同角三角函数的基本关系及其应用
第四章 第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式-2025年高考数学备考
第四章三角函数第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sinHs ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（α±π2，α±π的正弦、余弦、正切）同角三角函数关系的应用2023全国卷乙T14；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9本讲主要考查利用同角三角函数的基本关系与诱导公式化简与求值，常与三角恒等变换结合命题，考查基本运算能力.题型以选择题、填空题为主，难度中等偏下.在2025年高考复习备考时，要掌握公式并会灵活运用.诱导公式的应用2020北京T9；2019全国卷ⅠT7同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用学生用书P0751.同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.（2）商的关系：tan α＝sinHs （α≠π2＋k π，k ∈Z ）.（3）公式常见变形：sin 2α＝1－cos 2α；sin α＝±1－cos 2；sin 2α＝sin 2sin 2＋c 2＝ta 2tan 2r1，cos 2α＝cos 2si 2＋cos 2＝①1tan 2r1；（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.注意利用平方关系时，若要开方，要注意判断符号.2.诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α（k ∈Z ）π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α②－sin α－sin α③sin αcos α④cos α余弦cos α⑤－cos αcos α⑥－cos αsin α⑦－sin α正切tan α⑧tan α－tan α⑨－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限.1.[易错题]已知α是第二象限角，sinα＝513，则cosα＝（A）A.－1213B.－513C.513D.213解析因为α是第二象限角，所以cosα＜0，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝－1－sin2＝－1213.2.[2023贵州联考]已知tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝（D）A.－1B.－3C.－12D.12解析因为tanθ＝－2，则sin＋cos sin＝1＋1tan＝1－12＝12.3.[2023上饶重点中学模拟]下面诱导公式使用正确的是（C）A.sin（θ－π2）＝cosθB.cos（3π2＋θ）＝－sinθC.sin（3π2－θ）＝－cosθD.cos（θ－π2）＝－sinθ解析∵sin（θ－π2）＝－sin（π2－θ）＝－cosθ，∴A错误；∵cos（3π2＋θ）＝sinθ，∴B 错误；∵sin（3π2－θ）＝－cosθ，∴C正确；∵cos（θ－π2）＝cos（π2－θ）＝sinθ，∴D错误.4.sin1050°＝－12.解析sin1050°＝sin（－30°）＝－12.5.[2023成都八中模拟]已知tan（π＋α）＝2，则sin（π2＋）＋sin（π－）cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝34.解析因为tan（π＋α）＝tanα＝2，所以sin（π2＋）＋sin（π－）cos（3π2＋）－2cos（π＋）＝cos＋sinsinr2cos＝1+tan tanr2＝1+22+2＝34.学生用书P076命题点1同角三角函数关系的应用例1（1）[2024山东模拟]若tanθ＝2，则1＋sinθcosθ＝（B）A.73B.75C.54D.53解析易知cosθ≠0，则1＋sinθcosθ＝1+sinvos1＝si2＋cos2＋sinvossin2＋cos2＝tan 2＋tanr1 tan2r1＝22+2+122+1＝75.（2）[2023全国卷乙]若θ∈（0，π2），tanθ＝12，则sinθ－cosθ＝－55.解析由tan ＝sin cos＝12，sin 2＋cos 2=1，且θ∈（0，π2），解得sin cos 故sin θ－cos θ方法技巧同角三角函数基本关系的应用技巧（1）利用sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sinHs ，可以解决sin α，cos α，tan α的知一求二的问题，注意判断角的终边所在的象限.（2）利用（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，可以解决sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α知一求二的问题，注意方程思想的应用.（3）利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正、余弦互化；利用tan α＝sinHs 可以实现角α的弦、切互化，主要考查齐次式的使用技巧以及“1”的变形.训练1[多选/2023江西省上饶市第一中学模拟]已知θ∈（－π，0），sin θ＋cos θ＝713，则下列结论正确的是（BD ）A.θ∈（－π，－π2） B.cos θ＝1213C.tan θ＝512 D.sin θ－cos θ＝－1713解析由sin θ＋cos θ＝713可得，cos θ＝713－sin θ，则（713－sin θ）2＋sin 2θ＝1，解得sin θ＝1213或sin θ＝－513.由θ∈（－π，0），可得sin θ＝－513，cos θ＝1213，故B 正确；由sin θ＝－513＜0，cos θ＝1213＞0可得θ为第四象限角，又θ∈（－π，0），所以θ∈（－π2，0），故A 错误；tan θ＝sinHs ＝－512，故C 错误；sin θ－cos θ＝－513－1213＝－1713，故D 正确.故选BD.命题点2诱导公式的应用例2（1）[全国卷Ⅲ]函数f （x ）＝15sin （x ＋π3）＋cos （x －π6）的最大值为（A ）A.65B.1C.35D.15解析因为cos （x －π6）＝cos[（x ＋π3）－π2]＝sin （x ＋π3），所以f （x ）＝65sin （x ＋π3），所以f （x ）的最大值为65，故选A.（2）[北京高考]若函数f （x ）＝sin （x ＋φ）＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为π2（答案不唯一）.解析易知当y＝sin（x＋φ），y＝cos x同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cos x取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cos x，则φ＝π2＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为π2.方法技巧应用诱导公式的一般思路（1）化负角为正角，化大角为小角，直到化到锐角；（2）统一角，统一名；（3）角中含有π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍.训练2（1）[2023山东省济宁市模拟]已知cos（π6－θ）＝13，则cos（5π6＋θ）＋2sin（5π3－θ）的值为－1.解析原式＝cos[π－（π6－θ）]＋2sin[3π2＋（π6－θ）]＝－cos（π6－θ）－2cos（π6－θ）＝－3cos（π6－θ）＝－1.（2）已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，则sin（－－3π2）cos（3π2－）cos（π2－）sin（π2＋）·tan2（π－α）的值为－916.解析原式＝－sin（3π2＋）cos（3π2－）sinvos·tan2α＝－tan2α.解方程5x2－7x－6＝0，sinvos·tan2α＝－cosLin得x1＝－35，x2＝2.又α是第三象限角，∴sinα＝－35，∴cosα＝－45，∴tanα＝34.故原式＝－tan2α＝－916.命题点3同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用例3（1）[2023陕西模拟]已知0＜α＜π2，cos（α＋π3）＝－23，则tan（2π3－α）＝（A）B. D.解析由0＜α＜π2，得π3＜α＋π3＜5π6，则sin（α＋π3）tan（α＋π3）＝sin（＋π3）Hs（＋π3）＝－tan（2π3－α）＝tan[π－（α＋π3）]＝－tan（α＋π3）故选A.（2）[全国卷Ⅰ]已知θ是第四象限角，且sin（θ＋π4）＝35，则tan（θ－π4）＝－43.解析解法一因为sin（θ＋π4）＝35，所以cos（θ－π4）＝sin[π2＋（θ－π4）]＝sin（θ＋π4）＝35.因为θ为第四象限角，所以－π＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z，所以－3π4＋2kπ＜θ－π4＜2kπ－π4，k∈Z，所以sin（θ－π4）＝－45，所以tan（θ－π4）＝sin（－π4）cos（－π4）＝－43.解法二因为θ是第四象限角，且sin （θ＋π4）＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos （θ＋π4）＝45，所以tan （θ－π4）＝sin （－π4）Hs （－π4）＝－cos[π2＋（－π4)]sin[π2＋（－π4)]＝－cos （＋π4）sin （＋π4）＝－43.方法技巧利用同角三角函数基本关系与诱导公式解题的基本思路（1）分析结构特点，寻求条件及所求间的关系，尤其是角之间的关系；（2）选择恰当公式，利用公式灵活变形；（3）化简求值.注意（1）角的范围会影响三角函数值的符号，开方时要先判断三角函数值的符号.（2）化简过程是恒等变换.训练3[2024安徽省皖江名校联考]已知在平面直角坐标系中，点M （2，4）在角α终边上，则sin 3（π－）＋cos 3（－）sin 3－2cos 3＝（B ）A.23B.32C.－35D.－53解析由题意可得tan α＝2，所以原式＝sin 3＋cos 3si 3－2cos 3＝tan 3r1tan 3－2＝8+18－2＝32.故选B.1.[命题点1/2023广州市一测]已知θ为第一象限角，sin θ－cos θtan 2θ＝（D ）C. D.解析由sin θ－cos θ1－2sin θcos θ＝13，∴sin θcos θ＝13，∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θ·cos θ＝53.∵θ是第一象限角，∴sin θ＋cos θ解法一易得sin θcos θ∴tan θ∴tan 2θ＝－52]5 D.解法二易得sin θcos θ＝13，∴sin 2θ＝23，∵sin θ－cos θ＞0，θ是第一象限角，∴π4＜θ＜π2，（易错警示：不知道求角θ的范围造成增解）∴π2＜2θ＜π，∴cos 2θ∴tan 2θ D.2.[命题点2/北京高考]已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋（－1）k β”是“sin α＝sin β”的（C）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sinα＝sin（2nπ＋β）＝sinβ；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝（2n＋1）π－β，则sinα＝sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sinβ.若sinα＝sinβ，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充分必要条件.3.[命题点3/2023广东惠州一模]若tanα＝cos3－sin，则sin（2α＋π2）＝（D）A.23B.13C.89D.79解析因为tanα＝cos3－sin，所以sin Hs＝cos3－sin，即3sinα－sin2α＝cos2α，所以3sinα＝sin2α＋cos2α＝1，即sinα＝13，所以sin（2α＋π2）＝cos2α＝1－2sin2α＝79，故选D.学生用书·练习帮P2921.若θ∈（π2，πA）A.sinθ－cosθB.cosθ－sinθC.±（sinθ－cosθ）D.sinθ＋cosθ解析）＝1－2sinBos＝（sin－cos）2＝｜sinθ－cosθ｜，因为θ∈（π2，π），所以sinθ－cosθ＞0，所以原式＝sinθ－cosθ.故选A.2.[2024北大附中模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，若sinα＝45，则cosβ＝（B）A.－45B.45C.－35D.35解析因为平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x 对称，所以＋2＝π4＋kπ，k∈Z，即α＋β＝π2＋2kπ，k∈Z，所以β＝π2－α＋2kπ，k∈Z，因为sinα＝45，所以cosβ＝cos（π2－α＋2kπ）＝sinα＝45（k∈Z），故选B.3.[2024江西联考]已知sin （α＋π3）＝－14，则cos （α＋5π6）＝（B ）A.－14B.14解析因为sin （α＋π3）＝－14，所以cos （α＋5π6）＝cos[（α＋π3）＋π2]＝－sin （α＋π3）＝14，故选B.4.[2024内蒙古包头模拟]若tan α＝2，则sin α（sin α＋cos α）＝（D ）A.25B.35C.45D.65解析sin α（sin α＋cos α）＝sin 2＋sinvos sin 2＋cos 2＝tan 2＋tan tan 2r1＝22+222+1＝65.故选D.5.[2023湖南衡阳模拟]已知θ为第三象限角，且tan （π2－θ）＝43，则cos （θ＋π2）＝（C）A.－45B.－35C.35D.45解析tan （π2－θ）＝sin （π2－）Hs （π2－）＝Hs sin＝43，即3cos θ＝4sin θ，∵θ为第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin θ＝－35，cos θ＝－45，∴cos （θ＋π2）＝－sin θ＝35.故选C.6.[2023深圳光明区一模]已知α为第一象限角，cos （α＋10°）＝13，则tan （170°－α）＝（A）A.－22B.22C.－2D.2解析因为α为第一象限角，且cos （α＋10°）＝1＞0，所以α＋10°为第一象限角，所以sin （α＋10°）＝1－cos 2（+10°）＝tan （α＋10°）＝sin （r10°）cos （r10°）＝22，则tan （170°－α）＝tan[180°－（α＋10°）]＝－tan （α＋10°）＝－22.故选A.7.[多选]在△ABC 中，下列结论正确的是（ABC ）A.sin （A ＋B ）＝sin CB.sin＋2＝cos2C.tan （A ＋B ）＝－tan C （C ≠π2）D.cos （A ＋B ）＝cos C 解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin （A ＋B ）＝sin （π－C ）＝sin C ，A 正确.sin＋2＝sin （π2－2）＝cos 2，B 正确.tan （A ＋B ）＝tan （π－C ）＝－tan C （C ≠π2），C正确.cos （A ＋B ）＝cos （π－C ）＝－cos C ，D 错误.故选ABC.8.[2023四川省资阳市模拟]在△ABC 中，3sin （π2－A ）＝3sin （π－A ），cos A ＝－3cos （π－B ），则△ABC 为直角三角形.解析在△ABC 中，由3sin （π2－A ）＝3sin （π－A ），得3cos A ＝3sin A ，即tan A ＝3A ∈（0，π），∴A ＝π6，又cos A ＝－3cos （π－B ），＝3cos B ，即cos B ＝12，又B ∈（0，π），∴B ＝π3，∴C ＝π－π6－π3＝π2，∴△ABC 为直角三角形.9.已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈（0，π），则tan θ＝－43；2sinBosr2si 21－tG＝24175.解析因为sin θ＋cos θ＝15，θ∈（0，π），所以（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝125，所以sin θcos θ＝－1225＜0，所以sin θ＞0，cos θ＜0.由sin ＋Hs ＝15，si 2＋c 2=1，得25sin 2θ－5sin θ－12＝0，解得sin θ＝45或sin θ＝－35（舍去），所以sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝－43.（或sin θ－cos θ＞0，（sin θ－cos θ）2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝1＋2425＝4925，则sin θ－cos θ＝75，由sin ＋cos ＝15，sin －cos ＝75，得sin ＝45，cos ＝－35，所以tan θ＝－43）解法一2sinvosr2sin 21－tan＝2sin （cos ＋sin ）1－sin cos＝2sinvos （cos ＋sin ）cos －sin＝－2425×15－75＝24175.解法二2sin θcos θ＋2sin 2θ＝2sinvosr2sin 2sin 2＋cos 2＝2tanr2tan 2tan 2r1＝2×（－43）+2×（－43）2（－43）2+1＝825，故2sinvosr2sin 21－tan＝8251－（－43）＝24175.10.设f （x ）＝a sin （πx ＋α）＋b cos （πx ＋β），其中a ，b ，α，β都是非零实数，若f （2024）＝1，则f （2025）＝（D）A.1B.2C.0D.－1解析f （2024）＝a sin （2024π＋α）＋b cos （2024π＋β）＝a sin α＋b cos β＝1，f （2025）＝a sin （2025π＋α）＋b cos （2025π＋β）＝a sin （π＋α）＋b cos （π＋β）＝－a sin α－b cos β＝－（a sin α＋b cos β）＝－1.故选D.11.[数学探索/2023河南部分学校联考]“黑洞”是时光曲率大到光都无法从其事件视界逃脱的天体，在数学中也有这种神秘的“黑洞”现象.数字串是由一串数字组成的，如：743258….任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上步骤，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为α，则cos （χ3＋2π3）＝（C）B. C.12 D.－12解析任取数字2023，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即α＝123，则cos（χ3＋2π3）＝cos（123π3＋2π3）＝cos（41π＋2π3）＝cos（π＋2π3）＝－cos2π3＝cosπ3＝12，故选C.12.已知－π＜α＜0，且满足.从①sinαcosα＋sinαtanα＝－2这三个条件中选择一个合适的，补充在上面的横线上，然后解答以下问题.（1）求cosα－sinα的值；（2）若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，求Hs＋sinHs－sin的值.解析方案一选择条件②.（1）由cosα＋sinαcosα＋sinα）2＝15，则2sinαcosα＝－45＜0.又－π＜α＜0，所以sinα＜0，cosα＞0，所以cosα－sinα＞0，所以cosα－sinα＝1－2cosLin＝（2）由题意得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以cos＋sin＝ 3.cos－sin＝－cos＋sin－cos－sin方案二选择条件③.（1）因为tanα＝－2＜0，且－π＜α＜0，所以sinα＝－2cosα＜0.又sin2α＋cos2α＝1，所以sinαcosα所以cosα－sinα（2）由题可得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以Hs＋sinHs－sin＝ 3.（注：若选择条件①，由－π＜α＜0，得sinα＜0，与sinα①不符合题意.）。
同角三角函数的基本关系推导
同角三角函数的基本关系推导
同角三角函数是指在同一角度下的三角函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。
它们之间存在一些基本的关系，在数学中具有重要的应用。
以正弦函数和余弦函数为例，它们之间的基本关系是：
sinθ + cosθ = 1
这个关系可以通过勾股定理和单位圆的概念得到。
我们可以将一个角度θ对应的单位圆上的点记作(P, Q)，其中P表示点在x轴上的坐标，Q表示点在y轴上的坐标。
此时，正弦函数和余弦函数可以分别表示为：
sinθ = Q
cosθ = P
根据勾股定理可以得到：
P + Q = 1
将正弦函数和余弦函数代入上式，得到：
sinθ + cosθ = Q + P = 1
这就是同角三角函数之间的基本关系。
同样的方法也可以推导出其他的基本关系。
在实际应用中，同角三角函数的基本关系可以用于求解各种三角函数的值，简化计算过程，提高计算精度。
同时，它们也是学习高等数学、物理等学科的基础。
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高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式
高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示 所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二 教材改编 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝ . 答案 －12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为 ．答案 3解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ． 答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三 易错自纠5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为 ． 答案 －23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23. 6．若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ ；cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝ . 答案 12 12解析 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝12.同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于( )A ．－513 B.513 C ．－125 D.125答案 C解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125. 2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．答案 －105解析 由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1， 得109cos 2α＝1， 所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ．答案 －3。
5.2.2同角三角函数的基本关系
5．2．2同角三角函数的基本关系(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第五章)一、内容和内容解析1．内容同角三角函数的基本关系及其应用．2．内容解析本节课要学的内容同角三角函数的关系，指的是正弦、余弦、正切函数三者之间的关系．本单元前面学生已经学过三角函数的定义并从定义出发发现了三角函数值的符号规律，此外还从终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一，本节课同角三角函数的关系就是在此基础上的发展．由于本节课的内容还与后面的诱导公式有重要的联系，在三角函数的学习中占有重要地位，对于后面的内容有着基础性的作用，是本章的重点内容．同角三角函数的基本关系是在前面三角函数概念的基础上学习的，是对三角函数的复习巩固，又是后续内容如诱导公式、两角和差公式推导的基础，所以起到承上启下的作用，并且应用也比较广泛，因此是一节非常重要的课，应使学生熟练掌握．基于以上分析，确定本节课的教学重点：同角三角函数的基本关系式22sin cos 1x x +=和sin tan cos x x x=． 二、目标和目标解析1．目标（1）理解同角三角函数的基本关系式22sin cos 1x x +=，sin tan cos x x x=，体会三角函数的内在联系性．（2）通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生能利用三角函数定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并得出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换．（2）能运用同角三角函数的基本关系进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．三、教学问题诊断分析本节课学生可能遇到的问题是在同角三角函数的基本关系式变形中有点难度，产生这一问题的原因学生没有考虑角的符号问题，要解决这一问题教师就要借助平面直角坐标系，分析角所在的象限，关键是理解角在每个象限上的符号．本节课的学习难点是对三角函数内在联系性的认识．出现这个难点的主要原因在于三角函 数联系方式的特殊性，学生在已有的基本初等函数的学习中没有这种经验，以及学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何发现函数的性质”的认识不充分等而导致的发现和提出性质的能力不强．为此，教学中应在思想方法上加强引导．例如，可以通过问题“对于给定的角α，点P αα（cos ，sin ）是α的终边与单位圆的交点，而tan α则是点P 的纵坐标与橫坐标之比，因此这三个函数之间一定有内在联系．你能从定义出发，研究一下它们有怎样的联系吗”引导学生探究同角三角函数的基本关系．四、教学支持条件分析在本节课同角三角函数的基本关系的教学中，准备使用板书教学．因为使用板书教学，有利于培养学生的动手能力、活跃学生思维．五、教学过程设计（一）同角三角函数的基本关系导入语：此前我们学习了三角函数的定义，并从定义出发发现了三角函数值的符号规律，我们还从终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一．公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值相等．因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？ 师生活动：教师引导学生讨论，利用公式一先把问题转化为“同一个角的三个三角函数之间的关系”；然后让学生自主探究，得出同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα=．这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于角α的正切． 设计意图：“终边相同的角的三个三角函数的值都由单位圆上同一点的坐标所唯一确定，它们之间一定有内在联系”是发现问题的关键思想；由“终边相同的角的同一三角函数的值相等”引出“终边相同的角的不同三角函数之间有什么关系”的问题，再转化为“同一个角的三个三角函数之间关系”的研究，可以培养学生发现和提出问题的能力．借助单位圆上点的坐标的意义，由三角函数定义可以直接得出“同角三角函数的基本关系”．（二）同角三角函数的基本关系的应用例1 已知3sin 5α=-，求cos α，tan α的值． 变式：已知5cos 13α=-，α为第三象限角，求sin α，tan α的值. 师生活动：学生思考后给出解答．对于本例在学生给出答案后，应该要求学生总结解题步骤，明确这类题目应该先根据条件判断角所在的象限，确定各三角函数值的符号，再利用基本关系求解．在此基础上，可以让学生归纳用同角三角函数的基本关系求值的问题类型．设计意图：进一步加强学生对三角函数值在各象限的符号的认识以及对同角三角函数的基本关系的理解．例2 化简：（1） cos tan θθ； （2）222cos 112sin αα--； （3） 221tan cos αα+()． 设计意图：考査学生利用同角三角函数的基本关系进行简单的三角恒等变换的能力． 例3 求证cos 1sin 1sin cos x x x x+=-． 师生活动：学生可能根据此前用到的分析法进行证明，也可以用综合法直接给出证明，教师板书证明过程．设计意图：本例实际上是22sin cos 1x x +=的变形，采用分析法、综合法都可以证明，还可以从不同方向进行推导，可以要求学生至少给出两种证明方法．例4 已知tan 2α=，求sin cos sin cos αααα+-的值． 变式：已知tan 2tan 1αα=-，求22222sin 3cos 2sin 3cos (1)(2)4sin 9cos 4sin 9cos αααααααα----的值． 师生活动：学生经过思考给出思路，可以利用同角三角函数的基本关系由22sin cos 1αα+=和sin 2cos αα=解出2sin α和2cos α的值，但是由于无法确定α所在象限，因此无法判断sin α和cos α的正负，若要求出代数式的值，需要进行分类讨论．教师在肯定了这个思路后进行追问．追问：有没有其它的方法可以避免谈论sin α和cos α的符号，直接用到已知tan α的取值来求出分式的值呢？师生活动：学生经过思考回答，可以利用sin tan cos ααα=将代数式中sin α和cos α转化为tan α和常数．教师给予肯定并指出所求分式的结构特点，可利用“齐次式”的特征对此类分式进行化简后求值．设计意图：通过本例了解“齐次式”的结构特点，并能利用特定的方法进行化简．通过以上几道例题加深了学生对三角函数基本性质的理解，通过灵活运用性质的训练，提升数学运算素养．（三）课时小结教师引导学生回顾本课时的内容，并回答下面的问题：（1）同角三角函数的基本关系是什么？（2）在利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值及证明时要注意哪些问题？（3）结合前一课时内容，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数的性质的？ 师生活动：学生思考后给出解答．（1）同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos x x x=． （2）在三角求值时，应注意：①注意角所在象限；②一般涉及到开方运算时要分类讨论．在化简时，应注意化简结果：①涉及的三角函数名称要相对较少；②表达形式较简单．证明恒等式时常用以下方法：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左右两边等于同一个式子；③分析法，寻找等式成立的条件．证明的指向一般是“由繁到简”．（3）借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一和同角三角函数的基本关系．设计意图：引导学生回顾总结本课时的学习内容和学习方法．在小结中，要注意引导学生体会研究和发现三角函数性质的过程，为后续诱导公式二～五的学习做好铺垫．（六）布置作业教科书习题5.2 第6，11，12，13，14题．。
高考数学(理)总复习课件：同角三角函数的基本关系与诱导公式
D. 1＋k2
[解析] 由cos α＝k，k∈R，α∈ π2，π ，可知k＜0，设
角α终边上一点P(k，y)(y＞0)，|OP|＝1，所以 k2＋y2＝1，得
y＝ 1－k2，由三角函数定义可知sin α＝ 1－k2.
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1 (2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝___4_4_2___. [解析] 因为sin 1°＝cos 89°，所以sin21°＋sin289°＝ cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋ sin246°＝1，而sin245°＝12，故原式＝44＋12＝4412.
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考点二 诱导公式的应用[师生共研过关]
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[典例精析]
(1)设f(α)＝
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α 1＋sin2α＋cos32π＋α－sin2π2＋α
(1＋2sin
α≠0)，则f－236π＝____3____.
[解析] 因为f(α)＝
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. (2)sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1. (3)若α∈R，则tan α＝csions αα恒成立． (4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角． (5)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sin α＝13.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2＝
sin2α＋sin αcos α sin2α＋cos2α
＋2＝
tan2α＋tan tan2α＋1
α＋2＝121222＋ ＋121＋2＝153.
考法(三) “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系的应用 返回
同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式1.同角三角函数基本关系式平方关系:sin 2α+cos 2α=1;商数关系:tanα=2.α相关角的表示(1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α;(2)终边与角α的终边关于x 轴对称的角可以表示为-α(或2π-α);(3)终边与角α的终边关于y 轴对称的角可以表示为π-α;(4)终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角可以表示为 -α.3.诱导公式(1)公式一 sin(α+k ·2π)=sinα ,cos(α+k ·2π)=cosα, tan(α+k ·2π)=tanα,其中k ∈Z.(2)公式二sin(π+α)=-sinα ,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα.(3)公式三 sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα.(4)公式四 sin(π-α)=sinα ,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα.(5)公式五 (6)公式六即α+k ·2π(k ∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k · ±α(k ∈Z)”中k 的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角时原函数值的符号 1.cos300°=( ) 解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60°4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( )A.第二象限B.第一象限C.第四象限D.第三象限解析:∵2008°=6×360°-152°,∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0,cos2008°=cos152°<0,∴点P 在第四象限..sin cos αα,.22sin cos cos sin αππααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,.22sin cos cos sin αααππα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π()4,543..3432.sin ,ta 4..43n A B C D ααα-±=±若且是第二象限角则的值等于:,cos t 3,5454.5n 3a 3sin cos ααααα==-⎛⎫==-∴==- ⎪⎝⎭∴解析为第二象限角()1,33611..33..333.sin cos A B C D ααππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--已知则的值为,6236231.33:cos cos sin πππαπππααααπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭+∴解析类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确､灵活,尤其是利用平方关系sin 2α+cos 2α=1及其变形形式sin 2α=1-cos 2α或cos 2α=1-sin 2α进行开方运算时,特别注意符号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定其他角的三角函数值. 【典例1】 (1)已知sinα= ,且α为第二象限角,求tanα; (2)已知sinα= ,求tanα; (3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),∴cosα=±=±(当α为第一､四象限角时取正号,当α为第二､三象限角时取负号), 所以当α ;当α为第二､三象限角时,tanα= [反思感悟] ,关键是掌握住“先平方,的平方关系相联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角,但 ,原因是m 此时小于0,所以形式上tanα的表达式前面仍不带负号.类型二 诱导公式及其应用解题准备:诱导公式起着变名､变角､变号的作用,应用诱导公式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化负为正—化大为小—锐角求值”.[分析] 显然应用到诱导公式,既可以直接从诱导公式中合理选用,也可以直接运用十字诀,一般来说用后一方法记忆负担较轻.()5.cos 2sin tan 11..2..222A B C D ααα-+=-若则等于22222(1,:sin2sin )1,tan 2.cos sin sin cos sin cos ααααααααα+⎧+=⎪⇒⎨+=⎪⎩⎧=∴∴=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩=解析1313()()()[]1sin ,cos tan 2sin 1,33.,cos tan 410,3ta ,1n sin cos ααααααααααααα∴====-∴=∴===->==∴=解为第二象限角为第一或第二象限角当为第一象限角时当为第二象限角时由知3()(2)2.()(2,())f sin cos tan cot sin ππαπαααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭----=【典例】已知是第三象限角且()()()()()()31,251f ;2f ; 31860,f .coscos πααααα⎛⎫-= ︒⎭=-⎪⎝化简若求的值若求的值()()(2)(4)(3)222(2)(2)2 []12.f ()sin cos tan cot sin sin cos cot cos cot sin πππαααππααααααααα-------==--=解()31(3),2252sin ,sin cos f ()cos cos αααπαααπ=-∴⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭====(3)∵-1860°=-21×90°+30°,∴f(-1860°)=-cos(-1860°)=-cos(-21×90°+30°)=-sin30°=[反思感悟] 如何运用十字诀,可通过下例来体会:设β=α- 且α为锐角,则如图所示,可知β可看成是第二象限角,而在第二象限中余弦取负号,且k=-3为奇数.∴cosβ=cos(-3•+α)=-sinα.类型三sinα±cosα与sinα·cosα关系的应用解题准备:利用sin2α+cos2α=1,可以得出如下结论:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2;(sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=4sinαcosα.对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个式子的值,可求其余二式的值.【典例3】已知sinx+cosx=,求下列各式的值:(1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos42x.[反思感悟] 平方关系sin2x+cos2x=1把sinx+cosx,sinxcosx联系起来,要灵活运用它们之间的变换,熟记立方和公式及和的立方公式.[反思感悟] 形如asinα+bcosα和asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子分别称为关于sinα､cosα的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供使用.12-3,2π2π()22[]sinx cosxsinx1.21cosxsinxcosx.4+=∴+=⎛⎫=⎪⎝∴=-⎭解()()()33331sin x cos x sinx cosx3sinxcosx sin x cos134xαα⎛⎫--=⎪⎝⎭+=+-+=()()()2442222222sin x cos x sin x cos x2sin xcos x12sinxcosx117;428⎛⎫-=⎪⎝+=+-=-=-⨯⎭()()222222223tan x cot x tanx cot11221621x224.116sin x cos xsinx cosxsin x cos x⎛⎫+⎪⎝⎭=-=-=-+=+-==-()24.2sin sin cos21,13(1);.tantansin cossin cosααααααααα+=--+-+【典例】已知求下列各式的值()1.2133352.1131]a12[t nsin cos tansin cos tanααααααα---===-++∴+=解由已知得()()2222222222222sin sin cos2sin sin cos2cos3232111321322.5112sinsin sin cos cossin costan tantanααααααααααααααααα++=+++=+⎛⎫++⎪⎝⎭=∴++=+=⎛⎫+⎪⎝⎭++。
同角三角函数的基本关系式的应用
作业：
3.求证：
（1）sin4 cos4 sin2 cos2 ；
（2）sin4 sin2 cos2 cos2 1；
（3） sin2 cos2 2 1 2sin2 .
tan
谢谢！
因此 sin4 cos4 2sin2 1.
例3 求证 (2) tan2 sin2 tan2 sin2 ;
分析： 一个角、两个函数名、二次
证明：(2) 原式左边 tan2 tan2 cos2
思路：差→积
tan2 (1 cos2 )
tan2 sin2 右边 因此 tan2 sin2 tan2 sin2 .
5
解：已知平方得 sin2 cos2 2sin cos 1
5
所以 1 2sin cos 1
5
解得 sin cos 2
5
变式1 已知 sin cos 5 ，求sin cos 的值.
5
1.方程思想
2.两个代数式直接建立联系
解： sin cos
5 5
解得
sin2 cos2 1
sin
5 5
或
sin
25 5
cos
25 5
cos
5 5
解：已知平方得
sin2 cos2 2sin cos 1
5
所以 1 2sin cos 1
5
解得 sin cos 2
5
变式2
已知 sin cos
5 5
，
3 ，求 sin cos 的值.
2
分析： 两个代数式可以建立联系吗？
sin cos 2 1 2sin cos
例3 求证 (3) cos 1 sin . 1 sin cos
同角三角函数的基本关系
第十一节 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．六组诱导公式 对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．课前检测1．sin 585°的值为( ) A ．－22B.22C ．－32D.32解析：选A sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|<π2，∴θ＝π3.3．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D.23解析：选B 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.4．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是____12____． 解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫32π－A ＝－sin A ＝12. 5．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝___－255_____.解析：由题意知cos α<0，又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12.∴cos α＝－255.应用诱导公式时应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．一、同角三角函数的基本关系式 [例1] (1)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14C.13D.12(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝________. [自主解答] (1)∵tan θ＋1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＝4， ∴sin 2θ＋cos 2θcos θsin θ＝4，即2sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.(2)法一：由sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α得tan α＝2.原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16. 法二：由已知得sin α＝2cos α.原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.[答案] (1)D (2)－16在(2)的条件下，sin 2α＋sin 2α＝________.解析：原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.答案：85由题悟法1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二(参阅本节题型技法点拨)．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 以题试法1．(1)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________. 解析：(1)由角α的终边落在第三象限得sin α<0，cos α<0， 故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.答案：(1)B (2)±64二、三角函数的诱导公式[例2] (1)tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝________.(2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}[自主解答] (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.[答案] (1)－1 (2)C 由题悟法利用诱导公式化简求值时的原则(1)“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． (2)“大化小”，利用k ·360°＋α(k ∈Z )的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数．(3)“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．(4)“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．以题试法2．(1) sin 600°＋tan 240°的值等于( )A ．－32B.32 C.3－12D.3＋12(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若f (2 012)＝－1，则f (2 013)等于________．解析：(1)sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. (2)由诱导公式知f (2 012)＝a sin α＋b cos β＝－1，∴f (2 013)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β)＝－(a sin α＋b cos β)＝1.答案：(1)B (2)1三、诱导公式在三角形中的应用[例3] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，求△ABC 的三个内角．[自主解答] 由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B 两式平方相加得2cos 2A ＝1， 即cos A ＝22或cos A ＝－22. (1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又角A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝7π12.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32，又角A 、B 是三角形的内角，∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.由题悟法1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos A ＋B 2＝sin C2等； 2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小． 以题试法3．在三角形ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫32π＋B tan (C －π)<0，求证：三角形ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，则A ＋B 2＝π2－C2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C 2，故cos 2A ＋B 2＋cos 2C 2＝1. (2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫32π＋B tan (C －π)<0， 则(－sin A )(－cos B )tan C <0，即sin A cos B tan C <0， ∵在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，0<C <π，∴sin A >0，⎩⎪⎨⎪⎧ cos B <0，tan C >0或⎩⎪⎨⎪⎧tan C <0，cos B >0，∴B 为钝角或C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．课堂练习1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0. 2．已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0B.95C.43D.53解析：选B sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34B.34C ．－43D.43解析：选B ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝12，∴tan α＝－3.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 4．已知sin 2α＝－2425，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( ) A ．－15B.15C ．－75D.75解析：选B (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝125，又α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝15. 5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33B.33C ．－ 3D. 3解析：选D cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.6．已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12D ．－12解析：选B 由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32.7．cos ⎝⎛⎭⎫－17π4－sin ⎝⎛⎭⎫－17π4的值是___ 2_____． 解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2.8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝___310_____. 解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310. 9．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝___－23_____. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 10．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝32×32＋12×12＋1＝2. 11．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin [α＋(2n ＋1)π]＋sin [α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)(n ∈Z )．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12.又∵α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin [2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32； (2)sin [α＋(2n ＋1)π]＋sin [α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)＝sin (2n π＋π＋α)＋sin (－2n π－π＋α)sin (2n π＋α)·cos (－2n π＋α)＝sin (π＋α)＋sin (－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin (π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.12．已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．解：(1)∵|OP |＝1，∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.课后练习1．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：选A 由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos x sin x －1＝12. 2．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433D. 3解析：选C 依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433. 3．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根． (1)求角A ； (2)若1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，求tan B .解：(1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1.①又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1， 即4sin 2A －23sin A ＝0，得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32，则A ＝π3或2π3， 将A ＝π3或2π3代入①知A ＝2π3时不成立，故A ＝π3.(2)由1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0， ∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去，故tan B ＝2. 能力提升1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．mB ．－mC.1－m 2D ．－1－m 2解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m . 2．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ.证明：左边＝sin θ⎝⎛⎭⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋cos θsin θ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝⎛⎭⎫cos θ＋sin 2θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边． 3．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2<α<π.求下列各式的值：(1)sin α－cos α； (2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin α·cos α＝－79.又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0. (1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169，∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)＝－43×⎝⎛⎭⎫1－718＝－2227.。
同角三角函数的基本关系 课件
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2
同角三角函数的基本关系式
同角三角函数基本关系式的应用
1.求值题型
已知某个角的一个三角函数 值,求这个角的其余三角函数值.
3 例6 已知 sin ， 求 cos ，tan 的值． 5
注意开方运算时根号前正、负号的选取， 即根据角所在的象限讨论正负号。
课本P23 练习 1，2，3
2.化简三角函数式. 函数种类要最少，项数要最少，函数 次数尽量低，能求出值的要求出数值，尽 量使分母不含三角形式和根式。
2 2
证法二：因为
(1 sin )(1 sin - sin 0, cos 0, cos 1 sin 所以 1 sin cos
证法三：
cos 0,1 sin 0 cos cos (1 sin ) 原式左边 2 1 sin cos cos (1 sin ) cos (1 sin ) 2 2 1 sin cos 1 sin 右边 cos
课本P23 练习 4
点评:(1)考虑化“切”为“弦”求值,有时也 需要化“弦”为“切”； （2）注意“1”的代换.
3.证明三角恒等式. 一般方法有三种：
（1）由繁的一边证到简单的一边 （2）证明左、右两边等于同一式子 （3）证明与原恒等式等价的式子，从而 推出原式成立
例7
cos x 1 sin x 求证 1 sin x cos x
课本P23 练习 5
证法一：因为
cos 1 sin cos (1 sin ) 1 sin cos (1 sin ) cos
2
cos cos 0 (1 sin ) cos cos 1 sin 所以 1 sin cos
§1.2.2同角三角函数的 基本关系式
高三数学考点-同角三角函数的基本关系及诱导公式
4．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： ①____________________； ②____________________．(2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式． 2．三角函数的诱导公式 (1)(2)诱导公式的规律：三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝⎛⎭⎫如π2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． (3)诱导公式的作用：诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 任意负角的三角函数―――――――――→去负（化负角为正角）任意正角的三角函数―――――→脱周脱去k ·360°0°到360°的三角函数―――――――→化锐（把角化为锐角 ）锐角三角函数 3．sin α＋cos α，sinαcos α，sin α－cos α三者之间的关系 (sin α＋cos α)2＝________________； (sin α－cos α)2＝________________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________________； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝________________.自查自纠1．(1)①sin 2α＋cos 2α＝1 ②sin αcos α＝tan α2．(1)x 函数sin x cos x tan x －α －sin α cos α －tan α π2±α cos α ∓sin α π±α ∓sin α －cos α ±tan α 3π2±α －cos α ±sin α 2π±α±sin αcos α±tan α(2)不变 锐角 象限 (3)锐角3．1＋sin2α 1－sin2α 2 2sin2α(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29 D.79解：sin2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.故选A .(2016·贵州4月适应性考试)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( ) A.2425 B.1225 C ．－1225 D ．－2425解：由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35得cos α＝－35，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝－2425.故选D . (2017·重庆检测)已知α是第四象限角，且sin α＋cos α＝15，则tan α2＝( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12解：因为sin α＋cos α＝15，α是第四象限角，所以sin α＝－35，cos α＝45，则tan α2＝sinα2cos α2＝2sin 2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α＝－13.故选B .(2016·四川)sin750°＝________.解：因为sin θ＝sin(k ·360°＋θ)(k ∈Z )，所以sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12.故填12.(2017·郑州质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，则sin 3（π－α）＋cos （α＋π）5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值为________． 解：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，所以－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝15.所以sin 3（π－α）＋cos （α＋π）5cos ⎝⎛⎭⎫52π－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫72π－α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝8cos 3α－cos α7cos α＝87·cos 2α－17＝335.故填335.类型一 利用同角三角函数的基本关系式进行化简和求值(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知a ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________； (2)已知sin α＝13，求tan α；(3)已知sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，求tan α. 解：(1)由tan α＝2得sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255. 因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 故填31010.(2)因为sin α＝13，所以α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时， cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，所以tan α＝sin αcos α＝24；当α是第二象限角时，tan α＝－24. (3)因为sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)，所以cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．所以当α为第一、四象限角时，tan α＝m1－m 2；当α为第二、三象限角时，tan α＝－m1－m 2 .【点拨】给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(1)设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.故填43.(2)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. 解法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0，所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4，tan α＝tan 3π4＝－1.解法二：因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，得sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，所以2α∈(0，2π)，2α＝3π2，所以α＝3π4，tan α＝－1.故填－1.类型二 诱导公式的应用(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解：由题意知，θ＋π4是第一象限角，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， 根据同角三角函数关系式可得tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝34. 所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43.故填－43. (2)化简sin （2π－α）cos （π＋α）cos ()π2＋αcos ()11π2－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ()9π2＋α. 解：原式＝（－sin α）（－cos α）（－sin α）（－sin α）（－cos α）·sin α·sin α·cos α＝－tan α. 【点拨】①三角式的化简通常先用诱导公式，将角度统一后再用同角三角函数关系式，这可以避免交错使用公式时导致的混乱．②在运用公式时正确判断符号至关重要．③三角函数的化简、求值是三角函数中的基本问题，也是高考常考的问题，要予以重视．④正确理解“奇变偶不变，符号看象限”可以提高解题效率．(1)化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1.解：原式＝sin 2α－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.(2)(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________. 解：因为α和β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，那么sin β＝sin α＝13，cos α＝－cos β，这样cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝－79.故填－79.类型三 关于sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.解：由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135. 【点拨】(1)形如a sin α＋b cos α和a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子分别称为关于sin α，cos α的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin 2α＋cos 2α.(2)已知tan α＝m 的条件下，求解关于sin α，cos α的齐次式问题，必须注意以下几点：①一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0，所以可以用cos n α(n ∈N *)除之，这样可以将被求式化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2α＋cos 2α的运用．(荆州2017届质量检测)已知tan(5π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解：tan(5π－x )＝2，即tan(π－x )＝2，得tan x ＝－2.又因为2cos 2x2－1＝cos x ，所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x＝1－tan x tan x ＋1＝－3.故填－3.1．诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．2．已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值，这类问题用同角三角函数的基本关系式求解，一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的，此类情况只有一组解． (2)一个角的某一个三角函数值是已知的，但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出，解答这类问题，首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置，然后分不同的情况求解．(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，此类情况须对字母进行讨论，并注意适当选取分类标准，一般有两组解．3．计算、化简三角函数式常用技巧(1)减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及sin α，cos α的齐次分式问题，常采用分子分母同除以cos n α(n ∈N *)，这样可以将被求式化为关于tan α的式子． (2)巧用“1”进行变形，如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan45°等． (3)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取．(4)熟悉sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者之间的内在联系，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行和积转换，可知一求二．1．sin585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32解：sin585°＝sin ()90°×6＋45°＝－sin45°＝－22.故选A .2．(福建四地六校2017届月考)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝45，－π2＜θ＜π2，则sin2θ的值等于( ) A ．－2425 B.2425 C ．－1225 D.1225解：由cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝45，－π2＜θ＜π2，得sin θ＝－45，cos θ＝35，则sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425.故选A . 3．(江西上饶2017届一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12 的值等于( ) A.13 B.223 C ．－13 D ．－223解：由cos ⎝⎛⎭⎫α＋17π12＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＋3π2＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝13.故选A . 4．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625解法一：cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋2sin2αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 解法二：由tan α＝34，得sin α＝34cos α，sin α＝35，cos α＝45或sin α＝－35，cos α＝－45，所以cos 2α＋2sin2α＝1625＋4×1225＝6425.故选A .5．(2016·长春质检)已知tan α＝2，α为第一象限角，则sin2α＋cos α＝( )A. 5B.4＋255C.4＋55D.5－25解：由三角函数定义sin α＝255，cos α＝55，故sin2α＋cos α＝2sin αcos α＋cos α＝4＋55.故选C .6．(2016·淮南二模)已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3 D ．－3解：因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0.因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝74，所以cos α－sin α＝－72.所以1－tan α1＋tan α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.故选A .7．(2016江苏冲刺卷)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解：由平方关系得⎝⎛⎭⎫2cos θ－252＋cos 2θ＝1，且cos θ＜0，解得cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，故sin θ＋cos θ＝－3125.故填－3125.8．(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解：因为sin α＋2cos α＝0，所以sin α＝－2cos α，由同角三角函数关系式得cos 2α＋4cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，所以2sin αcos α－cos 2α＝－4cos 2α－cos 2α＝－5cos 2α＝－1.故填－1.9．已知sin(3π＋θ)＝13，求值：cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ.解：因为sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，所以sin θ＝－13.所以原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos θcos θ·（－cos θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. 10．已知sin θ－cos θ＝12，求：(1)sin θcos θ； (2)sin 3θ－cos 3θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ.解：(1)将sin θ－cos θ＝12两边平方得：1－2sin θcos θ＝14，sin θcos θ＝38.(2)sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝⎛⎭⎫1＋38＝1116. (3)sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.11．(1)已知tan α＝3，求23sin 2α＋14cos 2α的值．(2)已知1tan α－1＝1，求11＋sin αcos α的值．解：(1)23sin 2α＋14cos 2α＝23sin 2α＋14cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan 2α＋14tan 2α＋1＝23×32＋1432＋1＝58.(2)由1tan α－1＝1得tan α＝2，11＋sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＋sin αcos α＝tan 2α＋1tan 2α＋tan α＋1＝22＋122＋2＋1＝57. (黄冈2017届期末)已知函数y ＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)(0<φ<π)的图象关于直线x ＝1对称，则sin2φ＝( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解：y ＝f (x )＝sin(πx ＋φ)－2cos(πx ＋φ)＝5sin(πx ＋φ－α)，其中sin α＝25，cos α＝15， 因为函数的图象关于x ＝1对称，所以y ＝f (1)＝±5，即π＋φ－α＝π2＋k π，k ∈Z ，sin2φ＝sin2⎝⎛⎭⎫α－π2＋k π＝sin(2α－π＋2k π)＝sin(2α－π)＝－sin2α＝－2sin αcos α＝－2×25×15＝－45 .故选D .。
《同角三角函数的基本关系》三角函数PPT优秀课件
9
4
2
2
=
+ 2
9
4
都成立.( ×
2
√
)
)
= 1，所以2 + 2 = 1成立，其中、为任意角.( × )
(4)对任意角， = ∙ 都成立.(
×
)
新知探索
辨析2:(1)已知 ∈
A.
B.−
(0, ),
(
2
∈ )时，有：
= .
这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
新知探索
同角三角函数的基本关系
平方关系
sin cos 1
2
2
sin
商数关系
tan
cos
sin 2 是（sin ) 2的简写
k ( k Z )
2
所以，原式成立.
=
=
(1+ )
1−2
1+
=右边.
今后，除特殊注明外，
我们假定三角恒等式是
在使两边都有意义的情
况下的恒等式.
等式左边
恒等变形
例析
题型二：应用同角三角函数关系式化简与证明
例2.求证：
−
=
+
.
例析
题型二：应用同角三角函数关系式化简与证明
+
例2.求证：
=
.
−
证法1：由 ≠ 0，知 ≠ −1，所以1 + ≠ 0，
同角三角函数基本关系
【基础知识精讲】1.同角三角函数的基本关系式根据三角函数定义，容易得到如下关系式(1)平方关系 sin 2α+cos 2α=11+tan 2α=sec 2α1+cot 2α=csc 2α(2)乘积关系 sin α=cos α²tan α,cos α=sin α²cot αcot α=cos α²csc α,csc α=cot α²sec α sec α=csc α²tan α,tan α=sec α²sin α(3)倒数关系 sin α²csc α=1,cos α²sec α=1,tan α²cot α=1说明：(1)以上关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立.例如，当α=2πk (k∈Z)时，tan α²cot α=1就不成立.另外，要注意是同角，如sin 2α+cos 2α=1，但sin 2α+cos 2β=1就不恒成立.(2)对公式除了顺用，还应学会逆用、变用、活用.例如，由sin 2α+cos 2α=1变形为cos 2=1-sin 2α,cos α=±α2sin 1-,sin α²cos α=21)cos (sin 2-+αα等等.对于cos α=±α2sin 1-,“±”号的选取要由α所在象限来确定，当α在第一或第四象限时，取“+”；当α在第二或第三象限时，取“-”.而对于其他形式的公式就不必考虑符号问题.如α是第二象限角，tan α=ααcos sin 而不能认为tan α=-ααcos sin (因为α是第二象限角，所以tan α为负值).其实α在第二象限，sin α为正值，cos α为负值，所以tan α=ααcos sin 结果自然得负值，如果再加“-”，结果就得正值了.(3)要注意“1”的代换.如可用sin 2α+cos 2α,sec 2α-tan 2α,sin α²csc α,tan α²cot α等去代换1.(4)记忆方法(如图).首先某函数与它的余函数在同一水平线上. ①在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，如tan α²cot α=1. ②在阴影的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方，如1+tan 2α=sec 2α。
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同角三角函数的基本关系应用方法温燕红 同角三角函数的基本关系是三角函数题型中隐藏的条件，随时可以拿来应用，这就需要学生们非常熟练的掌握这种关系，能够运用同角三角函数之间关系求三角函数值或化简三角式。
我们已经知道了三角函数的定义：任意角α的终边上取点P ，设点P 的坐标为（x ，y ），OP=r ，我们定义。
，即的正切，记作叫做角；，即的正弦，记作叫做角；，即的余弦，记作叫做角x y x y r y r y r x r x ===αααααααααtan tan sin sin cos cos因此我们很容易得出同角三角函数的基本关系式：（1） 平方关系：1cos sin 22=+αα，即同一个正角的正弦、余弦的平方和等于1.（2）商数关系：αααtan cos sin =，即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切。
注意：同角三角函数的基本关系式当且仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立。
在应用平方关系时，常用到平方根，算数平方根和绝对值的概念，应注意”“±的选取。
考查题型一 已知一个三角函数值，求两外两个三角函数值。
例1：若的值。
是第三象限角，求且ααααtan ,cos ,54sin -=解析：343554cos sin tan ,53541sin 1cos ,54sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-==-=⎪⎭⎫⎝⎛---=--=∴-=ααααααα是第三象限角，分析：此类题型属于较易题型，在α角象限确定的情况下，三角函数值得正负也就确定了，若角所在象限不确定，则应分类讨论。
题型二 已知αtan 的值，求关于ααcos sin 、的齐次分式时，可将求值式变为关于的代数式，此方法可称为弦化切。
例题2：已知2tan =θ，则θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-=解析：由题意可得，0cos ≠θ，把θθθθsin 3cos 5cos 2sin 4+-上下同时除以θcos ，得到116235224tan 352tan 4=⨯+-⨯=+-θθ。
例3：已知2tan =α，求αααααα2222cos 3sin 4cos cos sin sin 2-++解析：将分子、分母同时除以α2cos 得131132412223tan 41tan tan 22222=-⨯++⨯=-++=ααα原式。
例4：已知的值。
求1cos sin 3sin ,3tan 2+-=αααα 解析：,1cos sin ,3tan 22=+=ααα1tan 11tan 3tan 2cos sin cos cos sin 3sin 2)cos (sin cos sin 3sin 222222222=++-=++⋅-=++⋅-=∴αααααααααααααα原式注：如果已知一个角的正切值，我们利用同角三角函数的基本关系式，可以联立求出正弦、余弦的值，代入也可以解得此类题型的答案，但是相比之下不如用弦化切的方法简单，所以，弦化切的方法是一个基本技巧，需要学生掌握。
题型三 三角函数的化简在对三角函数化简时，在题设的条件下，首先应合理利用有关公式，还要明确化简的基本要求是使结果尽可能地简单。
对化简的一般要求是： （1）项数要最少； （2）次数要最低； （3）函数种类要最少； （4）分母不含根号； （5）能求值的要求值。
例5：化简：02036cos 36sin 2136cos 136cos ---解析：原式=0√sin 236√(cos360−sin360)2=cos360−sin360|cos360−sin360|=cos360−sin360cos360−sin360=1注：此题中首先需要利用凑完全平方式，去根式。
其次一定要判断正余弦三角函数的大小。
判断方法，我们只需根据三角函数线判断終边在第一象限与第三象限时三角函数值的大小即可。
第二象限及第四象限的角的正余弦值一正一负很容易判断。
口诀：0<α<450，余弦大；45<α<900，正弦大；1800<α<2250，正弦大，2250<α<2700，余弦大。
例6：化简:√1−2sin4cos4解析：原式=√sin 24+cos 24−2sin4cos4 =√(sin4−cos4)2 =|sin4−cos4|因为54π<4<64π所以根据三角函数线知道：cos 4>sin 4所以原式=cos 4−sin 4题型四 注意1的妙用，在同角三角函数关系中，sin 2α+cos 2α=1,可变形成(sin α+cosα)2−2sin αcosα=1,期中sin α+cos α与sin αcos α很容易与一元二次方程中的韦达定理产生联系。
若以sin α、cos α为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题。
例题7：已知：sin θ+cos θ=15，θ∈(0，π)，求值：(1)tanθ;(2)sin θ−cosθ. 解析： sin θ+cos θ=15，θ∈(0，π)。
∴(sin θ+cos θ)2=125，即sin 2θ+cos 2θ+2sin θcos θ=125 ∴sin θcos θ=−1225<0sin θ>0,cosθ<0,且sin θ，cos θ是方程x 2−15x −1225=0的两根。
解方程得x 1=45,x 2=−35,∴sin θ=45,cosθ=−35. ∴(1)t an θ=sin θcos θ=−43. (2)sin θ−cosθ=75.方法总结：同角三角函数的解题方法： （1）弦化切 （2）1的妙用（3）对于已知sin α±cos α=型的问题，将两边平方。
（4）利用韦达定理，将sin α，cos α看做一元二次方程的两根灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形能力，进一步掌握化归思想方法。
练习：1．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于（ ） A ．－B ．C ．±D ．±2．已知sin α＋cos α＝，且0≤α<π，那么tan α等于（ ） A ．－B ．－C ．D ．3．若sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α等于（ ） A ．±B ．1C ．－1D ．±1二、填空题4．若sin α＋3cos α＝0，则的值为____________．5．已知tan α＝2，则＝____________．三 解答题6 已知sin α＝m （|m |<1），求tan α，cos α．7已知tan θ＋co tθ＝2，求：（1）sin θ·cos θ的值；（2）sin θ＋cos θ的值；（3）sin 3θ＋cos 3θ的值．543443433451344343342ααααsin 3cos 2sin 2cos -+ααcos sin 1答案：一、1．A 根据α是第二象限角，由平方关系可得cos α＝－，从而tan α＝＝－．2．A 解方程组得或 又因为0≤α<π，故取sin α＝，这时cos α＝－，求得tan α＝－．3．D ∵（sin 2α＋cos 2α）2＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2α＝1＋2sin 2αcos 2α，sin 2α＋cos 2α＝1∴sin 2αcos 2α＝0sin αcos α＝0 当sin α＝0时，cos α＝±1 当cos α＝0时，sin α＝±1． ∴所以sin α＋cos α＝±1．二、4．－ 由已知可得tan α＝－3，于是原式＝＝－． 5． ＝＝tan α＋＝2＋＝．三、6解：（1）当－1<m <1，且m ≠0时，若α在第一、四象限，则cos α＝，tan α＝＝＝；若α在第二、三象限，则cos α＝－，tan α＝．（2）若m ＝0，则α＝kπ（k ∈Z ）， ∴tan α＝0，cos α＝±1．点评：当已知角α的一个三角函数值为字母时，应对α分类讨论．7．解：（1）∵tan θ＋cot θ＝2，∴＋＝2，＝2 ∴sin θ·cos θ＝；53ααcos sin 34⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54cos 53sin αα5453341159261tan 32tan 21+-=-+αα11525ααcos sin 1⋅ααααcos sin cos sin 22+αtan 12125221sin 1m -=-αααcos sin 21m m -2211m m m --21m -2211cos sin m m m ---=ααθθcos sin θθsin cos θθθθcos sin cos sin 22⋅+21（2）∵（sin θ＋cos θ）2＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋cos 2θ＝1＋2×＝2又tan θ＋cot θ＝2>0，可得sin θ·cos θ＝>0，故sin θ与cos θ同号，从而sin θ＋cos θ＝；（3）∵sin 3θ＋cos 3θ＝（sin θ＋cos θ）（sin 2θ－sin θ·cos θ＋cos 2θ）＝ （sin θ＋cos θ） ∴sin 3θ＋cos 3θ＝2121⎪⎩⎪⎨⎧-为第三象限角当为第一象限角当θθ2 221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-为第三象限角当为第一象限角当θθ22 22。