傅里叶分析实验报告
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六，实验结论及误差分析
结论：傅里叶级数对于各种具有周期性的波具有广泛的适用性，通过傅里叶级数可以将若干个谐波合成一个方波或三角波，也可以将一个三角波或方波分解成若干个具有一定规律特性的谐波。另外，低频体现大体结构，高频体现细节。
误差分析：
1.语音识别中，周围环境产生的不确定的低频噪声，干扰了正常的识别。
由此可知，傅里叶分析仪中的标准三角波与图一中实验得到三角波在前三个正弦波中频率比与振幅比是吻合的，且符合傅里叶公式。
2.滤波与选频分析：对上述（4）傅里叶分析的频谱，分别选择低频段和高频段信号通过傅里叶反变换，观察它们图像并导出保存，试分析低通滤波和高通滤波图像的区别
图11:傅里叶分析仪导出的三角波高通滤波图像
图八：傅里叶分析仪产生的三角波图
图九：图三中加法器产生方波的频率与相对强度数据
图十：傅里叶分析仪产生三角波的频率与相对强度数据
图十中傅里叶分析仪产生的三角波前三个频率基本符合1:3:5，振幅满足振幅比为：1:1/32:1/52；图九中显示加法器的前三个频率分别为256.4，769.2，1282.1符合频率1:3:5，且振幅满足振幅比为：1:1/32:1/52；
2.滤波与选频分析：
对上述（4）傅里叶分析的频谱，分别选择低频段和高频段信号通过傅里叶反变换，观察它们图像并导出保存，试分析低通滤波和高通滤波图像的区别
3.周期信号傅里叶分析的应用：
（1）“脉搏信号”的傅里叶分析
1）用傅里叶分析仪软件中提供的“脉搏信号”模块和压电晶体测试自己脉搏波的信号，观察你的脉搏信号。
图12:傅里叶分析仪导出的三角波低通滤波图像
图13:傅里叶分析仪导出的方波低通滤波图像
图14:傅里叶分析仪导出的方波高通滤波图像
从上四图可看出无论是三角波还是方波，低通滤波图像都体现出对应波形的大致形象，而从高通滤波的合成图中可看出高通图的振幅都偏小，且波动非常强烈。这正符合傅里叶分析中高次项振幅小，低次项振幅大的特征，且印证了低频波主要决定了叠加波的大致形状，而高频波主要修饰边界，让边界趋于平直的特点。
2.脉搏实验的误差比较大，仪器的影响以及人类脉搏的跳动变化不是完全相同的，实验经常会得不到周期性的图像。
3.从图一的频谱分析中发现的部分低频可知，加法器与傅里叶分析仪产生方波与三角波时，内部电路也会产生一些干扰波。
图五：傅里叶分析仪产生的方波图
图六：图一中加法器产生方波的频率与相对强度数据
图七：傅里叶分析仪产生方波的频率与相对强度数据
图七中傅里叶分析仪产生的三角波前三个频率基本符合1:3:5，振幅满足振幅比为：1:1/3:1/5；图六中显示加法器的前三个频率分别为106.7，320.0，533.3符合频率1:3:5，且振幅满足振幅比为：1:1/3:1/5；由此可知，傅里叶分析仪中的标准方波与图一中实验得到方波在前三个正弦波中频率比与振幅比是吻合的，且符合傅里叶公式。
3）将滤波后的图像与原图像作对比，你能作何结论？
（3）语音信号的傅里叶分析与识别
1）用傅里叶分析仪软件提供的“语音信号”模块，通过外置麦克风采集语音信号，并选择合适的频段，记录该频段语音信号的傅里叶分析频谱。
2）利用“选择频谱”功能，滤除噪声频率后，进行频率合成；将合成后的结果与1）中采集的原语音信号对比，为语音识别打下基础。
3.周期信号傅里叶分析的应用：
（1）“脉搏信号”的傅里叶分析
用傅里叶分析仪软件中提供的“脉搏信号”模块和压电晶体测试自己脉搏波的信号，观察你的脉搏信号。选择完整的周期信号进行频谱分析，并选择合适的频段，测量其中心频率。
图15:自己的脉搏波信号
图16:自己的脉搏波信号频率与相对强度信号
从图15可看出测得脉搏波周期明显，波谷大致相等。由图16数据可得脉搏的中心频率数据为1.8，可计算出每分钟心跳108次符合正常范围。故认为测得的频率合理。
7、利用软件中提供的“长时语音”模块，通过外置麦克风采集一段语音信号，并观察傅里叶分析频谱实时频谱变化。
对比时域图和合成图，合成图是滤除低频噪音后的音域图，可发现音波的大致走向变化不大，但波峰明显被削弱。再次录入一段相同的声音后，语音识别系统通过对比波形得出的效果是80%可以认为是一个人的声音。
上图即为长时间语音与Βιβλιοθήκη Baidu傅里叶分析频谱实时频谱变化。
图23:低通滤波——光字
图24:高通滤波——光字
从图23与图24可看出低通有大体形状，但边框模糊且对光字中间的小点几乎不可见；高通内部填充颜色缺失但边缘及中间小点清晰。
图25:低通滤波——箭头
图26:高通滤波——箭头
从图25与图26可看出低通有大体形状，但边框模糊；高通大体不明显，但边框清晰。
图像信号的傅里叶分析总结：在上面四个例子中，再次证明了低频体现大体结构，高频体现细节的傅里叶特性。另外，实验中还探究了取不同频率区间如矩形（在这里没有截图）的滤波图。频谱图中越靠近中间频率越高。如果取长＊宽＝50*100，相比于50*50则滤波图呈现出来的是横方向主体结构更清晰，且边缘轮廓分明，纵向上无区别。长＊宽＝100*50，则纵向上有提升。另外，如果取长＊宽＝100*100，则滤波图与原图差别就会比较小。这些从两种维度上证明了证明了低频体现大体结构，高频体现细节的傅里叶特性。
其傅里叶级数展开为：
图1方波图2三角波
从以上各式可知，任何周期信号都可以表示为无限多次谐波的叠加，谐波次数越高，振幅越小，它对叠加波的贡献就越小，当小至一定程度时(谐波振幅小于基波振幅的5%)，则高次的谐波就可以忽略而变成有限次数谐波的叠加，这对设计仪器电路是很有意义的。
实验内容
1、傅里叶级数的合成
（3）语音信号的傅里叶分析与识别
1）用傅里叶分析仪软件提供的“语音信号”模块，通过外置麦克风采集语音信号，并选择合适的频段，记录该频段语音信号的傅里叶分析频谱。
2）利用“选择频谱”功能，滤除噪声频率后，进行频率合成；将合成后的结果与1）中采集的原语音信号对比，为语音识别打下基础。
3）利用软件提供的“语音识别”模块，通过麦克风采集两次相同或不同元音的信号，重复上述过程，分别记录两次频谱的分布，并利用“语音识别”模块体验语音识别功能。
（1）利用数字信号发生器产生频率分别为100Hz、300Hz、500Hz的正弦信号，并使其位相相同，振幅比为：1:1/3: 1/5,将上述三个信号，分别通过加法器输入到傅里叶分析仪，观察并记录其波形。
（2）利用数字信号发生器产生方波，输入到傅里叶分析仪，并将其与上述合成后的信号相比较。两者有何差异？试分析引起的原因，应如何消除？
3）利用软件提供的“语音识别”模块，通过麦克风采集两次相同或不同元音的信号，重复上述过程，分别记录两次频谱的分布，并利用“语音识别”模块体验语音识别功能。
7、利用软件中提供的“长时语音”模块，通过外置麦克风采集一段语音信号，并观察傅里叶分析频谱实时频谱变化。
五、数据处理与分析
1、傅里叶级数的合成
（1）利用数字信号发生器产生频率分别为100Hz、300Hz、500Hz的正弦信号，并使其位相相同，振幅比为：1:1/3: 1/5,将上述三个信号，分别通过加法器输入到傅里叶分析仪，观察并记录其波形。利用数字信号发生器产生方波，输入到傅里叶分析仪，并将其与上述合成后的信号相比较。两者有何差异？试分析引起的原因，应如何消除？
班级:姓名:学号:实验日期:
一、实验名称脉搏、语音及图像信号的傅里叶分析
二、实验目的
1、了解常用周期信号的傅里叶级数表示。
2、了解周期脉搏信号、语音信号及图像信号的傅里叶分析过程
3、理解体会傅里叶分析的理论及现实意义
三、实验仪器
脉搏语音实验仪器，数字信号发生器，示波器
四、实验原理
1、周期信号傅里叶分析的数学基础
2）选择完整的周期信号进行频谱分析，并选择合适的频段，测量其中心频率。
3）你深呼吸后，重复上述实验，请比较两次中心频率的变化。
（2）图像信号的傅里叶分析
1）用傅里叶分析仪软件提供的“图片分析”模块，分别选择图片“双缝干涉”、“彩色十字”、“光字”以及“箭头”进行空域的傅里叶频谱分析。
2）分别选择低通和高通滤波器进行滤波，记录所用滤波器的参数并将滤波后的图片导出保存。
图18:低通滤波数据
图19:高通滤波——双缝干涉
图20:高通滤波数据（以下的高通低通数据都如图18与图20，不再重复出现）从图17与图19可看出低通有大体形状，但边框模糊；高通大体不明显，但边框清晰。
图21:低通滤波——彩十字
图22:高通滤波——彩十字
从图21与图22可看出低通有大体形状，但边框模糊且对中间彩色条纹渐变部分即原图的模糊部分影响不大；高通大体不明显，但边框清晰。
（2）利用数字信号发生器产生频率分别为200Hz、600Hz、1000Hz的正弦信号,振幅比为：1:1/32:1/52，并且保证其相位相差180°，然后通过加法器输入到傅里叶分析仪，观察并记录其波形，并与数字信号发生器产生的三角波相比较。 图三：三个信号输入加法器后的波形
图四：数字信号发生器产生的三角波
（2）图像信号的傅里叶分析
用傅里叶分析仪软件提供的“图片分析”模块，分别选择图片“双缝干涉”、“彩色十字”、“光字”以及“箭头”进行空域的傅里叶频谱分析。分别选择低通和高通滤波器进行滤波，记录所用滤波器的参数并将滤波后的图片导出保存。将滤波后的图像与原图像作对比，你能作何结论？
图17:低通滤波——双缝干涉
图一：三个信号输入加法器后的波形
图二：数字信号发生器产生的方波
比较图一图二的时域图可发现图一的波峰上仍有一些波纹。由傅里叶公式，一个方波应由无穷多个正弦波的叠加。在图一中实验只取出前三个低频的正弦波进行叠加，因为低频决定轮廓，高频决定细节，所以图一体现出方波的轮廓。要消除这些，需要增加后面的高频项。
（3）利用数字信号发生器产生频率分别为200Hz、600Hz、1000Hz的正弦信号,振幅比为：1:1/32:1/52，并且保证其相位相差180°，然后通过加法器输入到傅里叶分析仪，观察并记录其波形，并与数字信号发生器产生的三角波相比较。
（4）利用傅里叶分析仪分别产生方波与三角波，进行傅里叶分析，记录各正弦波频率以及相对的幅度之间的关系，并与上述加法器输入信号相比较。
任意一个周期为T的函数f(t)都可以表示为傅里叶级数：
其中 为角频率，称为基频， 为常数， 和 称为第n次谐波的幅值。任何周期性非简谐交变信号均可用上述傅里叶级数进行展开，即分解为一系列不同次谐波的叠加。
对于如图1所示的方波，一个周期内的函数表达式为:
其傅里叶级数展开为：
同理：对于如图2所示的三角波，函数表达式为：
比较图三图四的时域图可发现图三的波峰与波谷处比较圆缓。由傅里叶公式，一个三角波应由无穷多个正弦波的叠加。在图三中实验只取出前三个低频的正弦波进行叠加，因为低频决定轮廓，高频决定细节，所以图三体现出方波的轮廓，具体的细节比如波峰波谷处的角度由后面的高频项体现。
（4）利用傅里叶分析仪分别产生方波与三角波，进行傅里叶分析，记录各正弦波频率以及相对的幅度之间的关系，并与上述加法器输入信号相比较。
结论：傅里叶级数对于各种具有周期性的波具有广泛的适用性，通过傅里叶级数可以将若干个谐波合成一个方波或三角波，也可以将一个三角波或方波分解成若干个具有一定规律特性的谐波。另外，低频体现大体结构，高频体现细节。
误差分析：
1.语音识别中，周围环境产生的不确定的低频噪声，干扰了正常的识别。
由此可知，傅里叶分析仪中的标准三角波与图一中实验得到三角波在前三个正弦波中频率比与振幅比是吻合的，且符合傅里叶公式。
2.滤波与选频分析：对上述（4）傅里叶分析的频谱，分别选择低频段和高频段信号通过傅里叶反变换，观察它们图像并导出保存，试分析低通滤波和高通滤波图像的区别
图11:傅里叶分析仪导出的三角波高通滤波图像
图八：傅里叶分析仪产生的三角波图
图九：图三中加法器产生方波的频率与相对强度数据
图十：傅里叶分析仪产生三角波的频率与相对强度数据
图十中傅里叶分析仪产生的三角波前三个频率基本符合1:3:5，振幅满足振幅比为：1:1/32:1/52；图九中显示加法器的前三个频率分别为256.4，769.2，1282.1符合频率1:3:5，且振幅满足振幅比为：1:1/32:1/52；
2.滤波与选频分析：
对上述（4）傅里叶分析的频谱，分别选择低频段和高频段信号通过傅里叶反变换，观察它们图像并导出保存，试分析低通滤波和高通滤波图像的区别
3.周期信号傅里叶分析的应用：
（1）“脉搏信号”的傅里叶分析
1）用傅里叶分析仪软件中提供的“脉搏信号”模块和压电晶体测试自己脉搏波的信号，观察你的脉搏信号。
图12:傅里叶分析仪导出的三角波低通滤波图像
图13:傅里叶分析仪导出的方波低通滤波图像
图14:傅里叶分析仪导出的方波高通滤波图像
从上四图可看出无论是三角波还是方波，低通滤波图像都体现出对应波形的大致形象，而从高通滤波的合成图中可看出高通图的振幅都偏小，且波动非常强烈。这正符合傅里叶分析中高次项振幅小，低次项振幅大的特征，且印证了低频波主要决定了叠加波的大致形状，而高频波主要修饰边界，让边界趋于平直的特点。
2.脉搏实验的误差比较大，仪器的影响以及人类脉搏的跳动变化不是完全相同的，实验经常会得不到周期性的图像。
3.从图一的频谱分析中发现的部分低频可知，加法器与傅里叶分析仪产生方波与三角波时，内部电路也会产生一些干扰波。
图五：傅里叶分析仪产生的方波图
图六：图一中加法器产生方波的频率与相对强度数据
图七：傅里叶分析仪产生方波的频率与相对强度数据
图七中傅里叶分析仪产生的三角波前三个频率基本符合1:3:5，振幅满足振幅比为：1:1/3:1/5；图六中显示加法器的前三个频率分别为106.7，320.0，533.3符合频率1:3:5，且振幅满足振幅比为：1:1/3:1/5；由此可知，傅里叶分析仪中的标准方波与图一中实验得到方波在前三个正弦波中频率比与振幅比是吻合的，且符合傅里叶公式。
3）将滤波后的图像与原图像作对比，你能作何结论？
（3）语音信号的傅里叶分析与识别
1）用傅里叶分析仪软件提供的“语音信号”模块，通过外置麦克风采集语音信号，并选择合适的频段，记录该频段语音信号的傅里叶分析频谱。
2）利用“选择频谱”功能，滤除噪声频率后，进行频率合成；将合成后的结果与1）中采集的原语音信号对比，为语音识别打下基础。
3.周期信号傅里叶分析的应用：
（1）“脉搏信号”的傅里叶分析
用傅里叶分析仪软件中提供的“脉搏信号”模块和压电晶体测试自己脉搏波的信号，观察你的脉搏信号。选择完整的周期信号进行频谱分析，并选择合适的频段，测量其中心频率。
图15:自己的脉搏波信号
图16:自己的脉搏波信号频率与相对强度信号
从图15可看出测得脉搏波周期明显，波谷大致相等。由图16数据可得脉搏的中心频率数据为1.8，可计算出每分钟心跳108次符合正常范围。故认为测得的频率合理。
7、利用软件中提供的“长时语音”模块，通过外置麦克风采集一段语音信号，并观察傅里叶分析频谱实时频谱变化。
对比时域图和合成图，合成图是滤除低频噪音后的音域图，可发现音波的大致走向变化不大，但波峰明显被削弱。再次录入一段相同的声音后，语音识别系统通过对比波形得出的效果是80%可以认为是一个人的声音。
上图即为长时间语音与Βιβλιοθήκη Baidu傅里叶分析频谱实时频谱变化。
图23:低通滤波——光字
图24:高通滤波——光字
从图23与图24可看出低通有大体形状，但边框模糊且对光字中间的小点几乎不可见；高通内部填充颜色缺失但边缘及中间小点清晰。
图25:低通滤波——箭头
图26:高通滤波——箭头
从图25与图26可看出低通有大体形状，但边框模糊；高通大体不明显，但边框清晰。
图像信号的傅里叶分析总结：在上面四个例子中，再次证明了低频体现大体结构，高频体现细节的傅里叶特性。另外，实验中还探究了取不同频率区间如矩形（在这里没有截图）的滤波图。频谱图中越靠近中间频率越高。如果取长＊宽＝50*100，相比于50*50则滤波图呈现出来的是横方向主体结构更清晰，且边缘轮廓分明，纵向上无区别。长＊宽＝100*50，则纵向上有提升。另外，如果取长＊宽＝100*100，则滤波图与原图差别就会比较小。这些从两种维度上证明了证明了低频体现大体结构，高频体现细节的傅里叶特性。
其傅里叶级数展开为：
图1方波图2三角波
从以上各式可知，任何周期信号都可以表示为无限多次谐波的叠加，谐波次数越高，振幅越小，它对叠加波的贡献就越小，当小至一定程度时(谐波振幅小于基波振幅的5%)，则高次的谐波就可以忽略而变成有限次数谐波的叠加，这对设计仪器电路是很有意义的。
实验内容
1、傅里叶级数的合成
（3）语音信号的傅里叶分析与识别
1）用傅里叶分析仪软件提供的“语音信号”模块，通过外置麦克风采集语音信号，并选择合适的频段，记录该频段语音信号的傅里叶分析频谱。
2）利用“选择频谱”功能，滤除噪声频率后，进行频率合成；将合成后的结果与1）中采集的原语音信号对比，为语音识别打下基础。
3）利用软件提供的“语音识别”模块，通过麦克风采集两次相同或不同元音的信号，重复上述过程，分别记录两次频谱的分布，并利用“语音识别”模块体验语音识别功能。
（1）利用数字信号发生器产生频率分别为100Hz、300Hz、500Hz的正弦信号，并使其位相相同，振幅比为：1:1/3: 1/5,将上述三个信号，分别通过加法器输入到傅里叶分析仪，观察并记录其波形。
（2）利用数字信号发生器产生方波，输入到傅里叶分析仪，并将其与上述合成后的信号相比较。两者有何差异？试分析引起的原因，应如何消除？
3）利用软件提供的“语音识别”模块，通过麦克风采集两次相同或不同元音的信号，重复上述过程，分别记录两次频谱的分布，并利用“语音识别”模块体验语音识别功能。
7、利用软件中提供的“长时语音”模块，通过外置麦克风采集一段语音信号，并观察傅里叶分析频谱实时频谱变化。
五、数据处理与分析
1、傅里叶级数的合成
（1）利用数字信号发生器产生频率分别为100Hz、300Hz、500Hz的正弦信号，并使其位相相同，振幅比为：1:1/3: 1/5,将上述三个信号，分别通过加法器输入到傅里叶分析仪，观察并记录其波形。利用数字信号发生器产生方波，输入到傅里叶分析仪，并将其与上述合成后的信号相比较。两者有何差异？试分析引起的原因，应如何消除？
班级:姓名:学号:实验日期:
一、实验名称脉搏、语音及图像信号的傅里叶分析
二、实验目的
1、了解常用周期信号的傅里叶级数表示。
2、了解周期脉搏信号、语音信号及图像信号的傅里叶分析过程
3、理解体会傅里叶分析的理论及现实意义
三、实验仪器
脉搏语音实验仪器，数字信号发生器，示波器
四、实验原理
1、周期信号傅里叶分析的数学基础
2）选择完整的周期信号进行频谱分析，并选择合适的频段，测量其中心频率。
3）你深呼吸后，重复上述实验，请比较两次中心频率的变化。
（2）图像信号的傅里叶分析
1）用傅里叶分析仪软件提供的“图片分析”模块，分别选择图片“双缝干涉”、“彩色十字”、“光字”以及“箭头”进行空域的傅里叶频谱分析。
2）分别选择低通和高通滤波器进行滤波，记录所用滤波器的参数并将滤波后的图片导出保存。
图18:低通滤波数据
图19:高通滤波——双缝干涉
图20:高通滤波数据（以下的高通低通数据都如图18与图20，不再重复出现）从图17与图19可看出低通有大体形状，但边框模糊；高通大体不明显，但边框清晰。
图21:低通滤波——彩十字
图22:高通滤波——彩十字
从图21与图22可看出低通有大体形状，但边框模糊且对中间彩色条纹渐变部分即原图的模糊部分影响不大；高通大体不明显，但边框清晰。
（2）利用数字信号发生器产生频率分别为200Hz、600Hz、1000Hz的正弦信号,振幅比为：1:1/32:1/52，并且保证其相位相差180°，然后通过加法器输入到傅里叶分析仪，观察并记录其波形，并与数字信号发生器产生的三角波相比较。 图三：三个信号输入加法器后的波形
图四：数字信号发生器产生的三角波
（2）图像信号的傅里叶分析
用傅里叶分析仪软件提供的“图片分析”模块，分别选择图片“双缝干涉”、“彩色十字”、“光字”以及“箭头”进行空域的傅里叶频谱分析。分别选择低通和高通滤波器进行滤波，记录所用滤波器的参数并将滤波后的图片导出保存。将滤波后的图像与原图像作对比，你能作何结论？
图17:低通滤波——双缝干涉
图一：三个信号输入加法器后的波形
图二：数字信号发生器产生的方波
比较图一图二的时域图可发现图一的波峰上仍有一些波纹。由傅里叶公式，一个方波应由无穷多个正弦波的叠加。在图一中实验只取出前三个低频的正弦波进行叠加，因为低频决定轮廓，高频决定细节，所以图一体现出方波的轮廓。要消除这些，需要增加后面的高频项。
（3）利用数字信号发生器产生频率分别为200Hz、600Hz、1000Hz的正弦信号,振幅比为：1:1/32:1/52，并且保证其相位相差180°，然后通过加法器输入到傅里叶分析仪，观察并记录其波形，并与数字信号发生器产生的三角波相比较。
（4）利用傅里叶分析仪分别产生方波与三角波，进行傅里叶分析，记录各正弦波频率以及相对的幅度之间的关系，并与上述加法器输入信号相比较。
任意一个周期为T的函数f(t)都可以表示为傅里叶级数：
其中 为角频率，称为基频， 为常数， 和 称为第n次谐波的幅值。任何周期性非简谐交变信号均可用上述傅里叶级数进行展开，即分解为一系列不同次谐波的叠加。
对于如图1所示的方波，一个周期内的函数表达式为:
其傅里叶级数展开为：
同理：对于如图2所示的三角波，函数表达式为：
比较图三图四的时域图可发现图三的波峰与波谷处比较圆缓。由傅里叶公式，一个三角波应由无穷多个正弦波的叠加。在图三中实验只取出前三个低频的正弦波进行叠加，因为低频决定轮廓，高频决定细节，所以图三体现出方波的轮廓，具体的细节比如波峰波谷处的角度由后面的高频项体现。
（4）利用傅里叶分析仪分别产生方波与三角波，进行傅里叶分析，记录各正弦波频率以及相对的幅度之间的关系，并与上述加法器输入信号相比较。