2
值比的值大1。
5 所以，当x取小于 的任何数时，代数式的 7
x4 解不等式： 2
≥
2x 1 1 3
并把解集在数轴上表示出来
解不等式，并把它的解集表示在数轴上 ：
4 2x 3x 1 (1) ＜3－ 4 2 1 2 x 1 (2) 1－ ( x 2) ≤ 6 3
例2 画出函数y=-3x+12的图像， 利用图像求： （1）不等式-3x+12>0的解集． （2）不等式-3x+12≤0的解集． （3）当2<y<16时,x的取值范围.
随堂演练 1、在一次函数y=2x-3中，已知x=0 则y= ；若已知y=2则x= ； 2、当自变量x 时，函数 y=3x+2的值大于0；当x 时， 函数y=3x+2的值小于0。
浙教版数学八年级上册 不等式所有知识点总结和常考题型练习题
不等式知识点1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成6.了一个一元一次不等式组。
6.不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
不等式练习一、选择题1. 若m ＞n ，下列不等式不一定成立的是（ ） （A ）m ＋2＞n ＋2 （B ）2m ＞2n （C ）（D ）2．把不等式组⎩⎨⎧x+1＞0，x -1≤0的解集在数轴上表示，正确的是（ ）A B C D3．不等式组1011x x +>⎧⎨-⎩≤的解集是： （ ）A 、2x ≤B 、1x >-C 、1x -<≤2D 、无解1-10-11-11-114. 下列说法不一定成立的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5．关于x 的不等式组⎩⎨⎧1ax ＞＞x 的解集为x ＞1 ，则a 的取值范围是（ ）A ． a ＞1B ． a ＜1C ． a ≥1D ． a ≤16．已知：y 1=2x -5，y 2=-2x +3．如果y 1＜y 2，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．x ＞-2 D ．x ＜-27. 不等式组的整数解的个数是（ ）A ． 3B ． 5C ． 7D ． 无数个8. 已知点P (1-m ,2-n )，如果m ＞1，n ＜2，那么点P 在第( )象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛题共25道，每题4个答案，其中只有一个正确，选对得4分，不选或选错倒扣2分，得分不低于60分得奖，那么得奖至少应答对题（ ）A ．18题B ．19题C ．20题D ．21题11. 某市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，出租车费为15.5元，那么x 的最大值是（ ）A ．11B ．8C ．7D ．5 二、填空题1. 已知a ＞b ，用“＜”或“＞”填空： (1)1-a 1-b ； (2)m 2a m 2b (m ≠0)．2. 不等式组的解集是 ．3．不等式组⎩⎨⎧x -1≤0，-2x ＜3的整数解．．．是 ． 4. 不等式组的所有整数解的积为 ．5. 关于x 的方程kx -1=2x 的解为正实数，则 k 的取值范围是_______________． 三、解答题1. 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x -7＜2(1-3x )，x -32+1≤3x -14，并把它的解集在数轴上表示出来．2. 已知不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3(2x -1)＜2x +8，2+3(x +1)8 ＞3-x -14 ． (1)求此不等式组的整数解；(2)若上述的整数解满足方程ax +6=x -2a , 求a 的值.3．已知A =﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．4．在比赛中，每名射手打10枪，每命中一次得5分，每脱靶一次扣1分，得到的分数不少于35分的射手为优胜者，要成为优胜者，至少要中靶多少次？5. 每年的5月20日是中国学生营养日，我市某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如表）．若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这份快餐最多含有多少克的蛋白质？6. “六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．7. 某幼儿园在六一儿童节购买了一批牛奶．如果给每个小朋友分5盒，则剩下38盒，如果给每个小朋友分6盒，则最后小朋友不足5盒，但至少分得1盒．问：该幼儿园至少有多少名小朋友？最多有多少名小朋友？。
北师大版八年级下数学《一元一次不等式与一次函数》一元一次不等式和一元一次不等式组研讨说课复习课件指导
连接中考
（2020•湘潭）如图，直线y=kx+b(k＜0)经过点p(1,1)，当
kx+b≥x时，则x的取值范围为（ A ）
A．x≤1
B．x≥1
C．x＜1
D．x＞1
课堂检测
基础巩固题
1.在一次函数y=-2x+8中,若y>0,则 ( B )
A.x>4
B.x<4
C.x>0
D.x<0
2. 如图,直线y=ax+b(a≠0)过点A,B,则不等式ax+b>0的解 集是 ( C )
探究新知
由上述讨论易知： “关于一次函数的值的问题” 可变换成 “关于一元一次
不等式的问题” ； 反过来，“关于一元一次不等式的问题”可变换成 “
关于一次函数的值的问题”.
因此，我们既可以运用函数图象解不等式 ，也可以运用 解不等式帮助研究函数问题 ，二者相互渗透 ，互相作用.
不等式与函数 、方程是紧密联系着的一个整体 .
课堂检测
基础巩固题
5.如图,直线l1:y1=2x+1与直线l2:y2=mx+4相交于点P(1,b). (1)求b和m的值.
(2)结合图象,直接写出当y1>y2时x的取值范围. 解:(1)对于直线y1=2x+1,当x=1时,y1=3, ∴P(1,3),b=3, 把P(1,3)代入y2=mx+4中,得3=m+4, 解得m=-1. (2)观察图象可知:当y1>y2时x的取值范围是x>1.
探究新知
所以当顾客每个月的通话时长等于100分钟时，选择甲 乙两种业务一样合算；如果通话时长大于100 分钟，选择甲 种业务比较合算；如果通话时长小于100 分钟，选择乙种业 务比较合算.
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[单选,A1型题]体重指数（BMI）计算公式是指（）A.体重（kg）/身高（m）B.体重（kg2）/身高（m）C.体重（kg2）/身高（m2）D.体重（kgቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/身高（m2）E.以上都不是 [单选]胶结类型中的基底胶结是指胶结物含量高，岩石颗粒之间（）。A、大面积接触B、全部接触C、很少接触D、中等接触 [单选]确定违法主体的基本原则是（）。A.谁违法，谁负责B.从事违法行为的人一定是承担行政责任的对象C.个体户的从业人员违法，应当由从业人员承担责任D.单位内部部门违法，应当由单位内部部门承担责任 [单选]股骨下端肿痛，局部皮温高，静脉怒张，X线片显示股骨远端有边界不清的骨质破坏区，有三角状骨膜反应。病人可能的诊断是（）A.内生骨软骨瘤B.骨肉瘤C.骨巨细胞瘤D.骨软骨瘤E.骨髓瘤 [单选,共用题干题]男，75岁。眩晕日久不愈，精神萎靡，腰酸膝软，少寐多梦，健忘，两目干涩，视力减退，舌红少苔，脉细数。（假设信息）若兼肝阳上亢，可选用（）A.龙胆泻肝汤B.大补元煎C.天麻钩藤饮D.麦门冬汤E.济生肾气丸 [单选]下列各项中不属于事业单位资产的是()。A.货币资金B.对外投资C.应收账款D.预收款项 [单选]乳腺癌的超声特征不包括（）。A.边界清晰B.边缘毛刺C.微小钙化D.血流信号丰富E.后方声影 [单选]花卉园艺学研究对象是以下（）。A.花朵美丽的草本观赏植物B.可用以观叶、观果为主的草本植物C.一些原产南方的盆栽花木类，以及少数的木本名花D.包括A、B、和C [单选]外阴恶性黑色素瘤的叙述正确的是（）A.由结合痣或复合痣发展B.仅发生于老年妇女C.常无明显自觉症状D.宜行外阴根治术E.手术范围应在病变处3～4cm处 [单选]下列腧穴中，归经错误的是（）。A.合谷-大肠经B.太溪-肝经C.列缺-肺经D.阳陵泉-胆经E.阴陵泉-脾经 [单选]带蒂的子宫浆膜下肌瘤常易误诊为()A．子宫腺肌瘤B．阔韧带肿瘤C．双子宫D．卵巢肿瘤E．残角子宫 [单选,A1型题]实施监测的方法包括（）A.记录与报告B.审计C.现场考察D.定量与定性调查E.以上均正确 [单选,A2型题,A1/A2型题]终止心绞痛发作最有效的药物是（）A.硝苯地平B.普萘洛尔C.阿司匹林D.硝酸甘油E.阿托品 [单选]按照《注册建造师管理规定》，下列中不予注册的情形是（）。A．申请人年近花甲，已达59岁高龄B．因执业活动受到刑事处罚，自处罚执行完毕之日起至申请注册之日已满3年C．被吊销注册证书，自处罚决定之日起至申请注册之日止已经满2年D．申请人申请注册之日止4年前担任项目经 [填空题]吃势是指某部位（）予定的量。 [单选]低合金高强度结构钢质量等级分为（）级。A．3B．4C．5D．6 [单选]在切割机退卷架上的布基卷用完前，要提前按好准备使用的布基卷（）。A.卷轴B.卡盘C.螺钉D.楔钉 [填空题]若处理管线，通常选用吹扫介质是（）。 [单选]下图所示的100元纸币是票面剩余二分之一至四分之三以下的残缺人民币，金融机构应（）向持有人兑换。A、按原面额的一半B、按原面额全额C、按原面额的三分之一D、不予以 [单选]在过度需求状态下，饭店营销管理的任务是（）。A.扭转性营销B.刺激性营销C.开发性营销D.反营销 [单选]是否做到（），是人员招聘成败的关键。A.公开招聘B.择优录用C.公平公正D.效率优先 [填空题]合适的入浮煤浆浓度取决于（）和（），尤其是（）。 [判断题]培训课程决定培训项目的开发方向。A.正确B.错误 [单选]煤的挥发分是指煤在与空气隔绝的容器中，高温加热一定时间后，从中分解出来的（）产物。A、液体B、气体C、液体＋气体D、液体＋气体－水分 [单选]造成胎儿宫内生长迟缓最常见的原因是（）.A.脐带绕颈B.本身发育异常C.双胎D.臀位E.妊高征 [单选]内部过电压幅值的大小，是以系统的最高运行（）的倍数来表示的。A、平均电压B、额定电压C、线电压D、相电压 [单选]4：3：2溶液的组成成分是（）10％葡萄糖生理盐水1．4％碳酸氢钠A.4份3份2份B.4份2份3份C.3份4份2份D.2份3份4份E.2份4份3份 [单选]何谓"六气"()A．风、湿B．寒、火C．暑D．燥E．以上都是 [多选]安装工程分部分项工程量清单编制的原则有（）。A.满足工程计价、施工招标的需要B.全面、准确计算工程量、避免错项、漏项C.查阅设计文件，分析拟建安装工程构成D.严格遵守法律、法规和规范 [填空题]汽油的抗爆性可用（）来表示。 [单选,A2型题,A1/A2型题]A型献血者与受血者作交叉配血试验，主侧不发生凝集，次侧发生凝集，受血者的血型应为（）A型B型C.AB型D.O型E.孟买型 [单选]电动潜油泵井井下系统从井底到井口的联接顺序为（）。A、扶正器—潜油电机—保护器—分离器—潜油泵—单流阀—泄油阀B、潜油电机—扶正器—保护器—分离器—潜油泵—单流阀—泄油阀C、扶正器—潜油电机& [单选,A1型题]医师在进行实验性临床医疗时，应充分保障（）的知情同意权。A.患者B.患者家属C.患者和其家属D.患者或其家属 [填空题]灵感是一切创造性劳动中普遍存在的现象，周恩来用______________，______________八个字对灵感产生过程作了科学的概括。 [填空题]常见的液压泵有（）油泵、（）油泵、（）油泵。 [单选,A2型题,A1/A2型题]鼻中隔小穿孔直径应小于（）。A.1mmB.2mmC.5mmD.1cmE.2cm [单选,A2型题,A1/A2型题]生理性红细胞沉降率增快可见于（）A.细菌感染B.肺结核C.女性月经期D.大手术E.旷巨球蛋白血症 [填空题]医疗保险方对医疗服务提供方和参保人的监督形式主要有（）、（）和（）3种。 [单选]谁对机组成员遵守飞行基本规则负责：（）。A.航空单位负责人B.机长C.民航总局及其地区管理局 [单选]根据我国《公司法》规定，下列选项中可以担任有限责任公司监事、高管人员的是（）。A.公司的股东B.公司的经理C.公司的董事D.公司的财务负责人