人教版九年级数学上册实际问题与二次函数

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人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)教案教学设计

4.练习：布置一定数量的练习题，巩固学生对最大利润问题的解决方法。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
6.课后作业：布置与最大利润问题相关的作业，让学生在课后进一步巩固所学知识。
教学评价：
1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度，积极思考、提问的表现。
2.作业完成情况：评价学生对最大利润问题解决方法的掌握程度。
（2）鼓励学生尝试用不同的方法解决同一问题，提高他们的思维灵活性和创新意识。
3.拓展作业：
（1）引导学生关注生活中的最大利润问题，如超市促销、工厂生产等，要求学生运用所学知识进行分析，并提出解决方案。
（2）鼓励学生查找相关资料，了解二次函数在其他领域的应用，如经济学、管理学等。
4.作业要求：
（1）要求学生在作业本上规范书写，保持卷面整洁。
4.通过对最大利润问题的探讨，培养学生的数感和运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作探究、解决问题的能力。
2.引导学生运用数学建模的思想，从实际问题中抽象出数学模型，提高学生的数学思维能力。
3.运用数形结合的方法，让学生在解决最大利润问题的过程中，深入理解二次函数的性质和图像。
（2）新课：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题让学生体会最大利润问题的解决方法。
（3）练习：设计不同难度的练习题，让学生在解决最大利润问题的过程中，巩固所学知识。
（4）总结：对本节课的重点知识进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点

人教版数学九年级上实际问题与二次函数

当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
3 0.5x2
x 6
这时水面的宽度为 2 6
∴当路
1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性
0.015 0.3
0.0045
你能说出r为多少时y最大吗？
图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2m，水
面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？
y
（2，2）
我们来比较一下
y
（0，0）
o
x
o （0，0）
（4，0） x
y （0，2）
谁最合适
（-2，-2）（2，-2）
（-2，2）
y
（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿
化带一边靠墙，另三边用总长为 40 m 的栅栏围住（如
下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为 y
m 2．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.
BA
（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
x b 2a
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大）值
y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际
意义，确定自变量的取值范围.
3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大
值或最小值.
5．运用新知，拓展训练
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙
h

4ac b2 4a

4 （3025）

2023-2024年人教版九年级上册数学期末实际问题与二次函数应用题专题训练(含答案)

2023-2024年人教版九年级上册数学期末实际问题与二次函数应用题专题训练1．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数．(1)当销售单价为80元时，求商场获得的利润；(2)若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？(3)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．2．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨元（为整数），每个月的销售利润为元．(1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；(2)每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？3．如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米．(1)分别用含的代数式表示与；(2)若，求的值；(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取最大值，最大值为多少？120y x =-+x x y y x x ABCD AB x ABCD S x BC S 54S =x 1.5x S4．某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量y （件）（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．(1)设商场销售该种商品每月获得利润为w （元），写出w 与x 之间的函数关系式；(2)如果商场想要销售该种商品每月获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？(3)为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该种商品，商场若销售新产品，每月销售量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品成本为每件22元，同时对商场的销售量每月不小于150件的商场，政府部门给予每件3元的补贴，试求定价多少时，新产品每月可获得销售利润最大？并求最大利润．5．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）．(1)求W 与x 之间的函数关系式；(2)该商家每天想获得1250元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？(3)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W 的最大值．6．某商店经销一种旅行包，已知这种旅行包的成本价为每个30元，物价部门规定这种旅行包的销售单价不得高于43元．市场调查发现，这种旅行包每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：．设这种旅行包每天的销售利润为w 元．(1)求w 与x 之间的函数解析式；(2)该商店销售这种旅行包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？(3)这种旅行包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？7．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第天（且为整数）时每盒成本为元，已知与之间满10500y x =-+y x 10400=-+y x W 60y x =-+x 115x ≤≤x p p x(1)求抛物线的解析式；(2)斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75面，且M点到水平地面的距离为2米，①通过计算说明：水流能不能刚好喷射到小树的顶部；(1)求水柱高度y与距离池中心的水平距离(2)求水柱落地点A到水池中心3.5m(3)若水池半径为，则喷头最大高度为(1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式；(2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；2.63.2(3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到(1)请确定这个抛物线的顶点坐标；(2)求抛物线的函数关系式；(3)张强这次投掷成绩大约是多少？17．某农场计划利用一片空地建一个矩形场地，其中一面靠墙，这堵墙的长度为16米，已知现有的篱笆长为40米，设与墙相连的矩形边长为x 米．(1)求这个矩形场地面积S （）与矩形边长为x 米的函数关系式并求出矩形长为x 的取值范围．(2)能否围成一个面积为的矩形场地?(3)求围成的矩形场地的最大面积?18．如图，小明计划利用一面墙（墙长11米）其它三面利用21米篱笆围成一个矩形．一侧有一木门，宽1米，若设，面积为．(1)求与之间的函数关系，直接写出自变量的取值范围；(2)若鸡舍面积为60平方米时，求的长？(3)长多少时，鸡舍面积最大？19．戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．设每盒售价降低元．(1)日销量可表示为____________盒，每盒口罩的利润为____________元(2)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．(3)如果每销售一盒口罩需支出元的相关费用，当时，商家日获利的最大值为420元，求的值．2m 2300m ABCD CD AB x =()2m y y x x AB AB x a ()02a <≤14x ≤≤a参考答案：1．(1)商场获得利润为800元(2)销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元(3)销售单价的范围是70≤x ≤842．(1)(2)当售价定为每件34元，每个月的利润最大，最大的月利润是1960元(3)当售价为每件32元，每个月的利润为1920元3．(1)(2)9(3)当时，有最大值4．(1)(2)2000元(3)当定价元时，新产品每月可获得销售利润最大值是元5．(1)(2)15元(3)2160元6．(1)(2)该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元；(3)当时，w 有最大值，最大值是221元．7．(1)(2)(3)第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元x ()21080180005y x x x =-++≤≤2333333BC x S x x=-=-+，8x =S 9621070010000w x x =-+-34.62402.52105004000,040 ;W x x x =-+-<≤2901800w x x =-+-43x =18p x =+()()2103201626192615x x w x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-++<≤⎪⎩。

数学人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数 PPT课件

x b 2a
时, 二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大）值 y 4ac b2 ． 4a
3．类比引入, 探究问题
用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地, 矩形面积 S
随矩形一边长ห้องสมุดไป่ตู้l 的变化而变化．当 l 是多少米时, 场地
的面积 S 最大?
解:
S
（60 2
l）l
,
整理后得 S l2 30l（0＜l＜30）．
2．探究二次函数利润问题
问题4 在降价情况下, 最大利润是多少? 请你参考上述的讨论, 自己得出答案．
由上面的讨论及现在的销售情况, 你知道应如何定价能使利润最大了吗?
三．探究3“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥, 当拱顶离水面 2 m时, 水面宽 4 m . 水面下降 1 m, 水面宽度增加多少?
（1）题目中有几种调整价格的方法? （2）当每件涨 1 元时, 售价是多少? 每星期销量是多少? 成本是多少? 销售额是多少? 利润呢? （3）最多能涨多少钱呢? （4）当每件涨 x 元时, 售价是多少? 每星期销量是多少? 成本是多少? 销售额是多少? 利润 y 呢?
2．探究二次函数利润问题
九年级上册
22.3 实际问题与二次函数
一．探究一 1.创设情境, 引出问题
从地面竖直向上抛出一小球, 小球的高度 h（单位: m）与小球的运动时间 t（单位: s）之间的关系式是
h= 30t - 5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时, 小
球最高? 小球运动中的最大高度是多少?
t
b 2a
y=（300-10x）（60+x）-40（300-10x ）
y 10x2 100x 6 000（0≤x≤30）．

人教版数学九年级上册实际问题与二次函数课件

对称轴：x=2；
3
对称轴：x=− ；
2
顶点坐标：(2，－9)；
顶点坐标：( − ，
最小值：－9；
3
2
最大值：
25
4
.
25
4
)；
新知探究
问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：m)与小球的运
动时间 t(单位：s)之间的关系式是h= 30t － 5t 2 (0≤t≤6)．小球的运动时间
是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
是多少？(铝合金型材宽度不计)
解：设矩形窗框的宽为x m，则高为
这里应有x＞0，
6−3
＞0，
2
6−3
m.
2
故0＜x＜2.
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：
=∙
6−3
2
x
例题探究
当 =

− 时，二次函数
2
值 =
4−2
．
4
y = ax 2 ＋ bx ＋ c 有最小(大)
h/m
=

−
2
=
30
−
2×(−5)
ℎ=
4−2
4
−302
4×(−5)
=
= 3，
40
= 45．
20
O
h= 30t － 5t 2 (0≤t≤6)
1
2 3
4
5 6 t/s
小球运动的时间是 3s 时，小球最高. 小球运动中的最大高度是 45 m．
墙长18m，这个矩形的长、宽
各为多少时，菜园的面积最大，问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？
则如何表示另一边？
最大面积是多少？

实际问题与二次函数(拱桥问题)课件人教版数学九年级上册

例2如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在1时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，求抛物线的关系式．
例3.如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB=18m．一同学站在门内，在离门脚点1m远的D处，垂直地面立起一根长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．根据这些条件，请你求出该大门的高h．
【分析】：把x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)代
入（1）中的函数关系式计算，结果与5比较即可判断.
（2）当x=6－0.5－2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时， y=4.5＜5 ∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆；
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6 米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
讲授新课
一利用二次函数解决实物抛物线形问题
合作探究
你能想出办法来吗？建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
•【分析】解决抛物线的问题，需要合理地建立平面直角坐标系，用二次函数的性质解答，建立直角坐标系的方法有多种，大体是以抛物线对称轴为y轴（包括顶点在原点），抛物线经过原点等等
例4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图1所示)．
第二十二章二次函数

人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数面积问题优秀教学案例

3.创设问题情境，引导学生主动探究，激发学生的学习兴趣。
4.结合学生的兴趣和经验，设计富有挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中，提高数学素养。
（二）问题导向
1.引导学生发现生活中的问题，将其转化为数学问题，激发学生的思考。
2.设计具有逻辑顺序的问题，引导学生逐步深入，提高学生的思维能力。
3.通过提问，引导学生反思自己的学习过程，培养学生的自我监控能力。
2.学生通过归纳总结，提高对二次函数的理解，为后续学习打下基础。
3.教师对学生的讨论成果进行点评，给予肯定和鼓励，增强学生的自信心。
（五）作业小结
1.布置具有代表性的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固课堂所学。
2.要求学生撰写作业心得，反思自己在解决问题过程中的优点和不足，提高自我监控能力。
3.通过解决实际问题，让学生进一步理解二次函数的图象与性质，提高学生的数学素养。
4.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。
（二）过程与方法
1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式来解决问题，培养学生的数学思维能力和团队合作能力。
2.利用多媒体教学手段，展示二次函数在实际问题中的应用，帮助学生建立直观的数学模型。
3.强调团队合作，让学生在合作交流中，培养良好的沟通能力和团队协作精神。
4.通过对实际问题的解决，使学生认识到数学与现实生活的紧密联系，提高学生的数.结合生活实际，设计具有代表性的例子，让学生在具体的情境中，感受到二次函数在实际问题中的应用。
2.利用多媒体手段，展示二次函数图象，使学生能够直观地理解二次函数的性质。
（三）学生小组讨论
1.学生分组讨论，每组选择一个实际问题进行研究，尝试运用二次函数的知识解决问题。

22.3 实际问题与二次函数(商品利润问题)课件人教版数学九年级上册

巩固练习
该怎么解这个题目呢？
本题是以文字信息形式出现的求最大总收入的实际应用问题，解题时要抓住题目中关键词语，对信息进行梳理，分析，建立二次函数模型。
新知探究知识点一：利润问题中的数量关系
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故 20-x≥0，且x≥0, 因此自变量的取值范围是 0≤x≤20.
新知探究知识点一：利润问题中的数量关系
③降价多少元时，利润y最大，是多少？即：y=-20x2+100x+6000，
复习回顾
利润问题一.几个量之间的关系. 1.总价、单价、数量的关系：总价＝单价×数量 2.利润、售价、进价的关系：利润＝售价－进价 3.总利润、单件利润、数量的关系：总利润＝单件利润×数量二.在商品销售中，通常采用哪些方法增加利润？
新课导入
某商店经营衬衫，已知获利以y(元)与销售单价x(元)之间满足关系式y=x2+24x+2956，则此店销售单价定为多少时，获利多少？最多获利多少？
巩固练习
解析总利润=单件产品利润×销售教量
解：（1）获利(30-20）[105-5（30-25）]=800（元)。 (2)设售价为每件x元时一个月的获利为y元。由题意得y=（x-20）［105-5（x-25）］ =-5x2+330x-4600 =-5（x-33）2+845 当x=33时，y的最大值是845. 故当售价定为每件33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。
新课导入
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大铸量等问题，解此类题的关健是通过题意，找出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围。

人教版数学九年级上册22.3实际问题与二次函数(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
4.二次函数图像与实际问题的联系，通过图像分析实际问题，求解最优解。
本节内容将结合具体案例，让学生在实际问题中理解和掌握二次函数的性质和应用，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括：
1.培养学生运用数学知识，特别是二次函数知识解决实际问题的能力，提高数学应用意识；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，它在生活中有着广泛的应用。它可以帮助我们解决最优化问题，如成本最小化、利润最大化等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个工厂的成本与生产数量之间的关系是二次函数，如何求解成本最小时的生产数量？通过这个案例，展示二次函数在实际中的应用。
在小组讨论环节，学生们的表现让我感到欣慰。他们能够围绕二次函数在实际生活中的应用展开讨论，并提出自己的观点。这说明他们在思考问题和解决问题的能力上有了很大的提升。但在引导讨论时，我意识到需要提出更具针对性和启发性的问题，以激发学生的思考和创新能力。
最后，总结回顾环节，学生们对今天的学习内容有了较好的掌握。但我也发现，仍有一些学生对二次函数的应用不够熟练。在今后的教学中，我会加强对这部分学生的辅导和关注，确保他们能够跟上教学进度。

人教版九年级上册数学课件 22.3实际问题与二次函数(共20张PPT)

合作探究达成目标
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为: 当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
合作探究达成目标
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x 轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:
思考：飞机从着陆的一瞬间开始计时，到滑行到最远距离停下来所用的时间即为所求，也就是使S取得什么值时的t的值？
解： s=60t-1.5t2
=-1.5(t-20)2+600
∴当t=20时，s最大，此时飞机才能停下来。
合作探究达成目标
探究点二用二次函数解决生活中的实际问题
实际问题
抽象转化
运用数学问题数学知识问题的解决
∵抛物线过点(0,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
合作探究达成目标
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
∴这时水面的宽度为: ∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
合作探究达成目标
“二次函数应用”的思路回顾上一节“最大利润”和本节“桥梁建筑”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性
总结梳理内化目标
达标检测反思目标
D B
y=-2x2
达标检测反思目标
102
感谢关注！
创设情境明确目标

人教版数学九年级上册2实际问题与二次函数课件(共20页)

分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来
确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖件，实际卖出
件,销额为
元，买进商品需付
元因此，所得利润为
元
10x
(300-10x)
(60+x)(300-10x)
40(300-10x)
巩固训练、拓展思维
某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成，为了坚固起见，每段护栏中需要间距4dm加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部5dm（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A、50m B、100m C、160m D、200m
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反应：每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出 18件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？
22.3 实际问题Байду номын сангаас二次函数
前置作业
问题1.对于二次函数 y ax2 bx c ,如
何求出它的最值呢？
y
x b 2a
x b
y
2a
O
x
O
x
如果a>0,当 x= b 时，如果a<0,当 x= b 时，
2a
2a
y有最小值 4ac b2
y有最大值 4ac b2
4a
4a
前置作业
问题2. 求出下列二次函数的最值。
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
即 y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)
y 10 x2 100 x 6000 (0≤X≤30)

人教版九年级数学上册《实际问题与二次函数(第1课时)》示范教学课件

实际问题与二次函数（第1课时）
一般地，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 可以通过配方法化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，即_______________________．因此，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是____________，顶点是_________________．
问题
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 y＝ax²．
解：以点 C 为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系（如图）．
y
x
(2，－4)
H
由图象知，抛物线过点(2，－4)， ∴－4＝a×22，a＝－1． ∴ y＝－x2．
装货宽度为 2 m，在图象上为 EF，
即F 点的横坐标为 1．
分析：画出函数 h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象（如图）．
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，
最当 a＞0(a＜0)时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点是最低（高）点，也就是说，当时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有最小（大）值．
当 x＝1 时，y＝－1，即 CG＝1 m． ∵大门的顶部 C 离地面高度为 4 m， ∴CH＝4 m． ∴GH＝4－1＝3 m＞2.5 m． ∴这辆汽车能顺利通过大门．
(2，－4)
抛物线型实际问题
一般步骤
抛物线型运动问题
抛物线型建筑问题
建
设
求
y
O
x
方法 3：以抛物线和水面的两个交点的连线为 x 轴，以抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系（如图）．

人教版九年级数学上册2实际问题与二次函数(第3课时)课件

① 根据题意建立适当的平面直角坐标系. ② 把已知条件转化为点的坐标. ③ 合理设出函数的解析式. ④ 利用待定系数法求出函数解析式. ⑤ 利用求得的关系式进一步分析，并进行有关的判断.
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
随堂练习
练习1
有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在坐标系中，则抛物线的解析式为( C )
A
B
C
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
随堂练习
解：建立如右图所示的直角坐标系.这时绳子所成抛物线的对称轴是y轴，所以可设它的函数解析式为y=ax2+k.
由题意知B(1，2.5)，C(– 0.5，1)在抛物线上，
所以
a k 2.5 0.25a k
， 1
解得
a k
典型例题
如图，河上有一座抛物线形隧道，已知桥下的水面离桥拱顶部
3 m时，水面宽AB为6 m，当水位上升0.5 m时：
（1）求此时水面的宽度CD为多少米？
y
解：(1)建立如图所示的直角坐标系，
E
D
C
B
A
则点E(0，3)，A(3，0)，B(– 3,0)
设抛物线的解析式为y=ax2+k. 把点E，点A坐标代入到抛物线
问题
4. 经历了建模来解决实际生活中的问题，体会函数知识的实际应用价值，感受
数学与人类生活的密切联系.
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
视察与思考
跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线.那么抛物线解析式是什么呢？
y y
O
x

人教版九年级上册数学期末实际问题与二次函数应用题专题训练(含答案)

(1)求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)当销售单价定为多少时，最大，最大为多少元？
(3)销售期间，为了确保获利不低入36000元，直接写出该花生销售价格的范围．
10．合肥某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价为25元/件时，每天的销售量是150件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
(1)求该款T恤4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销回馈顾客，销售利润不超过30%．经试验，发现该款T恤在6月份销售量的基础上，每降价1元，月销售量就会增加20件．如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？
16．某商场销售一种成本为每件20元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．
(1)求y与x的函数解析式
(2)求出当x是多少时，利润y有最大值，最大值是多少？
2．某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，当每瓶售价为10元时，日均销售量为560瓶．经市场调查表明，每瓶售价每增加元，日均销售量减少40瓶．
(1)当每㼛售价为11元时，日均销售量为______瓶；
(2)当每㼛售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
(1)当每月获利5250元时，求此时每顶头盔的售价；
(2)当每顶头盔售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
9．直播扶贫助农已经成为10万淘宝主播共同的公益事业．为切实提高农民的收入，推动贫困乡村脱贫致富，在明星直播间销售花生．已知该花生的成本为8元/kg，销售量与销售单价（元/kg）的函数关系如图所示，销售获利为元．
6．(1) ，详见解析
(2)售价定为70元/千克时，最大利润是1800元

2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第22章实际问题与二次函数(第2课时)教案

22.3实际问题与二次函数（第2课时）一、教学目标【知识与技能】能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题.【过程与方法】再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力.【情感态度与价值观】进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣.二、课型新授课三、课时第2课时，共3课时。

四、教学重难点【教学重点】用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.【教学难点】根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课出示课件2：在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.如繁华的商业城中很多人在买卖东西.如果你去买商品，你会选哪一家呢？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？（二）探索新知探究利润问题中的数量关系出示课件4：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是元，销售利润元.学生独立思考后口答：18000；6000教师问：利润问题中有哪些数量关系?学生答：（1）销售额=售价×销售量；（2）利润=销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价.出示课件5：例1某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？学生在教师的引导下分析：①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.②教师问：自变量x的取值范围如何确定？（出示课件6）学生答：营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30.③教师问：涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？学生答：y=-10x2+100x+6000，当10052(10)x=-=⨯-时,y=-10×52+100×5+6000=6250.即定价65元时，最大利润是6250元.出示课件7：例2某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？学生在教师的引导下分析：①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，即y=-18x2+60x+6000.②教师问：自变量x的取值范围如何确定？（出示课件8）学生答：营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20.③教师问：涨价多少元时，利润最大，是多少？学生答：即：y=-18x2+60x+6000，当6052(18)3x=-=⨯-时,25518()606000605033y=-⨯+⨯+=综合可知，应定价65元时，才能使利润最大.出示课件9：例3某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？学生在教师的引导下分析：①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每月利润（元）正常销售涨价销售建立函数关系式：y=(10+x)(180-10x),即：y=-10x2+80x+1800.②教师问：自变量x的取值范围如何确定？（出示课件10）学生答：营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x≥0，因此自变量的取值范围是x≤18.③教师问：涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？学生答：y=-10x2+80x+1800=-10(x-4)2+1960.当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.出示课件11：教师总结：求解最大利润问题的一般步骤：（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”.（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.出示课件12：巩固练习：某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?学生独立思考后自主解决.解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则y=(x+30-20)(400-20x)=-20x2+200x+4000=-20(x-5)2+4500.∴当x=5时，y最大=4500.答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元.出示课件13,14,15,16：例4某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？解：由题意得：当40≤x≤50时，Q=60(x－30)=60x－1800.∵y=60>0，Q随x的增大而增大，∴当x最大=50时，Q最大=1200.答：此时每月的总利润最多是1200元.（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？解：当50≤x≤70时，设y与x函数关系式为y=kx+b,∵线段过(50，60)和(70，20).∴y=－2x+160（50≤x≤70）.∴Q=(x－30)y=(x－30)(－2x+160)=－2x2+220x－4800=－2(x－55)2+1250(50≤x≤70).∵a=－2＜0，图象开口向下，∴当x=55时，Q最大=1250.∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.⑶若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价与当月的销售量各是多少？解：∵当40≤x≤50时，Q最大=1200＜1218.当50≤x≤70时，Q最大=1250＞1218.∴售价x应在50~70元之间.因此令－2(x－55)2+1250=1218,解得：x1=51，x2=59.当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160=58(件),当x2=59时，y2=－2x+160=－2×59+160=42(件).∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.出示课件17，18,19：变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例题的分析、解答，直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式；并说明，当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？师生共同分析后解答.解：Q与x的函数关系式为：由例4可知：若40≤x≤50，则当x=50时，Q最大=1200,若50≤x≤70，则当x=55时，Q最大=1250.∵1200＜1250∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x 的取值范围；师生共同分析后解答.解：①当40≤x≤50时，∵Q最大=1200＜1218，∴此情况不存在.②当50≤x≤70时，Q最大=1250>1218，令Q=1218，得－2(x－55)2+1250=1218.解得x1=51，x2=59.由Q=－2(x－55)2+1250的图象和性质可知:当51≤x≤59时，Q≥1218.因此若该商品所获利润不低于1218元，则售价x的取值范围为51≤x≤59.（3）在（2）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？师生共同分析后解答.解：由题意得解得：51≤x≤53.∵Q=－2(x－55)2+1250的顶点不在51≤x≤53范围内，又∵a=－2＜0，∴当51≤x≤53时，Q随x的增大而增大.∴当x最大=53时，Q最大=1242.∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.出示课件20：巩固练习：某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个.(1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_______元，这种篮球每月的销售量是个(用x的代数式表示).(2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球的售价应定为多少元?学生独立思考后自主解答.⑴x+10，500-10x⑵800元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，此时篮球的售价为70元.（三）课堂练习（出示课件21-27）1.某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为______件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．2.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为元.3.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为.每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为.(以上关系式只列式不化简）.4.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？5.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax²+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？参考答案：1.解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件），（2）由题意得：y=（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]=﹣10x2+1100x﹣28000=﹣10（x﹣55）2+2250.∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．2.253.y=2000-5(x-100)；w=[2000-5(x-100)](x-80)4.解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]=(10+2x)(84－4x)=－8x2+128x+840=－8(x－8)2+1352.当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352元.5.解：(1)由图可以看出：二次函数y=ax+bx-75过点（5,0），（7,16）,将两点坐标代入解析式即可求得：(1)y=-x2+20x-75，即y=-（x-10）2+25.∵-1<0,对称轴x=10,∴当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元.(2)显然，当y=16时，x=7和13.因为函数y=-x+20x-75图象的对称轴为x=10，因此，点（7,16）关于对称轴的对称点为（13,16）,故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元.（四）课堂小结1.通过本节课的学习，你有什么收获？2.对于由二次函数的性质求最大利润问题，你认为有哪些需要注意的？（五）课前预习预习下节课（22.3第3课时）的相关内容.七、课后作业1教材习题22.3第2、8题.2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时教学与上一课时基本相同，所不同的是教学时应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生相互交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线表达式，在这一过程中让学生体验探究发现的快乐，体会数学的最优化思考.。

人教版九年级上册数学课件22.3 实际问题与二次函数(共15张PPT)

小结反思
将实际问题转化为数学问题建立适当的平面直角坐标系求二次函数的解析式得出实际问题的答案
课时作业（二十）
y= （ 300-10）x 60+（x -40）300-10x （
）
y 10x2 100x 6 000（0≤x≤30）．
（6）这是一个什么函数？自变量取值范围是什么？这个函数有最大值吗？
问题3 x = 5 是在自变量取值范围内吗？为什么？如果计算出的 x 不在自变量取值范围内，怎么办？
问题4 在降价情况下，最大利润是多少？请你参考上述的讨论，自己得出答案．
人教版九年级上册第二十二章
22.3.实际问题与二次函数
y
y
x
O
y ax2 (a 0)
y
x
O
y ax2 c(a 0)
y
O
h
y a(x h)2 (a 0)
k
x
O
h
x
y a(x h)2 k(a 0)
图中是抛物线形拱桥，x当拱顶离水面 2 m时，水面宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
如图所示，有一座抛物线形拱桥，在正常水位AB时，
水面宽20米，水位上升3米，就达到警戒线CD,这时水
面宽为10米。
（1）求抛物线形拱桥的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以
每小时0.2米的速度上升，
从警戒线开始，再持续多少
C
D
小时就能达到拱桥顶？
A
B
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出300 件．市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？