求反比例函数的表达式
反比例函数反比例函数的图象与性质
在匀速运动中，速度与时间成反比例 关系。通过给定的速度和时间条件， 可以建立反比例函数求解相关问题。
变速运动
在某些变速运动问题中，速度可能与 位移或时间成反比例关系。根据具体 条件建立反比例函数模型，可以求解 变速运动的相关问题。
浓度问题求解
溶液稀释
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶 液的体积成反比例关系。通过给定的 溶质质量和溶液体积条件，可以建立 反比例函数求解相关问题。
题目6
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 与反比例函数 y = m/x (m ≠ 0) 的图象交于 A、B 两点 ，且点 A 的坐标为 (2, 1)，则不等式 kx + b > m/x 的解集为 _______．
历年中考真题回顾
题目7
(2019年中考)已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 的图象上有 两点 A(x1, y1)，B(x2, y2)，且 x1 < 0 < x2，则 y1 _______ y2．(填“>”、“<”或“=”)
与一次函数关系比较
相似之处
两者都是线性函数，具有直线型的图象。
不同之处
一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，一次函数的斜率是常数，而反比 例函数的斜率则随着x的变化而变化。
与二次函数关系比较
相似之处
两者都是非线性函数，具有曲线型的图象。
不同之处
二次函数的图象是一个抛物线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，二次函数的对称 轴是y轴或x轴，而反比例函数的对称中心是原点。
06
练习题及解析
基础知识练习题
03
题目1
已知反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的图象 经过点 (2, -3)，则 k 的值为 _______．
反比例函数知识点总结
反比例函数的定义：
(1)判定一个函数为反比例函数的条件：
①所给等式是形如y＝k
x或y＝kx-1或xy＝k的等式；
②比例系数k是常数，且k≠0.
(2)y是x的反比例函数⇔函数解析式为y＝k
x或y＝kx-1或xy＝k (k为常数，k≠0)．
求反比例函数的表达式，就是确定反比例函数表达式
y ＝k
x(k≠0)中常数k的值，它一般需经历：“设→代→求→还原”这四步．
即：(1)设：设出反比例函数表达式y＝k
x（k≠0）；
(2)代：将所给的数据代入函数表达式；
(3)求：求出k的值；
(4)还原：写出反比例函数的表达式．
要点分析：由于反比例函数的表达式中只有一个待定系数k，因此求反比例函数的表达式只需一组对应值或一个条件即可
反比例函数图象
图象的画法：
(1)反比例函数的图象是双曲线；
(2)画反比例函数的图象要经过“列表、描点、连线”这三个步骤．
对称性：
双曲线既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．
对称轴有两条，分别是直线y＝x与直线y＝－x；
对称中心是坐标原点，任何一条经过原点的直线只要与双曲线有两个交点，则这两个交点关于原点对称．
反比例函数的图象性质
反比例函数中k的几何性质：
过双曲线y＝k
x(k≠0) 上任一点向两坐标轴作垂线所得的矩形面积等于|k|；
过双曲线y＝k
x(k≠0) 上任一点向一坐标轴作垂线且与原点连线所得的三角形面积等于
2
1
|k|.。
求反比例函数表达式及交点(教案)
-在将实际问题转化为数学模型时，教师应引导学生如何从问题中抽象出关键信息，并示范如何构建方程组。
-在分析交点位置关系时，教师应提供足够的图形示例，帮助学生建立起空间想象力和几何直观。
-对于代数运算的难点，教师可以通过步骤分解、反复练习和错题分析等方式，帮助学生掌握运算技巧，提高解题效率。
求反比例函数表达式及交点（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版八年级下册第十章《反比例函数及其图象》：求反比例函数表达式及交点。教学内容主要包括以下两部分：
1.反比例函数的定义：y = k/x（k为常数，k ≠ 0），以及其图象的性质。
2.求解反比例函数与一次函数（或其他反比例函数）的交点：
（1）列出方程组：将两个函数的表达式设置为相等，得到关于x和y的方程组。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“反比例函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在今后的教学中，我会根据这次教学反思的结果，对教学方法进行调整。例如，增加课堂互动，让学生更多地进行实际操作；加强对学生的观察，及时发现并解决他们在学习中的问题；注重培养学生的口语表达和逻辑思维能力等。希望通过这些努力，能够提高学生对反比例函数及其交点的求解的理解和应用能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调反比例函数的定义和求解交点这两个重点。对于难点部分，如求解方程组，我会通过具体例题和步骤分解来帮助大家理解。
反比例函数及其图象
常数$k$。
02
当$k > 0$时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限；当 $k < 0$时，反比例函数的图像分 布在第二象限和第四象限。
反比例函数的性质
反比例函数是奇函数，因为对于 任意实数$x$，都有$f(-x) = f(x)$。
当$x$趋向于正无穷或负无穷时， $f(x)$趋向于0，但永远不会等
解决工程问题
材料强度与横截面积的关系
在材料力学中，材料的强度与横截面积成反比关系。这意味着当横截面积增大时，材料的强度减小； 反之，当横截面积减小时，材料的强度增大。这一关系对于设计工程结构和选择材料非常重要。
机械效率与摩擦力的关系
在机械系统中，机械效率与摩擦力之间存在反比例关系。随着摩擦力的增加，机械效率会降低；反之 ，随着摩擦力的减小，机械效率会提高。在设计机械系统时，了解这一关系有助于提高机械设备的效 率和性能。
当 $k < 0$ 时，函数 图像位于第二象限和 第四象限。
当 $k > 0$ 时，函数 图像位于第一象限和 第三象限。
解析式的求解
求函数值
将 $x$ 的值代入解析式中，即可求 得 $y$ 的值。
求未知数
通过已知的点或方程组，可以求出 $k$ 的值或确定函数的表达式。
解析式的应用
解决实际问题
反比例函数可以用于解决 一些实际问题，如电流与 电阻、速度与距离等关系 的问题。
当$k>0$时，反比例函数的图像 分布在第一象限和第三象限，且 随着$x$的增大，$y$的值逐渐减 小。
$k<0$时
当$k<0$时，反比例函数的图像 分布在第二象限和第四象限，且 随着$x$的增大，$y$的值逐渐增 大。
03 反比例函数的解析式
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结反比例函数知识点总结1.反比例函数的定义一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
它可以从以下几个方面来理解：⑴ x是自变量，y是x的反比例函数；⑵自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值的取值范围是y≠0；⑶比例系数k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式：① y=k/x（k≠0）；② y=kx^-1（k≠0）；③ xy=k（定值）（k≠0）；⑸函数y=k/x（k≠0）与函数x=k/y（k≠0）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。
当k=0时，y=k/x就不是反比例函数了。
2.用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y=k/x（k≠0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
3.反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例函数的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
4.反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表所示：反比例函数 y=k/x（k≠0） k的符号 k>0 k0 y0时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
初中数学 反比例函数的极限如何计算
初中数学反比例函数的极限如何计算在初中数学中，我们可以通过极限的定义来计算反比例函数的极限。
具体而言，我们需要求解反比例函数当自变量趋近于某个特定值时的函数值。
反比例函数的一般形式是y = k/x，其中k 是一个非零常数。
1. 求解反比例函数的极限：反比例函数y = k/x 的极限可以通过极限的定义来计算。
根据极限的定义，当自变量x 趋近于某个特定值a 时，我们需要求解函数在该点的函数值。
当x 趋近于a 时，我们可以将x 替换为a + h，其中h 是一个无限接近于零的数。
然后，我们计算函数在a + h 点的函数值。
这样，反比例函数的极限就可以表示为：lim (x→a) (k/x) = lim (h→0) (k/(a+h))2. 计算反比例函数的极限：我们可以通过对反比例函数进行一些代数运算来计算极限。
具体而言，我们可以将极限表达式的分子和分母同乘以某个表达式，以便得到一个更容易计算的形式。
例如，对于反比例函数y = k/x，我们可以将极限表达式的分母同乘以(a+h)，得到：lim (h→0) (k/(a+h)) = lim (h→0) (k*(a+h)/(a+h))这样，我们可以将极限表达式的分母化简为(a+h)，使得极限的计算更加容易。
然后，我们将h 替换为零，计算极限的值：lim (h→0) (k*(a+h)/(a+h)) = k*a/a = k因此，反比例函数y = k/x 的极限为k，无论a 的取值如何。
举例说明：假设我们有反比例函数y = 3/x，我们可以计算该函数在x = 2 时的极限。
根据极限的定义，我们将x 替换为2 + h，其中h 是一个无限接近于零的数。
然后，我们计算函数在2 + h 点的函数值。
lim (x→2) (3/x) = lim (h→0) (3/(2+h))我们将极限表达式的分母同乘以(2+h)，得到：lim (h→0) (3/(2+h)) = lim (h→0) (3*(2+h)/(2+h))化简分母，得到：lim (h→0) (3*(2+h)/(2+h)) = 3*2/2 = 3因此，反比例函数y = 3/x 在x = 2 时的极限为3。
反比例函数表达式的三种形式
反比例函数表达式的三种形式
反比例函数是一种特殊的函数，其表达式可以有三种形式，标
准形式、一般形式和直线方程形式。
1. 标准形式，反比例函数的标准形式可以表示为 y = k/x，其
中 k 是一个非零常数。
在标准形式中，y 和 x 是函数的变量，k
是比例常数，表示 y 和 x 的乘积的比例。
2. 一般形式，反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/(ax +
b)，其中 k、a 和 b 都是非零常数。
一般形式中，除了比例常数 k，还引入了两个常数 a 和 b，用于调整函数的斜率和截距。
3. 直线方程形式，反比例函数的直线方程形式可以表示为 xy
= k，其中 k 是一个非零常数。
直线方程形式中，将反比例函数转
化为直线的乘积形式，其中 x 和 y 的乘积保持不变。
这三种形式都可以用来表示反比例函数，选择使用哪种形式取
决于具体的问题和需要。
无论使用哪种形式，反比例函数都具有一
个特点，即当一个变量增大时，另一个变量会相应地减小，它们之
间的乘积保持不变。
反比例函数概念与性质
反比例函数概念与性质反比例函数的概念与性质一、反比例函数的概念1.反比例函数可以写成y=k/x的形式，其中自变量x的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数。
2.反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
3.反比例函数的自变量不能为0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
二、反比例函数的图象1.在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。
2.反比例函数的图象是双曲线。
随着k的增大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；随着k的减小，图象的弯曲度越大。
3.反比例函数的图象与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。
当k>0时，图象的两支分别位于第一、第三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于第二、第四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4.反比例函数的图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。
5.反比例函数的k值的几何意义是：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B 点，则矩形PBOA的面积是k；如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积也是k。
6.反比例函数的增减性需要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
7.直线y=k与双曲线y=k/x的关系：当k>0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称；当k=0时，两图象有一个公共点O；当k<0时，两图象没有交点。
8.反比例函数与一次函数的联系：当k=0时，反比例函数变为一次函数y=0.求反比例函数的解析式的方法主要有三种：待定系数法、反比例函数k的几何意义、实际问题。
四、反比例函数解析式的确定一、反比例函数的定义：反比例函数是指函数表达式为y=k/x的函数，其中k为非零常数。
6.3反比例函数的应用
∴所求函数表达式为 =
△ABC的面积为62 .
12
,
例1 设△ABC中BC边的长为x(cm),BC上的高线AD为y(cm),△ABC的
面积为常数,已知y关于x的函数图象过点(3,4).
(2)画出函数的图象,并利用图象,求当2 < < 8时y的取值范围.
解:
∵ > 0,∴图象在第一象限.用描点法
的平均速度至少应是多少? 300÷5=60(km/h)
(5)已知汽车的平均速度最大可达80km/h,那么他从甲地到乙地最
快需要多长时间? 300÷80=3.75(h)
的图象都经过点(1,1)
2
若一次函数 = 2 − 1和反比例函数 =
1
(1)求反比例函数的解析式. =
(2)已知点A在第三象限,且同时在两个函数的图象上,求点A的坐标.
点A(-2,0),与y轴交于点C,与反比例函数 = 在第一象限内的图象交于点
B(m,n),连结OB,若Δ = 6, Δ0 = 2.
y
(1)求一次函数表达式.
B
(2)求反比例函数表达式.
1.因为Δ = 6, Δ0 = 2.
所以△BOC =6-2=4.
∴可求出点C(0,4)(为什么?)
(3)如果要求矩形的长不小于8cm,其宽最多为多少?
(1) =
20
>0
20
5
(2)把y=12代入 = 中得 =
3
20
把x=4代入 = 中得 = 5(cm)
20
(3) =
> 0 ,此反比例函数图象在第一象限,y随x的增大而减小,如果矩
九年级数学上册专训1求反比例函数表达式的六种方法
2020-2021学年
专训1 求反比例函数表达式的六种方法
名师点金：求反比例函数的表达式，关键是确定比例系数k的值．求比例系数k的值，可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解，可以根据图象中点的坐标求解，可以直接根据数量关系列表达式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法．
利用反比例函数的定义求表达式
1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数表达式．
利用反比例函数的性质求表达式
2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的表达式．
利用反比例函数的图象求表达式
3．【2020·广安】如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y ＝(k≠0)的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为(0，2)，OA＝OB，B是线段AC的中点．求：
(1)点A的坐标及一次函数表达式；
(2)点C的坐标及反比例函数表达式．
(第3题)
利用待定系数法求表达式
4．已知y1与x成正比例，y2与x成反比例，若函数y＝y1＋y2的图象经过点(1，2)，，求y与x的函数表达式．
利用图形的面积求表达式
5．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C，D两点在x轴上，若矩
形ABCD的面积为6，求B点所在双曲线对应的函数表达式．
(第5题)。
反比例函数ppt课件
数学
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▶▶ 典型例题
【例2】已知y是x的反比例函数,且当x=3时,y=8.
(1)求出y与x之间的函数关系式;
(2)当y=-12时,求x的值.
数学
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▶▶ 典型例题
思路点拨:(1)利用反比例函数的定义,设y= ,然后把x=3,y=8代入求出k.从
而得到反比例函数解析式;
(2)把y=-12代入(1)中的解析式中计算出x的值即可.
1.下列函数是反比例函数的是 (
2
A.y=
)
B.y=2
2.函数y=xk-1是反比例函数,则k=(
A.0
A
B.1
A
2
C.y= 2
2
D.y=
+2
C.2
D.3
)
数学
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▶▶ 对应练习
3.下列关系式中,y是x的反比例函数的是
A.y=
1
B.y= 2
1
C.y=
2+1
D.-2xy=1
(
D
)
(2)解:∵其中一个菱形的一条对角线长为6 cm,
48
∴另一条对角线长为 =8(cm),
6
∴这个菱形的边长为
6 2
2
+
8 2
=5(cm),
2
∴这个菱形的边长为5 cm.
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北师大版 九年级数学上册
1
解析:A项,y= (k≠0),不符合题意;B项,y= 2 ,是y与x2成反比例,不符合题意;
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结反比例函数知识点归纳知识点1 反比例函数的定义反比例函数是指形如 y = k/x（k为常数，k≠0）的函数。
其中，自变量x的取值范围为x≠的一切实数，而函数值y的取值范围为y≠0.知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数只有一个待定系数k，因此只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，有两个分支，分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，与原点对称。
由于自变量x≠，函数值y≠，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点。
画反比例函数的图像应该先列表，再描点，最后用光滑的曲线连接。
知识点4 反比例函数的性质反比例函数的图像位置与函数值的增减情况与k的符号有关。
当k>0时，函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当k<0时，函数图像的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大。
反比例函数的图像位置和函数的增减性由反比例函数系数k的符号决定。
在每个象限内，当k>0时，y随x的增大而减小；当k0.反比例函数y=k/x中，k的几何意义可以通过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线，得到矩形OEPF的面积S=k=xy=x*y=PF*PE。
在反比例函数y=k/x中，k越大，双曲线y=k/x越小，离坐标原点越远；k越小，双曲线y=k/x越大，离坐标原点越近。
双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=-x。
练题：1、反比例函数是y=k/x，其中k≠0.2、函数y1=kx和y2=1/2x的图象如下所示，自变量x的取值范围相同的是第四象限。
3、函数y=m/x和y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是第一象限和第三象限。
4、反比例函数y=k/x的图象的两个分支分别位于第一象限和第三象限。
求反比例函数表达式的六种方法
故yD′＝6，∴D′(3，6)． ③如图，当四边形ACD″B为平行四边形时，AC＝BD″且 AC∥BD″.∵A(3，4)，B(6，2)，C(6，0)． ∴xD″－xB＝xC－xA即xD″－6＝6－3，故xD″＝9. yD″－yB＝yC－yA即yD″－2＝0－4，故yD″＝－2. ∴D″(9，－2)．综上所述，符合条件的点D的坐标是(3， 2)或(3，6)或(9，－2)．
∴22＋42＋(x－2)2＋42＝x2，解得 x＝10.∴E(5，4)． ∵反比例函数 y＝kx(k＞0，x＞0)的图象经过点 E， ∴k＝5×4＝20. 【答案】B
6．某运输队要运300 t物资到江边防洪． (1)运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间有怎 样的函数关系？ 解：由已知得 vt＝300. ∴t 与 v 之间的函数表达式为 t＝30v0(v＞0)．
(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在 2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？ 解：运了一半物资后还剩 300×1－12＝150(t)， 150÷2＝75(t/h)． ∵剩下的物资要在 2 h 之内运到江边，∴运输速度 至少为 75 t/h.
解：把点 A(3，4)的坐标代入 y＝kx(x＞0)，得 k＝xy＝ 3×4＝12，故该反比例函数的表达式为 y＝1x2(x＞0)． ∵点 C(6，0)，BC⊥x 轴，∴把 x＝6 代入 y＝1x2， 得 y＝162＝2.则 B(6，2)． 综上所述，k 的值是 12，B 点的坐标是(6，2)为平行四边形，试写出符合条件的所有 D 点的坐标．
人教版 七年级上
第26章 反比例函数
求反比例函数表达式的六种方法
习题链接
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2020届中考数学冲刺复习专题：反比例函数(含答案)
2020届中考数学冲刺复习专题：反比例函数1．如图，已知反比例函数y 1＝的图象与一次函数y 2＝k 2x +b 的图象在第一象限交于A （1，3），B （3，m ）两点，一次函数的图象与x 轴交于点C ． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当x 为何值时，y 2＞0？（3）已知点P （0，a ）（a ＞0），过点P 作x 轴的平行线，在第一象限内交一次函数y 2＝k 2x +b 的图象于点M ，交反比例函数y 1＝的图象于点N ．结合函数图象直接写出当PM ＞PN 时a 的取值范围．2．如图，过原点的直线y 1＝mx （m ≠0）与反比例函数y 2＝（k ＜0）的图象交于A 、B 两点，点A 在第二象限，且点A 的横坐标为﹣1，点D 在x 轴负半轴上，连接AD 交反比例函数图象于另一点E ，AC 为∠BAD 的平分线，过点B 作AC 的垂线，垂足为C ，连接CE ，若AD ＝2DE ，△AEC 的面积为．（1）根据图象回答：当x 取何值时，y 1＜y 2； （2）求△AOD 的面积；（3）若点P 的坐标为（m ，k ），在y 轴的轴上是否存在一点M ，使得△OMP 是直角三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．定义：若实数x ，y ，x '，y '满足x ＝kx '+2，y ＝ky '+2（k 为常数，k ≠0），则在平面直角坐标系xOy中，称点（x，y）为点（x'，y'）的“k值关联点”．例如，点（3，0）是点（1，﹣2）的“1值关联点”．（1）在A（2，3），B（1，3）两点中，点是P（1，﹣1）的“k值关联点”；（2）若点C（8，5）是双曲线y＝（t≠0）上点D的“3值关联点”，求t的值和点D的坐标；（3）设两个不相等的非零实数m，n满足点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，求点F到原点O的距离的最小值．4．如图，直线y＝ax+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝4，点A的坐标为（﹣4，0）．（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，过点Q作QH⊥x轴于点H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．5．如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．（1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标；（2）如图（2），当k＝8时，分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′两点的坐标；（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．6．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，4）．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点C；（3）对于一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0），当随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写过程）．7．如图①，M，N为矩形ABCD一组邻边AD，CD上两点，若＝＝m，则称M，N为邻边AD，CD上的一对共轭点，m为这两点的共轭系数．如图②，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC的一组邻边分别交于点M，N．（1）求证：M，N为BC，BA上的一对共轭点；＝8．求M，N的共轭系数；（2）若M（1，4），S四边形ONBM（3）若B（8，6），把△BMN沿MN翻折得△B′MN，当B′在ON上时，求M，N的共轭系数．8．如图，点A，B分别在x轴，y轴上，过A，B作AB垂线，交反比例函数y＝（k＞0，x ＞0）的图象于D，C，四边形ABCD为矩形，CF⊥y轴于F，DE⊥x轴于E，CF＝a，BF＝b，OA＝x，OB＝y．（1）求证：AE＝a．（2）请写出两个不同的关于a，b，x，y的关系式．（3）求证：∠OAB＝45°．9．正方形ABCD的顶点A（1，1），点C（3，3），反比例函数y＝（x＞0）．（1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y＝（x＞0）的关系式；（2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′，边A'B'在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E，①求△A'EF的面积；②如图3，x轴上一点P，是否存在△PEF是等腰三角形，若存在直接写出点P坐标，若不存在明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于A（2，4），B（n，﹣2）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点C是第一象限内反比例函数图象上的一点，且点C在A的右侧，过点C作CD平行于y轴交直线AB于点D，若以C为圆心，CD长为半径的⊙C恰好与y轴相切，求点C 的坐标．11．如图，如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，1）和B（1，﹣3）．（1）填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，求出点P的坐标．12．在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线y＝（x＞0）经过点A（2，2），记双曲线与两坐标轴之间的部分为G（不含双曲线与坐标轴）．（1）求k的值；（2）求G内整点的个数；（3）设点B（m，n）（m＞3）在直线y＝2x﹣4上，过点B分别作平行于x轴y轴的直线，交双曲线y＝（x＞0）于点C、D，记线段BC、BD、双曲线所围成的区域为W，若W内部（不包括边界）不超过8个整点，求m的取值范围．13．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．（1）求一次函数y＝kx+b和y＝的表达式；（2）在x轴上是否存在一点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（3）反比例函数y＝（1≤x≤4）的图象记为曲线C1，将C1向右平移3个单位长度，得曲线C2，则C1平移至C2处所扫过的面积是（直接写出答案）．14．如图，已知直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数y＝图象上，过点B作BF⊥OC，垂足为F，设OF＝t．（1）求∠ACO的正切值；（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；（3）已知直线y＝2x+2与反比例函数y＝图象都经过第一象限的点D，联结DE，如果DE⊥x轴，求m的值．15．如图1，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，3），反比例函数y＝（k＜0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，BC于E，F（E，F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A，D 重合．（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长； ②若折叠后点D 落在矩形ABOC 内（不包括边界），求线段CE 长度的取值范围． （2）若折叠后，△ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点D 的坐标．16．如图是反比例函数的图象，点A （a ，b ），C （c ，d ）分别在图象的两支上，以AC为对角线作矩形ABCD 且AB ∥x 轴．（1）当线段AC 过原点时，分别写出a 与c ，b 与d 的一个等量关系式； （2）当A 、C 两点在直线y ＝x +2上时，求矩形ABCD 的周长； （3）当AB ＝BC 时，探究a 与c 的数量关系．17．如图，一次函数y 1＝k 1x +4与反比例函数y 2＝的图象交于点A （2，m ）和B （﹣6，﹣2），与y 轴交于点C ．（1）k 1＝ ，k 2＝ ； （2）根据函数图象知，①当y 1＞y 2时，x 的取值范围是 ； ②当x 为 时，y 2＞﹣2x ．（3）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP 与线段AD 交于点E ，当S 四边形ODAC ：S △ODE ＝4：1时，求点P 的坐标．（4）点M 是y 轴上的一个动点，当△MBC 为直角三角形时，直接写出点M 的坐标．18．如图1，在平面直角坐标系中，放置有一个Rt △ABC ，顶点A 与原点O 重合，边AC 与x 轴重合，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，反比例函数y ＝的图象分别与AB 和BC 交于点D 、E ，且此时点D 恰为AB 的中点．（1）求反比例函数的表达式及点E 的坐标；（2）连接DE ，在x 轴上存在一点P ，可使得△DEP 成为以DE 为腰的等腰三角形，试求出所有符合条件的点P 的坐标；（3）如图2，保持反比例函数图象不变，将△ABC 沿x 轴向左平移，使得点E 成为BC 的中点，求此时点D 的坐标．19．如图，反比例函数y ＝（x ＞0）过点A （3，4），直线AC 与x 轴交于点C （6，0），交y 轴于点E ，过点C 作x 轴的垂线BC 交反比例函数图象于点B ．（1）求k的值与B点的坐标；（2）将直线EC向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点E'时，直线交x轴于点F．请判断点B是否在直线EF上并说明理由；（3）在平面内有点M，使得以A、B、F、M四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合条件的所有M点的坐标．20．已知直线y＝2x+b与反比例函数y＝的（k＞0）图象交于点A，过点A作AB⊥x轴于点B，点D为线段AC的中点，BD交y轴于点E，（1）若k＝8，且点A的横坐标为1，求b的值；（2）已知△BEC的面积为4，则k的值为多少？（3）若将直线旋转，k＝8，点E为△ABC的重心且OE＝2，求直线AC的解析式．参考答案1．解：（1）∵反比例函数的图象过点A（1，3），∴，∴k1＝3，∴反比例函数表达式为：；∵点B（3，m）在函数的图象上，∴，∴B（3，1）．∵一次函数y2＝k2x+b的图象过点A（1，3），B（3，1），∴，解得，∴一次函数的表达式为：y2＝﹣x+4；∴反比例函数和一次函数的表达式分别为，y2＝﹣x+4．（2）∵当y2＝0时，﹣x+4＝0，x＝4，∴C（4，0），由图象可知，当x＜4时，y2＞0．（3）如图，由图象可得，当1＜a＜3时，PM＞PN．2．解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，∴点A，点B关于原点对称，∴点B的横坐标为1，∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；（2）连接OC，OE，由图象知，点A，点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴OC＝AB＝AO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC为∠BAD的平分线，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∴S△AEO ＝S△ACE＝，∵AD＝2DE，∴AE＝DE，∴S△AOD ＝2S△AOE＝3；（3）作EF⊥x轴于F，作AH⊥x轴于H，则EF∥AH，∵AD＝2DE，∴DE＝EA，∵EF∥AH，∴＝＝1，∴DF＝FH，∴EF是△DHA的中位线，∴EF＝AH，∵S△OEF ＝S△OAH＝﹣，∴OF•EF＝OH•HA，∴OH＝OF，∴OH＝HF，∴DF＝FH＝HO＝DO，∴S△OAH ＝S△ADO＝3＝1，∴﹣＝1，∴k＝﹣2，∴y＝﹣，∵点A在y＝﹣的图象上，∴把x＝﹣1代入得，y＝2，∴A（﹣1，2），∵点A在直线y＝mx上，∴m＝﹣2，∴P（﹣2，﹣2），在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，则OM＝2，∴点M的坐标为（0．﹣2）；当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，∴OM＝2PG＝4，∴点M的坐标为（0．﹣4）；综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．3．解：（1）若点A（2，3）是P（1，﹣1）的“k值关联点”，∴k＝≠，不合题意，若点B（1，3）是P（1，﹣1）的“k值关联点”，∴k＝＝＝﹣1，符合题意，故答案为：B；（2）设点D坐标为（x，y），∵点C（8，5）是点D的“3值关联点”，∴∴∴点D坐标为（2，1），∵点D是双曲线y＝（t≠0）上点，∴t＝2×1＝2；（3）∵点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，∴，∴m2n+mn2﹣2n＝2n2m﹣2m，∴（m﹣n）（mn+2）＝0，∵m≠n，∴mn＝﹣2，∴m＝，∵（m﹣n）2≥0，∴m2+n2﹣2mn≥0，∴m2+n2≥2mn，∴m2+n2＝+n2≥2×n×＝4，∴点F到原点O的距离＝＝，∴点F到原点O的距离的最小值为2．4．解：（1）把A（﹣4，0）代入y＝ax+2，得，﹣4a +2＝0，解得a ＝， 故直线AB 的解析式为y ＝x +2， 把y ＝4代入y ＝x +2，得，x +2＝4， 解得x ＝4， ∴点P （4，4）．把P （4，4）代入y ＝，得k ＝16， 故双曲线的解析式为y ＝；（2）把x ＝0代入y ＝x +2，得y ＝2， ∴点B 的坐标为（0，2）， ∴OB ＝2， ∵A （﹣4，0）， ∴OA ＝4， 设Q （m ，），则CH ＝m ﹣4，QH ＝，由题意可知∠AOB ＝∠QHC ＝90°， 当△AOB ∼△QHC 时，，即，解得：m 1＝2+2，m 2＝2﹣2（不合题意，舍去）， ∴点Q 的坐标为（2+2，4﹣4），当△BOA ∼△QHC 时，，即，解得m 1＝8，m 2＝﹣4（不合题意，舍去）， ∴点Q 的坐标为（8，2）． 综上可知，点Q 的坐标为（2+2，4﹣4）或（8，2）．5．解：（1）如图，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，则∠AED ＝90°．∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ODC+∠EDA＝90°．∵∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠EDA＝∠OCD，在△AED和△DOC中，∴△AED≌△DOC（AAS），∴OD＝EA＝5，∴点D的纵坐标为5；（2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，设OD′＝a，OC′＝b，同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E，∴C′N＝OD′＝A′M＝a，B′N＝C′O＝D′M＝b，∴A′（a，a+b），B′（a+b，b），∵点A′、B′在反比例函数y＝的图象上，∴a（a+b）＝8，b（a+b）＝8，∴解得a＝b＝2或a＝b＝﹣2（舍去），∴A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）；（3）设直线A′B′的解析式为y＝mx+n，把A′（2，4），B′（4，2）代入得，解得，∴直线A′B′解析式为y＝﹣x+6，同样可求得直线C′D′解析式为y＝﹣x+2，由（2）可知△OCD是等腰直角三角形，设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m），当A点在直线C′D′上时，则2m＝﹣m+2，解得m＝，此时点A的坐标为（，），∴k＝×＝；当点D在直线A′B′上时，有m＝6，此时点A的坐标为（6，12），∴k＝6×12＝72；综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为≤x≤72．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∵B（4，1），C（4，4），∴BC⊥x轴，AD＝BC＝3，而A点坐标为（1，0），∴点D的坐标为（1，3）．∵反比例函数y＝（x＞0）的函数图象经过点D（1，3），∴3＝，∴m＝3，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）当x＝4时，y＝kx+4﹣4k＝4k+4﹣4k＝4，∴一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点C；（3）设点P的横坐标为a，∵一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）过C点，并且y随x的增大而增大时，∴k＞0，P点的纵坐标要小于4，横坐标大于4，当纵坐标小于4时，∵y＝，∴＜3，解得：a＞1，则a的范围为a＞1或a＜4．7．解：（1）∵点M，N是反比例函数y＝图象上的点，∴BC•AN＝CM•AB，∴，∴，∴M，N为BC，BA上的一对共轭点；（2）如图，连接OM，ON，∵M（1，4），∴k＝1×4＝4，OC＝4，∴反比例函数解析式为：y ＝， ∴S △CMO ＝S △OAN ＝2，∴S 矩形ABCO ＝S △CMO +S △OAN +S 四边形ONBM ＝12， ∵CO ＝4， ∴BC ＝3， ∴BM ＝BC ﹣CM ＝2， ∴m ＝；（3）如图，延长BC 至D ，使得MD ＝BM ，过点D 作DF ⊥x 轴于F ，交NO 的延长线于点E ，∵点B （8，6）∴AB ＝CO ＝6，BC ＝AO ＝8， ∵AN •AO ＝CM •CO ， ∴，∴AN ＝CM ， ∴＝，设BN ＝3x ，BM ＝4x ，则DM ＝4x ， ∵把△BMN 沿MN 翻折得△B ′MN ， ∴BM ＝B 'M ，∠B ＝∠MB 'N ＝90°，在Rt △DME 和Rt △B 'ME 中，DM ＝B 'M ＝BM ，EM ＝EM ， ∴Rt △DME ≌Rt △B 'ME （HL ）， ∴∠DME ＝∠EMB '， ∴∠EMN ＝90°，∴∠DME +∠BMN ＝90°，且∠BMN +∠BNM ＝90°， ∴∠DME ＝∠MNB ，且∠B ＝∠D ＝90°，∴△DME∽△BNM，∴∴DE＝x，∵∠EOF＝∠AON，∠NAO＝∠EFO＝90°，∴△EFO∽△NAO，∴，∴∴x＝0（舍去），x＝，∴BN＝，AN＝6﹣BN＝，∴m＝＝．8．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，CF⊥y轴于F，DE⊥x轴于E，∴∠BFC＝∠ABC＝∠BAD＝∠AED＝90°，BC＝AD，∴∠CBF+∠ABO＝∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠CBF＝∠OAB，∵∠BAO+∠DAE＝∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠BAO＝∠ADE，∴∠CBF＝∠ADE，∴△BCF≌△DAE（AAS），∴AE＝CF＝a；（2）解：由（1）知，BF＝DE＝b，∵OA＝x，OB＝y，∴C（a，b+y），D（a+x，b），∵点D，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，∴a（b+y）＝b（a+x）＝k，即ay＝bx①；∵∠BFC＝∠AOB＝90°，∠CBF＝∠BAO，∴△CBF∽△BAO，∴，∴＝②；（3）解：由（2）中的①÷②得，x2＝y2，∵x＞0，y＞0，∴x＝y，∴OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°．9．解：（1）∵点A（1，1），点C（3，3），∴点D（1，3），将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3，故反比例函数表达式为：y＝；（2）平移后点A′、B′、C′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2），则平移后点E纵坐标为3，则点E（3，1），同理点F（，2），△A'EF的面积＝S正方形A′B′C′D′﹣S△A′B′E﹣S△A′D′F﹣S△EFC′＝2×2×2×﹣2×1﹣××1＝；（3）点E、F的坐标分别为：（3，1）、（，2），设点P（m，0），则EF2＝（3﹣）2+（2﹣1）2＝，EP2＝（m﹣3）2+1，PF2＝（m﹣）2+4，当EF＝EP时，即＝（m﹣3）2+1，解得：m＝或；当EF＝PF时，同理可得：m＝；当EP＝PF时，同理可得：m＝，故点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．10．解：（1）∵A（2，4），B（n，﹣2）在反比例函数y＝（m≠0）的图象上，∴m＝2×4＝8，﹣2＝，∴n＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：y＝；∵一次函数y＝kx+b过A（2，4），B（n，﹣2），∴，∴，∴一次函数解析式为：y＝x+2；（2）设点C（a，），则点D（a，a+2），∴CD＝a+2﹣，∵以C为圆心，CD长为半径的⊙C恰好与y轴相切，∴a＝a+2﹣∴a＝4，∴点C（4，2）．11．解：（1）∵点A（m，1）和B（1，﹣3）在反比例函数的图象上，∴k＝1×（﹣3）＝﹣3，k＝m×1，∴m＝﹣3，∴点A（﹣3，1），∴反比例函数解析式为：y＝；∵一次函数y＝﹣x+b过点B（1，﹣3），∴﹣3＝﹣1+b，∴b＝﹣2，∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣2；故答案为：y＝﹣x﹣2，；（2）如图1，当∠ABP＝90°时，过点P作CD⊥x轴，过点A作AC⊥DC于C，过点B作BD⊥CD于D，设点P的坐标为（x，0），∴AC＝x+3，CP＝1，PD＝3，BD＝x﹣1，∵∠APB＝90°，∴∠APC+∠BPD＝90°，又∵∠APC+∠CAP＝90°，∴∠CAP＝∠BPD，又∵∠C＝∠BDP＝90°，∴△ACP∽△PBD，∴，∴，∴x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），∴点P（﹣1+，0）；当∠ABP＝90°时，∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，∴点C（﹣2，0），点D（0，﹣2），∴OC＝2，OD＝2，CD＝2，BC＝3，∵tan∠OCD＝，∴，∴CP＝6，∵点C（﹣2，0），∴点P（4，0），综上所述：点P的坐标为（，0）或（4，0）．12．解：（1）∵双曲线y＝经过点A（2，2），∴2＝解得，k＝4；（2）对于双曲线y＝，当x＝1时，y＝4，∴在直线x＝1上，当0＜y＜4时，有整点（1，1），（1，2），（1，3）当x＝2时，y＝2，∴在直线x＝2上，当0＜y＜2时，有整点（2，1）；当x＝3时，，∴在直线x＝3上，当0＜y＜时，有整点（3，1）；当x＝4时，y＝1，∴在直线x＝4上，当0＜y＜1时，没有整点．∴G内整点的个数为5个；（3）当m＝4时，点B（4，4），点C（1，4），点D（4，1），此时在区域W内（不包含边界）有（2，3）、（3，2）、（3，3）共3个整点，线段BD 上有4个整点，线段BC上有4个整点，∵点（4，4）重合，点（4，1）、（1，4）在边界上，∴当m＞4时，区域W内至少有3+4+4﹣3＝8个整点．当m＝4.5时，点B（4.5，5），点C（，5），线段BC上有4个整点，此时区域W内整点个数为8个．当m＞4.5时，区域W内部整点个数增加．∴若W内部（不包括边界）不超过8个整点，3＜m≤4.5．13．解：（1）∵点A（4，3）在反比例函数y＝的图象上，∴a＝4×3＝12，∴反比例函数的解析式为y＝，由勾股定理得，OA＝＝5，∴OB＝OA＝5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把A（4，3）、B（0，﹣5），∴，解得，，∴一次函数为y＝2x﹣5；（2）存在，设点C的坐标为（m，0），由勾股定理得，AB＝＝4，AC＝，BC＝，当AB＝AC＝4时，＝4，解得，m1＝﹣﹣4，m2＝﹣+4，∴点C的坐标为（﹣﹣4，0）或（﹣+4，0），当BC＝AB＝4时，＝4，解得，m＝，∴点C的坐标为（﹣，0）或（，0），综上所述，△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的坐标为（﹣﹣4，0）或（﹣+4，0）或（﹣，0）或（，0）；（3）当x＝1时，y＝12，当x＝4时，y＝3，如图2，将C1向右平移3个单位长度，得曲线C2，则C1平移至C2处所扫过的面积＝平行四边形EFNM的面积＝3×（12﹣3）＝27，故答案为：27．14．解：（1）∵直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点A（﹣1，0），点C（0，2）∴OA＝1，OC＝2，∴tan∠ACO＝＝；（2）∵四边形ACBE是矩形，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCF＝90°，且∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACO＝∠CBF，∵OF＝t，∴CF＝2﹣t，∵tan∠CBF＝tan∠ACO＝，∴BF＝4﹣2t，∴点B（4﹣2t，t）；（3）如图，连接DE，交x轴于H点，∵DE⊥x轴，∴∠AHE＝90°，∴∠HAE+∠AEH＝90°，且∠CAO+∠HAE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠BCF＝90°，∴∠AEH＝∠BCF，且∠CFB＝∠AHE，AE＝BC，∴△BCF≌△AEH（AAS）∴AH＝BF＝4﹣2t，CF＝HE，∵点A（﹣1，0），∴点H（3﹣2t，0），∴当x＝3﹣2t时，y＝2（3﹣2t）+2＝8﹣4t，∴点D坐标为（3﹣2t，8﹣4t），∵点D，点B都在反比例函数y＝上，∴（3﹣2t）（8﹣4t）＝t（4﹣2t）∴t1＝2（不合题意舍去），t2＝；∴点B（，）∴m＝×＝．15．解：（1）①如图2中，连接AD交EF于H．∵四边形ABOC是矩形，A（﹣4，3），∴∠A＝90°，OB＝AC＝4，AB＝OC＝3，∵E，F在y＝时，∴可以假设E（，3），F（﹣4，），∴AE＝4+，AF＝3+，∴AE：AF＝4：3，∵AC：BC＝4：3，∴＝，∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴∠AEF＝∠ACB，∴EF∥BC，∵A，D关于EF对称，点D落在BC上，∴EF垂直平分线段AD，∴AH＝DH，∵EF∥BC，∴＝，∴AE＝EC＝2．②如图3中，当点D落在OB上时，连接AD交EF于H．∵∠EAF＝∠ABD＝90°，∠AEF＝∠BAD，∴△AEF∽△BAD，∴＝，则＝＝，∴BD＝AB÷＝，设AF＝x，则FB＝3﹣x，FD＝AF＝x在Rt△BDF中，∵FB2+BD2＝DF2，∴（3﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，∴AF＝，∴AE＝AF＝，∴EC＝4﹣AE＝4﹣＝，∴＜CE＜4时，折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），线段CE长度的取值范围为：＜CE＜4．（2）∵△ABD是等腰三角形，F与B不重合，∴AB≠BD．①如图4中，当AD＝BD时，∠BAD＝∠ABD，由（1）可知∠BAD＝∠AEF，∴∠ABD＝∠AEF．作DM∥OB交AB于M，交OC于N．则DM⊥AB，MN＝AC＝4，∴∠BMD＝∠EAF＝90°，BM＝AB＝，∴△AEF∽△ABD，∴＝，则＝＝，∴MD＝BM÷＝，∴DN＝MN﹣MD＝4﹣＝，∴D（﹣，）．②如图5中，当AD＝AB时，作DM∥OB交AB于M，交OC于N．则DM⊥AB，MN＝AC＝4，∴∠AMD＝∠EAF＝90°，由（1）可得∠BAD＝∠AEF，∴△AEF∽△MAD，∴＝，则＝＝，设AM＝4a，则MD＝3a，在Rt△MAD中，∵AM2+DM2＝AD2，∴（4a ）2+（3a ）2＝32， ∴a ＝， ∴AM ＝，MD ＝，∴BM ＝AB ＝AM ＝3﹣＝，DN ＝MN ﹣MD ＝4﹣＝，∴D （﹣，）．综上所述，满足条件的点D 的坐标为（﹣，）或（﹣，）．16．解：（1）当线段AC 过原点时，点A 、C 中点为：（0，0）， 故（a +c ）＝0，（b +d ）＝0， 即：a +c ＝0，b +d ＝0；（2）由题意得：，解之得，．∴A （1，3），C （﹣3，﹣1）．∴AB ＝1﹣（﹣3）＝4，BC ＝3﹣（﹣1）＝4，4×4＝16． 答：矩形ABCD 的周长为16．（3）∵点A （a ，b ）、C （c ，d ）均在的图象上，∴，．∵AB ＝BC ， ∴． ∴ac ＝﹣3．答：a 与c 的数量关系是ac ＝﹣3．17．解：（1）将点B （﹣6，﹣2）代入y 1＝k 1x +4， ﹣2＝﹣6k 1+4，解得：k 1＝1； 将点B （﹣6，﹣2）代入y 2＝①，﹣2＝，解得：k 2＝12．故答案为：1；12．（2）①观察函数图象可知：当﹣6＜x ＜0或x ＞2时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴当y 1＞y 2时，x 的取值范围是﹣6＜x ＜0或x ＞2． 故答案为：﹣6＜x ＜0或x ＞2．②过点O 作直线l ：y ＝﹣2x ，如图1所示．观察图形可知：x ＞0时，反比例函数图象在直线l 上方， 故答案为：x ＞0．（3）依照题意，画出图形，如图2所示．当x ＝2时，m ＝x +4＝6， ∴点A 的坐标为（2，6）； 当x ＝0时，y 1＝x +4＝4， ∴点C 的坐标为（0，4）．∵S 四边形ODAC ＝（OC +AD ）•OD ＝×（4+6）×2＝10，S 四边形ODAC ：S △ODE ＝4：1， ∴S △ODE ＝OD •DE ＝×2DE ＝10×， ∴DE ＝2.5，即点E 的坐标为（2，2.5）． 设直线OP 的解析式为y ＝kx ， 将点E （2，2.5）代入y ＝kx ，得 2.5＝2k ，解得：k ＝， ∴直线OP 的解析式为y ＝x ②．联立①②并解得：，，∵点P 在第一象限， ∴点P 的坐标为（，）．（4）依照题意画出图形，如图3所示．当∠CMB ＝90°时，BM ∥x 轴， ∴点M 的坐标为（0，﹣2）； 当∠CBM ＝90°时，∵直线AC 的解析式为y ＝x +4， ∴∠BCM ＝45°，∴△BCM 为等腰直角三角形，∴CM＝﹣2x B＝12，∴点M的坐标为（0，﹣8）．综上所述：当△MBC为直角三角形时，点M的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣8）．18．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴点B、C的坐标分别为：（4，4）、（4，0），∵D为AB的中点，故点D（2，2），将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得：k＝4，故反比例函数表达式为：y＝①，设点E（4，m），将点E的坐标代入上式并解得：m＝1，故点E（4，1）；（2）设点P（m，0），而点D、E的坐标分别为：（2，2）、（4，1），DE2＝（4﹣2）2+（2﹣1）2＝5，PD2＝（m﹣2）2+4；PE2＝（m﹣4）2+1，当DE＝PD时，则5＝（m﹣2）2+4，解得：m＝1或3；当DE＝PE时，同理可得：m＝2或6（舍去6）；故点P的坐标为：（1，0）或（2，0）或（3，0）；（3）设三角形ABC向左平移了m个单位，则点C、B的坐标分别为：（4﹣m，0）、（4﹣m，4），∵点E为BC的中点，∴点E（4﹣m，2），将点E的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得：m＝2，故点C、B的坐标分别为：（2，0）、（2，4），点A（﹣2，0），设直线AB的表达式为：y＝sx+t，则，解得：，故直线AB的表达式为：y＝x+2②，联立①②并解得：或（舍去）；故点D的坐标为：（﹣1，+1）．19．解：（1）把点A（3，4）代入y＝（x＞0），得k＝xy＝3×4＝12，故该反比例函数解析式为：y＝．∵点C（6，0），BC⊥x轴，∴把x＝6代入反比例函数y＝，得：y＝＝2，∴B（6，2）．综上所述，k的值是12，B点的坐标是（6，2）；（2）设直线A、C的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线AC的表达式为：y＝﹣x+8，令x＝0，则y＝8，故点E（0，8），设直线EC向右平移m个单位，则平移后直线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）+8，则点E′（m，8），∵点E′在反比例函数上，∴将点E′坐标代入反比例函数表达式得：8m＝12，解得：m＝，则平移后直线的表达式为：y＝﹣（x﹣）+8＝﹣x+10，令y＝0，则x＝，故点F（，0）；当x＝6时，y＝﹣x+10＝2，故点B在直线EF上；（3）设点M的坐标为（s，t），而点A、B、F的坐标分别为：（3，4）、（6，2）、（，0）；①当AB是边时，点A向右平移3个单位向下平移2个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位向下平移2个单位得到N（M），故或，解得：或，故点M的坐标为：（，﹣2）或（，2）；②当AB是对角线时，由中点公式得：，解得：，故点M的坐标为（，6）；综上，点M的坐标为：（，﹣2）或（，2）或（，6）．20．解：（1）由题意，A（1，8），把A（1，8）代入y＝2x+b得到b＝6．（2）设A（m，），则B（m，0），把A（m，）代入y＝2x+b得到b＝﹣2m，∴直线AC的解析式为y＝2x+﹣2m，令y＝0，得到x＝m﹣，∴C（m﹣，0），∵AD＝DC，∴D（m﹣，），设直线BD的解析式为y＝k′x+b′，则有，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+2m，∴E（0，2m），∴OE＝2m，BC＝OC+OB＝＝4，∵S△ECB∴•BC•EO＝4，∴××2m＝4，∴k＝8．（3）连接AE，延长AE交BC于J．由（2）可知，E（0，2m），∵OE＝2，∴2m＝2，∴m＝1，∴C（（1﹣，0），B（1，0），A（1，k），∴直线AE的解析式为：y＝（k﹣2）x+2，令y＝0，得到x＝，∴J（，0），∵E是△ABC的重心，∴CJ＝JB，∴＝（1+1﹣），解得k＝6或0（舍弃），∴直线AC的解析式为y＝2x+4．。
人教版初中数学八上反比例函数定义和性质
反比例函数定义和性质一、反比例函数的定义一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠；⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式：①xky =（0k ≠），②1kx y -=（0k ≠），③k y x =⋅（定值）（0k ≠）；⑸函数xky =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。
（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
至于这一组对应值给出的方式一般有以下几种：①当x= 时,y= ②从列表中找 ③点坐标 ④图像上的一个能看出坐标的点。
二、反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
三、反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数xky =（0k ≠）k 的符号k >0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。
反比例函数及解析式
x1
x2
0
x3
，
则 y1 ， y2 ， y3 的大小关系是( )
A． y1 y2 y3 B． y2 y1 y3
C． y3 y1 y2
D． y3 y2 y1
4.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图 4 所示，设小矩形的长和宽分别为 x、y，剪
去部分的面积为 20，若 2≤x≤10，则 y 与 x 的函数图像是( )
4
4.在同一坐标系中，函数 y k 和 y kx 3 的图象大致是（ ） x
1.反比例函数的图象有 k 的符号确定其分布的象限，同时也决定了图象离原点距离的远近情况； 2.运用反比例函数的性质来比较反比例函数值大小比较时一定注意得函数自变量是否为同一象限里.
（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数
注意三点： ① xy 0
②y 是 x 的反比例函数中分母中不含有关于 x 的多项式，也就是说分母、商均为单项式
③ y k xy k y kx1 x
2. 反比例系数 k: 求法→ k xy
3. 待定系数法求反比例函数解析式： 一设→二代→三解→四结论
4.若 y b 与 1 成反比例，则 y 与 x 的函数关系式是（ ） xa
A. 正比例 B. 反比例
C.一次函数 D.二次函数
1.已知函数 y m ，当 x 1 时， y 6 ，则函数的解析式是
；
x
2
2.已知变量 y 与 x -5 成反比例，且当 x =2 时 y =9,则 y 与 x 之间的函数解析式是
3. 已知□ABCD 中，AB = 4，AD = 2，E 是 AB 边上的一动点，设 AE= x ，DE 延长线交 CB 的延长线于 F，设 CF = y ，
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李村一中课堂导学案
主备人：彭杏娜审核人：古改琴班级：日期：姓名：
课题：17.4.2求反比例函数的表达式
导入新课：（1分钟）
反比例函数关系式y= k
x中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了
反比例函数．因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入
y= k
x中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式．
二、明确目标：（1分钟）
1、能用待定系数法求反比例函数的解析式．
2、能用反比例函数的定义和性质解决实际问题
三、自主学习（认真阅读课本，标画基本内容→自主完成习题→小组讨论不同点→补错纠正→交流展示）（20分钟）
1、已知y是x的反比例函数，且当x=-2时，y=6，(1)求这个反比例函数的表达式。
（2）求当x=3时y的值。
2、已知反比例函数的图象经过点A（2，6）
（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大而如何变化？
（2）点B（3，4）、C（-21
2
，-4
4
5
）和D（2，5）是否在这个函数的图象
上？
四、点拨引导（请你边听边将有关重点标注在课本上）（10分钟）
本节课学习的内容：用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
①设所求的反比例函数为：y= k
x(k≠0)②根据已知条件（自变量与函数的对
应值）列出含k的方程；③由代人法解待定系数k的值；④把k值代人函数
关系式y= k
x中
五、课堂练习（自主完成→小组讨论→纠正补错→交流展示→组长批改）（12分钟）
1．当m为何值时，函数y＝
4
x2m－2是反比例函数，并求出其函数的解析式。
2、已知y与x2成反比例，且当x=2时,y=3，
求（1）y关于x的函数解析式；（2）当x=-2时的y值。
3、如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= k
x(k≠0）的图象交于M、N两点．
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
点拨：用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式
六、布置作业（1分钟）
课本59页第二，四题。
七、自我反思。