(完整版)上海交通大学概率论与数理统计习题全解

习题1

解：(1){}1,2,3Ω=；

(2){}2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12Ω=； (3){}n n Ω=为自然数；

(4)()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5Ω=；

(5)()()(){}

,,,,,Ω=合格合格合格不合格不合格不合格；

(6)(){}

1

2

1

2,9,19t t t

t Ω=≥≤；

(7){}02,d d r r Ω=≤≤为圆半径； (8){}02l l Ω=<<。

解：(1)ABC 表示不是运动员的三年级男生；

(2)当所有三年级男生都是运动员时，ABC C =成立； (3)当运动员都是三年级学生时，C B ?是正确的。 (2)ABC ； (3)ABC ； (4)ABC ； (5)A B C ??； (6)AB BC CA ??； (7)ABC ABC ABC ??； (8)ABC ABC ABC ??； (9)ABC ； (10)ABC ；

(11)ABC ABC ABC ABC ???。 解：(1)ABC 表示非平装的中文数学书；

(2)若C B ?，则说明非平装图书都是中文图书； (3)A B A B =?=，即所有数学书都不是中文版的。

证：(1)()()()

,A B AB A A B A A B A A B AA AB AB AB -=-?=?=?=?=Φ?=，

所以()A B A A B -=-?。 (2) A B A B A B ?=?=?。

解：将5本书排列到书架上共有55!120P ==种排法，卷号自左向右或自右向左恰好为12345顺序共有2种排法，故所求概率为160。

解：从八张卡片中任取两张共有2828C =种取法，两个数字组成既约分数共有18种取法，故所求概率为914。

解：13个字母随机排列共有13!种排法，组成MATHEMATICAN 共有3!2!2!2!=48

种排法，故所求概率为

4813!。

解：7位乘客在2~10层的离开情况共有79种，没有2位乘客在同一层离开共有79P 种情况，故所求概率为7799P 。

解：把全班学生任意地分成人数相等的两组共有24n n C 种分法，每组中男女人数相

等共有22n n n n C C 种分法，故所求概率为()

2

224n n

n

n C C 。

解：从n 双鞋子中任取2r 只共有22r n C 种取法。

(1)所取2r 只鞋子应分属n 双中的2r 双，而每双中又可任取其中一只，即取法有222r r n C ，故所求概率为22222r r r n n C C 。

(2) 所取2r 只鞋子中有2只属于n 双中的某一双，其余22r -只分属1n -双

中的22r -双，，即取法有1222212r r n n C C ---，故所求概率为22222122r r r

n n nC C ---。

(3)将一双鞋子视为一个整体，则2r 只鞋子中恰成r 对共有r n C 种取法，故所求概率为22r r n n C C 。

解：将2n 根小棒接成n 根新棒共有()()()21233121!!n n n --?=-L 种接法。

(1)全部新棒都是原来分开的两根小棒相接的情况只有一种，故所求概率为

()121!!n -。

(2)全部新棒的长度都与原来的一样共有()121!n n n ?-?=L 种情况，故所求概率为()!21!!n n -。

1. 在三角形ABC 中任取一点P ，证明：ABP ?与ABC ?面积之比大于()1n n -的概率为21n 。

证明：

如图，由

1ABP ABC S n S n ??->，得''11

,A B C ABP ABC ABC h h n h n h n

????-><。 显然，当P 落在''A B C ?中时才满足上述要求，由几何概率知，上述事件发

生的概率为2

''''21

A B C A B C ABC ABC S h S h n

??????== ???

2. 两艘船都要停靠同一泊位，它们都可能在一昼夜内的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求两艘船都不需要等候泊位空出的

概率。

解：

设两艘船的到达时刻为,x y，则0,24

x y

<<，两船相会的条件为01

x y

<-<，02

y x

<-<。如图，由几何概率知，所求概率为

22

2

11

2322

220.879

24

+

=。

3.两人约好在某地相会，两人随机地在下午1点与2点之间到达相会地点，求

一个至少要等候另一个人十分钟的概率。

解：

设两人的到达时刻分别为,x y，则0,1

x y

<<，一人至少等候十分钟的条件为16

x y

->。如图，由几何概率知，所求概率为

2

2

1

1

25

6

136

??

-

?

??=。

4.圆内有一内接正方形，随机地向圆内投10点，求其中4点落在正方形内，3

点落在一个弓形内，其余3点分别落在其他3个弓形内的概率。

解：不妨设圆半径为1，则圆面积为π，内接正方形的面积为2，弓形面积为()24

π-，点落在内接正方形内的概率为2π，点落在一个弓形内的概率为()24

ππ

-。

符合题意的点的落法有许多方式，在一种方式中，概率显然为

46

22

4

π

ππ

-

????

? ?

????

。