6.4.3余弦定理、正弦定理第二课时 正弦定理-【新教材】高中数学必修第二册同步讲义0
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余弦定理、正弦定理课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
，c＝2，C＝30°，那么此三角形 B.有两解 D.解的个数不确定
C 解析 由正弦定理和已知条件，得s4in 3B＝sin230°， ∴sin B＝ 3>1，
∴此三角形无解.故选C.
高中数学 必修第二册 RJ·A
5.在△ABC中，a＝5，b＝5 3，A＝30°，则B＝____6_0_°或__1_2_0_°_.
二 已知两边及其中一边的对角解三角形
例 2 在△ABC 中，已知 c＝ 6，A＝45°，a＝2，解三角形.
解
∵sina A＝sinc C，∴sin C＝csian A＝
6sin 2
45°＝
23，
∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°，b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3－1，B＝15°，C＝120°.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式：
a ＝b ，b ＝ c ，a ＝ c sin A sin B sin B sin C sin A sin C
，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
知识点 正弦定理
条件
结论
文字叙述
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
a＝b＝c sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦 的比相等
6.4.3.2正弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(1)
3
2
=
,
sin sin45 °
解:由正弦定理及已知条件,有
3
2
故 sin A= .
因为 a>b,所以 A>B.所以 A=60°或 120°.
当 A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,
c=
sin 2sin75 ° 6+ 2
=
=
.
sin
sin45 °
2
当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,
方法规律
已知三角形的两边和其中一边的对角
解三角形的方法
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边
对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,
由正弦值可求唯一的锐角.
(3)如果已知的角为小边所对的角时,那么不能判断另
一边所对的角为锐角,这时由正弦值可得到两个角,要分类
a=
= π = 2= .
sin sin
2
答案:D
(
3 2
D.
2
)
探索点二 已知两边及一边的对角解三角形
【例 2】 已知下列各三角形中的两边及一边的对
角,解三角形.
(1)b=10,c=5 6,C=60°;
(2)a=2 3,b=6,A=30°.
解:(1)由正弦定理,得
sin 10·sin60 ° 2
(2)化边为角:将题目中所有的条件,先利用正弦定理化
边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,
进而确定三角形的形状.
易错提醒:在两种解法的等式变形中,一般两边不要约
去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
2
=
,
sin sin45 °
解:由正弦定理及已知条件,有
3
2
故 sin A= .
因为 a>b,所以 A>B.所以 A=60°或 120°.
当 A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,
c=
sin 2sin75 ° 6+ 2
=
=
.
sin
sin45 °
2
当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,
方法规律
已知三角形的两边和其中一边的对角
解三角形的方法
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边
对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,
由正弦值可求唯一的锐角.
(3)如果已知的角为小边所对的角时,那么不能判断另
一边所对的角为锐角,这时由正弦值可得到两个角,要分类
a=
= π = 2= .
sin sin
2
答案:D
(
3 2
D.
2
)
探索点二 已知两边及一边的对角解三角形
【例 2】 已知下列各三角形中的两边及一边的对
角,解三角形.
(1)b=10,c=5 6,C=60°;
(2)a=2 3,b=6,A=30°.
解:(1)由正弦定理,得
sin 10·sin60 ° 2
(2)化边为角:将题目中所有的条件,先利用正弦定理化
边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,
进而确定三角形的形状.
易错提醒:在两种解法的等式变形中,一般两边不要约
去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
数学人教A版(2019)必修第二册6.4.3余弦定理(共21张ppt)
温馨提示：
(1)适用范围：任意三角形. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”. (3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，在等式中可以做到“知 三求一”.
例 1 一个三角形的两边长分别为 5 和 3，它们夹角的余弦值为－35，则三角形的
另一边长为 A.52
√B.2 13
C.16
D.4
探究1 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C 表示c? 提示 如图，设C→B＝a，C→A＝b，A→B＝c， 那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b) ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C， 同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B.
a2＋c2－b2 cos B＝ _________2_aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc________ ，
a2＋b2－c2 cos C＝ __________2_a_b________.
例3 若△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝3c，则cos B
＝ 15
3
A. 4
B.4
3 15 C. 16
√11 D.16
coAs .C－＝15 1134，则最大角B的.－余61弦值是
√C.－17
D.－81
根据题意，由余弦定理可得 c＝ a2＋b2－2abcos C ＝ 64＋49－2×8×7×1134＝3. 因为a>b>c，所以A>B>C，即A为最大角. 因此 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝429＋ ×79－ ×364＝－17.
6.4.3余弦定理、 正弦定理 余弦定理(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
cos B
3 ,所以B 30,因此C 105
2ac
4( 3 1)
2
3. 在△ABC中,已知b 5, c 2, 锐角A满足 sin A 231 ,求C(精确到1) 20
因为sin A 231 , 且A为锐角,所以cos A= 1 sin2 A 13 ,
20
20
由余弦定理, 得a2 b2 c2 2bc cos A 16, 所以a 4;
而勾股定理是余弦定理的特例.
一般地, 三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c b
c
叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他
元素的过程叫做解三角形.
C
a
B
环节五：课堂练习，巩固运用
例5 在△ABC中,已知b 60 cm, c 34 cm, A 41, 解这个三角形 (角度精确到1, 边长精确到1 cm).
余弦定理(law of cosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即
a2 b2 c2 2bc cos A
你能用其他方法
b2 a2 c2 2ac cosB
证明余弦定理吗？
c2 a2 b2 2abcosC
问题：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？
所以cos C a2 b2 c2 37 ,利用计算器可得C 22
2ab
40
所以C 180 ( A B) 180 (41 106) 33
例6 在△ABC中, a 7, b 8, 锐角C满足 sin C 3 3 , 求B(精确到1). 14
分析：由条件可求cosC, 再利用余弦定理及其推论可求出B的值.
因为sin C 3 3 , 且C为锐角,所以cos C 1 sin2 C 1 ( 3 3 )2 13 ,
高中数学必修二 6 4 3 余弦定理、正弦定理2课时(含答案)
6.4.3正弦定理导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状3.能利用正、余弦定理解决综合问题【自主学习】知识点1 正弦定理的呈现形式1.a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)； 2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C＝2R sin A ； 3．sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 知识点2 正弦定理的常见变形1．sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；2.a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； 3．a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；4．sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 知识点3 利用正弦定理判断三角形的解的个数已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：由正弦定理得sin B ＝b sin A a， ①若b sin A a>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若b sin A a＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若b sin A a <1，则满足条件的三角形个数为1或2.【合作探究】探究一 已知两角和任意一边解三角形【例1】在△ABC 中，已知B ＝30°，C ＝105°，b ＝4，解三角形．[分析] 由三角形的内角和定理可求A 的度数．根据正弦定理可求a ，c .[解] 因为B ＝30°，C ＝105°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得a sin45°＝4sin30°＝c sin105°， 解得a ＝4sin45°sin30°＝42，c ＝4sin105°sin30°＝2(6＋2)．归纳总结：【练习1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝ .【答案】2113解析：在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513， 可得sin A ＝35，sin C ＝1213， sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365， 又a ＝1，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.探究二 已知两边及一边的对角解三角形【例2】下列三角形是否有解？有解的作出解答．(1)a ＝7，b ＝8，A ＝105°；(2)b ＝10，c ＝56，C ＝60°；(3)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.[分析] 利用三角形中大边对大角定理以及结合有解无解的图形来考虑．[解] (1)a ＝7，b ＝8，a <b ，A ＝105°>90°，本题无解．(2)b ＝10，c ＝56，b <c ，C ＝60°<90°，本题有一解．△sin B ＝b sin C c ＝10·sin60°56＝22， △B ＝45°，A ＝180°－(B ＋C )＝75°.△a ＝b sin A sin B ＝10×sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)． (3)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°，又△b sin A ＝6sin30°＝3，△a >b sin A ，△本题有两解． 由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin30°23＝32，△B ＝60°或120°， 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin90°sin30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin30°sin30°＝2 3. △B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.归纳总结：【练习2】在三角形ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是 。
6.4.3余弦定理与正弦定理课件(人教版)
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC
最新人教A版高一数学必修二课件：6.4.3平面向量的应用正弦定理
【解析】由题意得：sinb B＝sinc C，
所以 sin B＝bsicn C＝
6× 3
3 2＝
2 2.
因为 b＜c，所以 B＝45°.所以 A＝180°－B－C＝75°.
| 自学导引 |
| 课堂互动 |
| 素养达成 |
| 课后提能训练 |
数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向量及其应用
(2)解：因为sina A＝sinc C，
| 自学导引 |
| 课堂互动 |
| 素养达成 |
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第六章 平面向量及其应用
2．满足 B＝60°，AC＝12，BC＝k 的△ABC 恰有一个，则 k 的取值
范围是
()
A．k＝8 3
B．0＜k≤12
C．k≥12
D．0＜k≤12 或 k＝8 3
【答案】D
| 自学导引 |
a (2)sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝_____2_R_____；
(3)a＝__2_R__si_n__A__，b＝__2_R__si_n__B__，c＝__2_R_s_in__C___；
a
b
c
(4)sin A＝___2_R___，sin B＝___2_R___，sin C＝___2_R___.
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第六章 平面向量及其应用
| 课堂互动 |
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第六章 平面向量及其应用
新教材人教版高中数学必修第二册 6-4-3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 教学课件
第九页，共十五页。
数学应用
例2、如图所示，某海岛上一观察哨A上午
11时测得一轮船在海岛北偏东 600 的C处，
12时20分测得船在海岛北偏西 600 的B处，
12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛 5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进 问船的速度多大？ 如果轮船始终匀速直线前
解：轮船从C到B用时80分钟， 从B到E用时20分钟， 而船始 终匀速前进 BC 4EB，设 EB x ，则
构建三角形
第十四页，共十五页。
变式训练
如图所示，甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行，乙 船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的 南偏西 75°方向的 B1 处，此时两船相距 20 海里．当甲船航行 20 分钟 到达 A2 处时，乙船航行到甲船的南偏西 60°方向的 B2 处，此时两船 相距 10 2海里．问乙船每小时航行多少海里？
复习回顾
正弦定理
abc sin A sin B sin C
应用： 1.已知两角及任一边，求其他两边和一角
2.已知两边和其中一边所对的角，求另一边所 对的角 （从而进一步求出其他的边和角）
第三页，共十五页。
建构3.有数关学概念
（1）．仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹
角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线 下方时叫俯角．(如图所示)
坡面与水平面的夹角 (如图所示) ．
（5）坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i＝hl ＝tan α(i 为坡
比，α 为坡角)．
第五页，共十五页。
数学应用
例 1.如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°， ∠CAB＝105°后，就可以计算出 A、B 两点的距离为_____m.
数学应用
例2、如图所示，某海岛上一观察哨A上午
11时测得一轮船在海岛北偏东 600 的C处，
12时20分测得船在海岛北偏西 600 的B处，
12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛 5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进 问船的速度多大？ 如果轮船始终匀速直线前
解：轮船从C到B用时80分钟， 从B到E用时20分钟， 而船始 终匀速前进 BC 4EB，设 EB x ，则
构建三角形
第十四页，共十五页。
变式训练
如图所示，甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行，乙 船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的 南偏西 75°方向的 B1 处，此时两船相距 20 海里．当甲船航行 20 分钟 到达 A2 处时，乙船航行到甲船的南偏西 60°方向的 B2 处，此时两船 相距 10 2海里．问乙船每小时航行多少海里？
复习回顾
正弦定理
abc sin A sin B sin C
应用： 1.已知两角及任一边，求其他两边和一角
2.已知两边和其中一边所对的角，求另一边所 对的角 （从而进一步求出其他的边和角）
第三页，共十五页。
建构3.有数关学概念
（1）．仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹
角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线 下方时叫俯角．(如图所示)
坡面与水平面的夹角 (如图所示) ．
（5）坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i＝hl ＝tan α(i 为坡
比，α 为坡角)．
第五页，共十五页。
数学应用
例 1.如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°， ∠CAB＝105°后，就可以计算出 A、B 两点的距离为_____m.
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第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理 (完整课件78页)
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第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3.1余弦定理
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第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．
(× )
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b 等于
【学透用活】 1．已知边 a，b 和角 C.
2．已知边 a，b 和角 A.
[典例 1] 在△ABC 中，
(1)若 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A.
(2)若 A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求 b，c.
[解] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－
()
A．4
B． 15
C．3
D. 17
解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－13. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以 c＝ 17.故选 D.
答案：D
2．若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a. 解：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×33×332－362＝0，可得 A＝90°，C ＝60°.当 a＝3 时，同理得 A＝30°，C＝120°.
6.4.3 余弦定理、正弦定理 (完整课件78页)
高一数学人教A版必修2精品课件
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3.1余弦定理
高一数学人教A版必修2精品课件
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．
(× )
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b 等于
【学透用活】 1．已知边 a，b 和角 C.
2．已知边 a，b 和角 A.
[典例 1] 在△ABC 中，
(1)若 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A.
(2)若 A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求 b，c.
[解] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－
()
A．4
B． 15
C．3
D. 17
解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－13. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以 c＝ 17.故选 D.
答案：D
2．若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a. 解：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×33×332－362＝0，可得 A＝90°，C ＝60°.当 a＝3 时，同理得 A＝30°，C＝120°.
人教版数学必修第二册6_4_3余弦定理、正弦定理课件
否则可能会出现漏解．
跟踪训练
4．在△ABC中，已知3b＝2 3asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，
则△ABC的形状是( D )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
由3b＝2 3asin
2 3
所以
＝
sin
3
2 3
B，得
＝
sin
3
，即sin A＝
，根据正弦定理，得
又∵
sin
∴b＝
=
sin
sin
＝20×
sin
＝
，
10×sin105°
sin30°
2+ 6
＝5(
4
＝20sin 75°
2 + 6).
题型二
已知两边及一边的对角解三角形
3
[例2] 在△ABC中，已知a＝2，c＝ 6 ，C＝ ，求A，B，b.
∵
sin
=
sin
解得sin A＝
，∴
2
[例4] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
bsin A＝ 3acos B.
(1)求角B的大小；
∵bsin A＝ 3acos B，
由正弦定理得sin Bsin A＝ 3 sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝ 3 ，
∴B＝
.
3
[例4] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)第一由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，
跟踪训练
4．在△ABC中，已知3b＝2 3asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，
则△ABC的形状是( D )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
由3b＝2 3asin
2 3
所以
＝
sin
3
2 3
B，得
＝
sin
3
，即sin A＝
，根据正弦定理，得
又∵
sin
∴b＝
=
sin
sin
＝20×
sin
＝
，
10×sin105°
sin30°
2+ 6
＝5(
4
＝20sin 75°
2 + 6).
题型二
已知两边及一边的对角解三角形
3
[例2] 在△ABC中，已知a＝2，c＝ 6 ，C＝ ，求A，B，b.
∵
sin
=
sin
解得sin A＝
，∴
2
[例4] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
bsin A＝ 3acos B.
(1)求角B的大小；
∵bsin A＝ 3acos B，
由正弦定理得sin Bsin A＝ 3 sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝ 3 ，
∴B＝
.
3
[例4] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)第一由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，
第6章 6.4 6.4.3 第2课时 正弦定理-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
释 疑 难
sin A＝2aR，a＝2Rsin A；sin B＝2bR，b＝2Rsin B；sin C＝2cR，c＝2Rsin
作 业
C．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化． 返 首 页
·
24
·
情
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课
境
堂
导
小
学
结
·
探 新
【例 3】
在△ABC 中，若 sin A＝2sin Bcos C，且 sin2A＝sin2B
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
2
·
情
学习目标
核心素养
课
境 导
1.通过对任意三角形边长和角度 1.通过对正弦定理的推导及应用
堂 小
学
结
·
探 关系的探索，掌握正弦定理的内容 正弦定理判断三角形的形状，培养 提
新
素
知 及其证明．(难点)
逻辑推理的核心素养．
时 分
层
释
疑 思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
作 业
难
返 首 页
·
16
·
情 境
[跟进训练]
课 堂
导
小
学
探 新
1．如图，锐角△ABC 的外接圆 O 半径为 R，证明sina A＝2R.
·
结
提 素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
17
·
[证明] 连接 BO 并延长，交外接圆于点 A′，连接 A′C，
【新教材教案】6.4.3 余弦定理、正弦定理(第2课时)正弦定理 教学设计(1)-人教A版必修第二册
6.4.3 余弦定理、正弦定理第2课时 正弦定理本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习正弦定理，用正弦定理来解三角形。
《正弦定理》是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系。
在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数、余弦定理,知识储备已足够。
它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具。
因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通。
A理解并掌握正弦定理的证明；B.运用正弦定理解三角形；C.探索正弦定理的证明过程，并能掌握多种证明方法。
1.教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及应用；2.教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和一对角解三角形时三角形解的个数。
多媒体教学过程 教学设计意图 核心素养目标一、复习回顾，温故知新 1.余弦定理及其推论 【答案】B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2222222-+=-+=，C ab b a c cos 2222-+=ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 222222-+=-+=，，ab c b a C 2cos 222-+=二、探索新知探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解三角形的公式。
如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？在直角三角形中，能得到三边、三角之间的什么关系式？【分析】 在直角三角形ABC 中，由锐角三角函数， 再根据正弦函数的定义，可得c bB c a A ==sin ,sin ，所以c B bA a ==sin sin ，因为1sin =C ，所以CcB b A a sin sin sin == 思考1：对于一般的三角形，CcB b A a sin sin sin ==仍然成立吗？ 【解析】分锐角三角形、钝角三角形证明。
6.4.3.2正弦定理高一数学课件(人教A版必修第二册)
同理,过C点作 j垂直于CB，可得 c b ,在锐角三角形中
sinC sinB 也有 a b c sin A sin B sin C
在钝角三角形中
B
设A 900
过点A作与AC垂直
的
单位向量
A 90
j,
则 j与AB的夹角为
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
立刻完成!
正弦定理:
sin C 1
abc sin A sin B sin C
在其他三角形中是否也存在这样的等量关系吗？
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
abc sin A sin B sin C
探
究 若三角形是锐角三角形, 如图1,
C
一 过点C作CD⊥AB于D,
a
b
此时有
sin
B
CD a
, sin
A
CD b
B
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
例4在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
A B
B
B
B
变式训练
三种情况：
(1)在ABC中，已知a 2 2,b 2 3，A 450,
则B 60。或120。 有两解
sinC sinB 也有 a b c sin A sin B sin C
在钝角三角形中
B
设A 900
过点A作与AC垂直
的
单位向量
A 90
j,
则 j与AB的夹角为
j与CB的夹角为 90 C
j
具体证明过程
A
C
立刻完成!
正弦定理:
sin C 1
abc sin A sin B sin C
在其他三角形中是否也存在这样的等量关系吗？
在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?
abc sin A sin B sin C
探
究 若三角形是锐角三角形, 如图1,
C
一 过点C作CD⊥AB于D,
a
b
此时有
sin
B
CD a
, sin
A
CD b
B
B．等腰直角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
例4在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
A B
B
B
B
变式训练
三种情况：
(1)在ABC中，已知a 2 2,b 2 3，A 450,
则B 60。或120。 有两解
2021高中数学6.4.3余弦定理正弦定理2课件新人教A版必修第二册
(3)在解答三角形的综合题时，如果已知条件的关系式中 同时出现角和边，应当利用正弦定理进行消元，实现边角统 一，化为仅含边的关系式或仅含角的关系式．即“边角会聚 综合题，正弦定理来统一”．
[口诀记忆] 斜三角形把我问，两个定理有区分； 余弦定理多见边，正弦定理角必现； 边边角，解难辨，正弦值，先计算； 等于 1，九十度，大于 1，矛盾出； 小于 1 时怎么办？利用大角对大边； 边角会聚综合题，正弦定理来统一．
(2)由(1)知 C＝34π，根据余弦定理可得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝
22＋(2 2)2－2×2×2 2×－ 22＝20，所以 c＝2 5. 由正弦定理sinc C＝sinb B，得2 25＝s2in 2B，
2
解得
sin
B＝
55，从而
cos
B＝2
5
5 .
设 BC 的垂直平分线交 BC 于点 E，
(2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进 行边和角的转化．
[过关训练]
1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c.若△ABC 的面积为a2＋b42－c2，则 C＝
(C )
π
π
A.2
B.3
π
π
C.4
D.6
解析：∵S＝12absin C＝a2＋b42－c2＝2abc4os C＝12abcos C，
(2)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 已知 sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
①求角 A 的大小； [解析] ①由正弦定理可得 b2＋c2＝a2＋bc， 由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12， 因为 A∈(0，π)，所以 A＝π3.
高一下学期数学人教A版必修第二册6.4.3正弦定理(二)课件
a
b
c
(4)sin A＝___2_R___，sin B＝___2_R___，sin C＝__2_R____.
三、点拨精讲(25分钟)
题型二 已知两边及其中一边所对的角解三角形
例1 在△ABC中，已知B=30°， b 2 ，c=2，解这个三角形．
【方法小结】已知两边及一边的对角解三角形的方法 1.用正弦定理 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中“大边对大角，大角对
所以 AC＝ຫໍສະໝຸດ 2 2×6＝2. 3
2
75°或 15°
解析：由正弦定理sianA＝sibnB，得
sinA＝
3 2.
∵a>b，∴A＝60°或 A＝120°，∴C＝75°或 15°.
5.在△ABC 中，AB＝ 6，∠A＝75°，∠B＝45°，则 AC＝__________.
解析：由三角形内角和定理，得∠C＝60°，根据正弦定理，得siAnBC＝sAinCB，
例 3 已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否 有解．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
[解] (1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， 讨论如下：∵bsinA＝20sin80°>20sin60°＝10 3， ∴a<bsinA，∴本题无解． (2)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°， ∵bsinA＝6sin30°＝3，∴bsinA<a<b，∴本题有两解．
大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角(唯一)． (3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，
数学人教A版(2019)必修第二册6.4.3.2正弦定理(共45张ppt)
）
√
）
练习巩固
题型一：已知两角和一边解三角形
例7：在∆ABC中，已知B = 45°，A = 15°，c = 3 + 3，解这个三角形.
解：由三角形内角和定理，得：
= 180° − ( + ) = 180° − (15° + 30°) = 120°.
由正弦定理，得： =
=
转化
转化
定量计算的公式：余弦定理及其推论
定量计算的公式
新知探究
问题1：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想
它们之间的联系.
A
根据锐角三角函数，在∆中，有:
= ， = ，
c
b
则：
=
= .
又因为 = 90° = 1，所以
=
= 2（为∆外接圆半径）.
同时，有
∆
1
1
1
= = =
2
2
2
a
b
c
新知探究
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
=
=
= 2（为∆外接圆半径）.
同时，有
∆
1
1
1
= = =
2
2
2
辨析1：判断正误.
(1)正弦定理只适用于锐角三角形.（
(2)正弦定理不适用于直角三角形.（
×
×
）
）
(3)在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值.（
正弦定理 高中数学人教A版必修第二册
+ -
所以 sin(B+C)=sin
Bcos
C+cos Bsin C=2sin Bcos C,
所以 a=2b·
,得 b=c,所以△ABC 是等腰直角三角形.
所以 sin(B-C)=0.
又-90°<B-C<90°,所以 B-C=0,
所以 B=C,所以△ABC 是等腰直角三角形.
[针对训练] 已知在△ABC中,内角A,B所对的边分别是a和b,若acos B=bcos A,则
b
C
(1)当 ABC是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
如图:作AB上的高是CD,根椐
三角形的定义,得到
CD a sin B, CD b sin A
所以 a sin B b sin A
得到
a
b
sin A sin B
b
c
同理,作AE BC .有
sin B sin C
a
b
c
sin A sin B sin C
(2)若△ABC 的面积为 ,BC=2,C=60°,求边 AB 的长度.
解:(1)法一
B=105°,
解:(2)法一 因为
由 SA=30°,C=45°,所以
△ABC= AC·BCsin C= ,得 AC=2,
AB2=AC
2+BC2-2AC·BC·
由余弦定理得
由正弦定理得
=
,
2
由
=
°
°
,得 a=
=10×
=10 .
因为 sin B=sin 105°=sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=
所以 sin(B+C)=sin
Bcos
C+cos Bsin C=2sin Bcos C,
所以 a=2b·
,得 b=c,所以△ABC 是等腰直角三角形.
所以 sin(B-C)=0.
又-90°<B-C<90°,所以 B-C=0,
所以 B=C,所以△ABC 是等腰直角三角形.
[针对训练] 已知在△ABC中,内角A,B所对的边分别是a和b,若acos B=bcos A,则
b
C
(1)当 ABC是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
如图:作AB上的高是CD,根椐
三角形的定义,得到
CD a sin B, CD b sin A
所以 a sin B b sin A
得到
a
b
sin A sin B
b
c
同理,作AE BC .有
sin B sin C
a
b
c
sin A sin B sin C
(2)若△ABC 的面积为 ,BC=2,C=60°,求边 AB 的长度.
解:(1)法一
B=105°,
解:(2)法一 因为
由 SA=30°,C=45°,所以
△ABC= AC·BCsin C= ,得 AC=2,
AB2=AC
2+BC2-2AC·BC·
由余弦定理得
由正弦定理得
=
,
2
由
=
°
°
,得 a=
=10×
=10 .
因为 sin B=sin 105°=sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=
6.4.3余弦定理、正弦定理(第二课时)课件(人教版)
探究新知
下面先研究锐角三角形的情形. 证明：
由分配律，得 即 也即 所以
探究新知
由分配律，得 即 也即 所以
探究新知
探究新知
证明：
由分配律，得 即 也即 所以 同理可得，
探究新知
文字语言
符号语言
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一 个定量关系.利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题， 还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.
课后思考:探索和证明这个定理的方法很多，有些方法甚至比向量法更加简洁. 你还能想到其他方法证明正弦定理吗？
巩固练习
解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得
跟踪训练
题型一：已知两角及一边解三角形
答案：A.
巩固练习
解：由正弦定理 ，得：
此时，
巩固练习
此时，
跟踪训练
题型二：已知两边及一边的对角解三角形
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
探究新知
探究1：通过对直角三角形的研究，视察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间 的联系.1 Nhomakorabeac
思考1：那么对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式是否仍然成立？ 猜 想：对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式仍然成立.
探究新知
思考2：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何实现 转化？
课堂小结
正弦定理
文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等
课
已知两角和一边，解三角形
堂 小
定理应用
结
已知两边和其中一边的对角，解三角形（注意多解问题）