厚壁圆筒应力

m'1
n' 1
w+dw
m1
n1
m'
n'
w
m
n
d
r
图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程（续）
径向应变 周向应变
r
wdw wdw
dr dr
rwrddrdw r
变形协调方程
d
dr
1rr
（2-27） （2-28）
2.3 厚壁圆筒应力分析
d. 物理方程
r
1 E
r
z
应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
a. 微元体 如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组 成，微元在轴线方向的长度为1单位。
b. 平衡方程
r d rr dd r rrd 2 dsr 2 i n 0
r
r dr
dr
（2-26）
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程 (应力－应变）
po=0 任意半径 r 内壁处
处
r=Ri
K
pi 2 1
1
Ro2 r2
pi
外壁处 r=Ro
0
仅受外压
任意半径 r 处
po K 2 K 2 1
1
Ri2 r2
pi=0 内壁处
r=Ri
0
外壁处 r=Ro
po
K
pi 2 1
1
Ro2 r2
Pi
K K
2 2
11
pi
K
2
2 1
po K 2 K 2 1
径向应力
rpiR R i0 2 2 R p0 i2 R 0 2piR 0 2p 0R R i2 i2R 0 2r1 2 （2-34）
轴向应力
z
piRi2 p0R02 R02 Ri2
称Lamè（拉美）公式
2.3 厚壁圆筒应力分析Fra Baidu bibliotek
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
受 力 情况 位
应
置
力
分
析
r
仅受内压
;
A B r2
2.3 厚壁圆筒应力分析
边界条件为：当 r Ri 时，r pi ； 当 r R0 时，r p0 。
由此得积分常数A和B为：
A piRi2 p0R02 R02 Ri2
B pi p0 Ri2R02
R02 Ri2
2.3 厚壁圆筒应力分析
周向应力
piR R i0 2 2 R p0 i2 R 0 2piR 0 2p 0R R i2 i2R 0 2r1 2
厚壁容器：
Do/Di 1.11.2
应力
径向应力不能忽略，处于三向应力状态；应力 仅是半径的函数。
位移
周向位移为零，只有径向位移和轴向位移
应变
径向应变、轴向应变和周向应变
分析方法
8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定问 题，需平衡、几何、物理等方程联立求解。
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
1
Ri2 r2
po
2K 2 K 2 1
po
K K
2 2
11
z
pi
K
1 2 1
po
K K2
2
1
2.3 厚壁圆筒应力分析
z
z
z
pi K2 1
r min 0
r max pi
max pi
K2 1 K2 1
min pi
2 K2 1
r r min 0
r max p0
r
z
p0
K2 K2 1
2.3 厚壁圆筒应力分析
③除 z 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。
以 为例，外壁与内壁处的 周向应力 之比为：
K值愈大不均匀程度愈严重，
rR0 2 rRi K2 1
当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服，
因此筒体材料强度不能得到充分的利用。
例题
内壁周向应力
有最大值，其值为：maxpi
K2 1 K2 1
外壁处减至最小，其值为：
minpi
2 K2 1
内外壁 之差为 p i ；
径向应力内壁处为 p i ，随着 r 增加， 径向应力绝对值
逐渐减小，在外壁处 r =0；
轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力
和的一半，即
z 12 r
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、周向应力与径向应力 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着 手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 a. 微元体 b. 平衡方程 c. 几何方程 (位移－应变） d. 物理方程（应变－应力） e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 （求解微分方程，积分，边界条件定常数）
讨论
2.3 厚壁圆筒应力分析
二、温度变化引起的弹性热应力
1、热应力概念 2、厚壁圆筒的热应力 3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 4、热应力的特点
2.3 厚壁圆筒应力分析
1、热应力概念 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内
所引起的应力，称为热应力。
单向约束：
研究在内压、 外压作用下， 厚壁圆筒中的 应力。
p0
po
pi
pi
a.
po
m1 n1
m n
pi
b.
m1
m
dr
r+
dr dr
dr
n1
r
n
r
Ri Ro
c.
d.
图2-15 厚壁圆筒中的应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
•以轴线为z轴建立圆柱坐标。 •求解远离两端处筒壁中的三向应力。
一、压力载荷引起的弹性应力
1 E
r
z
（2-29）
2.3 厚壁圆筒应力分析
e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程
r
1 E
r
z
1 E
r
z
r1 Er
d
dr
1rr
ddr1rE r
ddrE 1ddrddrr
d d rd d rr1 rr
r
r dr
dr
rdd2r2r
3dr
dr
0
（2－33）
r
A
B r2
二、温度变化引起的弹性热应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
一、压力载荷引起的弹性应力 1、轴向（经向）应力 对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所以， 假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：
zR i2p R i0 2 R R i0 2 2p0piR R i0 2 2 R p0 i2R 0 2＝ A （2-25）
2、压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
主要内容
2.3.1 弹性应力 2.3.2 弹塑性应力 2.3.3 屈服压力和爆破压力 2.3.4 提高屈服承载能力的措施
2.3 厚壁圆筒应力分析
min p0
K2 1 K2 1
maxp0
2K2 K21
(a)仅受内压
(b)仅受外压
图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
2.3 厚壁圆筒应力分析
仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律：
①周向应力 及轴向应力 z 均为拉应力（正值）， 径向应力 r 为压应力（负值）。
2.3 厚壁圆筒应力分析
②在数值上有如下规律：