3运输问题
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第三章 运输问题
基本要求：
1. 了解运输问题的特点；
2. 掌握表上作业法及其在产销平衡运输问题的求解中的应用； 3. 掌握产销不平衡运输问题的求解方法。
第一节 运输问题的数学模型
一、什么是运输问题
某种物资有若干个产地和销地，若已知各个产地的产量、 各个销地的销量以及各产地到各销地的单位运价（或运输距 离）。问应如何组织调运，才能使总运费（或总的运输量） 最省？
.
.
1
1
1 .
1
1 1
1 …
1 .
1
.
.
1
.
1
.
1
m行
n行
第一节 运输问题的数学模型
特点：（1）约束条件系数矩阵的元素等于0或1； （2）约束条件系数矩阵的每一列有两个非零 元素，这对应于每一列变量在前m个方程中出现一次， 在后n个方程中出现一次。
0 1 0 Pij 1 0
j
n x ij a i (i 1,2,, m) j1 m st. x ij b j (j 1,2,, n) i 1 x ij 0 (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
第一节 运输问题的数学模型
例：某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生 产的产品由4个销售点（销地）出售，各工厂的生产量、 各销售点的销售量（假定单位均为t）以及各工厂到各销 售点的单位运价（元/t）见下表，要求研究产品如何调运 才能使总运费最少？
第二节
用表上作业法求解运输问题
基本可行解
否
换基 判断是否为最优
是
结束
第二节 用表上作业法求解运输问题
一、初始基本可行解的确定 1、最小元素法 2、西北角法
3、沃格尔（Vogel）法
最小元素法：
销地
产地
B1
4 2 8 8 14
B2
12 10 10 5 2
B3 4 6 3 11 8
B4
11 9 6
4
B2
12
B3
4
B4
11
产量
行罚数
1
2
3
4
5
12
2 10 3
4
9
16 10
6
0 1 1
0 1 2
0 1
7 6
0 0
8
8 5 11
2 14 8 12 14
22
8
2 2 2
14
5
1
1 1 1
3
3 2
2
2
第二节
用表上作业法求解运输问题
二、解的最优性检验 1、闭回路法 2、位势法
闭回路法：
产地
销地
B1
(+1) (-1)
第三节 运输问题的进一步讨论
在前m个约束条件中引入松驰变量得
MinZ cijx ij
i 1 j1
m
n
n x ij x i,n 1 a i (i 1,2,, m) j1 m st. x ij b j (j 1,2,, n) i 1 x ij 0 (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
11 6 16
9 10
10
10 2 3 11
-1
8 14
14
5
6
8 22
-5
12
14
3
10
4
11
销地
产地 A1 A2 A3 销量 求检验数：
8
B1
4 2 8
B2
12
B3
4 10 6 3 2 11
B4
11 9 6
产量
16 10 22
10 5
14
8
8
产地
14
销地
12
B1
14
B2 B3
4 3
B4
11
产量
(其中，i1,i2,…,is互不相同，j1,j2,…,js互不相同)形式的变量的 集合称为一个闭回路。所有变量均称为闭回路的顶点。
第一节 运输问题的数学模型
结论1：闭回路中所有顶点表示的变量对应的系数列 向量线性相关。 结论2：若变量组中的一部分构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。 定理：r个变量对应的系数列向量线性无关的充要条 件是变量组中不包含闭回路。 推论：m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它不 含任何闭回路。
产量 16 10
22
A1 A2
A3
6 2 8
销量
8
14
12
14
10
6
西北角法：
销地
产地
B1 4 8 2 6 8 8
B2 12 10 5 8
B3 4 3 11 14
B4 11 9
产量 16 10 22
A1 A2 A3 销量
8 4 14
4
6
14
8
14
12
6
8
沃格尔法：
销地 产地 A1 A2 A3 销量 1 列 罚 数 2 3 4 5 B1
产量 40 60 50
A1 A2 A3 销量
第三节 运输问题的进一步讨论
解：虚拟一个销地B5，令其销量为20，根据题意， 各产地向虚拟销地调运原料的单位运价是0。将原 问题化为产销平衡的运输问题，
销地 产地
B1
5 9 Hale Waihona Puke Baidu0 25
B2
6 4 7 20
B3
9 8 5 40
B4
4 5 3 45
B5
0 0 0 20
单位运价 销地 销地 单位运价
产地 产地
B1 销地 c11 c21
产地
B2 B1 c12 c11 c22 c21
A1 A2
A1 A2
… Bn 产 量 … Bn B2 … c1n a1 … c1n c12 a2 … c2n c22 … c2n … … … cmn … cmn cm2 … bn
Am 销 量
4
9
10 3 3
-4
3
8
6
3
第三节 运输问题的进一步讨论
一、产销不平衡的运输问题 1、总产量大于总销量，即 数学模型： MinZ cijx ij
i 1 j1 m n
a b
i 1 i j
m
n
j
n x ij a i (i 1,2,, m) j1 m st. x ij b j (j 1,2,, n) i 1 x ij 0 (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
=cij-(ui+vj)
又∵基变量的检验数均为0 包含 m+n-1
个变量的
∴cij-(ui+vj)=0
列出包含ui,vj的 m+n-1 个等式
(当xij为基变量时)
令任意一个对偶变 量为任意数
m+n-1 个等式
求位势：
销地 产地 A1 A2 A3 销量 vj 8 B1 4 2 8 B2 12 B3 4 B4 产量 ui 0
销地
产地
B1 4 2
B2 12
B3 4 3
B4 11 9 6 14
产量
16 10 22
A1 A2 A3 销量
10 5
14
8 8
11
12
第一节 运输问题的数学模型
四、运输问题的数学模型的特点 1、运输问题有有限最优解
对运输问题，若令其变量xij= (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
m n i 1 j 1
j
第三节 运输问题的进一步讨论
例：设有产量分别为40、60、50的三个原料产地A1、 A2、A3，欲将原料运往需要量分别为25、20、40、 45的四个销地，单位运价如下表所示，试求总运费 最省的调运方案。
销地 产地
B1 5 9 10 25
B2 6 4 7 20
B3 9 8 5 40
B4 4 5 3 45
ui
0 -1 -5
A1
A2 A3 销量
1
4 2
2
1
12 10 5
16 10 22
-1
9 6
10
3
8
12
4
11
8
14
10
12
14
11
vj
第二节 用表上作业法求解运输问题
三、解的改进
（1）以xij为换入变量，找出它在运输表中的闭回路； （2）以空格（Ai,Bj）为第一个奇数顶点，沿闭回路的顺 （或逆）时针方向前进，对闭回路上的顶点依次编号； （3）在闭回路上的所有偶数顶点中，找出运输量最小的顶 点（格子），以该格中的变量为换出变量； （4）以（3）中找到的运输量为调整量，将该闭回路上所有 奇数顶点处的运输量都增加这一数值，所有偶数顶点处的运 输量都减去这一数值，从而得出一新的运输方案。该运输方 案的总费用比原运输方案减少。
第i行 Pij=ei+em+j 第m+j行
第一节 运输问题的数学模型
3、运输问题的基变量的个数：共有m+n-1个。 4、闭回路的相关概念 定义：凡是能排成 或
xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,, xis js , xis j1
xi1 j1 , xi2 j1 , xi2 j2 , xi3 j2 ,, xis js , xi1 js
ai b j Q
，
其中Q= ai b j ，则xij就是运输问题的一个可行 解；另一方面，运输问题目标函数有下界。由此可知， 运输问题必存在有限最优解。
第一节 运输问题的数学模型
2、运输问题约束条件的系数矩阵
X11x12 …x1n x21 x22… x2n … 1 1 … 1 1 1 … 1 . xm1 xm2 … xmn
B2
B3
(-1) (-1)
B4
产量
A1 A2 A3
销量
4
2
12
10
10
4
3
(+1)
6
11
9
16 10 22
8 (-1)
(+1)
(+1)2 (+1)
8
8 B1
14
5
11
12 B3
(-1)
8 14 B4
6
14 B2
检验数表
销地 产地
产量
A1 A2
1
2 1 -1 12
A3
销量
10
2、位势法（对偶变量法）
销地 A1 A2 A3 销量
产地
B1
3 7 2 60
B2
2 5 5 40
B3
7 2 4 20
B4
6 3 5 15
产量
50 60 25
销地 产地 A1 A2 A3 销量 vj 2
B1 5 4 4 6 2
B2 8 1 9 3
B3 7 3 10 3 2 3 3
B4
产量
ui
3 7
7 8
0 1
8
9 6 0 6
产销平衡的运输问题：
MinZ cijx ij
i 1 j1 m n
设其对偶变量为 Y＝(u1,u2,…,um,v1,v2,…,vn) 则其对偶问题是：
n x ij a i (i 1,2,, m) j1 m st. x ij b j (j 1,2,, n) i 1 x ij 0 (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
j
(j 1,2,, n)
ij
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
第一节 运输问题的数学模型
三、运输问题的分类
m n
1、产销平衡问题：运输问题的 中的总产量等于其总销量。即
MinZ cijx ij
i 1 j1 m n
a b
i 1 i j 1
运输表：
销地 产地
B1
x11 x21
A1 A2 … Am
销量
c11 c21
B2
x12 x22
…
c12 c22
Bn
x1n x2n
c1n c2n
Bn+1
x1,n+1 x2,n+1
0 0
产量
a1 a2 …
xm1
cm1
xm2
cm2 …
xmn
cmn
xm,n+1
m n i 1 i
0
am
j
b1
b2
bn
n+1 a b b
MaxZ' ai ui b j v j
i 1 j 1
m
n
矩阵特点
ui v j cij i 1,2,, m st. j 1,2,, n u i , v j的符号不限
2、位势法（对偶变量法） ∵检验数： Cij为已知，只需求出 -1 δj=cj-zj=cj-CBB Pj=cj-YPj 所有的对偶变量Ui和 ∴δij=cij-zij=cij-YPij Vj，即可求出所有的 检验数 =cij-(u1,u2,…,um,v1,v2,…,vn)Pij
销地 产地
B1
4
B2
12
B3
4 (+)
B4
11
产量 Ui 16 0
A1 A2
A3
0
2
2
10
12 10
3
6 4
(-) 9
8
8
2
5
1 (-) 2
11
2(+)
6
10 -2
22 -5
9
8 4
14
14 10
12
12 4
8
14 11
Vj 销量
(+)－－(-)6－－(+)10－－(-)2
例：用表上作业法求最优解
…
…
cm1
…
cm2
…
…
cmn
xm1
b1
xm2
b2
… …
xmn
bn
am
…
第一节 运输问题的数学模型
二、运输问题的数学模型
MinZ cijx ij
i 1 j1
i
m
n
x a x b x 0
j1 ij
n
(i 1,2,, m)
m
i 1
ij
产量
40 60 50
A1 A2 A3 销量
第三节 运输问题的进一步讨论
用最小元素法求得初始调运方案(基可行解)如下
销地 产地
B1
5 20 9 5
B2
6 4 20
B3
9 8 35
B4
4
B5
…
… …
…
cm1 b1
Am
…
…
…
cm2 cm1 b2
am
运输表
销地
产地
B1 c11 x11 c21 x21
B2 c12 x12 c22 x22
… … …
Bn c1n x1n c2n x2n
产量 a1 a2
A1 A2
Am 销量
注：表中变量xij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为由产地Ai运 往销地Bj的物品数量，cij为Ai到Bj的单位运价。
基本要求：
1. 了解运输问题的特点；
2. 掌握表上作业法及其在产销平衡运输问题的求解中的应用； 3. 掌握产销不平衡运输问题的求解方法。
第一节 运输问题的数学模型
一、什么是运输问题
某种物资有若干个产地和销地，若已知各个产地的产量、 各个销地的销量以及各产地到各销地的单位运价（或运输距 离）。问应如何组织调运，才能使总运费（或总的运输量） 最省？
.
.
1
1
1 .
1
1 1
1 …
1 .
1
.
.
1
.
1
.
1
m行
n行
第一节 运输问题的数学模型
特点：（1）约束条件系数矩阵的元素等于0或1； （2）约束条件系数矩阵的每一列有两个非零 元素，这对应于每一列变量在前m个方程中出现一次， 在后n个方程中出现一次。
0 1 0 Pij 1 0
j
n x ij a i (i 1,2,, m) j1 m st. x ij b j (j 1,2,, n) i 1 x ij 0 (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
第一节 运输问题的数学模型
例：某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生 产的产品由4个销售点（销地）出售，各工厂的生产量、 各销售点的销售量（假定单位均为t）以及各工厂到各销 售点的单位运价（元/t）见下表，要求研究产品如何调运 才能使总运费最少？
第二节
用表上作业法求解运输问题
基本可行解
否
换基 判断是否为最优
是
结束
第二节 用表上作业法求解运输问题
一、初始基本可行解的确定 1、最小元素法 2、西北角法
3、沃格尔（Vogel）法
最小元素法：
销地
产地
B1
4 2 8 8 14
B2
12 10 10 5 2
B3 4 6 3 11 8
B4
11 9 6
4
B2
12
B3
4
B4
11
产量
行罚数
1
2
3
4
5
12
2 10 3
4
9
16 10
6
0 1 1
0 1 2
0 1
7 6
0 0
8
8 5 11
2 14 8 12 14
22
8
2 2 2
14
5
1
1 1 1
3
3 2
2
2
第二节
用表上作业法求解运输问题
二、解的最优性检验 1、闭回路法 2、位势法
闭回路法：
产地
销地
B1
(+1) (-1)
第三节 运输问题的进一步讨论
在前m个约束条件中引入松驰变量得
MinZ cijx ij
i 1 j1
m
n
n x ij x i,n 1 a i (i 1,2,, m) j1 m st. x ij b j (j 1,2,, n) i 1 x ij 0 (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
11 6 16
9 10
10
10 2 3 11
-1
8 14
14
5
6
8 22
-5
12
14
3
10
4
11
销地
产地 A1 A2 A3 销量 求检验数：
8
B1
4 2 8
B2
12
B3
4 10 6 3 2 11
B4
11 9 6
产量
16 10 22
10 5
14
8
8
产地
14
销地
12
B1
14
B2 B3
4 3
B4
11
产量
(其中，i1,i2,…,is互不相同，j1,j2,…,js互不相同)形式的变量的 集合称为一个闭回路。所有变量均称为闭回路的顶点。
第一节 运输问题的数学模型
结论1：闭回路中所有顶点表示的变量对应的系数列 向量线性相关。 结论2：若变量组中的一部分构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。 定理：r个变量对应的系数列向量线性无关的充要条 件是变量组中不包含闭回路。 推论：m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它不 含任何闭回路。
产量 16 10
22
A1 A2
A3
6 2 8
销量
8
14
12
14
10
6
西北角法：
销地
产地
B1 4 8 2 6 8 8
B2 12 10 5 8
B3 4 3 11 14
B4 11 9
产量 16 10 22
A1 A2 A3 销量
8 4 14
4
6
14
8
14
12
6
8
沃格尔法：
销地 产地 A1 A2 A3 销量 1 列 罚 数 2 3 4 5 B1
产量 40 60 50
A1 A2 A3 销量
第三节 运输问题的进一步讨论
解：虚拟一个销地B5，令其销量为20，根据题意， 各产地向虚拟销地调运原料的单位运价是0。将原 问题化为产销平衡的运输问题，
销地 产地
B1
5 9 Hale Waihona Puke Baidu0 25
B2
6 4 7 20
B3
9 8 5 40
B4
4 5 3 45
B5
0 0 0 20
单位运价 销地 销地 单位运价
产地 产地
B1 销地 c11 c21
产地
B2 B1 c12 c11 c22 c21
A1 A2
A1 A2
… Bn 产 量 … Bn B2 … c1n a1 … c1n c12 a2 … c2n c22 … c2n … … … cmn … cmn cm2 … bn
Am 销 量
4
9
10 3 3
-4
3
8
6
3
第三节 运输问题的进一步讨论
一、产销不平衡的运输问题 1、总产量大于总销量，即 数学模型： MinZ cijx ij
i 1 j1 m n
a b
i 1 i j
m
n
j
n x ij a i (i 1,2,, m) j1 m st. x ij b j (j 1,2,, n) i 1 x ij 0 (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
=cij-(ui+vj)
又∵基变量的检验数均为0 包含 m+n-1
个变量的
∴cij-(ui+vj)=0
列出包含ui,vj的 m+n-1 个等式
(当xij为基变量时)
令任意一个对偶变 量为任意数
m+n-1 个等式
求位势：
销地 产地 A1 A2 A3 销量 vj 8 B1 4 2 8 B2 12 B3 4 B4 产量 ui 0
销地
产地
B1 4 2
B2 12
B3 4 3
B4 11 9 6 14
产量
16 10 22
A1 A2 A3 销量
10 5
14
8 8
11
12
第一节 运输问题的数学模型
四、运输问题的数学模型的特点 1、运输问题有有限最优解
对运输问题，若令其变量xij= (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
m n i 1 j 1
j
第三节 运输问题的进一步讨论
例：设有产量分别为40、60、50的三个原料产地A1、 A2、A3，欲将原料运往需要量分别为25、20、40、 45的四个销地，单位运价如下表所示，试求总运费 最省的调运方案。
销地 产地
B1 5 9 10 25
B2 6 4 7 20
B3 9 8 5 40
B4 4 5 3 45
ui
0 -1 -5
A1
A2 A3 销量
1
4 2
2
1
12 10 5
16 10 22
-1
9 6
10
3
8
12
4
11
8
14
10
12
14
11
vj
第二节 用表上作业法求解运输问题
三、解的改进
（1）以xij为换入变量，找出它在运输表中的闭回路； （2）以空格（Ai,Bj）为第一个奇数顶点，沿闭回路的顺 （或逆）时针方向前进，对闭回路上的顶点依次编号； （3）在闭回路上的所有偶数顶点中，找出运输量最小的顶 点（格子），以该格中的变量为换出变量； （4）以（3）中找到的运输量为调整量，将该闭回路上所有 奇数顶点处的运输量都增加这一数值，所有偶数顶点处的运 输量都减去这一数值，从而得出一新的运输方案。该运输方 案的总费用比原运输方案减少。
第i行 Pij=ei+em+j 第m+j行
第一节 运输问题的数学模型
3、运输问题的基变量的个数：共有m+n-1个。 4、闭回路的相关概念 定义：凡是能排成 或
xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,, xis js , xis j1
xi1 j1 , xi2 j1 , xi2 j2 , xi3 j2 ,, xis js , xi1 js
ai b j Q
，
其中Q= ai b j ，则xij就是运输问题的一个可行 解；另一方面，运输问题目标函数有下界。由此可知， 运输问题必存在有限最优解。
第一节 运输问题的数学模型
2、运输问题约束条件的系数矩阵
X11x12 …x1n x21 x22… x2n … 1 1 … 1 1 1 … 1 . xm1 xm2 … xmn
B2
B3
(-1) (-1)
B4
产量
A1 A2 A3
销量
4
2
12
10
10
4
3
(+1)
6
11
9
16 10 22
8 (-1)
(+1)
(+1)2 (+1)
8
8 B1
14
5
11
12 B3
(-1)
8 14 B4
6
14 B2
检验数表
销地 产地
产量
A1 A2
1
2 1 -1 12
A3
销量
10
2、位势法（对偶变量法）
销地 A1 A2 A3 销量
产地
B1
3 7 2 60
B2
2 5 5 40
B3
7 2 4 20
B4
6 3 5 15
产量
50 60 25
销地 产地 A1 A2 A3 销量 vj 2
B1 5 4 4 6 2
B2 8 1 9 3
B3 7 3 10 3 2 3 3
B4
产量
ui
3 7
7 8
0 1
8
9 6 0 6
产销平衡的运输问题：
MinZ cijx ij
i 1 j1 m n
设其对偶变量为 Y＝(u1,u2,…,um,v1,v2,…,vn) 则其对偶问题是：
n x ij a i (i 1,2,, m) j1 m st. x ij b j (j 1,2,, n) i 1 x ij 0 (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
j
(j 1,2,, n)
ij
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
第一节 运输问题的数学模型
三、运输问题的分类
m n
1、产销平衡问题：运输问题的 中的总产量等于其总销量。即
MinZ cijx ij
i 1 j1 m n
a b
i 1 i j 1
运输表：
销地 产地
B1
x11 x21
A1 A2 … Am
销量
c11 c21
B2
x12 x22
…
c12 c22
Bn
x1n x2n
c1n c2n
Bn+1
x1,n+1 x2,n+1
0 0
产量
a1 a2 …
xm1
cm1
xm2
cm2 …
xmn
cmn
xm,n+1
m n i 1 i
0
am
j
b1
b2
bn
n+1 a b b
MaxZ' ai ui b j v j
i 1 j 1
m
n
矩阵特点
ui v j cij i 1,2,, m st. j 1,2,, n u i , v j的符号不限
2、位势法（对偶变量法） ∵检验数： Cij为已知，只需求出 -1 δj=cj-zj=cj-CBB Pj=cj-YPj 所有的对偶变量Ui和 ∴δij=cij-zij=cij-YPij Vj，即可求出所有的 检验数 =cij-(u1,u2,…,um,v1,v2,…,vn)Pij
销地 产地
B1
4
B2
12
B3
4 (+)
B4
11
产量 Ui 16 0
A1 A2
A3
0
2
2
10
12 10
3
6 4
(-) 9
8
8
2
5
1 (-) 2
11
2(+)
6
10 -2
22 -5
9
8 4
14
14 10
12
12 4
8
14 11
Vj 销量
(+)－－(-)6－－(+)10－－(-)2
例：用表上作业法求最优解
…
…
cm1
…
cm2
…
…
cmn
xm1
b1
xm2
b2
… …
xmn
bn
am
…
第一节 运输问题的数学模型
二、运输问题的数学模型
MinZ cijx ij
i 1 j1
i
m
n
x a x b x 0
j1 ij
n
(i 1,2,, m)
m
i 1
ij
产量
40 60 50
A1 A2 A3 销量
第三节 运输问题的进一步讨论
用最小元素法求得初始调运方案(基可行解)如下
销地 产地
B1
5 20 9 5
B2
6 4 20
B3
9 8 35
B4
4
B5
…
… …
…
cm1 b1
Am
…
…
…
cm2 cm1 b2
am
运输表
销地
产地
B1 c11 x11 c21 x21
B2 c12 x12 c22 x22
… … …
Bn c1n x1n c2n x2n
产量 a1 a2
A1 A2
Am 销量
注：表中变量xij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为由产地Ai运 往销地Bj的物品数量，cij为Ai到Bj的单位运价。