选修专题：极坐标与参数方程归纳教师版

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选修专题：第二部分极坐标与参数方程

2 •直角坐标与极坐标的互化

X = p cos 0 ,

直角坐标、极坐标分别为（x , y ）和（p , 0 ），贝U

y = p sin 0 知识点1直角坐标系与己坐标系点、方程互相转化 （1）点的转化

1、①直角坐标为（—Q 2,边）、（0, 2）那么它的极坐标分别表示为 ________ >

“宀 3 n

1 •极坐标系的概念 记 作

M(

p

tan

心y

X 工0

答案2, 丁、（2,-）

②极坐标为（2, —）、（1, 0）那么他们的直角坐标表示为

、

3

（2）方程的转化

n

2、 在极坐标系中，直线I: p sin 9 + ~4 = 2,则直线在直角坐标系中方程为 _____________________

在极坐标系中,圆O: p = 4,则在直角坐标系中，圆的方程 ________________ 直线I 与圆O 相交，所截得的弦长为 ________ •

3、 若曲线的极坐标方程为 p = 2sin 9 + 4cos 9，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标 系，则该曲线的直角坐标方程为 __________ •

4、 求满足条件的曲线极坐标方程

⑴ 直线过点M （1，0）且垂直于x 轴 ____________ ⑵ 直线过M （ 0，a ）且平行于x 轴 ______________

⑶ 当圆心位于 Ma, 0），半径为r

（4）

当圆心位于 M （1,—），半径为2：

2

知识点2:常见曲线的参数方程的一般形式

X = X 0+1 cos a ，

（1）经过点P 0（x 。，y 。），倾斜角为a 的直线的参数方程为 —；

（t 为参数）.

y = y0+ tsin a

（其中参数t 是以定点P （X 。，y °）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称 为点P 与点M 间的有向距离.）

①.设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 .

(t

B

t

A

) 4t

A t

B

② .线段AB 的中点所对应的参数值等于 匕主 2

③ 定点P （x °, y °）为线段AB 中点，贝U t B t A =0

x = acos 9 ，

y =關二 (9为参数).

题型1、直线与圆位置关系

t A 和 t B ，则 AB = t B t A =

（2）圆的参数方程

x = rcos 9，

y = rsin 9

（9为参数）.

2 2

x y

⑶椭圆2+ 2= 1

a b

的参数方程为

x t 3

例：已知直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为

1 3

，(t 为参数).以直角坐标系xOy 中的原点 y <3t ，

O 为 极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为2 4 cos 3 0 , (I)求I 的普通方程及C 的直角坐标方程； (n ) P 为圆C 上的点，求P 到I 距离的取值范围.

解：I 的普通方程,3x y 3 3 0， C 的直角坐标方程为x 2 y 2 4x 3 0.…4分

C 的标准方程为(x 2)2 y 2

1,圆心C(2，0)，半径为1，

点C 到I 的距离为d 23 0 3 3 出， ............................................ 6分

2 2

―P 到'距离的取值范围是[罟「罟1]. .....................................................................................

题型2:椭圆上的点到直线上的距离 (求椭圆上的动点到直线距离，参数方程形式切入) 例：在直接坐标系xOy 中，直线I 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为

(I )已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以x 轴正半轴为

n ..

极轴)中，点P 的极坐标为(4,-),判断点P 与直线I 的位置关系； 2

(II )设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线I 的距离的最小值. 解：(I )把极坐标系下的点P(4,—)化为直角坐标，得P ( 0, 4)。

2

因为点P 的直角坐标(0, 4)满足直线I 的方程x y 4 0，所以点P 在直线I 上, (II )点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(、、3cos ,sin

d 辰

s

2cos(厂6) 4

血cos(

-) 242 , V 2

V 2

6

由此得，当cos( -)

1时，d 取得最小值，且最小值为 2.

6

题型3:直线参数方程几何意义

)，从而点Q 到直线I 的距离为

sin

为参数)

x 3 —t,

例1 .在直角坐标系xoy 中，直线I 的参数方程为

2

_ (t 为参数)。在极坐标系(与直角坐

y 丽

2

标系xoy 取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为 2「5sin <

(I)求圆C 的直角坐标方程；

(U)设圆C 与直线I 交于点A B,若点P 的坐标为(3「5)，求|PA|+|PB| 。

【解析】(I)由 2 5sin 得 x 2 y 2

2. 5y 0,即 x 2 (y .5)2

5.

(U)将I 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3 -^t)2 ^2t)2 5，

即t 2 3.2t 4 0,由于

(3J2)2 4 4 2 0,故可设是上述方程的两实根，

所以t1 t2 3'2,又直线|过点P(3, . 5),故由上式及t 的几何意义得：

t 112

4

|PA|+|PB|= |t 1|+|t 2| = t 1+t 2= 3.2。

例题2.(龙岩一中月考)已知极点与原点重合，极轴与

x 轴的正半轴重合.若曲线G 的极坐标方程

为：5 2

3 2

cos2 8 0,直线•的参数方程为：

x 1 3t

( t 为参数).

y t

(I)求曲线G 的直角坐标方程；

(n)直线£上有一定点P(1,0)，曲线C 1

与f 交于M N 两点，求PM .PN 的值.

解：(I)由 5 2 3 2COS2 8 0 得 5 2 3 2(cos 2 sin 2 ) 8 0

即 5 2 3 2cos 2 3 2sin 2

8 0，从而 5(x 2 y 2) 3x 2 3y 2 8 0

2

整理得—y 2

1 ................................................. 3分

4

(n)把直线的参数方程代入到曲线 G 的直角坐标方程，得7t 2 2・「3t 3 0

3

12

地 -.由t 的几何意义知 PM . PN (2tJ(2t 2)

.. ...................... 7分