反比例函数顶点式公式
反比例函数知识点归纳
反比例函数知识点归纳反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k为常数，且x≠0.在解决与自变量指数相关的问题时，需要特别注意系数。
另外，反比例函数也可以写成xy=k的形式，通过这个式子可以迅速求出反比例函数的解析式中的k。
反比例函数的图象与x轴和y轴无交点，因此在用描点法画反比例函数图象时，需要取关于原点对称的点。
反比例函数图象的形状为双曲线，其弯曲度与k的大小有关。
当k越大，曲线越平直；当k越小，曲线越弯曲。
反比例函数的图象关于原点对称，同时也关于直线y=x和y=-x对称。
k的几何意义可以通过双曲线上任意一点P（a，b）来解释，其中k等于矩形PBOA的面积除以三角形PAO和三角形PBO的面积之积。
在研究反比例函数的增减性时，需要将双曲线的两个分支分别讨论，不能一概而论。
反比例函数与一次函数之间有联系，而求函数解析式的方法可以采用待定系数法或根据实际意义列函数解析式。
在解决实际问题时，需要充分利用数形结合的思想。
2．图像和性质对于反比例函数，以下是已知函数的情况：①若它的图像在第二、四象限内，则k为负数。
②若y随x的增大而减小，则k为正数。
对于一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、四象限，则函数的图像位于第一、三象限。
如果反比例函数通过点（m，2），则一次函数的图像不会通过点（m，2）。
已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图像上，则直线y=x不会通过第三象限。
如果P（2，2）和Q（m，n）是反比例函数图像上的两点，则一次函数y=kx+m的图像经过第一、三、四象限。
已知函数y=k/x和y=kx（k≠0），它们在同一坐标系内的图像大致是反比例函数和正比例函数的图像。
3．函数的增减性①在反比例函数的图像上有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），且x1＜x2，则y1y2＜0，即y1和y2的符号不同。
②在函数y=ax（a为常数）的图像上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3），且x1＜x2＜x3，则y1＜y2＜y3.对于四个函数中的①、②、③、④，其中y随x的增大而减小的函数只有一个，即②。
数学反比例函数知识点总结
数学反比例函数知识点总结反比例函数在数学中是非常重要的一个概念，它是我们在日常生活中所接触到的很多问题的解决方式之一，例如物体的速度与时间之间的关系等。
在本文中，我们将来详细介绍数学中的反比例函数的知识点，为大家更好地理解和掌握该概念。
反比例函数的定义首先，我们需要明确什么是反比例函数。
反比例函数是指在平面直角坐标系中，图象为一条经过原点的斜直线，并且斜率为常数的函数。
它的函数定义式为y=k/x，其中k为常数，x 为自变量，y为函数值。
可以看出，反比例函数中自变量和函数值是互相影响的，其中一个变化，另一个就会发生相应的变化。
下面我们将从多个方面来解析反比例函数的相关知识点。
反比例函数的图象对于反比例函数y=k/x，我们可以通过一定的方法来绘制它的图象。
首先，我们可以通过选取不同的x值和y值，计算出它们所对应的函数值，然后将这些点按照坐标轴的比例图形绘制出来，即可得到反比例函数的图象。
此外，我们还可以通过解析式求出反比例函数的图象。
由于反比例函数的斜率为常数，因此其图象为经过原点的直线，并且斜率为k。
因此，我们只需确定一条直线上的两个点，就可以根据直线的性质得到反比例函数的图象。
例如，我们可以取x=1 和x=2，得到y=k 和y=k/2 两个点，根据这两个点连线即可得到反比例函数的图象。
反比例函数的性质了解反比例函数的性质对于更好地理解它的图像和结构是非常重要的。
下面我们将介绍几个值得关注的性质。
1. 定义域和值域像其他函数一样，反比例函数也有定义域和值域。
对于y=k/x，函数的定义域可以看作除数不为零的实数集合R-{0}。
因为当除数x为零时，函数定义没有意义。
值域则为除以任意一个不为零的实数之后所得到的实数集合，即R-{0}。
2. 对称中心和轴反比例函数的图象与另一类函数不同，它们有关于原点的对称性，这意味着当我们将图象图转运特定的角度或镜像它，结果都会得到相同的图象。
在反比例函数中，我们还可以找到另一个有趣的对称性，即它的对称中心和轴。
反比例函数知识点
反比例函数知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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反比例函数知识点
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反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结反比例函数知识点总结1.反比例函数的定义一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
它可以从以下几个方面来理解：⑴ x是自变量，y是x的反比例函数；⑵自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值的取值范围是y≠0；⑶比例系数k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式：① y=k/x（k≠0）；② y=kx^-1（k≠0）；③ xy=k（定值）（k≠0）；⑸函数y=k/x（k≠0）与函数x=k/y（k≠0）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。
当k=0时，y=k/x就不是反比例函数了。
2.用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y=k/x（k≠0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
3.反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例函数的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
4.反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表所示：反比例函数 y=k/x（k≠0） k的符号 k>0 k0 y0时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
二次函数及反比例函数知识点
二次函数及反比例函数知识点二次函数和反比例函数是初中和高中数学中经常涉及的函数。
它们在数学上有着重要的应用，同时也具有一定的难度。
下面我们来详细介绍二次函数和反比例函数的知识点。
一、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数，且a≠0。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
3.二次函数的性质：(1) 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)=ax^2 + bx + c。
(2)对称轴：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))的直线称为二次函数的对称轴，方程为x=-b/2a。
(3)开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的正负。
(4) 判别式：二次函数ax^2 + bx + c的判别式为Δ = b^2 - 4ac，当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ = 0时，有两个相等的实根；当Δ < 0时，无实根。
4.二次函数的平移：二次函数的横向平移和纵向平移可以通过对函数的自变量和因变量进行平移操作实现。
5.二次函数的解析式：通过给定的定点和顶点坐标，可以确定一条与x轴相交的二次函数。
6.二次函数的应用：二次函数在数学和物理等领域有着广泛的应用，如碰撞问题、抛物线运动等。
二、反比例函数1.定义：反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k为非零实数。
2.变化规律：反比例函数的特点是随着x的增大，y的值会逐渐减小；反之，随着x的减小，y的值会逐渐增大。
3.反比例函数的性质：(1)零点：当x≠0时，y=0称为反比例函数的零点。
(2)渐近线：反比例函数y=k/x的图像有两个渐进线x=0和y=0。
(3)对称性：反比例函数的图象关于坐标轴对称。
(4)奇函数：反比例函数是一个奇函数，满足f(-x)=-f(x)。
二次函数和反比例函数的知识点
二次函数和反比例函数的知识点一、二次函数的知识点（600字）1. 二次函数的定义：二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是给定的常数，且a≠0。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3.抛物线的顶点：二次函数的顶点坐标可以通过公式x=-b/(2a)得到。
即在二次函数的图像中，顶点的横坐标为减去b再除以2a，纵坐标为代入这个横坐标后的函数值。
4.抛物线的对称轴：二次函数的对称轴是过顶点的直线，其方程可以表示为x=-b/(2a)。
5.抛物线的焦点和准线：二次函数的焦点和准线与二次函数的系数a有关。
当a>0时，抛物线有焦点且焦点在开口的上方，准线在抛物线下方；当a<0时，抛物线有焦点且焦点在开口的下方，准线在抛物线上方。
6. 零点和交点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的解，可以通过求解ax²+bx+c=0的二次方程来得到。
交点是抛物线与x轴或y轴相交的点。
7. 判别式与二次函数的性质：判别式D = b²-4ac可以用来判断二次方程ax²+bx+c=0的解的性质。
当D>0时，方程有两个不相等的实数解；D=0时，方程有两个相等的实数解；D<0时，方程没有实数解。
8. 二次函数的不等式：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，可以通过将f(x)关于x的表达式移到一边，得到ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0的二次不等式。
二、反比例函数的知识点（600字）1.反比例函数的定义：反比例函数是指形如f(x)=k/x的函数，其中k是一个常数，且k≠0。
也称为倒数函数。
2.反比例函数的图像：反比例函数的图像是一条经过原点的曲线，其特点是随着自变量x的增大，函数值f(x)单调递减。
反比例函数知识点总结，比例系数k的几何意义和七大常考模型
反比例函数知识点总结，比例系数k的几何意义和七大常考模型一.反比例函数的概念1.概念：一般地，函数y=k/x（k是常数，k≠0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成的形式。
自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
注意：(1)比例系数k≠0是反比例函数的定义的重要部分;(2)在反比例函数的解析式中,k,x,y均不等于0;(3)反比例函数中的两个变量一定成反比例关系,反之,则不一定成立例 1 给出的六个关系式:①x(y+1); ②y=2/(x+2); ③y=1/x²;④y=1/2x; ⑤y=x/2 ; ⑥y=-3/x.其中y是x的反比例函数的是 ( )A.①②③④⑥B.③⑤⑥C.①②④D.④⑥例2 若函数是y关于x的反比例函数,则m= .例3 关于正比例函数y=-x/3和反比例函数y=-1/3x的说法正确的是 ( )A.自变量x的指数相同B.比例系数相同C.自变量x的取值范围相同D.函数y的取值范围相同2.易错点解析漏掉k≠0这一条件解答与反比例函数有关的问题时,要注意系数k≠0是反比例函数定义中必不可少的一部分,不能漏掉这一条件.例4已知函数为反比例函数,则k= .二.反比例函数的图像和性质1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2.反比例函数的性质注意：y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件。
例5 关于反比例函数y=3/x的图象,下列说法正确的是 ( )A.图象经过点(1,1)B.两个分支分布在第二、四象限C.两个分支关于x轴成轴对称D.当x<0时,y随x的增大而减小例6.当x<0时,下列表示函数y=-1/x的图象的是 ( ) 例7.下列反比例函数中,图象位于第二、四象限的是( )A.y=2/x B.y=0.2/x C.y=√2/x D.y=-2/5x 例8.对于反比例函数y=(k-√10)/x,在每个象限内,y随x的增大而增大,则满足条件的非负整数k有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个三.反比例函数解析式的确定由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
初三反比例函数归纳总结
初三反比例函数归纳总结反比例函数在初三数学中是一个重要的概念，也是常见的数学题型之一。
通过对反比例函数的归纳总结，我们可以更好地理解和应用它们。
本文将对初三反比例函数进行归纳总结，包括定义、图像、性质和应用等方面。
1. 定义反比例函数是指两个变量之间的关系，当一个变量增大时，另一个变量减小，二者的乘积保持不变的函数。
反比例函数常用符号表示为y=k/x，其中k为常数。
2. 图像反比例函数的图像一般是一个平面坐标系中通过原点的曲线。
当x 很大时，y很小；当x很小时，y很大。
曲线与坐标轴有两个渐近线，即当x趋于正无穷或负无穷时，对应的y趋于0。
3. 性质反比例函数具有以下性质：- 当x=0时，函数无定义；- 当x>0时，y>0；当x<0时，y<0；- 当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；- 函数的图像关于一、三象限对称；- 函数的图像在第一象限上下凸，第二、四象限上下凹。
4. 反比例函数与导数反比例函数的导数恒为负数，在函数图像上表现为斜率始终为负值的直线。
这一性质使得反比例函数在一些应用中具有特殊的意义，例如在牛顿引力定律中，两个物体之间的引力与它们之间距离的平方成反比。
5. 应用反比例函数在实际问题中有广泛的应用，例如：- 速度和时间的关系：当物体的速度增大时，所用的时间减少；- 人均水平和人口数量的关系：当一个地区的人均水平提高时，人口数量减少；- 工人数量和完成工作的时间的关系：当工人数量增多时，完成工作的时间减少。
通过对这些应用问题的分析，可以将具体问题转化为反比例函数形式，从而更好地理解和解决问题。
总结起来，初三反比例函数是一种重要的数学概念，具有特殊的图像和性质。
了解反比例函数的定义、图像和性质，能够帮助我们更好地应用它们解决实际问题。
通过对反比例函数的归纳总结，我们可以更深入地理解其应用，为进一步学习和掌握数学知识打下坚实的基础。
以上就是初三反比例函数的归纳总结，通过对反比例函数的定义、图像、性质和应用的介绍，希望能帮助大家更好地理解和应用反比例函数，提升数学学习的效果。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结反比例函数是高中数学中的重要内容，又是数学中具有实际意义的一个分支。
它是指两个变量之间的关系满足一个数的两倍与这两个数互乘的结果相等。
下面将详细介绍反比例函数的基础知识。
首先，反比例函数的定义。
如果两个变量x和y之间满足一个数的两倍与这两个数的乘积相等，那么我们称y是x的反比例函数。
数学表达式为y=k/x，其中k是一个常数。
反比例函数的特点是x越大，y越小；x越小，y越大。
常数k称为比例常数，它确定了函数的图像走势。
其次，反比例函数的图像特征。
对于y=k/x，我们可以画出其函数图像。
首先确定k的值，然后选取不同的x值计算对应的y值，将这些点连成曲线就得到了反比例函数的图像。
反比例函数的图像与x轴和y轴永不相交，并且图像趋于x轴和y轴。
具体来说，当x趋于正无穷大时，y趋于0；当x趋于0时，y趋于正无穷大。
反比例函数的图像通常是一个双曲线。
再次，反比例函数的性质。
反比例函数具有以下几个性质：1. 定义域和值域：反比例函数的定义域为除了0以外的实数集，值域也是除了0以外的实数集。
因为在函数表达式中，分母不能为0。
2. 对称性：反比例函数是关于原点对称的，即对于任意的x，有y=k/x，则对于任意的-x，有-y=k/x。
这是因为x与-y的乘积等于-x与y的乘积。
3. 渐近线：反比例函数有两条渐近线，分别为x轴和y轴。
当x趋于正无穷大时，y趋于0，所以0是y=k/x的横渐近线；当x趋于0时，y趋于正无穷大，所以0是y=k/x的纵渐近线。
4. 求解未知数：利用反比例函数的定义可以求解未知数。
例如已知y与x成反比例关系，可以通过给定的x求解y的值，或者通过给定的y求解x的值。
除了上述基本知识外，反比例函数还有一些应用。
1. 电阻电流关系：根据欧姆定律，在恒定温度下，电阻的电流与其阻值成反比。
即电流I与电阻R之间满足I=k/R，其中k 是常数。
这个关系在电路分析中有着重要的应用。
2. 速度时间关系：在匀速直线运动中，速度与时间成反比。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结反比例函数是数学中常见的一种函数类型，它在实际生活和工作中有着广泛的应用。
在学习和理解反比例函数时，我们需要掌握一些基本的知识点，本文将对反比例函数的相关概念、特点、图像和应用进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
1. 反比例函数的概念。
反比例函数是指函数的自变量x与因变量y之间的关系满足y与x成反比的规律。
通常来说，反比例函数可以用以下的形式来表示：y = k/x。
其中，k为比例系数，也称为常数项。
在反比例函数中，x不等于0，因为分母不能为0，否则函数就没有意义。
反比例函数在数学中有着重要的地位，它的特点和性质对于我们解决实际问题具有重要的指导作用。
2. 反比例函数的特点。
反比例函数的图像通常表现为一个开口向下的双曲线。
当x增大时，y会减小，当x减小时，y会增大。
这种特点使得反比例函数在描述一些实际问题时具有很好的适用性，比如人口与资源的关系、时间与速度的关系等。
反比例函数的特点还包括，在坐标系中不经过原点，且在x轴和y轴上都有渐近线。
3. 反比例函数的图像。
反比例函数的图像是一个开口向下的双曲线，其渐近线分别为x轴和y轴。
当k为正数时，双曲线位于第一和第三象限；当k为负数时，双曲线位于第二和第四象限。
通过对反比例函数的图像进行分析，我们可以更直观地理解函数的性质和特点，从而更好地应用到实际问题中去。
4. 反比例函数的应用。
反比例函数在实际生活和工作中有着广泛的应用。
比如，在经济学中，人均收入与人口数量之间的关系可以用反比例函数来描述；在物理学中，时间与速度、力与距离之间的关系也可以用反比例函数来表示。
掌握了反比例函数的知识，我们可以更好地理解和解决这些实际问题，为实际工作和生活提供更科学的依据。
总结：通过对反比例函数的概念、特点、图像和应用进行总结，我们可以更好地理解和掌握这一部分内容。
反比例函数在数学中有着重要的地位，它不仅有着严谨的数学性质，还具有广泛的应用价值。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结反比例函数是数学中的重要概念之一，它在我们日常生活中有着广泛的应用。
在本文中，我将为大家总结一下反比例函数的一些基本知识点，让大家对它有更深入的了解。
1. 反比例函数的定义反比例函数是指一个函数，它的函数值和自变量之间的关系满足一个固定的比例关系。
具体来说，当自变量的值增大时，函数值会随之减小，并且二者的乘积保持不变。
这个比例关系可以用一个方程来表示，即：y = k/x，其中k为比例常数。
2. 反比例函数的特点反比例函数具有一些独特的特点，这也是它与其他函数形式的区别之一。
首先，它的定义域不能包含0，因为在反比例函数中，分母不可以为0，否则函数就没有意义。
其次，反比例函数的图像呈现出一种特殊的形状，即双曲线。
这种曲线对称于两个坐标轴，其中一个坐标轴是反比例函数的渐近线，即函数曲线始终趋近于这条直线而不会触及它。
3. 反比例函数的图像和性质反比例函数的图像是一条双曲线，它在坐标平面中的形状与直线重要的不同之处在于，它的图像永远不会与坐标轴相交。
这是因为反比例函数的定义域中不包含0。
除此之外，反比例函数的图像关于原点对称，这也是双曲线的一般特点。
另外，反比例函数的图像在接近坐标轴时会变得越来越陡峭，这意味着当自变量的绝对值变得非常大时，函数值的变化将非常敏感。
4. 反比例函数的应用反比例函数在现实世界中有着广泛的应用。
一个典型的例子是电阻与电流的关系。
根据欧姆定律，电阻与电流之间的关系可以用反比例函数来表示。
当电流增大时，电阻变小，两者之间的比例关系保持不变。
这是因为电流通过电阻时受到的阻力越小，电阻的值就越小。
另一个例子是速度和时间之间的关系。
当我们在一段固定的路程上以恒定速度行驶时，速度和所需时间之间的关系也可以用反比例函数来表示。
速度越大，我们所需的时间就越短，两者的乘积保持不变。
除此之外，反比例函数还可以用于工程学、物理学、经济学等领域中的许多问题，如波动频率与介质密度的关系、产品的成本与销售量之间的关系等。
顶点式公式
顶点式公式
顶点式公式如下：
顶点坐标公式：h=b/2a，k=(4ac-b²)/4a)。
公式描述：公式中（h，k)为顶点坐标，二次函数的顶点式为y=a(x-h)²+k(a≠0)。
顶点坐标是用来表示二次函数抛物线顶点的位置的参考指标。
顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大最小值＝k。
顶点坐标公式的特点：
当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到。
当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0，k>0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)+k的图象。
当h>0，k<0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。
「初中数学」求反比例函数解析式的六种常用方法
「初中数学」求反⽐例函数解析式的六种常⽤⽅法解有关函数的习题，⾸要的⼯作应该是知道函数的解析式，每⼀类函数都有各⾃解析式的求法，那么反⽐例函数的解析式如何求解呢？下边⼀⼀介绍.⽅法⼀.利⽤反⽐利函数的定义求解析式【分析】反⽐例函数有三种表达形式:(1)y=K/x;(2)y=Kx-';(3)xy=K，其中K是常数，且K≠0.(第⼆种形式是y等于K与x的负1次⽅的积)，特别要注意K≠0，1.解:由m²⼀10=⼀1，解得m=±3，⽽m=⼀3时K=(m+3)=0，∴m=3，则K=m+3=6，∴反⽐例函数解析式为y=6/x2.解:由3m²+m⼀5=⼀1，解得m=1或m=⼀4/3，⽽m=1时，K=m²⼀1=0，∴m=⼀4/3，则m²⼀1=7/9，所以反⽐例函数解析式为y=7/(9x).⽅法⼆.利⽤反⽐例函数的性质求解析式【分析】由反⽐例函数的概念知，第3题n²+2n⼀9=⼀1，由于反⽐例函数在每个象限内，y随x的增⼤⽽减⼩，所以n+3为正数;第4题m²⼀5=⼀1，⼜由于反⽐例函数的图象在每个象限内y随x值的增⼤⽽增⼤，所以m为负值.3.解:由题意得，n²+2n⼀9=⼀1，解得n=⼀4或n=2，由于其图象在每个象限内y随x值的增⼤⽽减⼩，所以n+3>0，∴n=2，则n+3=5，所以反⽐例函数图象为y=5/x.4.解:由题意得，m²⼀5=⼀1，解得m=±2，⼜由于其图象在每个象限内y随x值的增⼤⽽增⼤，所以m=⼀2，所以反⽐例函数的解析式为y=⼀2/x.⽅法三.利⽤反⽐例函数的图象求解析式5.如图，在△ABC中，AC=BC，AB⊥x轴，垂⾜为A，反⽐例函数y=K/x(x>0)的图象经过点C，交AB于点D.已知AB=4，BC=5/2.(1)若OA=4，求反⽐例函数的解析式;(2)连接OC，若BD=BC，求OC的长.【分析】这类题的特征⼀般是通过条件求图象上某⼀点的坐标，然后根据xy=K，从⽽确定解析式.第⼀问，根据AC=BC=5/2，过C点作CE⊥AB于E，则E为AB的中点，则AE=BE=2，由于AB⊥x轴，所以C点纵坐标为2，在Rt△BEC中，求出CE的长为3/2，因为OA=4，所以C点横坐标为4⼀3/2=5/2，则C点坐标确定，所以反⽐例函数解析式可得.第⼆问，由于BD=BC=5/2，所以AD=AB⼀BD=4⼀5/2=3/2，所以D点纵坐标为3/2，⽽C点纵坐标还是2，C到AB的距离长CE=3/2，若设出A点坐标为(m，0)，则C点坐标为(m⼀3/2，2)，D点坐标为(m，3/2)，由于C，D两点都在反⽐例函数图像上，利⽤xy=K建⽴⽅程可求得m，进⽽求得C点坐标，利⽤勾股定理可得OC的长.解:(1)过C点作CE⊥AB于E，如图，∵AC=BC，AB=4，∴AE=BE=2，在Rt△BCE中，BC=5/2，BE=2，∴CE=3/2，∵OA=4，∴C点坐标为(5/2，2)，⼜C点在y=K/x的图象上，∴xy=K，即K=2×5/2=5，所以反⽐例函数的图象为y=5/x.(x>0).(2).如图，作CF⊥x轴，垂⾜为F，设A点的坐标为(m，0)，∵BD=BC=5/2，AB=4，∴AD=3/2，∴D点坐标为(m，3/2)，由(1)知CE=3/2，AE=BE=2，∴C点坐标为(m⼀3/2，2)，∵C，D两点都在y=K/x的图象上，∴3m/2=2(m ⼀3/2)，解得m=6，∴C点坐标为(9/2，2)，∴OF=9/2，CF=2，在Rt△OFC中，由勾股定理可得，OC=√97/2.6.如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别在x轴，y轴上，点B的坐标为(⼀20/3，5)，D是AB上的⼀点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对⾓线OB上的点E处，若点E在⼀反⽐例函数的图象上，求该反⽐例函数的解析式.【分析】求反⽐例函数解析式，实质上是求系数K，那么就只需要⼀个条件，⼤多数是求图象上点的坐标，本题只要求出E点坐标即可，由于折叠A点落在E处，则OA=BC=OE=5，过E作EF⊥x轴于F，则△OEF∽△OBC，则OE/OB=EF/BC=OF/OC，由题意知BC=5，OC=20/3，则OB=25/3，可求出OF，EF，则E点坐标求出，反⽐例函数解析式可求出.当然也可⽤三⾓函数求E点坐标.解:如图，过E点作EF⊥x轴于F，设过E点的反⽐例函数解析式为y=K/x，(K≠0).由矩形AOCB知BC⊥x轴，∴△OEF∽△OBC，∴OE/OB=EF/BC=OF/OC，∵B点坐标为(⼀20/3，5)，∴BC=5，OC=20/3，由于△ADO沿OD翻折，A点落在OB上E处，∴OE=OA=BC=5，在Rt△BCO中，由勾股定理求得OB=25/3，∴可求得，EF=3，OF=4，∴E点坐标为(⼀4，3)，代⼊y=K/x，得K=⼀12，所以反⽐例函数解析式为y=⼀12/x.⽅法四，利⽤待定系数法求解析式7.已知y1与x成正⽐例，y2与x成反⽐例，若y=y1+y2的图象经过点(1，2)，(2，1/2)，求y与x的函数解析式.【分析】这种题型，根据题意，设出对应的函数解析式，利⽤条件列⽅程组，解出相应的待定系数即可，注意待定系数在不同的函数中应⽤不同的字母.解:∵y1与x成正⽐例，∴设y1=Kx(K≠0)，∵y2与x成反⽐例，∴设y2=m/x(m≠0)，由y=y1+y2得，y=Kx⼗m/x，⼜∵y=Kx+m/x的图象经过(1，2)和(2，1/2)两点，∴可得8.已知y=y1+y2，y1与x成正⽐例，y2与x²成反⽐例，且x=2与x=3时，y的值都等于19，求y与x 间的函数关系式解∵y1与x成正⽐例，∴设y1=Kx(K≠0)，∵y2与x²成反⽐例，∴设y2=m/x²(m≠0)，∴y=y1+y2=Kx⼗m/x，∵当x=2时y=19，当x=3时y=19，∴可得⽅法五.利⽤图形的⾯积求解析式9.如图，点A在双曲线y=1/x上，点B在双曲线y=K/x上，且AB∥x轴，C，D两点在x轴上，若矩形ABCD的⾯积为6，求点B所在双曲线对应的函数解析式.【分析】反⽐例函数y=K/x的系数K具有⼀定的⼏何意义，|K|等于图象上任意⼀点向两坐标轴所作垂线与坐标轴所围成的矩形的⾯积.如图|K|=S矩形AEOC=S矩形BFOD，|K|/2=2S△AOC=2S△BOD=2S△AOE=S△BOF.灵活运⽤K的⼏何意义，通过⾯积求出K，也就求得解析式.所以延长BA交y轴于点E，则四边形AEOD，BEOC 均为矩形，则由题意得，S矩形AEOD=1，S矩形BEOC=|K|，∴|K|=1+6=7，由于反⽐例函数图象在第⼀，三象限，K>0，∴K=7，∴反⽐例函数解析式为y=7/x.如图.解:延长BA交y轴于点E，由题意可知S矩形AEOD=1，S矩形BEOC=K，∵S矩形ABCD=6，∴K ⼀1=6，K=7，∴B点所在双曲线对应的函数解析式是y=7/x.10.如图，A，B是双曲线y=K/x(K≠0)上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂⾜为C，若△ADO的⾯积为1，D为OB的中点，求反⽐例函数的解析式.【分析】反⽐例函数有些与⾯积有关的习题，灵活运⽤|K|的⼏何意义，结合题中的条件建⽴关于K的⽅程，是这类题的常见的解法，本题过B作BE⊥x轴于E，由于D为OB的中点，则BE=2CD，AD=AC⼀CD=AC⼀BE/2，OE=2OC，如图，设A点坐标为(x，K/x)，(K>0)，∵C，A两点横坐标都为x，则B点横坐标2x，∴B点坐标为(2x，K/2x)，∴CD=k/4x，AD=K/x⼀K/4x，∵S△AOD=1，即1/2(K/x⼀K/4x)x=1，解得K=8/3.所以反⽐例函数解析式为y=8/3x.(反⽐例函数有这样的优势，通过设坐标，引进系数K，也就引进了⾯积，这⼀点同学们多体会⼀下).⽅法六.利⽤实际问题的关系求解析式11.某运输队要运300t物资到江边防洪.(1)运输时间t(单位:h)与运输速度v(单位:t/h)之间有怎样的函数关系？(2)运了⼀半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2h之内运到江边，则运输速度⾄少为多少？【分析】实际问题往往通过具体的量的关系，抽象为数学模型，⽤对应模型的数学知识解决实际问题.(1)本题数量关系为:物资总量=运输时间×运输速度，由于物资总量300t⼀定，所以运输时间与运输速度成反⽐例关系即t=300/v.(2)运输物资剩下⼀半即150t时，剩下的要在2h运到江边，所以运输速度⾄少为150÷2=75(t/h).(实际问题中的数量关系求反⽐例函数解析式，必须是a×b=c，c⼀定的数学模型).12.某汽车的功率P(单位:W)为⼀定值，它的速度v(单位:m/s)与它所受的牵引⼒F(单位:N)有关系:v=P/F，且当F=3000时，v=20.(1)这辆汽车的功率是多少⽡？请写出这⼀函数的解析式.(2)当它所受的牵引⼒为2500N时，汽车的速度为多少？(3)若限定汽车的速度不超过30m/s，则牵引⼒在什么范围？解:(1)由v=P/F，得P=Fv=3000×20=60000所以这辆汽车的功率为60000W，此函数解析式为v=60000/F.(2)当F=2500N时，代⼊v=60000/F，得v=60000÷2500=24，所以汽车的速度为24m/s.(3)由v≤30m/s，∴60000÷F≤30，∵F>0，∴F≥2000，所以牵引⼒⼤于或等于2000N.【总结】求反⽐例函数解析式，⼀般不太难，同学们把常见的⽅法掌握好，求出解析式为进⼀步攻克难题打下基础关.。
初中数学函数知识点和常见题型总结
函数知识点及常见题型总结函数在初中数学中考中分值大约有20~25分，一次函数、二次函数和反比例函数都会考查，其中一次函数和反比例函数分值共约占其中的50%，二次函数约占另一半。
函数的题型以下归纳总结了11种，当然这并不包括所有可能出现的情况，仅仅只是较为常见的。
函数有时是以下题型组合起来构成的较为复杂的题型，因此，我们必须掌握住以下题型才能寻求突破。
换句话说，我们掌握住以下题型，复杂的题型分解开来，我们也能各个突破，最终解决掉。
一、核心知识点总结1、函数的表达式1）一次函数：y=kx+b(,k b 是常数，0k ≠) 2）反比例函数：函数xky =（k 是常数，0k ≠）叫做反比例函数。
注意：0x ≠ 3）二次函数：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，， 2、点的坐标与函数的关系1）点的坐标用(),a b 表示，横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，(),a b 和(),b a 是两个不同点的坐标。
2）点的坐标：从点向x 轴和y 轴引垂线，横纵坐标的绝对值对应相对应线段的长度。
3）若某一点在某一函数图像上，则该点的坐标可代入函数的表达式中，要将函数图像上的点与坐标一一联系起来。
3、函数的图像 1）一次函数一次函数by=的=的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy+kx图像是经过原点（0，0）的直线。
2）反比例函数3）二次函数4、函数图像的平移① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：③平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位二、常见题型：1、求函数的表达式常见求函数表达式的方法是待定系数法，假设出函数解析式，将函数上的点的坐标代入函数，求出未知系数。
初中数学(4)--函数(2)--反比例函数与二次函数
6．（2005 徐州） 已知正比例函数 1).求这两个函数关系式.
y k1 x 与反比例函数 y
k2 x
的图象都经过点(2，
7． （2004 贵阳）如图，一次函数
y ax b 的图象与反比例函数 y
k 的图象交于 M 、 N 两点 . x
17 已知关于ｘ的一次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，如果ｙ随ｘ的增大而减小，则ｍ的取值范围是 18 某乡粮食总产值为ｍ吨，那么该乡每人平均拥有粮食ｙ（吨） ，与该乡人口数ｘ的函数关系式是 19、函数ｙ＝ ｘ－５ 中，自变量ｘ的取值范围 (Ａ)ｘ＞５ (Ａ)第一象限 (Ａ)０ (Ｂ)ｘ＜５
２
（ （
） (Ｄ)ｘ≥５ ） (Ｄ) 第四象限 （ ） ） （D） （3，－5）
y O
3/5
y x O x
y O x
y O x
数学复习
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By fangjiyong
y 4． （2005 安徽）任意写出一个图象经过二、 四象限的反比例函数的解析式:__________ M（2，m） O N（-1，-4） x
k 2 5． （2005 苏州）已知反比例函数 y ，其图象在第一、第三象限内，则 k 的值 x
28．某幢建筑物，从 10 米高的窗口 A 用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平 面与墙面垂直， （如图）如果抛物线的最高点 M 离墙 1 米，离地面 距离 OB 是（ （A）2 米 ） （B）3 米 （C）4 米 （D）5 米 40 米，则水流下落点 B 离墙 3
29．求下列函数的最大值或最小值． （1）
x1 x2 2 y1 y2 2
2、函数平移规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮 助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减 随堂练习：
反比例函数知识点知识点总结
反比例函数知识点知识点总结反比例函数是数学中常见的一种函数形式，其表达式为y = k/x，其中k为常数，x和y为变量。
反比例函数在实际问题中经常出现，对于理解和应用反比例函数，掌握其相关知识点十分重要。
一、反比例函数的定义与特点反比例函数是指函数的值与其自变量之间成反比关系的函数。
具体来说，当自变量x与函数值y之间满足y = k/x时，我们称该函数为反比例函数，其中k为常数。
反比例函数的特点如下：1. 自变量x不能为0，否则函数无意义；2. 函数图像是关于y轴和x轴的一条双曲线；3. 随着自变量x的增大，函数值y会逐渐减小，反之亦然。
二、反比例函数的图像及性质反比例函数的图像是一条双曲线，具体形状取决于常数k的正负和大小。
当k大于0时，双曲线开口朝上；当k小于0时，双曲线开口朝下。
另外，反比例函数还具有以下性质：1. 对称性：反比例函数关于坐标原点对称；2. 渐近线：当自变量x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值y趋近于0；3. 零点：当函数值y为0时，自变量x不存在。
三、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 时间和速度关系：在某些任务中，完成任务所需的时间与速度成反比。
例如，一辆汽车行驶的时间与其速度成反比，速度越快，行驶的时间越短。
2. 人工成本与产量关系：在生产过程中，投入的人工成本和产量之间成反比关系。
当投入的人工成本增加时，产量会减少。
3. 电阻与电流关系：在电路中，电阻与电流成反比。
当电阻增大时，电流减小。
4. 倒数关系：某些情况下，两个量之间存在倒数关系，即一个量的值与另一个量的倒数成反比。
例如，某个任务的完成速度与所需时间呈反比关系。
总结：通过对反比例函数的定义、特点和应用进行了解和掌握，我们可以更好地理解和应用反比例函数。
反比例函数在数学中具有重要的地位，在实际问题中也有着广泛的应用。
因此，加深对反比例函数的理解对于数学学习和实际问题的解决都具有重要意义。
一次函数,二次函数,反比例函数性质总结
一次函数、二次函数、反比例函数性质总结1.一次函数一次函数一次函数)0(¹+=k b kx y ，当0=x 时，得到的y 的值也即b 叫做图象与坐标轴的纵截距，当0=y 时，得到的x 的值，叫做图象与坐标轴的横截距。
的值，叫做图象与坐标轴的横截距。
（1）当0=b 时，一次函数的解析式变为)0(¹=k kx y ，也称为正比例函数，此函数图象恒过原点)0,0(O ，且横，纵截距都为0。
且0>k 时，函数图象过一、三象限，0>k 时，图象过二、四象限。
时，图象过二、四象限。
①0>k ②0<k（2)当0¹b 时，)0(¹+=k b kx y 的图象及性质为的图象及性质为①0,0>>b k 时，时， ② 0,0<>b k 时 图象过一二，三图象过一二，三 图象过一、三、四图象过一、三、四象限象限 象限象限③0,0><b k 时，时， ④ 0,0<<b k 时，时，图象过一、二、四图象过一、二、四 图象过二、三、四图象过二、三、四象限象限 象限象限yxxy yy OOOO xxyOOy xx2.二次函数二次函数 二次函数的一般形式为)0(2¹++=a c bx ax y ，且a 决定开口方向和大小，当0>a 时，抛物线开口向上，有最小值，值域为),44[2+¥-ab ac 当0<a ，抛物线开口向下，有最大值，值域为]44,(2ab ac --¥。
（1）当0,0==c b 时，函数的解析式变为)0(2¹=a ax y ，则，则 ①0>a 时 ②0<a 时（2）b a ,决定二次函数的对称轴和开口方向决定二次函数的对称轴和开口方向①当0,0,0=>>c b a 时 ②0,0,0=<>c b a 时③ 0,0,0=><c b a 时 ④ 0,0,0=<<c b a 时（3）c a ,决定开口方向和与y 轴的截距轴的截距①0,0,0=>>b c a 时 ②0,0,0=<>b c a 时yyOxxxxyyOOyOxxOyO③0,0,0=><b c a 时 ④0,0,0=<<b c a 时（3）对于一般的二次函数，c b a ,,共同来决定其函数图像和性质，故通常采用配方的方法共同来决定其函数图像和性质，故通常采用配方的方法)0(2¹++=a c bx ax yc a b a b x a b x a c x a bx a +-++=++=))2()2(()(2222c a b a b x a +-+=]4)2[(222=c ab a b x a +-+4)2(22=ab ac a b x a 44)2(22-++我们称ab x 2-=为二次函数的对称轴，坐标)44,2(2a b ac a b--为二次函数的顶点坐标，此时我们也称其解析式为二次函数的顶点式，并可设其解析式为)0()(2¹+-=a k h x a y 。
反比例函数九年级知识点
反比例函数九年级知识点反比例函数是初中数学中的一个重要知识点。
在九年级学完正比例函数后，学生通常会在课堂上接触到反比例函数的概念和性质。
接下来，我们将深入探讨反比例函数及其应用。
一、反比例函数的定义反比例函数是指函数中的两个变量之间存在着一种特殊的关系：当一个变量的值增大时，另一个变量的值就会减小，反之亦然。
其数学表达形式为 y = k / x，其中 k 是比例常数，而 x 和 y 分别表示自变量和因变量。
二、反比例函数的性质1. 定义域和值域对于反比例函数 y = k / x，自变量x 可以取任意不为0的实数，因变量 y 的值域为全体实数。
2. 对称中心反比例函数的图像关于第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的坐标轴有对称性，且交点为(1, k)。
3. 单调性当自变量 x 变大时，因变量 y 逐渐减小；当自变量 x 变小时，因变量 y 逐渐增大。
因此，反比例函数是单调函数。
4. 渐近线对于反比例函数 y = k / x，当自变量 x 趋于正无穷大或负无穷大时，因变量 y 趋于0。
因此，反比例函数的图像与 x 轴和 y 轴分别有两条渐近线。
三、反比例函数的图像反比例函数的图像呈现出一条平面上的双曲线。
根据反比例函数的性质，我们可以知道，当自变量取较小的正数时，函数的值较大；当自变量取较大的正数时，函数的值较小。
图像的左侧和右侧都逐渐靠近 x 轴，说明函数值趋于无穷大。
而当自变量 x 离 0 越远时，函数值越接近于 0。
四、反比例函数的应用反比例函数广泛应用于各个领域，如物理学、经济学和生物学等。
以下是几个常见的应用示例：1. 电阻和电流欧姆定律规定电阻大小与通过电流的大小成反比例关系。
当电流增大时，电阻减小，反之亦然。
这种关系可以用反比例函数来描述。
2. 速度和时间在实际的物理运动中，速度与所用时间成反比例关系。
当速度增大时，所用时间减小，反之亦然。
反比例函数可以用来描述运动物体在不同速度下所用的时间。
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反比例函数顶点式公式
反比例函数顶点式公式是一种常见的数学表达方式，用于描述两个变量之间的关系。
在这篇文章中，我们将探讨反比例函数顶点式公式的含义、特点以及一些实际应用。
一、反比例函数顶点式公式的定义
反比例函数顶点式公式，又称为反比例函数的标准式，可以用以下形式表示：
y = k/x
其中，y表示因变量，x表示自变量，k为常数。
反比例函数顶点式公式表达了两个变量之间的反比关系，即当自变量x增大时，因变量y会减小；当自变量x减小时，因变量y会增大。
函数图像通常是一个经过原点的开口向右上或右下的双曲线。
三、反比例函数顶点式公式的特点
1. 零点：在反比例函数中，当自变量x等于0时，因变量y等于无穷大或负无穷大。
这是因为当x为0时，分母为0，所以函数没有定义。
2. 对称轴：反比例函数的对称轴为y轴，即函数图像关于y轴对称。
3. 渐近线：反比例函数的图像有两条渐近线，分别为x轴和y轴。
当x趋近于无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
4. 顶点：反比例函数的顶点为(1,k)或(k,1)，其中k为常数。
四、反比例函数顶点式公式的应用
反比例函数顶点式公式在实际生活中有许多应用。
以下是一些常见的应用场景：
1. 物体运动：当一个物体以一定的速度运动时，与时间的关系可以用反比例函数来描述。
物体运动的速度与所用时间成反比，即运动速度越快，所用时间越短。
2. 电阻与电流：在电路中，电阻与电流之间的关系可以用反比例函数来表示。
根据欧姆定律，电阻等于电压与电流的比值，即R = V/I，其中R为电阻，V为电压，I为电流。
3. 购买力与价格：在经济学中，购买力与商品价格之间存在着反比关系。
当商品价格上涨时，购买力下降；当商品价格下降时，购买力增加。
4. 人口密度与土地面积：在城市规划中，人口密度与土地面积之间的关系可以用反比例函数来描述。
通常情况下，城市面积相对较小的地方，人口密度会相对较大。
五、总结
反比例函数顶点式公式是一种常见的数学表达方式，用于描述两个变量之间的反比关系。
它的图像通常是一个经过原点的开口向右上或右下的双曲线。
反比例函数在物理学、经济学、城市规划等领域都有广泛的应用。
通过研究反比例函数，我们可以更好地理解和分析各种实际问题。
希望本文对你理解反比例函数顶点式公式有所帮
助。