两个角动量的耦合
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Jˆ1Jˆ1Jˆ2Jˆ2 i Jˆ1i Jˆ2 i (Jˆ1Jˆ2) i Jˆ
或
[J ˆx,J ˆy] [J ˆ1 xJ ˆ2x,J ˆ1 yJ ˆ2y][Jˆ1x,Jˆ1y][Jˆ2x,Jˆ2y]
i Jˆ1z i Jˆ2z i Jˆ z
即 Jˆ 满足角动量的一般定义。 注意： Jˆ1不J是ˆ2 角动量。
为基矢j1j的2 jm表象；
无耦合表象：以 (Jˆ12,Jˆ1z的,Jˆ共22,同Jˆ2z本) 征矢
为基矢j1m的1j2表m2象。
Jˆ2
Jˆz Jˆ12
j1 j2 jm
j( j 1) m
j1( j1 1)
2
2
j1 j2 jm
Jˆ22
j2( j2 1) 2
Jˆ12 Jˆ1z Jˆ22
2． 、Jˆ 12 、Jˆ 1 z 、Jˆ 22 彼Jˆ 此2 z 对易 (Jˆ12,Jˆ1z组,Jˆ22成,Jˆ了2z)第 二 套 力 学 量 完 全 集 ， 它 们 的 共 同 本 征 矢
组成了j1 m 正1交j2 m 归2一 完j1 备m 1基j2 m 矢2组。
3．耦合表象和无耦合表象
耦合表象：以 (Jˆ2,Jˆz的,Jˆ共12,同Jˆ22本) 征矢
[Jˆ1,Jˆ2]0 或
[Jˆ1,Jˆ2]0 (,x,y,z)
定义：体系的总角动量
Jˆ Jˆ1 Jˆ2
则 J ˆ J ˆ (J ˆ1 J ˆ2 ) (J ˆ1 J ˆ2 ) J ˆ 1 J ˆ 1 J ˆ 1 J ˆ 2 J ˆ 2 J ˆ 1 J ˆ 2 J ˆ 2
J ˆ1 J ˆ2 J ˆ2 J ˆ1
j
2
(2jm in 1 ) 2 (2jm a x 1 )(jm a xjm in 1 )
(jm a x jm in 1 ) (jm a x jm in 1 )
所以
(jm a x 1 ) 2 jm 2 in (j 1 j2 1 ) 2 jm 2 in ( j 1 j 2 1 ) 2 j m 2 i ( 2 n j 1 1 )2 j ( 2 1 )
j1
j2
j1m 1j2m 2 j1j2jmj1m 1j2m 2
m 1j1m 2j2
展开系数 j1m1j2m2 j1j2jm称为矢量耦合系数或克来布希-高登系数 （Clebsch—Gorden）系数，简称C-G系数。
因为
[ J ˆ z ,J ˆ 1 z ] [ J ˆ 1 z ,J ˆ 1 z ] [ J ˆ 2 z ,J ˆ 1 z ] 0
jm ax
(2 j 1)
j jm in
由于幺正变换不改变空间的维数，所以
jm ax
(2j1)(2j11)2 (j21)
jjm i n
上式左边是公差为2的等差数列之和，其项数为
于是
1 2(2 jm a x 1 ) (2 jm in 1 ) 1 jm a x jm in 1
(2 j 1) 1（首项+末项） 项数
jmaxj1j2
（2） jmin j1 j2
给定 、j 1 ，j 2则 取m值1 个2 j1， 1 取值m 2 个，2 j所2 以1 无耦合表象基矢
个数（即无j1耦m1合j2m表2 象空间的维数）为
(2j11)2 (j21)
另一方面，对应于一个 值j， 有m 2个j 取1值，所以耦合表象基矢
个数为j1 j2 jm
m 2
2．量子数 和j 、j1的关j2 系
（1） jmaxj1j2 给定 、j 1 ，j 2则
取m 1值：
取m 2值：
取m值：
j1,j11, ,j1
j2,j21, ,j2 j, j 1 , ,j
因为 mm1m2 所以
最大值 m1max j1 最大值 m2max j2 最大值 mmax jmax j m ma xm 1ma xm 2max 于是
jmin j1 j2
（3） 的j取值 给定 、j 1 后j，2 的取j 值
jj1j2,j1j2 1 ,..j1. ,j2 j1j2 jj1j2
每一步的改变为1。
(Jˆ1Jˆ2)(Jˆ1Jˆ2) J ˆ 1 J ˆ 1 J ˆ 1 J ˆ 2 J ˆ 2 J ˆ 1 J ˆ 2 J ˆ 2
Jˆ1Jˆ1Jˆ2Jˆ2 i Jˆ1i Jˆ2 i (Jˆ1Jˆ2) i (Jˆ1Jˆ2)
二、角动量算符之间的的对易关系
1． 、Jˆ 2 、Jˆ z 、Jˆ 12 彼Jˆ 此22 对易
[J ˆz,Jˆ1 2][Jˆ1zJˆ2z,Jˆ1 2][Jˆ1z,Jˆ12][Jˆ2z,Jˆ12] 0
[Jˆz,Jˆ22] 0
（4） [Jˆ12,Jˆ22]0
综上， (Jˆ2,Jˆz,Jˆ是12,J彼ˆ22)此对易的，它们了组成第一套力学量完全集，
其共同本征矢
组成了j1正j2 j交m归一完备基矢组。
（2） [Jˆ2,Jˆ12][Jˆ2,Jˆ2 2]0 [ J ˆ 2 ,J ˆ 1 2 ] [ J ˆ 1 2 ,J ˆ 1 2 ] [ J ˆ 2 2 ,J ˆ 1 2 ] 2 [ J ˆ 1 J ˆ 2 ,J ˆ 1 2 ] 0
[Jˆ2,Jˆ22] 0
（3） [J ˆz,J ˆ1 2][J ˆz,J ˆ2 2]0
一、两个角动量的相加（耦合）
考虑由两个不同子体系构成的量子体系。设两个子体系的角动量
分别为 和Jˆ 1 ，它Jˆ 2 们满足 Jˆ1Jˆ1 i Jˆ1
[Jˆ12, Jˆ1] 0
Jˆ2Jˆ2 i Jˆ2
[Jˆ22, Jˆ2]0 (x,y,z)
由于 和Jˆ 1 属J于ˆ 2 不同子体系，所以相互对易，即
两个角动量的耦合
主讲人：XXX
§7-4 两个角动量的耦合
一、两个角动量的相加（耦合） 二、角动量算符之间的对易关系 三、耦合表象与无耦合表象的关系
§7-4 两个角动量的耦合
两个角动量（磁矩）发生耦合，体系便出现附加能量，在此情况 下，可以证明角动量为守恒量。核壳层结构、原子光谱的精细结构、 复杂塞曼效应都必须由角动量耦合才能得到合理解释。
所以 Jˆ、z Jˆ有1z 共同本征矢，因此
J ˆzj1 m 1 j2 m 2 (J ˆ1 z J ˆ2 z)j1 m 1 j2 m 2 (m 1 m 2) j1 m 1j2 m 2
即 Jˆ 的z 本征值为 (m1，m2所) 以
mm1m2
则
j 1 j 2 j m j 1 ,m m 2 ,j 2 ,m 2j 1 ,m m 2 ,j 2 ,m 2j 1 j 2 j m
J ˆ2J ˆ1 2J ˆ2 22J ˆ1J ˆ2
Jˆz Jˆ1z Jˆ2z
（1） [Jˆ2,Jˆz]0
[J ˆ2,J ˆz][J ˆx 2J ˆy 2J ˆz2,J ˆz][Jˆx2,Jˆz][Jˆy2,Jˆz]
J ˆ x [ J ˆ x ,J ˆ z ] [ J ˆ x ,J ˆ z ] J ˆ x J ˆ y [ J ˆ y ,J ˆ z ] [ J ˆ y ,J ˆ z ] J ˆ y iJ ˆ x J ˆ y iJ ˆ y J ˆ x iJ ˆ y J ˆ x iJ ˆ x J ˆ y 0
j1m1 j2m2
j1( j1 1) m1
j2( j2 1)
2 2
j1m1 j2m2
Jˆ2z
m2
三、耦合表象与无耦合表象的关系
1．表象变换
耦合表象的基矢可以用无耦合表象的基矢表示出来，即
j1
j2
Baidu Nhomakorabea
j1j2jm
j1 m 1j2m 2 j1 m 1j2m 2j1j2jm
m 1 j1m 2 j2
或
[J ˆx,J ˆy] [J ˆ1 xJ ˆ2x,J ˆ1 yJ ˆ2y][Jˆ1x,Jˆ1y][Jˆ2x,Jˆ2y]
i Jˆ1z i Jˆ2z i Jˆ z
即 Jˆ 满足角动量的一般定义。 注意： Jˆ1不J是ˆ2 角动量。
为基矢j1j的2 jm表象；
无耦合表象：以 (Jˆ12,Jˆ1z的,Jˆ共22,同Jˆ2z本) 征矢
为基矢j1m的1j2表m2象。
Jˆ2
Jˆz Jˆ12
j1 j2 jm
j( j 1) m
j1( j1 1)
2
2
j1 j2 jm
Jˆ22
j2( j2 1) 2
Jˆ12 Jˆ1z Jˆ22
2． 、Jˆ 12 、Jˆ 1 z 、Jˆ 22 彼Jˆ 此2 z 对易 (Jˆ12,Jˆ1z组,Jˆ22成,Jˆ了2z)第 二 套 力 学 量 完 全 集 ， 它 们 的 共 同 本 征 矢
组成了j1 m 正1交j2 m 归2一 完j1 备m 1基j2 m 矢2组。
3．耦合表象和无耦合表象
耦合表象：以 (Jˆ2,Jˆz的,Jˆ共12,同Jˆ22本) 征矢
[Jˆ1,Jˆ2]0 或
[Jˆ1,Jˆ2]0 (,x,y,z)
定义：体系的总角动量
Jˆ Jˆ1 Jˆ2
则 J ˆ J ˆ (J ˆ1 J ˆ2 ) (J ˆ1 J ˆ2 ) J ˆ 1 J ˆ 1 J ˆ 1 J ˆ 2 J ˆ 2 J ˆ 1 J ˆ 2 J ˆ 2
J ˆ1 J ˆ2 J ˆ2 J ˆ1
j
2
(2jm in 1 ) 2 (2jm a x 1 )(jm a xjm in 1 )
(jm a x jm in 1 ) (jm a x jm in 1 )
所以
(jm a x 1 ) 2 jm 2 in (j 1 j2 1 ) 2 jm 2 in ( j 1 j 2 1 ) 2 j m 2 i ( 2 n j 1 1 )2 j ( 2 1 )
j1
j2
j1m 1j2m 2 j1j2jmj1m 1j2m 2
m 1j1m 2j2
展开系数 j1m1j2m2 j1j2jm称为矢量耦合系数或克来布希-高登系数 （Clebsch—Gorden）系数，简称C-G系数。
因为
[ J ˆ z ,J ˆ 1 z ] [ J ˆ 1 z ,J ˆ 1 z ] [ J ˆ 2 z ,J ˆ 1 z ] 0
jm ax
(2 j 1)
j jm in
由于幺正变换不改变空间的维数，所以
jm ax
(2j1)(2j11)2 (j21)
jjm i n
上式左边是公差为2的等差数列之和，其项数为
于是
1 2(2 jm a x 1 ) (2 jm in 1 ) 1 jm a x jm in 1
(2 j 1) 1（首项+末项） 项数
jmaxj1j2
（2） jmin j1 j2
给定 、j 1 ，j 2则 取m值1 个2 j1， 1 取值m 2 个，2 j所2 以1 无耦合表象基矢
个数（即无j1耦m1合j2m表2 象空间的维数）为
(2j11)2 (j21)
另一方面，对应于一个 值j， 有m 2个j 取1值，所以耦合表象基矢
个数为j1 j2 jm
m 2
2．量子数 和j 、j1的关j2 系
（1） jmaxj1j2 给定 、j 1 ，j 2则
取m 1值：
取m 2值：
取m值：
j1,j11, ,j1
j2,j21, ,j2 j, j 1 , ,j
因为 mm1m2 所以
最大值 m1max j1 最大值 m2max j2 最大值 mmax jmax j m ma xm 1ma xm 2max 于是
jmin j1 j2
（3） 的j取值 给定 、j 1 后j，2 的取j 值
jj1j2,j1j2 1 ,..j1. ,j2 j1j2 jj1j2
每一步的改变为1。
(Jˆ1Jˆ2)(Jˆ1Jˆ2) J ˆ 1 J ˆ 1 J ˆ 1 J ˆ 2 J ˆ 2 J ˆ 1 J ˆ 2 J ˆ 2
Jˆ1Jˆ1Jˆ2Jˆ2 i Jˆ1i Jˆ2 i (Jˆ1Jˆ2) i (Jˆ1Jˆ2)
二、角动量算符之间的的对易关系
1． 、Jˆ 2 、Jˆ z 、Jˆ 12 彼Jˆ 此22 对易
[J ˆz,Jˆ1 2][Jˆ1zJˆ2z,Jˆ1 2][Jˆ1z,Jˆ12][Jˆ2z,Jˆ12] 0
[Jˆz,Jˆ22] 0
（4） [Jˆ12,Jˆ22]0
综上， (Jˆ2,Jˆz,Jˆ是12,J彼ˆ22)此对易的，它们了组成第一套力学量完全集，
其共同本征矢
组成了j1正j2 j交m归一完备基矢组。
（2） [Jˆ2,Jˆ12][Jˆ2,Jˆ2 2]0 [ J ˆ 2 ,J ˆ 1 2 ] [ J ˆ 1 2 ,J ˆ 1 2 ] [ J ˆ 2 2 ,J ˆ 1 2 ] 2 [ J ˆ 1 J ˆ 2 ,J ˆ 1 2 ] 0
[Jˆ2,Jˆ22] 0
（3） [J ˆz,J ˆ1 2][J ˆz,J ˆ2 2]0
一、两个角动量的相加（耦合）
考虑由两个不同子体系构成的量子体系。设两个子体系的角动量
分别为 和Jˆ 1 ，它Jˆ 2 们满足 Jˆ1Jˆ1 i Jˆ1
[Jˆ12, Jˆ1] 0
Jˆ2Jˆ2 i Jˆ2
[Jˆ22, Jˆ2]0 (x,y,z)
由于 和Jˆ 1 属J于ˆ 2 不同子体系，所以相互对易，即
两个角动量的耦合
主讲人：XXX
§7-4 两个角动量的耦合
一、两个角动量的相加（耦合） 二、角动量算符之间的对易关系 三、耦合表象与无耦合表象的关系
§7-4 两个角动量的耦合
两个角动量（磁矩）发生耦合，体系便出现附加能量，在此情况 下，可以证明角动量为守恒量。核壳层结构、原子光谱的精细结构、 复杂塞曼效应都必须由角动量耦合才能得到合理解释。
所以 Jˆ、z Jˆ有1z 共同本征矢，因此
J ˆzj1 m 1 j2 m 2 (J ˆ1 z J ˆ2 z)j1 m 1 j2 m 2 (m 1 m 2) j1 m 1j2 m 2
即 Jˆ 的z 本征值为 (m1，m2所) 以
mm1m2
则
j 1 j 2 j m j 1 ,m m 2 ,j 2 ,m 2j 1 ,m m 2 ,j 2 ,m 2j 1 j 2 j m
J ˆ2J ˆ1 2J ˆ2 22J ˆ1J ˆ2
Jˆz Jˆ1z Jˆ2z
（1） [Jˆ2,Jˆz]0
[J ˆ2,J ˆz][J ˆx 2J ˆy 2J ˆz2,J ˆz][Jˆx2,Jˆz][Jˆy2,Jˆz]
J ˆ x [ J ˆ x ,J ˆ z ] [ J ˆ x ,J ˆ z ] J ˆ x J ˆ y [ J ˆ y ,J ˆ z ] [ J ˆ y ,J ˆ z ] J ˆ y iJ ˆ x J ˆ y iJ ˆ y J ˆ x iJ ˆ y J ˆ x iJ ˆ x J ˆ y 0
j1m1 j2m2
j1( j1 1) m1
j2( j2 1)
2 2
j1m1 j2m2
Jˆ2z
m2
三、耦合表象与无耦合表象的关系
1．表象变换
耦合表象的基矢可以用无耦合表象的基矢表示出来，即
j1
j2
Baidu Nhomakorabea
j1j2jm
j1 m 1j2m 2 j1 m 1j2m 2j1j2jm
m 1 j1m 2 j2