中考数学圆的知识点总结

圆知识点总结几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形.三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2.（4）扇形面积S 扇形=LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形=扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图）2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧=2πrh；(r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧=LR 21.（L=2πr，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）直线与圆相交⇔d＜r；直线与圆相切⇔d=r；直线与圆相离⇔d＞r.5．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.6．关于圆的常见辅助线：FED BAC OGH圆的外切四边形对边和相等.A B OC D若AD ∥BC 都是切线，连结OA 、OB 可证∠AOB=180°，即A、O、B 三点一线.EACBOD等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点,并构造相似形.EFCD BAO RtΔABC 的内切圆半径：r=2cb a -+.AC D PO BPC 过圆心，PA 是切线，构造双垂、RtΔ.BCD OAPO 是圆心，等弧出平行和相似.DE MABCFN G作AN⊥BC，可证出:ANAMBC GF =.模型：圆内接等腰三角形模型构成部分：如图1、1—1、2，⊙O、等腰△ABC（AB=AC）本质：角度一：位置关系等腰△ABC 的三个顶点在⊙O 上角度二：圆心O1、如图1、1—1、2，过A 作AD⊥BC 于D 过A 作AD⊥BC 于D，交⊙O 于E，设⊙O 的半径为R，AD=h，底边BC=a，则（1）△ABC 为锐角△⇔圆心O 在三角形的内部（如图1、1）△ABC 为钝角△⇔圆心O 在三角形的外部（如图1、2）（2）圆和它的内接等腰三角形组成的图形是轴对称图形，对称轴是底边的中垂线（1条）→圆心O 在直线AD 上（垂径定理模型）⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-===→2222a R h R BE CE AC ，AB 弧弧弧弧（3）∠BOD=∠BAC=ACB ∠-︒2180（如图1、1）∠BOD=2∠ACB（如图1、2）2、延长BO 交⊙O 于F，连结CF →FC OD BCF OD 21平行且等于的中位线为→∆3、连结OC，若∠BAC=为菱形四边形ABOC →︒120模型：圆内接三角形内角平分线模型构成部分：如图1，⊙O，△ABC，∠BAC 的角平分线AE，本质：角度一：位置关系（如图1）1、△ABC 的三个顶点在⊙O 上→点O 为△ABC 的外心→外心到三个顶点的距离相等→外心是三角形三边垂直平分线的交点2、∠BAC 的角平分线与BC 交于点D，与⊙O 交于点E，角度二：角平分线与⊙O 的交点E 1、如图1，连结BE、CE，则（1）⎪⎩⎪⎨⎧=→→DC BDAC AB EC =BE EC 弧=BE 弧（2）母子相似三角形模型和相交弦模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∙-∙=→∙=∙∙=→∆∆∆∙=→∆∆∆→CD BD AC AB AD AE AD AC AB EA ED EC EDC ECA BDA EA ED EB EDB EBA CDA 222相似于相似于相似于相似于2、如图2，过E 作直线GF，交直线AB 于G，交直线AC 于F，则（1）BC∥GF ⇔GF 与⊙O 切于点E说明：在①AE 平分∠BAC，②BC∥GF，③GF 与⊙O 切于点E 中，任取两个可以推出第三个（2）BC∥GF 或GF 与⊙O 切于点E⎩⎨⎧∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆→EABEBD CAD FAE FEC EACECD BAD GAE GEB 相似于相似于相似于相似于相似于相似于相似于相似于（3）如图6，EM 为切线，AB 为直径→AF⊥EF ()⎪⎩⎪⎨⎧∙=→∆∆→AFAB AE ABE Rt AEF Rt A EF BC 2相似于字模型平行平行于说明：在①AE 平分∠BAC ②EM 为切线③AF⊥EF 中，任意两个成立可以推出第三个（4）如图5，过B 作切线BK 交AE 的延长线于点K⎩⎨⎧←∙∙∠→AKB∽BKE △ BE AK =BK AB CBKBE 平分3、如图3，过E 作EN⊥AB 于N，作EM⊥AC 于M，→△BNE≌△CME ⇒BN=CM →AB+AC=2AM=2AN角度三：△ABC 的内心如图4，I 为内心，AI 交BC 于D，交⊙O 于E，则⎪⎩⎪⎨⎧∙===→DEAE IE CE IE BE 2四点共圆的判定与性质一、四点共圆的判定（一）判定方法1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。

2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。

3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。

4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。

5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。

6、若AB 、CD 两线段相交于P 点，且PA ×PB=PC ×PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆(相交弦定理的逆定理)。

7、若AB 、CD 两线段延长后相交于P 。

且PA ×PB=PC ×PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆(割线定理)。

8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理。

（二）证明1、若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。

若可以判断出OA=OB=OC=OD ，则A 、B 、C 、D 四点在以O 为圆心OA为半径的圆上。

2、若一个四边形的一组对角互补（和为180°），则这个四边形的四个点共圆。

若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°，则点A、B、C、D四点共圆。

3、若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆。

若∠B=∠CDE，则A、B、C、D四点共圆证法同上。

4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆。

若∠A=∠D或∠ABD=∠ACD，则A、B、C、D四点共圆。

5、同斜边的直角三角形的顶点共圆。

如图2，若∠A=∠C=90°，则A、B、C、D四点共圆。

6、若AB、CD两线段相交于P点，且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(相交弦定理的逆定理)。

7、若AB、CD两线段延长后相交于P。

且PA×PB=PC×PD，则A、B、C、D四点共圆(割线定理)。

8、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积，则四边形的四个顶点共圆(托勒密定理的逆定理）。

已知四边形ABCD，若AB×CD+BD×AC=AD×BC，则A、B、C、D四点共圆。

与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·P＝PC·PD.连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.切割线定理⊙O 中，PT 切⊙O 于T，割线PB 交⊙O 于APT 2＝PA·PB 连结TA 、TB ，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A、C PA·PB＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O 中，割线PB 交⊙O 于A，CD 为弦P'C·P'D ＝r 2－OP'2PA·PB＝OP 2－r 2r 为⊙O 的半径延长P'O 交⊙O 于M，延长OP'交⊙O 于N，用相交弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

托勒密定理圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积．AB DC BC AD AC BD⋅+⋅=⋅证明如图3-1，四边形ABCD 内接于O ，在BD 上取点P ，使PAB CAD =∠∠，则△ABP ∽△ACD ，于是AB BPAB CD AC BP AC CD=⇒⋅=⋅．又ABC △∽△APD ，有BC AD AC PD ⋅=⋅．上述两乘积式相加，得AB CD BC AD AC BP PD AC BD ⋅+⋅=+=⋅（）．①注此定理有多种证法，例如也可这样证：作AE BD ∥交o 于E ，连EB ，ED ，则知BDAE 为等腰梯形，有EB AD =，ED AB =，ABD BDE θ==∠∠，且180EBC EDC +=︒∠∠，令BAC ϕ=∠，AC 与BD 交于G ，则111sin sin()sin 222ABCD S AC BD AGD AC BD AC BD EDC θϕ=⋅⋅=⋅⋅+=⋅⋅∠∠，11sin sin 22EBCD EBC ECD S S S EB BC EBC DC EDC =+=⋅⋅+⋅⋅△△∠∠()()11sin sin 22EB BC ED DC EDC AD BC AB DC EDC =⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅∠∠．易知ABCD EBCD S S =，从而有AB DC BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅．推论1（三弦定理）如果A 是圆上任意一点，AB ，AC ，AD 是该圆上顺次的三条弦，则sin sin sin AC BAD AB CAD AD CAB ⋅=⋅+⋅∠∠∠．②事实上，由①式，应用正弦定理将BD ，DC ，BC 换掉即得②式．推论2（四角定理）四边形ABCD 内接于O ，则sin sin sin sin ADC BAD ABD BDC ⋅=⋅∠∠∠∠sin sin ADB DBC +⋅∠∠．③事实上，由①式，应用正弦定理将六条线段都换掉即得③式．直线上的托勒密定理（或欧拉定理）若A ，B ，C ，D 为一直线上依次排列的四点，则AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅．注由直线上的托勒密定理有如下推论：若A ，B ，C ，D 是一条直线上顺次四点，点P 是直线AD 外一点，则sin sin sin sin sin sin APB CPD APD BPC APC BPD ⋅+⋅=⋅∠∠∠∠∠∠．事实上，如图3-2，设点P 到直线AD 的距离为h ，由AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅，有PAB PCD PAD PBC PAC PBD S S S S S S ⋅+⋅=⋅△△△△△△，用两边及夹角正弦形式的三角形面积表示上式后，两边同除以14PA PB PC PD ⋅⋅⋅即得推论．由上述推论也可证明圆内接四边形中的托勒密定理．证明如图3-3，在图上取一点P ，连PA 、PB 、PC 、PD ，设PB 交AD 于B '，PC 交AD 于C '．由正弦定理sin 2AB APB R =∠，sin 2CD CPD R =∠，sin 2AD APD R =∠，sin 2BC BPC R =∠，sin 2ACAPC R=∠，sin 2BDBPD R=∠，其中R 为圆的半径．对A 、B '、C '、D 应用直线上的托勒密定理的推论，有sin sin sin sin sin sin sin sin APB CPB APD BPC APB C PD APD B PC ''''⋅+⋅=⋅+⋅∠∠∠∠∠∠∠∠sin sin sin sin APC B PD APC BPD ''=⋅=⋅∠∠∠∠．故AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅．四边形中的托勒密定理（或托勒密不等式）设ABCD 为任意凸四边形，则AB CD BC AD ⋅+⋅≥AC BD ⋅，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号．证明如图3-4，取点E 使BAE CAD =∠∠，ABE ACD =∠∠，则△ABE ∽△ACD ，即有AD AC AE AB =，且AC CD AB BE=，即AB CD AC BE ⋅=⋅．①又DAE CAB =∠∠，有△ADE ∽△ACB ，亦有AD BC AC ED ⋅=⋅．②由①式与②式，注意到BE ED BD +≥，有AB CD BC AD AC BE ED AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅（）≥．其中等号当且仅当E 在BD 上，即ABD ACD =∠∠时成立．此时A ，B ，C ，D 四点共圆．由此，即有托勒密定理的逆定理在凸四边形ABCD 中，若AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅，则A ，B ，C ，D 四点共圆．。