实数知识点总复习含答案解析

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部编数学七年级下册专题04《实数》解答题重点题型分类(解析版)含答案

部编数学七年级下册专题04《实数》解答题重点题型分类(解析版)含答案

专题04《实数》解答题重点题型分类专题简介:本份资料专攻《实数》中“化简求值题型”、“利用平方根与立方根的性质解方程题型”、“计算解答题型”、“数轴比较大小题型”、“整数部分与小数部分题型”、“创新题型”重点题型;适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1:化简求值题型方法点拨:1.数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应(数形结合)。

2.数的相反数是-;一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.3.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序:先乘方、开方、再乘除,最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行,有括号先算括号里.4.绝对值、平方、算术平方根的双重非负性的应用。

1.若0,0a ab <<,化简a b a --【答案】【分析】由0,0a ab <<判断b >0,再判断绝对值里的数的正负,由绝对值的定义去掉绝对值,再计算即可.【详解】解:∵0,0a ab <<,∴b >0,∴0,0a b b a --<->∴a b a --((a b b a =-----a b b a =-+++=【点睛】本题考查二次根式的化简,正确的对含绝对值号的代数式的化简是解题的关键.分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑.掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识.2.先化简后求值:()()()()222232x y y x y x y x y -----+-,其中x ,y满足30x y +=.【答案】xy -,1-【分析】直接利用整式的混合运算法则以及绝对值、算术平方根的性质得出x ,y 的值,进a a而计算得出答案.【详解】解:原式2222244432x xy y x y xy y =-+-++-xy =-,30x y +=Q ,\3402350x y x y +-=ìí--=î,解得:313x y =ìïí=ïî,\原式1313=-´=-.【点睛】本题主要考查了整式的混合运算,绝对值的非负性,算术平方根,解题的关键是正确掌握相关运算法则.3.先化简,再求值:[(3x +y )(3x ﹣y )﹣2x (y +2x )+(y ﹣2x )2]÷(﹣3x ),其中x 、y满足1y =.【答案】﹣3x +2y ,﹣26【分析】原式中括号利用平方差公式,完全平方公式,以及单项式乘以多项式法则计算,去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果,利用非负数的性质求出x 与y 的值,代入计算即可求出值.【详解】解:原式=(9x 2﹣y 2﹣2xy ﹣4x 2+y 2﹣4xy +4x 2)÷(﹣3x )=(9x 2﹣6xy )÷(﹣3x )=﹣3x +2y ,∵1y =,∴x ﹣8≥0且8﹣x ≥0,解得:x =8,∴11y ==-,∴原式=﹣3×8+2×(﹣1)=﹣24﹣2=﹣26.【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,以及非负数的性质,熟练掌握相关运算法则是解本题的关键.4.已知多项式A =x 2+2xy ﹣3y 2,B =2x 2﹣3xy +y 2,先化简3A +2B ;再求当x ,y 为有理数且满足x 2y +2y =﹣+17时,3A +2B 的值.【答案】2277,63x y -【分析】根据多项式的加减运算进行化简,进而根据x ,y 为有理数求得,x y 的值,代入求解即可.【详解】Q A =x 2+2xy ﹣3y 2,B =2x 2﹣3xy +y 2,\()()222232323223A B x xy y x xy y +=+-++-2222369462x xy y x xy y =+-+-+2277x y =-()227x y =-Q x 2+2y =﹣,x ,y 为有理数,22x y \+==-,4,5y x \=-=±2225169x y \-=-=\原式7963=´=【点睛】本题考查了整式的加减化简求值,实数的性质,求得,x y 的值是解题的关键.5.(1)化简:a 2+(5a 2﹣2a )﹣2(a 2﹣3a );(2)先化简,再求值:14(﹣4x 2+2x ﹣8y )﹣(﹣x ﹣2y ),其中x =23,y =2018.【答案】(1)244a a +;(2)232x x -+,59【分析】(1)去括号后合并同类项即可;(2)利用乘法分配律化简,进而合并同类项,再把已知数据代入得出答案.【详解】解:(1)a 2+(5a 2﹣2a )﹣2(a 2﹣3a ),2225226a a a a a =+--+ ,244a a =+ ;(2)14(﹣4x 2+2x ﹣8y )﹣(﹣x ﹣2y ),()()21114282444x x y x y =´-+´+´-++ ,21222x x y x y =-+-++ ,232x x =-+ ,当x =23,y =2018时,原式2232323æö=-+´ç÷èø ,419=-+ ,59= .【点睛】此题主要考查了整式的化简求值和实数运算,正确掌握整式的混合运算法则是解题关键.6.已知数a a【答案】2【分析】直接利用数轴得出a 的取值范围,进而化简得出答案.【详解】解:由数轴得:0.50a -<<,a =121a a a-+++=2.【点睛】本题主要考查了实数的运算与数轴,算术平方根的非负性,化简绝对值等知识点,正确化简各式是解本题的关键.7.实数a 、b 、c 在数轴上的对应点位置如图所示,化简:【答案】3b【详解】解:原式=|-c |+|a -b |+a +b -|b -c |,=c +(-a +b )+a +b -(-b +c ),=c -a +b +a +b +b -c ,=3b .【点睛】此题主要考查了实数的运算,关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质.8.若一个正数的两个平方根分别为1a -,27a +,请先化简再求值:()()222123a a a a -+--+.【答案】25a +,9【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可求得a 的值,再对原式去括号合并同类项化简后,代入a 的值求解即可.【详解】解:∵一个正数的两个平方根分别为1a -,27a +,∴(a -1)+(2a +7)=0,解得a =-2.()()222123a a a a -+--+2222223a a a a =-+-++25a =+,当a =-2时,原式()2259=-+=.【点睛】本题主要考查了平方根的性质,整式的加减求值.利用正数的两个平方根互为相反数列等式求值是解题的关键.9.我们可以把根号外的数移到根号内,从而达到化简的目的.例如:(1)请仿照上例化简.①②;(2)请化简【答案】(1);②2)【分析】(1)①根据题意仿照求解即可;②根据题意仿照求解即可;(2)先根据被开方数的非负性判断a 的正负,然后根据题意求解即可.【详解】解:(1)①;②===(2)∵∴10a -³,∴0a <∴==【点睛】本题主要考查了实数的运算,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.10.数形结合是一种重要的数学方法,如在化简a 时,当a 在数轴上位于原点的右侧时,a a =;当a 在数轴上位于原点时,0a =;当a 在数轴上位于原点的左侧时,a a =-.当a ,b ,c 三个数在数轴上的位置如图所示,试用这种方法解决下列问题,(1)当1a =时,求aa =______,当2b =-时,求bb =______.(2)请根据a ,b ,c 三个数在数轴上的位置,求abca b c ++的值.(3)请根据a ,b ,c 三个数在数轴上的位置,化简:a c c a b b c ++++--.【答案】(1)1;1- ;(2)1-;(3)c -.【分析】(1)当1a =时,点a 在原点右边,由题意可知,此时a a =,代入a a 即可求值;当2b =- 时,点b 在原点左边,由题意可知,此时b b =-,代入bb 即可求值;(2)由图中获取a b c 、、三点的位置信息后,结合题意即可求原式的值;(3)由图获取a b c 、、的正、负信息和三个数绝对值的大小后,就可确定原式中绝对值符号里面式子的值的符号,就可化简原式.【详解】解:(1)当1a =时,111a a ==;当2b =-时,212b b ==--,故答案是:1,-1;(2)由数轴可得:0b < ,0c < ,0a > ,∴abca b c ++=1111a b c a b c--++=--=-;(3)由数轴可知:0b c a <<<且c a b <<,∴000a c a b b c +>+<-<,,,∴a c c a b b c++++--()[()][()]a c c a b b c =++-+-+---a c c ab b c=+---+-c =-.【点睛】本题考查了数轴,解决本题的关键是熟记正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数.在解第3小问这类题时,需注意以下两点:(1)根据在数轴上表示的数中,左边的总小于右边的,确定好所涉及数的大小关系及每个数的正、负信息(涉及异号两数相加的还要获取它们绝对值的大小关系);(2)根据有理数加、减法法则确定好需化简式子中绝对值符号里的式子的正、负,然后再根据绝对值的代数意义将绝对值符号去掉.考点2:利用平方根与立方根的性质解方程题型方法点拨:解方程时应把平方部分看成一个整体,先根据等式基本性质把方程化为平方部分等什么。

实数(知识总结,试题和答案)

实数(知识总结,试题和答案)
4、(10分)观察
,即 ;
即 ;猜想: 等于什么,并通过计算验证你的猜想。
5、章节测试
实数章节测试题
学生姓名_________考试分数__________
特别说明:1、本试卷完成时间为90分钟;2、本试卷满分为100分;3、考试中考
生必须遵守考试规则,独立完成;4、考生草稿纸要求规范使用,考试结束上交。
三、解答题:(共38分)
1、(6分)求下列各式的值:
(1) ;(2) ;(3)-
2、(6分)化简:(1) (2)
3、(6分)已知 =x-1,求x的值。
4、(6分)一个长方体的长为5 cm,宽为2 cm,高为3 cm,而另一个正方体的体积是它的3倍,求这个正方体的棱长(结果精确到0.01 cm).
图3
一、仔细选一选:(每题3分,共30分)
1.下列实数: , , , , , , ,0.020020002……中,无理数有( )个.
A.2 B.3 C.4 D.5
2. 表示的意义是( )
A.25的立方根B.25的平方根C.25的算术平方根D.5的算术平方根
3.下列语句正确的是( )
A.-2是-4的平方根; B. 2是(-2)2的算术平方根;
初中精品数学精选精讲
学科:数学任课教师:授课时间:年月日
姓名
年级
课时
教学课题
实数
教学目标
(知识点、考点、能力、方法)
知识点:无理数和实数的概念
考点:实数的概念、分类、倒数、相反数、绝对值、运算和平方根、算数平方根、立方根、科学计数法、近似数
能力:了解实数范围内相反数和绝对值的意义,会对实数进行分类、运算,能估算无理数的大小
其中正确的说法的个数是()

初一实数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析

初一实数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析

初一实数全部学问点总结和常考题学问点:一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数在理解无理数时,要抓住“无限不循环〞这一时之,归纳起来有四类: 〔1〕开方开不尽的数,如32,7等;〔2〕有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3π+8等; …等;二、实数的倒数、相反数和肯定值1、相反数实数及它的相反数时一对数〔只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零〕,从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,假如a 及b 互为相反数,那么有a+b=0,a=—b ,反之亦成立。

2、肯定值一个数的肯定值就是表示这个数的点及原点的间隔 ,|a|≥0。

零的肯定值时它本身,也可看成它的相反数,假设|a|=a ,那么a ≥0;假设|a|=-a ,那么a ≤0。

正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,肯定值大的反而小。

3、倒数假如a 及b 互为倒数,那么有ab=1,反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4. 实数及数轴上点的关系:每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,实数及数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。

三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根〔1〕平方根的定义:假如一个数x 的平方等于a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根.即:假如a x 2,那么x 叫做a 的平方根.〔2〕开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必需是非负数才有意义。

〔3〕平方及开平方互为逆运算:±3的平方等于9,9的平方根是±3〔4〕一个正数有两个平方根,即正数进绽开平方运算有两个结果;一个负数没有平方根,即负数不能进绽开平方运算〔5〕符号:正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根;正数a 的负的平方根可用-a 表示.〔6〕a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根〔1〕算术平方根的定义: 一般地,假如一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根.a 的算术平方根记为a ,读作“根号a 〞,a 叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.也就是,在等式a x =2 (x≥0)中,规定a x =。

苏科版八年级数学上册考点必刷练精编讲义必刷知识点【第4章《实数》章节复习巩固】(原卷版+解析)

苏科版八年级数学上册考点必刷练精编讲义必刷知识点【第4章《实数》章节复习巩固】(原卷版+解析)

2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义(苏科版)第4章《实数》 章节复习巩固知识点01:平方根和立方根知识点02:实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分: 实数按与0的大小关系分:实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数知识要点:(1)所有的实数分成三类: .其中有限小数和无限循环小数统称有理数,无限不循环小数叫做⎧⎨⎩有理数:有限小数或无限循环小数无理数:无限不循环小数(2等;②有特殊意义的数,如π; ③有特定结构的数,如0.1010010001…(3)凡能写成无限不循环小数的数都 ,并且无理数不能写成 (4)实数和数轴上点是 的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都 ,反之任何一个实数都能在 找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质:在实数范围内,正数和零统称为 。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式: (1)任何一个实数a 的绝对值是 ,即|a |≥0; (2)任何一个实数a 的平方是 ,即≥0; (3)任何非负数的是非负数,即 (). 非负数具有以下性质:(1)非负数有 零;(2)有限个非负数之和仍是 ; (3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0. 4.实数的运算:数a 的相反数是-a ;一个正实数的 是它本身;一个 的绝对值是它的相反数;0的绝对值是有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序:先乘方、开方、再乘除,最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行,有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较:有理数大小的比较法则在 范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应,在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数法则2.正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数,两个负数比较,绝对值大的 ; 法则3. 两个数比较大小常见的方法有:知识点03:近似数及精确度2a 0≥0a ≥1. 近似数:接近准确数而不等于准确数的数,叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞,这里的6300㎞就是近似数.知识要点:一般采用四舍五入法取近似数,只要看2. 精确度:一个近似数四舍五入到哪一位,就称,也叫做这个近似数的精确度.知识要点:①精确度是指 .②精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示,一般来说精确到哪一位表示,0.10.05例如精确到米,说明结果与实际数相差不超过米.2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义(苏科版)第4章《实数》 章节复习巩固知识点01:平方根和立方根有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分:实数按与0的大小关系分:实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数知识要点:(1)所有的实数分成三类:有限小数,无限循环小数,无限不循环小数.其中有限小⎧⎨⎩有理数:有限小数或无限循环小数无理数:无限不循环小数数和无限循环小数统称有理数,无限不循环小数叫做无理数. (2等;②有特殊意义的数,如π; ③有特定结构的数,如0.1010010001…(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数,并且无理数不能写成分数形式.(4)实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质:在实数范围内,正数和零统称为非负数。

第六章 实数知识点总结含答案

第六章 实数知识点总结含答案

第六章 实数知识点总结含答案一、选择题1.有一个数阵排列如下:1 2 4 7 11 16 223 5 8 12 17 236 9 13 18 2410 14 19 25 15 20 2621 2728则第20行从左至右第10个数为( )A .425B .426C .427D .4282.下列说法中正确的是( )A .若a a =,则0a >B .若22a b =,则a b =C .若a b >,则11a b> D .若01a <<,则32a a a << 3.在有理数中,一个数的立方等于这个数本身,这种数的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .44.下列一组数2211-8,3,0,2,0.010010001 (7)223π,,,(相邻两个1之间依次增加一个0),其中无理数的个数有( ) A .0个 B .1个C .2个D .3个 5.若a ,b均为正整数,且a >b <+a b 的最小值是( ) A .3 B .4 C .5D .6 6.下列各数中,属于无理数的是( )A .227B .3.1415926C .2.010010001D .π3- 7.下列五个命题:①如果两个数的绝对值相等,那么这两个数的平方相等;②内错角相等;③在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行;④两个无理数的和一定是无理数;⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.其中真命题的个数是( )A .2个B .3个C .4个D .5个8.设n 为正整数,且nn+1,则n 的值为( ) A .5 B .6 C .7D .89.4的平方根是( )A .2B .2±C .±2D .2 10.在实数227-、9、11、π、38中,无理数的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个二、填空题11.如图,按照程序图计算,当输入正整数x 时,输出的结果是161,则输入的x 的值可能是__________.12.64的立方根是___________.13.一个正数的平方根是21x -和2x -,则x 的值为_______.14.按如图所示的程序计算:若开始输入的值为64,输出的值是_______.15.对于有理数a ,b ,规定一种新运算:a ※b=ab +b ,如2※3=2×3+3=9.下列结论:①(﹣3)※4=﹣8;②若a ※b=b ※a ,则a=b ;③方程(x ﹣4)※3=6的解为x=5;④(a ※b )※c=a ※(b ※c ).其中正确的是_____(把所有正确的序号都填上).16.下面是按一定规律排列的一列数:14,37,512,719,928…,那么第n 个数是__. 17.对任意两个实数a ,b 定义新运算:a ⊕b=()()a a b b a b ≥⎧⎨⎩若若<,并且定义新运算程序仍然是52)⊕3=___.18.已知实数x 的两个平方根分别为2a +1和3-4a ,实数y 的立方根为-a 2x y +的值为______.19.用“*”表示一种新运算:对于任意正实数a ,b ,都有*1a b b .例如89914*=,那么*(*16)m m =__________.20.如果36a =b 7的整数部分,那么ab =_______.三、解答题21.观察下列三行数:(1)第①行的第n 个数是_______(直接写出答案,n 为正整数)(2)第②、③行的数与第①行相对应的数分别有什么关系?(3)取每行的第9个数,记这三个数的和为a ,化简计算求值:(5a 2-13a-1)-4(4-3a+54a 2) 22.阅读理解: 计算1111234⎛⎫+++ ⎪⎝⎭×11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭﹣111112345⎛⎫++++ ⎪⎝⎭×111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭时,若把11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭与111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭分别各看着一个整体,再利用分配律进行运算,可以大大简化难度.过程如下: 解:设111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭为A ,11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭为B , 则原式=B (1+A )﹣A (1+B )=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=15.请用上面方法计算: ①11111123456⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭×111111234567⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭-1111111234567⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭×1111123456⎛⎫++++ ⎪⎝⎭②111123n ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭111231n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭-1111231n ⎛⎫++++ ⎪+⎝⎭11123n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭. 23.规定两数a ,b 之间的一种运算,记作(a ,b ):如果c a b =,那么(a ,b )=c . 例如:因为23=8,所以(2,8)=3.(1)根据上述规定,填空:(3,27)=_______,(5,1)=_______,(2, 14)=_______. (2)小明在研究这种运算时发现一个现象:(3n ,4n )=(3,4)小明给出了如下的证明: 设(3n ,4n )=x ,则(3n )x =4n ,即(3x )n =4n所以3x=4,即(3,4)=x ,所以(3n ,4n )=(3,4).请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由:(4,5)+(4,6)=(4,30)24.已知2a -的平方根是2±,33a b --的立方根是3,整数c 满足不等式81c c <+. (1)求,,a b c 的值.(2)求2232a b c ++的平方根.25.观察下列解题过程:计算231001555...5+++++解:设231001555...5S =+++++①则23410155555....5S =+++++②由-②①得101451S =-101514S -∴= 即10123100511555 (54)-+++++= 用学到的方法计算:2320191222...2+++++26.阅读材料,解答问题:如果一个四位自然数,十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差,个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和,则我们称这个四位数“依赖数”,例如,自然数2135,其中3=2×2﹣1,5=2×2+1,所以2135是“依赖数”.(1)请直接写出最小的四位依赖数;(2)若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3,这样的数叫做“特色数”,求所有特色数.(3)已知一个大于1的正整数m 可以分解成m =pq+n 4的形式(p≤q ,n≤b ,p ,q ,n 均为正整数),在m 的所有表示结果中,当nq ﹣np 取得最小时,称“m =pq+n 4”是m 的“最小分解”,此时规定:F (m )=q n p n++,例:20=1×4+24=2×2+24=1×19+14,因为1×19﹣1×1>2×4﹣2×1>2×2﹣2×2,所以F (20)=2222++=1,求所有“特色数”的F (m )的最大值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【解析】试题解析:寻找每行数之间的关系,抓住每行之间的公差成等差数列,便知第20行第一个数为210,而每行的公差为等差数列,则第20行第10个数为426,故选B.2.D解析:D【分析】根据绝对值的性质、平方根的性质、倒数的性质、平方和立方的性质对各项进行判断即可.【详解】 若a a =则0a ≥,故A 错误;若22a b =则a b =或=-a b ,故B 错误;当0a b >>时11b a<,故C 错误; 若01a <<,则32a a a <<,正确,故答案为:D .【点睛】本题考查了有理数的运算,掌握有理数性质的运算是解题的关键.3.C解析:C【分析】设这个数为x, 根据题意列出关于x 的方程,求出方程的解即可.【详解】解:设这个数为x ,根据题意得:3x x =,解得:x=0或-1或1,共3个;故选:C .【点睛】此题考查了有理数的立方,熟练掌握运算法则是解本题的关键.4.C解析:C【分析】根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.【详解】 解:2211-8,3,0,2,0.010010001...7223π,,,(相邻两个1之间依次增加一个0),其中无理数的个数有:0.010010001...2π,(相邻两个1之间依次增加一个0),共2个 故选:C【点睛】本题考查了无理数定义,初中范围内学习的无理数有三类:①π类,如2π,3π等;②开方0.1010010001…,等. 5.B解析:B【分析】的范围,然后确定a 、b 的最小值,即可计算a +b 的最小值.【详解】23.∵a a为正整数,∴a的最小值为3.12.∵b b为正整数,∴b的最小值为1,∴a+b的最小值为3+1=4.故选B.【点睛】本题考查了估算无理数的大小,解题的关键是:确定a、b的最小值.6.D解析:D【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.【详解】解:A、227是有理数,故选项A不符合题意;B、3.1415926是有理数,故选项B不符合题意;C、2.010010001是有理数,故选项C不符合题意;D、π3是无理数,故选项D题意;故选:D.【点睛】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.7.B解析:B【分析】根据平面直角坐标系的概念,在两直线平行的条件下,内错角相等,两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数,进行判断即可.【详解】①正确;②在两直线平行的条件下,内错角相等,②错误;③正确;④反例:两个无理数π和-π,和是0,④错误;⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的,正确;故选:B.【点睛】本题考查实数,平面内直线的位置;牢记概念和性质,能够灵活理解概念性质是解题的关键.8.D解析:D【分析】n的值.【详解】∴89,∵n n+1,∴n=8,故选;D.【点睛】9.B解析:B【分析】【详解】2,.故选:B.【点睛】10.B解析:B【解析】分析:无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.详解:无理数有 共2个.故选B.点睛:本题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有特定规律的数.二、填空题11.、、、.【解析】解:∵y=3x+2,如果直接输出结果,则3x+2=161,解得:x=53;如果两次才输出结果:则x=(53-2)÷3=17;如果三次才输出结果:则x=(17-2)÷3=5;解析:53、17、5、1.【解析】解:∵y=3x+2,如果直接输出结果,则3x+2=161,解得:x=53;如果两次才输出结果:则x=(53-2)÷3=17;如果三次才输出结果:则x=(17-2)÷3=5;如果四次才输出结果:则x=(5-2)÷3=1;则满足条件的整数值是:53、17、5、1.故答案为:53、17、5、1.点睛:此题的关键是要逆向思维.它和一般的程序题正好是相反的.12.2【分析】的值为8,根据立方根的定义即可求解.【详解】解:,8的立方根是2,故答案为:2.【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义,明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键.解析:2【分析】8,根据立方根的定义即可求解.【详解】,8的立方根是2,8故答案为:2.【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义,明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键.13.-1【分析】根据“一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可.【详解】解:∵一个正数的平方根是2x-1和2-x,∴2x-1+2-x=0,解得:x=-1.故答案为:-解析:-1【分析】根据“一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数”列出方程求解即可.【详解】解:∵一个正数的平方根是2x-1和2-x,∴2x-1+2-x=0,解得:x=-1.故答案为:-1.【点睛】本题主要考查的是平方根的性质以及解一元一次方程,熟练掌握平方根的性质是解题的关键.14.【分析】根据运算顺序,先求算术平方根,再求立方根,最后求算术平方根,可得答案.【详解】解:=8,=2,2的算术平方根是,故答案为:.【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义,熟练掌握【分析】根据运算顺序,先求算术平方根,再求立方根,最后求算术平方根,可得答案.【详解】82,2,.【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义,熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键.15.①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果,即可做出判断.【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8,所以①正确;a※b=ab+b,b※a=ab+a,若 a=b ,两式解析:①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果,即可做出判断.【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8,所以①正确;a ※b=ab+b ,b ※a=ab+a ,若 a=b ,两式相等,若 a≠b ,则两式不相等,所以②错误; 方程(x−4) )※3=6化为3(x−4)+3=6,解得x=5,所以③正确;左边=(a ※b) ※c=(a×b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c 右边=a ※(b ※c )=a ※(b×c+c)=a (b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c 2 两式不相等,所以④错误.综上所述,正确的说法有①③.故答案为①③.【点睛】有理数的混合运算, 解一元一次方程,属于定义新运算专题,解决本题的关键突破口是准确理解新定义.本题主要考查学生综合分析能力、运算能力.16.【解析】∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n -1,∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,∴第n 个数的分母为n2+3,∴第n 个数 解析:2213n n -+ 【解析】∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n -1,∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,∴第n 个数的分母为n 2+3,∴第n 个数是2213n n -+,故答案为:221 3n n -+. 17.【分析】根据“⊕”的含义,以及实数的运算方法,求出算式的值是多少即可.【详解】(⊕2)⊕3=⊕3=3,故答案为3.【点睛】本题考查了定义新运算,以及实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关 解析:【分析】根据“⊕”的含义,以及实数的运算方法,求出算式的值是多少即可.2)⊕3=3,故答案为3.【点睛】本题考查了定义新运算,以及实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.18.3【分析】利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值,即可确定的值.【详解】解:根据题意的2a+1+3-4a=0,解得a=2,∴,,故答案为:3.【点睛】本题考查了平方根和立方根,熟解析:3【分析】利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值.【详解】解:根据题意的2a+1+3-4a=0,解得a=2,∴25,8x y ==-,∴=,故答案为:3.【点睛】 本题考查了平方根和立方根,熟练掌握相关的定义是解题的关键.19.+1【分析】首先正确理解题目要求,然后根据给出的例子进行计算即可.【详解】m*(m*16)=m*(+1)=+1.故答案为:+1.【点睛】此题考查实数的运算,解题的关键是要【分析】首先正确理解题目要求,然后根据给出的例子进行计算即可.【详解】m*(m*16)=m*)=m*5=..【点睛】此题考查实数的运算,解题的关键是要掌握运算法则.20.12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值,再根据无理数的估算得出b的值,然后计算有理数的乘法即可.【详解】,即的整数部分是2,即则故答案为:.【点睛】本题考查了算术平方根的解析:12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值,再根据无理数的估算得出b的值,然后计算有理数的乘法即可.【详解】a==6479<<<<23<< ∴的整数部分是2,即2b =则6212ab =⨯=故答案为:12.【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算,根据无理数的估算方法得出b 的值是解题关键.三、解答题21.(1)-(-2)n ;(2)第②行数等于第①行数相应的数减去2;第③行数等于第①行数相应的数除以(-2);(3)-783【分析】第一个有符号交替变化的情况时,可以考虑在你所找到的规律代数式中合理的加上负号,并检验计算结果。

八上数学 第二章实数知识点归纳+易错例题精选(含答案)

八上数学 第二章实数知识点归纳+易错例题精选(含答案)

八年级数学上册 第二章 实数知识点+易错题精选一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数概念:无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如32,7等;(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数值,如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a= —b ,反之亦成立。

2、绝对值在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。

(|a|≥0)。

零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|= -a ,则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。

解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。

5、估算 逐步逼近法的正确使用 三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地,0的算术平方根是0。

表示方法:记作“a ”,读作根号a 。

性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。

2、平方根:一般地,如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根(或二次方根)。

表示方法:正数a 的平方根记做“a”,读作“正、负根号a ”。

4.3实数(十大题型)(解析版) 八年级数学上学期

4.3实数(十大题型)(解析版) 八年级数学上学期

八年级上册数学《第4章实数》4.3实数◆1、实数的概念:有理数和无理数统称为实数.◆2、实数的分类:(1)按定义分类.(2)按性质分类.◆1、实数与数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.◆2、与规定有理数的大小一样,对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.◆3、实数的大小比较①正实数大于零,负实数小于零,正实数大于负实数;②两个正实数,绝对值大的数较大;③两个负实数,绝对值大的数反而小.在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.◆1、数a的相反数是-a,这里a表示任意一个实数.◆2、一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即设a表示任意一个实数,则|a|=o>0)0(=0)−o<0)◆1、当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算.◆2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样,实数运算过程中的运算顺序为:先算乘方、开方、再算乘法、除法,最后算加法、减法,同级运算按照自左向右的顺序进行,有括号先算括号里的.◆3、实数的运算律.①加法交换律:a+b=b+a;②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)③乘法交换律:ab=ba;④乘法结合律:(ab)c=a(bc)⑤分配律:a(b+c)=ab+ac.①被开方数一定是非负数,即a≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数,即a≥0.【例题1】(2022秋•丽水期中)把下列各数的序号填在相应的横线上:①﹣3.14,②2π,③−13,④0.618,⑤−16,⑥0,⑦﹣1,⑧+3,⑨227,⑩﹣0.030030003……(每相邻两个3之间0的个数逐渐多1).整数集合:{……};分数集合:{……};无理数集合:{……}.【分析】利用整数、分数、无理数的定义分类填空.【解答】解:整数有:⑤−16=−4,⑥0,⑦﹣1,⑧+3;分数有:①﹣3.14,③−13,④0.618,⑨227;无理数有:②2π,⑩﹣0.030030003……(每相邻两个3之间0的个数逐渐多1),故答案为:⑤⑥⑦⑧;①③④⑨;②2⑩.【点评】本题考查了实数的定义,解题的关键是掌握整数、分数、无理数的定义.【变式1-1】(2022秋•社旗县期末)实数−13,−6,0,﹣1中,为负整数的是()A.﹣1B.−6C.0D.−13【分析】根据实数的分类进行解答即可.【解答】解:这一组数中的负整数是﹣1.故选:A.【点评】本题考查的是实数,熟知实数的分类是解题的关键.【变式1-2】(2022秋•宁波期中)下列实数:2,39,1,2,−73,0.3⋅,分数有()A.2个B.3个C.4个D.5个【分析】根据实数的分类及分数的定义进行解答即可.−73,0.3⋅共3个.故选:B.【点评】本题考查的是实数,熟知所有的分数都是有理数是解题的关键.【变式1-3】(2022春•宜秀区校级月考)下列说法正确的是()A.实数包括有理数、无理数和零B.有理数包括正有理数和负有理数C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D.无论是有理数还是无理数都是实数【分析】灵活掌握实数分类以及有理数和无理数概念,注意容易混淆的知识点.【解答】解:有理数和无理数统称为实数,0属于有理数,故A错误,有理数包括正有理数、负无理数和0,0既不是正数也不是负数,故B错误,无限不循环的小数是无理数,故C错误,实数分为有理数和无理数,故D正确.故选:D.【点评】考查了实数的概念,以及有理数和无理数概念及分类.【变式1-4】下列判断:①一个数的平方根等于它本身,这个数是0和1;②实数包括无理数和有理数;③2的算术平方根是2;④无理数是带根号的数.正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B;【分析】直接利用有关实数的性质分别分析得出答案.【解答】解:①一个数的平方根等于它本身,这个数是0,故原题说法错误;②实数包括无理数和有理数,故原题说法正确;③2的算术平方根是2,故原题说法正确;④无理数是无限不循环小数,故原题说法错误,例如4=2是有理数.故选:B.【变式1-5】(2022春•夏津县期末)下列说法中错误的是()A.3−27是整数B.−1713是有理数C.33是分数D.9的立方根是无理数【分析】根据立方根,算术平方根,有理数,无理数的意义,即可解答.【解答】解:A、∵3−27=−3,∴3−27是整数,故A不符合题意;B、−1713是有理数,故B不符合题意;C、33是无理数,不是分数,故C符合题意;D、∵9=3,3的立方根是33,33是无理数,∴9的立方根是无理数,故D不符合题意;故选:C.【点评】本题考查了实数,熟练掌握有理数,无理数的意义是解题的关键.【变式1-6】(2022秋•黑山县期中)把下列各数分别填入相应的集合内:33,−4,−34,0,﹣0.2121121112…(相邻两个2之间的1的个数逐次加1)【分析】根据无理数以及正实数的定义,在给定实数中分别挑出无理数以及正实数,此题得解.【解答】解:如图所示:【点评】本题考查了有理数的分类,熟练掌握有理数的分类是解题的关键.【变式2-7】(2023秋•滨湖区期中)将下列各数的序号填入相应的括号内:①﹣2.5;②313;③0;④2;⑤﹣8;⑥10%;⑦−27;⑧﹣1.12121112…;⑨2;⑩−0.345⋅⋅.整数集合:{…};负分数集合:{…};正有理数集合:{…};无理数集合:{…}.【分析】根据实数的分类,即可解答.【解答】解:整数集合:{③⑤⑨…};负分数集合:{①⑦⑩…};正有理数集合:{②⑥⑨…};无理数集合:{④⑧…}.故答案为:③⑤⑨;①⑦⑩;②⑥⑨;④⑧.【点评】本题考查了实数,熟练掌握实数的分类是解题的关键.【例题2】(2022•海淀区校级模拟)实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示,则正确的结论是()A.a<0B.a<b C.b+5>0D.|a|>|b|【分析】根据数轴可以发现b<a,且,由此即可判断以上选项正确与否.【解答】解:A.∵2<a<3,a>0,答案A不符合题意;B.∵2<a<3,﹣4<b<﹣3,∴a>b,∴答案B不符合题意;C.∵﹣4<b<﹣3,∴b+5>0,∴答案C符合题意;D.∵2<a<3,﹣4<b<﹣3,∴|a|<b|,∴答案D不符合题意.故选:C.【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容,会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键.【变式2-1】(2022春•南岸区期中)实数a在数轴上对应点的位置如图所示,若实数b满足a<b<2,则b的值可以是()A.﹣2B.﹣1C.2D.3【分析】先判断b的范围,再确定符合条件的数即可.【解答】解:∵1<a<2,∴﹣2<﹣a<﹣1,∵﹣a<b<a,∴b只能是﹣1.故选:B.【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系,解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围.【点评】本题考查了有理数大小比较:正数大于0,负数小于0;负数的绝对值越大,这个数越小.【变式2-2】(2023秋•昌黎县期中)如图,在数轴上,点A表示实数a,则a可能是()A.−12B.−10C.−8D.−3【分析】根据数轴可得−9<<−4,再逐一分析各选项的数据即可.【解答】解:∵﹣3<a<﹣2,∴−9<<−4,∵9<12,9<10,∴−12<−9,−10<−9,故A,B不符合题意;∵3<4,∴−3>−4,故D不符合题意;∵4<8<9,∴−9<−8<−4,即−3<−8<−2,故选:C.【点评】本题考查的是实数与数轴,实数的大小比较,掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键.【变式2-3】(2023秋•新吴区校级期中)如图,正方形的边长为1,在正方形的4个顶点处标上字母A,B,C,D,先让正方形上的顶点A与数轴上的数﹣2所对应的点重合,再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动,那么数轴上的数2020将与正方形上的哪个字母重合()A.字母A B.字母B C.字母C D.字母D【分析】正方形滚动一周的长度为4,从﹣2到2020共滚动2022,由2022÷4=505......2,即可作出判断.【解答】解:∵正方形的边长为1,∴正方形的周长为4,∴正方形滚动一周的长度为4,∵正方形的起点在﹣2处,∴2020﹣(﹣2)=2022,∵2022÷4=505......2,∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合,故选:C.【点评】本题考查了实数与数轴,根据正方形的特点找出滚动规律是解题的关键.【变式2-4】把表示下列各数的点画在数轴上,再按从小到大的顺序,用“<”号把这些数连接起来:3,﹣(﹣1),﹣1.5,0,﹣|﹣4|,2.【分析】先计算﹣(﹣1)=1,﹣|﹣4|=﹣4,再利用数轴表示数的方法表示所给的6个数,然后写出它们的大小关系.【解答】解:﹣(﹣1)=1,﹣|﹣4|=﹣4,用数轴表示为:,它们的大小关系为﹣|﹣4|<﹣1.5<0<﹣(﹣1)<2<3.【变式2-5】(2022春•海安市校级月考)7、如图:数轴上表示1、5的对应点分别为A、B,且点A为线段BC的中点,则点C表示的数是()A.5−1B.1−5C.5−2D.2−5【分析】设C点表示的数为x,再根据中点坐标公式求出x的值即可.【解答】解:设C点表示的数为x,则r52=1,解得x=2−5.故选:D.【点评】本题考查的是实数与数轴,熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键.【变式2-6】(2023•市南区一模)已知实数a,b在数轴上的位置如图所示,下列结论错误的是()A.1<|a|<b B.1<﹣a<b C.|a|<1<|b|D.﹣b<a<﹣1【分析】根据相反数的意义,绝对值的性质,有理数的大小比较,可得答案.【解答】解:由题意,得1<|a|<b,1<﹣a<b,﹣b<a<﹣1,故C符合题意;故选:C.【点评】本题考查了实数与数轴,利用相反数的意义,绝对值的性质,数轴上的点右边的总比左边的大是解题关键.【变式2-7】(2023春•岳池县期末)如图,已知正方形ABCD的面积为5,点A在数轴上,且表示的数为1.现以A为圆心,AB为半径画圆,和数轴交于点E(E在A的右侧),则点E表示的数为1+【分析】根据正方形的面积求出正方形的半径,即圆的半径为5,所以E点表示的数为OE的长度,即1+5.【解答】解:∵正方形的面积为5,∴AB为5;∵以A点为圆心,AB为半径,和数轴交于E点,∴AE=AB=5;∵A点表示的数为1,∴OE=OA+AE=1+5故答案为:1+5【点评】本题主要考查了实数与数轴的位置关系,结合正方形面积以及圆的半径考查.解题关键是求出OE的长度.【变式2-8】(2022秋•西安月考)如图,已知实数−5,﹣1,5,3,其在数轴上所对应的点分别为点A,B,C,D.(1)求点C与点D之间的距离;(2)记点A与点B之间距离为a,点C与点D之间距离为b,求a﹣b的值.【分析】(1)根据数轴上两点间距离的计算方法进行计算即可得出答案;(2)先根据数轴上两点间距离的计算方法计算出a的值,再求a﹣b即可得出答案.【解答】解:(1)根据题意可得,点C与点D之间的距离为3−5;(2)根据题意可得,a=|﹣1+5|=5−1,b=3−5,a﹣b=5−1﹣(3−5)=25−4.【点评】本题主要考查了实数与数轴及数轴上两点间距离,熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及数轴上两点间距离的计算方法进行求解是解决本题的关键.【例题3】实数−3的绝对值是()A.3B.C.−3D.33【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案.【解答】解:实数−3的绝对值是:3.故选:A.【点评】此题主要考查了绝对值,正确掌握绝对值的性质是解题关键.【变式3-1】−2的相反数是()A.−2B.2CD.2【分析】根据相反数的含义,可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”,据此解答即可.【解答】解:根据相反数的含义,可得−2的相反数是:2.故选:B.【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:相反数是成对出现的,不能单独存在;求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”.【变式3-2】(2023春•潮南区期中)5−2的相反数是()A.﹣0.236B.5+2C.2−5D.﹣2+5【分析】根据相反数的定义即可得出结论.【解答】解:5−2的相反数是2−5.故选C.【点评】本题考查的是相反数,熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键.【变式3-3】(2023春•京山市期中)下列各组数中互为相反数的是()A.﹣2与(−2)2B.﹣2与3−8C.﹣2与−12D.2与|﹣2|【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解.【解答】解:A、(−2)2=2,﹣2与(−2)2是互为相反数,故本选项正确;B、3−8=−2,﹣2与3−8相等,不是互为相反数,故本选项错误;C、﹣2与−12是互为倒数,不是互为相反数,故本选项错误;D、|﹣2|=2,2与|﹣2|相等,不是互为相反数,故本选项错误.故选:A.【点评】本题考查了实数的性质,对各项准确计算是解题的关键.【变式3-4】(2023秋•秦都区校级月考)下列说法正确的是()A.2的绝对值是22B.2的倒数是22C.2的相反数是22D.4的平方根为±2【分析】根据绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识分别对四个选项进行分析.【解答】解:2的绝对值是2,所以A选项不正确;2的倒数是22,所以B选项正确;2的相反数是−2,所以C选项不正确;4的平方根是±2,所以D选项不正确.故选:B.【点评】本题主要考查了绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识.【变式3-5】填空:(1)5的相反数是,绝对值是;(2)3−1的相反数是,绝对值是;(3)若|x|=3,则x=.【分析】根据相反数和绝对值的定义即可得出答案.【解答】解:(1)5的相反数是−5,绝对值是5;(2)3−1的相反数是1−3,绝对值是3−1;(3)∵|x|=3,∴x=±3.故答案为:(1)−5,5;(2)1−3,3−1;(3)±3.【点评】本题考查了实数的性质,算术平方根,掌握绝对值等于3的数有2个是解题的关键.【变式3-6】(2022秋•余姚市校级期中)a是4的算术平方根,b是27的立方根,c是15的倒数.(1)填空:a=,b=,c=;(2)求o+p+2−的值.【分析】(1)直接利用算术平方根的概念以及立方根的概念、倒数的概念分别分析得出答案;(2)直接利用绝对值的性质、立方根的性质、算术的性质分析得出答案.【解答】解:(1)∵a是4的算术平方根,b是27的立方根,c是15的倒数,∴a=2,b=3,c=5;故答案为:2,3,5;(2)原式=2(3+5)+22−2×5=6+25+4−25=10.【点评】此题主要考查了实数的运算,正确化简各数是解题关键.【变式3-7】(2022秋•芗城区校级月考)31−2与33−2互为相反数,求代数式6x﹣9y+5的值.【分析】由题意得方程1﹣2x+3y﹣2=0,求得2x﹣3y=﹣1,再将其代入求解即可.【解答】解:由题意得1﹣2x+3y﹣2=0,整理,得2x﹣3y=﹣1,∴6x﹣9y+5=3(2x﹣3y)+5=3×(﹣1)+5=﹣3+5=2.【点评】此题考查了运用立方根和相反数进行化简、求值的能力,关键是能准确理解并运用以上知识和整体思想.【变式3-8】(2022春•如皋市校级月考)已知|x|=5,y是11的平方根,且x>y,求x+y的值.【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案.【解答】解:∵|x|=5,∴x=±5,∵y是11的平方根,∴y=±11,∵x>y,∴当x=5,则y=−11,故x+y=5−11,当x=−5,则y=−11,故x+y=−5−11,综上所述:x+y的值为5−11或−5−11.【点评】此题主要考查了实数的性质,正确分类讨论是解题关键.【例题4】(2023•潍坊)在实数1,﹣1,0,2中,最大的数是()A.1B.﹣1C.0D.2【分析】根据正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小可得答案.【解答】解:∵﹣1<0<1<2,∴在实数1,﹣1,0,2中,最大的数是2,故选:D.【点评】本题主要考查了实数的大小比较,解题的关键是掌握实数比较大小的法则.【变式4-1】(2022•沂源县一模)在3,−3,0,2这四个数中,最小的一个数是()A.3B.−3C.0D.2【分析】根据实数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小即可求解.【解答】解:在3,−3,0,2这四个数中,最小的一个数是−3.故选:B.【点评】此题考查了实数大小比较,可以利用数的性质比较异号两数及0的大小,利用绝对值比较两个负数的大小.【变式4-2】三个数﹣π,﹣3,−3的大小顺序是()A.﹣3<﹣π<−3B.﹣π<﹣3<−3C.﹣π<−3<−3D.﹣3<−3<−π【分析】先对无理数进行估算,再比较大小即可.【解答】解:﹣π≈﹣3.14,−3≈−1.732,因为3.14>3>1.732.所以﹣π<﹣3<−3.故选:B.【点评】本题考查了同学们对无理数大小的估算能力及比较两个负数大小的方法,即两个负数相比较,绝对值大的反而小.【变式4-3】(2023秋•农安县期中)将数“22,5,−2,0,﹣1.6”按从小到大的顺序排列,并用“<”连接起来是:.【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.【解答】解:∵22=8>5,−2≈−1.57>﹣1.6,∴﹣1.6<−2<0<5<22,故答案为:﹣1.6<−2<0<5<22.【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数比较时绝对值大的反而小.【变式4-4】设a为实数且0<a<1,则在a2,a,,1这四个数中()A.1>>>2B.2>>>1C.>>1>2D.1>>>2【分析】根据正数比较大小的法则进行解答即可.【解答】解:∵0<a<1,∴0<a2<a<<1,1>1,∴1>>a>a2.故选:D.【点评】本题考查的是实数的大小比较,熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键.【变式4-5】比较2,5,37的大小,正确的是()A.2<5<37B.2<37<5C.5<37<2D.37<2<5【分析】把2转化为4,38,即可比较大小.【解答】解:∵2=4,∴5>2,∵2=38,∴2>37,∴5>2>37,即37<2<5,故选:D.【点评】本题考查了实数大小的比较,解决本题的关键是把2转化为4,38.【变式4-6】比较大小:− 1.5.【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.【解答】解:(−3)2=3,(﹣1.5)2=2.25,∵3>2.25,∴−3<−1.5.故答案为:<.【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小,两个负数平方大的反而小.【例题5】已知:x<21<y(x,y是两个连续整数),则x,y的值为()A.x=2,y=3B.x=3,y=4C.x=4,y=5D.x=5,y=6【分析】根据16<21<25,即可得出x、y的值.【解答】解:∵16<21<25,∴x=4,y=5;故选:C.【点评】本题考查了估算算术平方根的大小,解题的关键是用有理数逼近算术平方根.【变式5-1】(2023秋•郁南县期中)估算57的值应在()A.6~7之间B.7~8之间C.8~9之间D.不能确定【分析】利用无理数的估算即可求得答案.【解答】解:∵49<57<64,∴7<57<8,即57的值在7~8之间,故选:B.【点评】本题考查无理数的估算,熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键.【变式5-2】(2022春•香洲区期末)如图,用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形,则大正方形的边长最接近的整数是()A.4B.5C.6D.7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长,进而得出答案.【解答】解:∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形,∴大正方形的面积为:9+9=18,则大正方形的边长为:18,∵16<18< 4.52,∴4<18<4.5,∴大正方形的边长最接近的整数是4.故选:A.【点评】此题主要考查了算术平方根,正确掌握算术平方根的定义是解题的关键.【变式5-3】(2022春•江津区校级月考)若x、y为两个连续的整数,且x<39<y,则x+y=.【分析】通过36<39<49求解.【解答】解:∵36<39<49,∴6<39<7,∴x=6,y=7,∴x+y=13.故答案为:13.【点评】本题考查了估算算术平方根的大小,平方根的定义的应用,解此题的关键是求出x、y的值.【变式5-4】(2023秋•青龙县期中)估算2+14的值在()A.4到5之间B.5到6之间C.6到7之间D.7到8之间【分析】先估算出14的取值范围,进而可得出结论.【解答】解:∵9<14<16,∴3<14<4,∴5<2+14<6.故选:B.【点评】本题考查的是估算无理数的大小,熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键.【变式5-5】(2023秋•秦都区期中)估计23−2的值在()A.2到3之间B.1到2之间C.3到4之间D.4到5之间【分析】先估算出23的大小,进而估算23−2的范围.【解答】解:∵16<23<25,∴4<23<5,∴2<23−2<3,∴23−2的值在2和3之间.故选:A.【点评】本题考查了估算无理数的大小,估算无理数大小要用逼近法.【变式5-6】(2022•南关区校级开学)已知x,y为两个连续的整数,且x<20<y,则5x+y的值为.【分析】先求出20的范围,求出x、y的值,求出5x+y的值,根据平方根的定义求出即可.【解答】解:∵4<20<5,∴x=4,y=5,∴5x+y=5×4+5=25,∴5x+y的平方根是±5,故答案为:±5.【点评】本题考查了算术平方根的大小,平方根的定义的应用,解此题的关键是求出x、y的值.【变式5-7】(2023秋•二七区校级月考)阅读下面的文字,解答问题:大家知道2是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此2的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用2−1来表示2的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理的,因为2的整数部分是1,将2减去其整数部分,差就是2的小数部分.请解答:(1)23的整数部分是,小数部分是;(2)如果7+1的小数部分为,9−17的整数部分为b,求+−7的平方根;(3)已知10+7=+,其中x是整数,且0<y<1,求x﹣y的相反数.【分析】(1)根据算术平方根的定义,估算无理数23的大小即可;(2)根据算术平方根的定义估算无理数7+1,9−17的大小即可确定a、b的值,再代入计算即可;(3)根据算术平方根的定义估算无理数10+7的大小确定整数部分x,小数部分是y,再求出x﹣y的相反数即可.【解答】解:(1)42=16,52=25,而16<23<25,∴4<23<5,∴23的整数部分是4,小数部分为23−4,故答案为:4,23−4;(2)∵22=4,32=9,而4<7<9,∴2<7<3,∴3<7+1<4,∴7+1的整数部分是3,小数部分为7+1﹣3=7−2,即a=7−2;∵4<17<5,∴﹣5<−17<−4,∴4<9−17<5,∴9−17的整数部分是4,即b=4,∴a+b−7=7−2+4−7=2,∴+−7的平方根是±2;(3)∵2<7<3,∴12<10+7<13,∴10+7的整数部分是12,小数部分是10+7−12=7−2,又∵10+7=+,其中x是整数,且0<y<1,∴x=12,y=7−2,∴x﹣y的相反数是y﹣x=7−14.【点评】本题考查估算无理数的大小,掌握算术平方根、平方根的定义是正确解答的前提.【例题6】通过估算,比较下列各组数的大小:(1)6(2(3)5−121;(4)3+12112.【分析】(1)利用平方运算,比较大小即可解答;(2)根据算术平方根的意义,比较大小即可解答;(3)先估算出5的值的范围,再估算出5−1的值的范围,进行计算即可解答;(4)先估算出3的值的范围,再估算出3+1的值的范围,进行计算即可解答.【解答】解:(1)∵62=36,(35)2=35,∴36>35,∴6>35,故答案为:>;(2)∵8<10,∴8<10,故答案为:<;(3)∵4<5<9,∴2<5<3,∴1<5−1<2,∴12<5−12<1,故答案为:<;(4)∵1<3<4,∴1<3<2,∴2<3+1<3,∴132,故答案为:<.【点评】本题考查了数的大小比较,熟练掌握估算算术平方根的值的大小是解题的关键.【变式6-1】(2023春•西城区校级期中)比较大小:(1;(2)5−11.【分析】(1)先把4写成算术平方根的形式,然后根据算术平方根的被开方数越大,那个数就越大进行解答;(2)先估算5的大小,然后进行判断即可.【解答】解:(1)∵4=16,17>16,∴17>4;(2)∵2<5<3,∴5−1>1,故答案为:(1)>;(2)>.【点评】本题主要考查了实数的大小比较,解题关键是能够正确的估算无理数的大小.【变式6-2】(2022秋•新津县校级月考)比较大小:3−1212,23.【分析】(1)比较出两个数的差的正负,即可判断出它们的大小关系.(2)首先比较出两个数的平方的大小关系;然后根据:两个正实数,平方大的,这个数也大,判断出原来的两个数的大小关系即可.【解答】解:(1)∵3−12−12=32−1<0,∴3−12<12.(2)(32)2=18,(23)2=12,∵18>12,∴32>23.故答案为:<、>.【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个正实数,平方大的,这个数也大.【变式6-3】(2023春•前进区月考)比较2,5,37的大小,正确的是()A.2<5<37B.2<37<5C.37<2<5D.37<5<2【分析】先分别求出这三个数的六次方,然后比较它们的六次方的大小,即可比较这三个数的大小.【解答】解:∵26=64,(5)6=[(5)2]3=125,(37)6=[(37)3]2=49,而49<64<125,∴(37)6<(5)6<26,∴37<2<5.故选:C.【点评】此题考查的是实数的比较大小,根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数,然后比较大小是解决此题的关键.【变式6-4】比较下列各组数的大小:(1)120与11.(2)5+12与2.【分析】(1)根据11=121,即可进行比较;(2)先通分,可得2=42,再比较分子5+1与4的大小即可求解.【解答】解:(1)∵11=121,120<121,∴120<11.(2)∵2=42,5+1<4,∴5+12<2.【点评】此题主要考查了算术平方根的估算能力,两个正数的算术平方根的比较大小可以通过平方的方法进行,两个式子平方的值大的,对应的式子的值就大.【变式6-5】比较下列各组数的大小(1)8与10;(2)65与8;(3)5−12与0.5;(4)5−12与1.【分析】(1)根据8<10,即可解答;(2)根据8=64,即可进行比较;(3)求出2<5<3,不等式两边都减去1,再不等式两边都除以2即可;(4)求出2<5<3,不等式两边都减去1,再不等式两边都除以2即可.【解答】解:(1)∵8<10,∴8<10;(2)∵64=8,64<65,∴65>64,∴65>8;(3)∵2<5<3,∴1<5−1<2,∴12<5−12<1,∴5−12>12.(4)∵2<5<3,∴1<5−1<2,∴12<5−12<1,∴5−12<1.【点评】本题考查了数的大小比较的应用,主要考查学生能否选择适当的方法比较两个数的大小.【例题7】(2022秋•大竹县校级期末)实数a、b在数轴上对应点的位置如图,则|a﹣b|−2的结果是()A.2a﹣b B.b﹣2a C.b D.﹣b【分析】首先由数轴可得a<b<0,然后利用算术平方根与绝对值的性质,即可求得答案.【解答】解:根据题意得:a<b<0,∴a﹣b<0,∴|a﹣b|−2=|a﹣b|﹣|a|=(b﹣a)﹣(﹣a)=b﹣a+a=b.故选:C.【点评】此题考查了数轴、算术平方根与绝对值的性质.此题难度适中,注意2=|a|.【变式7-1】实数a、b在数轴上所对应的点如图所示,则|3−b|+|a+3|+2的值.【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案.【解答】解:由数轴可得:a<−3,0<b<3,故|3−b|+|a+3|+2=3−b﹣(a+3)﹣a=3−b﹣a−3−a=﹣2a﹣b.故答案为:﹣2a﹣b.【点评】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴,正确化简各式是解题关键.【变式7-2】实数a、b、c在数轴上的位置如图,化简(−p2−|a+c|+(−p2−|b|【分析】利用数轴首先得出各式的符号,进而化简得出答案.【解答】解:如图所示:a﹣b<0,a+c<0,c﹣b<0,b>0,则原式=b﹣a+a+c+b﹣c﹣b=b.【点评】此题主要考查了实数与数轴,正确判断出各式的符号是解题关键.【变式7-3】(2021春•南通期末)如图,a,b,c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数.试化简:2+|a+b|+3(+p3−|b﹣c|.【分析】直接利用数轴得出c>0,a+b<0,b﹣c<0,再化简求解.【解答】解:由数轴可得:c>0,a+b<0,b﹣c<0,原式=c﹣a﹣b+(a+b)+(b﹣c)=b.【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴,正确化简各式是解题关键.【变式7-4】实数a,b,c表示在数轴上如图所示,完成下列问题,试化简:(−p2−|−U+3(−p3.【分析】根据题意可得:b<0<a<c,从而可得a﹣c<0,b﹣a<0,然后利用二次根式的性质,绝对值,立方根的意义进行化简计算,即可解答.【解答】解:由题意得:b<0<a<c,∴a﹣c<0,b﹣a<0,∴(−p2−|−U+3(−p3=c﹣a﹣(a﹣b)+b﹣c=c﹣a﹣a+b+b﹣c=2b﹣2a.【点评】本题考查了整式的加减,实数与数轴,准确熟练地进行计算是解题的关键.【变式7-5】(2022秋•保定月考)如图,一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A,点B 表示3,设点A所表示的数为m.(1)实数m的值是;(2)求(m+2)2+|m+1|的值.【分析】(1)根据实数与数轴上的点是一一对应关系进行计算即可得出答案;(2)把(1)中m的值代入进行计算即可得出答案.【解答】解:(1)根据题意可得,m=3−2;故答案为:3−2;(2)m+1=3−2+1=3−1,∵1<3<2,∴0<3−1<1,(m+2)2+|m+1|=(3−2+2)2+|3−1|=(3)2+3−1=3+3−1=2+3.故答案为:2+3.【点评】本题主要考查了实数与数轴及绝对值,熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及绝对值的性质进行求解是解决本题的关键.【变式7-6】(2022秋•青龙县月考)如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点A 表示−2,设点B所表示的数为m.(1)实数m的值是;(2)求(m+1)(1﹣m)的值;(3)在数轴上还有C,D两点分别表示实数c和d,且|c+3|与−5互为相反数,求c+3d的平方根.【分析】(1)根据点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,即可得到m的值;(2)根据(1)的结果求值即可;(3)根据非负数的性质得到c,d的值,代入代数式求值,再求平方根即可得出答案.【解答】解:(1)∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,点A表示−2,∴m=−2+2,故答案为:−2+2;(2)(m+1)(1﹣m)=1﹣m2=1﹣(−2+2)2=1+42−6=42−5;(3)∵|c+3|与−5互为相反数,∴|c+3|+−5=0,∵|c+3|≥0,−5≥0,∴c+3=0,d﹣5=0,∴c=﹣3,d=5,∴c+3d=(﹣3)+3×5=﹣3+15。

实数知识点总复习含答案

实数知识点总复习含答案
A.甲 乙 丙B.丙 甲 乙C.乙 甲 丙D.甲 丙 乙
【答案】C
【解析】
【分析】
由无理数的估算,得到 , , ,然后进行判断,即可得到答案.
【详解】
解:∵ ,
∴ ,即3<甲<4,
∵ ,
∴ ,即1<乙<2,
∵ ,
∴ ,即4<丙<5,
∴乙 甲 丙;
故选:C.
【点睛】
本题考查了实数比较大小,以及无理数的估算,解题的关键是熟练掌握无理数的估算,以及比较大小的法则.
【详解】
原式=4 ,
由于2 3,
∴1<4 2.
故选:A.
【点睛】
本题考查实数与数轴、估算无理数的大小,解题的关键是掌握估算无理数大小的方法.
13.在实数范围内,下列判断正确的是()
A.若 ,则m=nB.若 ,则a>b
C.若 ,则a=bD.若 ,则a=b
【答案】D
【解析】
【分析】
根据实数的基本性质,逐个分析即可.
A.点AB.点BC.点CD.点D
【答案】B
【解析】
【分析】
,计算-1.732与-3,-2,-1的差的绝对值,确定对值最小即可.
【详解】




因为0.268<0.732<1.268,
所以 表示的点与点B最接近,
故选B.
16.如图,数轴上A,B两点表示的数分别为-1和 ,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数为()
【详解】
解: , , ,

最小的数是 ,
故选: .
【点睛】
本题考查了实数的大小比较法则,能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键.

人教版数学七年级下册第六章实数基础知识点讲解+典型例题讲解.doc

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【本文档由书林工作坊整理发布,谢谢你的下载和关注!】平方根(基础)【学习目标】1.了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根.2.了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根.【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ,即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根(规定0的算术平方根还是0);a a a 的算术平方根”,a 叫做被开方数.要点诠释:a a a 0,a ≥0. 2.平方根的定义如果2x a =,那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ≥a 是a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1.区别:(1)定义不同;(2)结果不同:a a2.联系:(1)平方根包含算术平方根;(2)被开方数都是非负数;(3)0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根;负数没有平方根. (2)正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a aa =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.62500250=62525= 6.25 2.5=0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是( )A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是-4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项.A.因为25=5,所以本说法正确;B.因为±1=±1,所以l 是l 的一个平方根说法正确;C.因为±()24-=±16=±4,所以本说法错误;D.因为0±=0,0=0,所以本说法正确;【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义,关键是明确运用好定义解决问题. 举一反三:【变式】判断下列各题正误,并将错误改正:(1)9-没有平方根.( )(2)164=±.( ) (3)21()10-的平方根是110±.( ) (4)25--是425的算术平方根.( ) 【答案】√ ;×; √; ×, 提示:(2)164=;(4)25是425的算术平方根. 2、 填空:(1)4-是 的负平方根. (2116表示 的算术平方根,116= . (3181的算术平方根为 . (43x =,则x = ,若23x =,则x = .【思路点拨】(3)181就是181的算术平方根=19,此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16;(2)11;164(3)13 (4) 9;±3【总结升华】要审清楚题意,不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三:【变式1】下列说法中正确的有( ):①3是9的平方根. ② 9的平方根是3.③4是8的正的平方根.④ 8-是64的负的平方根.A .1个B .2个C .3个D .4个 【答案】B ;提示:①④是正确的.【变式2】求下列各式的值:(1)325 (2)8136+(3)0.040.25- (4)40.36121⋅【答案】(1)15;(2)15;(3)-0.3;(4)6553、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________. 【答案】x ≥1-;【解析】x +1≥0,解得x ≥1-.【总结升华】当式子a 有意义时,a 一定表示一个非负数,即a ≥0,a ≥0. 举一反三:【变式】(2015春•中江县期中)若+(3x+y ﹣1)2=0,求5x+y 2的平方根.【答案】解:∵+(3x+y ﹣1)2=0, ∴,解得,,∴5x+y 2=5×1+(﹣2)2=9,∴5x+y 2的平方根为±=±3.类型二、利用平方根解方程4、(2015春•鄂州校级期中)求下列各式中的x 值(1)169x2=144(2)(x﹣2)2﹣36=0.【思路点拨】(1)移项后,根据平方根定义求解;(2)先将(x﹣2)看成一个整体,移项后,根据平方根定义求解.【答案与解析】解:(1)169x2=144,两边同时除以169,得1442x=169开平方,得x=(2)(x﹣2)2﹣36=0,移项,得(x﹣2)2=36开平方,得x﹣2=±6,解得:x=8或x=﹣4.【总结升华】本题考查了平方根,根据是一个正数的平方根有两个.类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验,其长是宽的3倍,面积是1323平方米.求长和宽各是多少米?【答案与解析】解:设宽为x,长为3x,由题意得,x·3x=132332x=1323x=±21x=-21(舍去)答:长为63米,宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长,注意实际问题中边长都是正数.【本文档由书林工作坊整理发布,谢谢你的下载和关注!】立方根【学习目标】1. 了解立方根的含义;2. 会表示、计算一个数的立方根,会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果3=,那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算,叫做开立方.x a要点诠释:一个数a3a a是被开方数,3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征:正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.要点诠释:任何数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质33a a -=-33a a =()33a a =要点诠释:第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位,它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如,30.000 2160.06=,30. 2160.6=,3 2166=,3216000 60=. 【典型例题】 类型一、立方根的概念1、(2016春•吐鲁番市校级期中)下列语句正确的是( ) A .如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是0 B .一个数的立方根不是正数就是负数 C .负数没有立方根D .一个不为零的数的立方根和这个数同号,0的立方根是0 【思路点拨】根据立方根的定义判断即可. 【答案】D ;【解析】A .如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是0或1或-1,故错误;B .一个数的立方根不是正数就是负数,错误,还有0;C .负数有立方根,故错误;D .正确.【总结升华】本题考查了立方根,解决本题的关键是熟记立方根的定义. 举一反三:【变式】下列结论正确的是( )A .64的立方根是±4B .12-是16-的立方根 C .立方根等于本身的数只有0和1D .332727-=-【答案】D.类型二、立方根的计算2、求下列各式的值:(1)327102-- (2)3235411+⨯ (3)336418-⋅ (4)23327(3)1-+--- (5)10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解:(1)310227-- (2)3321145⨯+ (3)331864⋅-3642743==33=116425=729=9⨯+ 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-(4)23327(3)1-+---=331=1-++(5)310031(2)2(1)4--÷+-3=21247=1=33÷++【总结升华】立方根的计算,注意符号和运算顺序,带分数要转化成假分数再开立方.举一反三:【变式】计算:(1)30.008-=______;(2)=364611______; (3)=--312719______.(4)=-33511)(______. 【答案】(1)-0.2;(2)54;(3)23;(4)45. 类型三、利用立方根解方程3、(2015春•北京校级期中)(x ﹣2)3=﹣125.【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可. 【答案与解析】 解:(x ﹣2)3=﹣125, 可得:x ﹣2=﹣5, 解得:x=﹣3.【总结升华】此题考查立方根问题,关键是先将x ﹣2看成一个整体. 举一反三:【变式】求出下列各式中的a :(1)若3a =0.343,则a =______;(2)若3a -3=213,则a =______; (3)若3a +125=0,则a =______;(4)若()31a -=8,则a =______.【答案】(1)a =0.7;(2)a =6;(3)a =-5;(4)a =3. 类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时,小明用一根细线将一个正方体铁块拴住,完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中,并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ,小明又将铁块从水中提起,量得烧杯中的水位下降了169πcm .请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少?【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积,是铁块的体积,也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解:铁块排出的643cm 的水的体积,是铁块的体积.设铁块的棱长为y cm ,可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ,可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答:烧杯内部的底面半径为6cm ,铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式,依题意建立相等关系(方程),解方程时,常常用到求平方根、立方根,要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三:【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化,制成一个大正方体铝块,这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗) 333a b +.【本文档由书林工作坊整理发布,谢谢你的下载和关注!】实数(基础)【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义;2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释:(1)无理数的特征:无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环,不能表示成分数的形式.(2)常见的无理数有三种形式:①含π类.②看似循环而实质不循环的数,如:1.313113111…….③带有根号的数,但根号下的数字开方开不尽,如5.要点二、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分:实数⎧⎨⎩有理数:有限小数或无限循环小数无理数:无限不循环小数按与0的大小关系分:实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0,负实数小于0,两个负数,绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数: 332222,,,9,8,9,0,,12,55,0.1010010001 (7)3π-【思路点拨】对实数进行分类时,应先对某些数进行计算或化简,然后根据它的最后结果进行分类,不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数,化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有3222,9,8,0,,73--无理数有32,,9,12,55,0.1010010001π-……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式:①含π类.②看似循环而实质不循环的数,如:0.1010010001…….③带有根号的数,但根号下的数字开方开不尽,如55,39,2,12-.举一反三: 【变式】(2015春•聊城校级月考)在下列语句中: ①无理数的相反数是无理数; ②一个数的绝对值一定是非负数; ③有理数比无理数小;④无限小数不一定是无理数. 其中正确的是( )A .②③B .②③④C .①②④D .②④ 【答案】C ;解:①因为实数包括有理数和无理数,无理数的相反数 不可能式有理数,故本选项正确; ②一个数的绝对值一定≥0,故本选项正确;③数的大小,和它是有理数还是无理数无关,故本选项是错误的; ④无限循环小数是有理数,故本选项正确.类型二、实数大小的比较2、比较520.5的大小. 【答案与解析】解:作商,得5250.5=51>,即5210.5>50.5>. 【总结升华】根据若a ,b 均为正数,则由“1a b >,1a b =,1ab<”分别得到结论“a b >,a b =,a b <,”从而比较两个实数的大小.比较大小的方法有作差法和作商法等,根据具体情况选用适当的方法.举一反三:【变式】比较大小___ 3.14π-- 7___54__2323___32 32 9___0- 3___10-- |43|___(7)--- 【答案】<; >; <; <; <; >; <.3、(2015•枣庄)实数a ,b ,c 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是( )A .ac >bcB .|a ﹣b|=a ﹣bC .﹣a <﹣b <cD .﹣a ﹣c >﹣b ﹣c【答案】D ;【解析】解:∵由图可知,a <b <0<c , ∴A 、ac <bc ,故A 选项错误; B 、∵a <b , ∴a ﹣b <0,∴|a ﹣b|=b ﹣a ,故B 选项错误; C 、∵a <b <0,∴﹣a >﹣b ,故C 选项错误; D 、∵﹣a >﹣b ,c >0,∴﹣a ﹣c >﹣b ﹣c ,故D 选项正确. 故选:D .【总结升华】本题考查的是实数与数轴,熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键.类型三、实数的运算4、化简:(1)|2 1.4|- (2)|7|74||-- (3)|12|+|23|+|32|--- 【答案与解析】 解:|2 1.4|-2 1.4=-|7|74||-- =|74+7|- =274-|12|+|23|+|32|---2132231=-+-+-=.【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.5、若2|2|3(4)0a b c ---=,则a b c -+=________.【思路点拨】由有限个非负数之和为零,则每个数都应为零可得到方程中a ,b ,c 的值.【答案】3; 【解析】解:由非负数性质可知:203040a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩,即234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴ 2343a b c -+=-+=.【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |,2,a a ,非负数的和为0,只能每个非负数分别为0 . 举一反三:【变式】已知2(16)|3|30x y z ++++-=,求xyz 的值.【答案】解:由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩,解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.∴xyz =(16)(3)312-⨯-⨯=.【本文档由书林工作坊整理发布,谢谢你的下载和关注!】实数全章复习与巩固(基础)【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的平方根,会用立方运算求某些数的立方根,会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,有序实数对与平面上的点一一对应;了解数的范围由有理数扩大为实数后,概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】【要点梳理】类型项目平方根 立方根 被开方数 非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根,且互为相反数;零的平方根为零; 负数没有平方根;一个正数有一个正的立方根; 一个负数有一个负的立方根; 零的立方根是零;重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==要点二:实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分:实数⎧⎨⎩有理数:有限小数或无限循环小数无理数:无限不循环小数按与0的大小关系分:实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释:(1)所有的实数分成三类:有限小数,无限循环小数,无限不循环小数.其中有限小数和无限循环小数统称有理数,无限不循环小数叫做无理数.(2532等;②有特殊意义的数,如π;③有特定结构的数,如0.1010010001…(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数,并且无理数不能写成分数形式.(4)实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质:在实数范围内,正数和零统称为非负数。

中考数学一轮复习专题 实数知识点、对应习题及答案

中考数学一轮复习专题  实数知识点、对应习题及答案

实数考点1 实数的大小比较两实数的大小关系如下:正实数都大于0,负实数都小于0,正数大于一切负数;两个正实数,绝对值大的实数较大;两个负实数,绝对值大的实数反而小.实数和数轴上的点一一对应,在数轴上表示的两个实数,右边的数总大于左边的数. 例1 比较3-2与2-1的大小.分析:比较3-2与2-1的大小,可先将各数的近似值求出来, 即3-2≈1.732-1.414=0.318,2-1≈1.414-1=0.414,再比较大小例2 在-6,0,3,8这四个数中,最小的数是( )A.-6B.0C.3D.8 答:2-1,A 利用数轴考点2 无理数常见的无理数类型(1) 一般的无限不循环小数,如:1.41421356¨··· (2) 看似循环而实际不循环的小数,如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。

(3) 有特定意义的数,如:π=3.14159265···(4).开方开不尽的数。

如:35,3注意:(1)无理数应满足:①是小数;②是无限小数;③不循环;(2)无理数不是都带根号的数(例如π就是无理数),反之,带根号的数也不一定都是无理数(例如4,327就是有理数).例3 下列是无理数的是( )A.-5/2B.πC. 0D.7.131412例4在实数中-23 ,0 3.14 )A .1个B .2个C .3个D .4个答:B ,A考点3 实数有关的概念实数的分类(1)按实数的定义分类:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数(2)按实数的正负分类:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数)零(既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数例5若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. -a 2 B. -( a +1)2 C.-2a D.-(a -+1)分析:本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a 为实数, a 2、( a +1)2、2a 均为非负数,∴-a 2≤0,-( a +1)2≤0,-2a ≤0.而0既不是正数也不是负数,是介于正数与负数之间的中性数.因此,A 、B 、C 不一定是负数.又依据绝对值的概念及性质知-(a -+1)﹤0.故选D例6实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a =分析:这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a ﹤2,于是,22)2(,112a a a a a -=-=--=-所以, 2)2(1-+-a a =a -1+2-a =1.例7 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1,5,点B 关于点A 的对称点为C ,则点C 所表示的实数为( )A. 5-2B. 2-5C.5-3 D.3-5分析:这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质.B 、C 两点关于点A 对称,因而B 、C 两点到点A 的距离是相同的,点B 到点A 的距离是5-1,所以点C 到点A 的距离也是5-1,设点C 到点O 的距离为a ,所以a +1=5-1,即a =5-2.又因为点C 所表示的实数为负数,所以点C 所表示的实数为2-5.例8已知a 、b 是有理数,且满足(a -2)2+3-b =0,则a b的值为 分析:因为(a -2)2+3-b =0,所以a -2=0,b -3=0。

实数知识点总复习附答案解析

实数知识点总复习附答案解析

实数知识点总复习附答案解析一、选择题1.如图,数轴上A ,B 两点表示的数分别为-1和3,点B 关于点A 的对称点为C ,则点C 所表示的数为( )A .3B .3C .3D .3【答案】A【解析】【分析】由于A ,B 两点表示的数分别为-13OC 的长度,根据C 在原点的左侧,进而可求出C 的坐标.【详解】∵对称的两点到对称中心的距离相等,∴CA=AB ,33,∴3C 点在原点左侧,∴C 表示的数为:3故选A . 【点睛】本题主要考查了求数轴上两点之间的距离,同时也利用对称点的性质及利用数形结合思想解决问题.2.已知,x y 为实数且110x y +-=,则2012x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( ) A .0B .1C .-1D .2012 【答案】B【解析】【分析】利用非负数的性质求出x 、y ,然后代入所求式子进行计算即可.【详解】 由题意,得x+1=0,y-1=0,解得:x=-1,y=1,所以2012x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=(-1)2012=1,故选B.【点睛】本题考查了非负数的性质,熟知几个非负数的和为0,那么每个非负数都为0是解题的关键.3.下列说法:①实数和数轴上的点是一一对应的;②无理数是开方开不尽的数;③负数没有立方根;④16的平方根是±4;⑤某数的绝对值,相反数,算术平方根都是它本身,则这个数是0,其中错误的是( )A .0个B .1个C .2个D .3个【答案】D【解析】【详解】①实数和数轴上的点是一一对应的,正确;②无理数是开方开不尽的数,错误;③负数没有立方根,错误;④16的平方根是±4,用式子表示是,错误;⑤某数的绝对值,相反数,算术平方根都是它本身,则这个数是0,正确.错误的一共有3个,故选D .4.在-2,3.14,5π,这6个数中,无理数共有( ) A .4个B .3个C .2个D .1个【答案】C【解析】-22=, 3.14,3=-是有理数;,5π是无理数; 故选C. 点睛:本题考查了无理数的识别,无限不循环小数叫无理数,无理数通常有以下三种形式,① 等;②圆周率π;③构造的无限不循环小数,如2.01001000100001⋅⋅⋅ (0的个数一次多一个).5.下列各数中最小的是( )A .22-B .C .23-D 【答案】A【解析】【分析】先根据有理数的乘方、算术平方根、立方根、负整数指数幂进行计算,再比较数的大小,即可得出选项.【详解】解:224-=-,2139-=2=-, 14329-<-<-<Q , ∴最小的数是4-,故选:A .【点睛】本题考查了实数的大小比较法则,能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键.6.下列各数中比3大比4小的无理数是( )A B C .3.1 D .103【答案】A【解析】【分析】由于带根号的且开不尽方是无理数,无限不循环小数为无理数,根据无理数的定义即可求解.【详解】>4,3<4∴选项中比3大比4.故选A .【点睛】此题主要考查了无理数的定义,解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.7.下列各式中,正确的是( )A 3=-B 2=±C 4=D 3=【答案】C【解析】【分析】对每个选项进行计算,即可得出答案.【详解】3=,原选项错误,不符合题意;2=,原选项错误,不符合题意;4=,原选项正确,符合题意;D. 3≠,原选项错误,不符合题意.故选:C【点睛】本题考查平方根、算术平方根、立方根的计算,重点是掌握平方根、算术平方根、立方根的性质.8.对于实数a 、b 定义运算“※”:22()()a ab a b a b ab b a b ⎧-≥=⎨-<⎩※,例如2424428=-⨯=※,若x ,y 是方程组33814x y x y -=⎧⎨-=⎩的解,则y ※x 等于( ) A .3B .3-C .1-D .6- 【答案】D【解析】【分析】先根据方程组解出x 和y 的值,代入新定义计算即可得出答案.【详解】解:∵33814x y x y -=⎧⎨-=⎩ ∴21x y =⎧⎨=-⎩ 所以()()2y x=-12=-12-2=-2-4=-6⨯※※.故选:D .【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法,解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则,本题属于基础题型.9.估计65的立方根大小在( )A .8与9之间B .3与4之间C .4与5之间D .5与6之间 【答案】C【解析】【分析】先确定65介于64、125这两个立方数之间,从而可以得到45<<,即可求得答案. 【详解】解:∵3464=,35125=∴6465125<<∴45<<.故选:C【点睛】本题考查了无理数的估算,“夹逼法”是估算的一种常用方法,找到与65临界的两个立方数是解决问题的关键.10.实数,,a b c 在数轴上的对应点的位置如图所示,若||||a b <,则下列结论中一定成立的是( )A .0b c +>B .2a c +>C .1b a <D .0abc ≥【答案】A【解析】【分析】利用特殊值法即可判断.【详解】∵a<c<b ,||||a b <,∴0b c +>,故A 正确;若a<c<0,则2a c +>错误,故B 不成立; 若0<a<b ,且||||a b <,则1b a>,故C 不成立; 若a<c<0<b ,则abc<0,故D 不成立,故选:A.【点睛】 此题考查数轴上点的正负,实数的加减乘除法法则,熟记计算法则是解题的关键.11.如图,表示8的点在数轴上表示时,所在哪两个字母之间( )A .C 与DB .A 与BC .A 与CD .B 与C【答案】A【解析】【分析】确定出88的范围,即可得到结果.【详解】解:∵6.25<8<9,∴2.583<<8的点在数轴上表示时,所在C 和D 两个字母之间.故选:A .【点睛】此题考查了估算无理数的大小,以及实数与数轴,解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.12.下列式子中,计算正确的是( )A 0.6B 13C ±6D 3【答案】D【解析】A 选项中,因为2(0.6)0.36-=,所以0.6-=A 中计算错误;B 13==,所以B 中计算错误;C 6=,所以C 中计算错误;D 选项中,因为3=-,所以D 中计算正确;故选D.13.2在哪两个整数之间( )A .4和5B .5和6C .6和7D .7和8【答案】C【解析】【分析】222== 1.414≈,即可解答.【详解】222== 1.414≈,∴2 6.242≈,即介于6和7,故选:C .【点睛】本题考查了二次根式的运算以及无理数的估算,解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及 1.414≈.14.下列五个命题:①如果两个数的绝对值相等,那么这两个数的平方相等;②内错角相等;③在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行;④两个无理数的和一定是无理数;⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.其中真命题的个数是( )A .2个B .3个C .4个D .5个【答案】B【解析】【分析】根据平面直角坐标系的概念,在两直线平行的条件下,内错角相等,两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数, 进行判断即可.【详解】①正确;②在两直线平行的条件下,内错角相等,②错误;③正确;④反例:两个无理数π和-π,和是0,④错误;⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的,正确;故选:B .【点睛】本题考查实数,平面内直线的位置;牢记概念和性质,能够灵活理解概念性质是解题的关键.15.若x 2=16,则5-x 的算术平方根是( )A .±1B .±3C .1或9D .1或3【答案】D【解析】【分析】根据平方根和算术平方根的定义求解即可.【详解】∵x 2=16,∴x=±4,∴5-x=1或5-x=9,∴5-x 的算术平方根是1或3,故答案为:D.【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义,解题的关键是要弄清楚算术平方根的概念与平方根的概念的区别.16.在-1.414,0,π,227,3.14, 3.212212221…,这些数中,无理数的个数为( )A .5B .2C .3D .4 【答案】C【解析】【分析】根据无理数的概念解答即可.【详解】-1.414,0,π,227,3.14,3.212212221…,这些数中,无理数有:π,3.212212221…,无理数的个数为:3个故选:C【点睛】本题考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.17.用“☆”定义一种新运算:对于任意有理数x 和y ,21x y a x ay =++☆(a 为常数),如:2223231231a a a a =⋅+⋅+=++☆.若123=☆,则48☆的值为( )A .7B .8C .9D .10 【答案】C【解析】【分析】先根据123=☆计算出a 的值,进而再计算48☆的值即可. 【详解】因为212a 2a 13=++=☆,所以2a 2a 2+=,则()224a 8a 14a 2a 1421948=++=++=⨯+=☆,故选:C .【点睛】此题考查了定义新运算以及代数式求值.熟练运用整体代入思想是解本题的关键.18.若x 使(x ﹣1)2=4成立,则x 的值是( )A .3B .﹣1C .3或﹣1D .±2【答案】C【解析】试题解析:∵(x-1)2=4成立,∴x-1=±2,解得:x 1=3,x 2=-1.故选C .19.实数 )A 3<<B .3<C 3<< D 3<< 【答案】D 【解析】【分析】先把3化成二次根式和三次根式的形式,再把3和310,25做比较即可得到答案. 【详解】 解:∵33792==∴3910=<,3327532=>, 故325310<<,故D 为答案.【点睛】本题主要考查了实数的大小比较,能熟练化简二次根式和三次根式是解题的关键,当二次根式和三次根式无法再化简时,可把整数化成二次根式或者三次根式的形式再做比较.20.如图,数轴上的点可近似表示(4630-)6÷的值是( )A .点AB .点BC .点CD .点D 【答案】A【解析】【分析】先化简原式得45-5545【详解】原式=45-由于25<<3,∴1<45-<2.故选:A .【点睛】本题考查实数与数轴、估算无理数的大小,解题的关键是掌握估算无理数大小的方法.。

数学第六章 实数知识点总结含答案

数学第六章 实数知识点总结含答案

数学第六章 实数知识点总结含答案一、选择题1.圆的面积增加为原来的m 倍,则它的半径是原来的( )A .m 倍B .2m 倍C 倍D .2m 倍2.下列说法错误的是( )A .﹣4是16的平方根B 2C .116的平方根是14D 5 3.如果一个自然数的算术平方根是n ,则下一个自然数的算术平方根是( )A .n +1B .21n +C D4.下列结论正确的是( )A .无限小数都是无理数B .无理数都是无限小数C .带根号的数都是无理数D .实数包括正实数、负实数5.下列各式的值一定为正数的是 ( )A .aB .2aC .2(100)a -D .20.01a +6. )A .2和3之间B .3和4之间C .4和5之间D .5和6之间7.设4a ,小整数部分为b ,则1a b -的值为( )A .BC .12+D .12- 8.某数的立方根是它本身,这样的数有( )A .1 个B .2 个C .3 个D .4 个9.下列说法:①±3都是27的立方根;②116的算术平方根是±142的平方根是±4;⑤﹣9是81的算术平方根,其中正确的有( ) A .1个 B .2个C .3个D .4个10.在实数13-,0.734,π )个.A .1B .2C .3D .4 二、填空题11.定义一种对正整数n 的“F”运算:①当n 为奇数时,结果为3n+5;②当n 为偶数时,结果为2k n (其中k 是使2k n 为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如:取n=26,则:若449n =,则第201次“F”运算的结果是 .12.估计512与0.5的大小关系是:512_____0.5.(填“>”、“=”、“<”) 13.对于有理数a ,b ,规定一种新运算:a ※b=ab +b ,如2※3=2×3+3=9.下列结论:①(﹣3)※4=﹣8;②若a ※b=b ※a ,则a=b ;③方程(x ﹣4)※3=6的解为x=5;④(a ※b )※c=a ※(b ※c ).其中正确的是_____(把所有正确的序号都填上).14.下面是按一定规律排列的一列数:14,37,512,719,928…,那么第n 个数是__. 15.写出一个大于3且小于4的无理数:___________. 16.定义新运算a ☆b =3a ﹣2b ,则(﹣2)☆1=_____.17.比较大小:512__________0.5.(填“>”“<”或“=”) 18.有若干个数,第1个数记作1a ,第2个数记为2a ,第3个数记为3a ,……,第n 个数记为n a ,若1a =13,从第2个数起,每个数都等于1与前面的那个数的差的倒数,则2019a =_____.19.已知,a 、b 互为倒数,c 、d 互为相反数,求31ab c d -+=_____.20.34330035.12=30.3512x =-,则x =_____________.三、解答题21.在有理数的范围内,我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”:a ⊕b ⊕c =2a b c a b c --+++.如:(1)-⊕2⊕3=123(1)2352---+-++=. ①根据题意,3⊕(7)-⊕113的值为__________; ②在651128,,,,0,,,,777999---这15个数中,任意取三个数作为a ,b ,c 的值,进行“a ⊕b ⊕c ”运算,在所有计算结果中的最大值为__________;最小值为__________.22.规律探究,观察下列等式:第1个等式:111111434a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第2个等式:2111147347a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭ 第3个等式:311117103710a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭第4个等式:41111101331013a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭请回答下列问题:(1)按以上规律写出第5个等式:= ___________ = ___________(2)用含n 的式子表示第n 个等式:= ___________ = ___________(n 为正整数) (3)求1234100a a a a a +++++ 23.操作与推理:我们知道,任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示,根据下列题意解决问题:(1)已知x=2,请画出数轴表示出x 的点:(2)在数轴上,我们把表示数2的点定为基准点,记作点O ,对于两个不同的点A 和B ,若点A 、 B 到点O 的距离相等,则称点A 与点B 互为基准等距变换点.例如图2,点A 表示数-1,点B 表示数5,它们与基准点O 的距离都是3个单位长度,我们称点A 与点B 互为基准等距变换点.①记已知点M 表示数m ,点N 表示数n ,点M 与点N 互为基准等距变换点.I .若m=3,则n= ;II .用含m 的代数式表示n= ;②对点M 进行如下操作:先把点M 表示的数乘以23,再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N ,若点M 与点N 互为基准等距变换点,求点M 表示的数; ③点P 在点Q 的左边,点P 与点Q 之间的距离为8个单位长度,对Q 点做如下操作: Q 1为Q 的基准等距变换点,将数轴沿原点对折后Q 1的落点为Q 2这样为一次变换: Q 3为Q 2的基准等距变换点,将数轴沿原点对折后Q 3的落点为Q 4这样为二次变换: Q 5为Q 4的基准等距变换点......,依此顺序不断地重复变换,得到Q 5,Q 6,Q 7....Q n ,若P 与Q n .两点间的距离是4,直接写出n 的值.24.已知:b 是立方根等于本身的负整数,且a 、b 满足(a+2b)2+|c+12|=0,请回答下列问题: (1)请直接写出a 、b 、c 的值:a=_______,b=_______,c=_______.(2)a 、b 、c 在数轴上所对应的点分别为A 、B 、C ,点D 是B 、C 之间的一个动点(不包括B 、C 两点),其对应的数为m ,则化简|m+12|=________. (3)在(1)、(2)的条件下,点A 、B 、C 开始在数轴上运动,若点B 、点C 都以每秒1个单位的速度向左运动,同时点A 以每秒2个单位长度的速度向右运动,假设t 秒钟过后,若点A 与点C 之间的距离表示为AC ,点A 与点B 之间的距离表示为AB ,请问:AB−AC 的值是否随着时间t 的变化而改变?若变化,请说明理由;若不变,请求出AB−AC 的值.25.观察下列解题过程:计算231001555...5+++++解:设231001555...5S =+++++①则23410155555....5S =+++++②由-②①得101451S =-101514S -∴= 即10123100511555 (54)-+++++= 用学到的方法计算:2320191222...2+++++26.给定一个十进制下的自然数x ,对于x 每个数位上的数,求出它除以2的余数,再把每一个余数按照原来的数位顺序排列,得到一个新的数,定义这个新数为原数x 的“模二数”,记为()2M x .如()()22735111, 561101M M ==.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐,从右往左依次将相应数位.上的数分别相加,规定: 0与 0相加得 0; 0与1相加得1;1与1相加得 0,并向左边一位进1.如735561、的“模二数”111101、相加的运算过程如下图所示.根据以上材料,解决下列问题:(1)()29653M 的值为______ ,()()22589653M M +的值为_(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等,则称这两个数“模二相加不变”.如()()22124100,630010M M ==,因为()()()222124630110,124630110M M M +=+=,所以()()()222124*********M M M +=+,即124与630满足“模二相加不变”.①判断126597,,这三个数中哪些与23“模二相加不变”,并说明理由;②与23“模二相加不变”的两位数有______个【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C设面积增加后的半径为R,增加前的半径为r,根据题意列出关系式计算即可.【详解】设面积增加后的半径为R,增加前的半径为r,根据题意得:πR2=mπr2,∴,故选:C.【点睛】此题主要考查了实数的运算,要注意,圆的面积和半径之间是平方关系而非正比例关系.2.C解析:C【分析】分别根据平方根的定义,算术平方根的定义判断即可得出正确选项.【详解】A.﹣4是16的平方根,说法正确;B.2,说法正确;C.116的平方根是±14,故原说法错误;D.,说法正确.故选:C.【点睛】此题考查了平方根以及算术平方根的定义,熟记相关定义是解题的关键.3.D解析:D【分析】根据算术平方根的平方等于这个这个自然数,得出下一个自然数,可得答案.【详解】解:这个自然数是2n,则和这个自然数相邻的下一个自然数是21n ,.故选:D.【点睛】本题考查了算术平方根,掌握一个数算术平方根的平方等于这个数是解题关键.4.B解析:B【分析】利用无理数,实数的性质判断即可.A 、无限小数不一定是无理数,错误;B 、无理数都是无限小数,正确;C 、带根号的数不一定是无理数,错误;D 、实数包括正实数,0,负实数,错误,故选:B .【点睛】考核知识点:实数.理解实数的分类是关键.5.D解析:D【分析】任何数的绝对值都是一个非负数.非负数(正数和0)的绝对值是它本身,非正数(负数和0)的绝对值是它的相反数.任何数的平方都是大于等于0的.【详解】选项A 中,当a=0,则a =0;选项B 中,当a=0,则a²=0;选项C 中,当a=100,则(a-100)²=0;选项D 中,无论a 取何值,a²+0.01始终大于0.故选:D.【点睛】此题考查绝对值的非负性,算术平方根的非负性,解题关键在于掌握其性质.6.D解析:D【分析】用平方法进行比较,看27在哪两个整数平方之间即可.【详解】∵252527=<,263627=>∴5<6故选:D【点睛】本题考查比较二次根式的大小,常见方法有2种:(1)将数字平方,转化为不含二次根号的数字比较;(2)将数字都转化到二次根式中,然后进行比较.7.D解析:D【详解】解:∵1<2<4,∴1<2,∴﹣2<<﹣1,∴2<43,∴a=2,b=422=-2∴1221a b -===. 故选D .【点睛】本题考查估算无理数的大小.8.C解析:C【分析】根据立方根的定义,可以先设出这个数,然后列等式进行求解.【详解】设这个说为a ,a =,∴3a =a ,∴a=0或±1,故选C.【点睛】本题考查立方根,熟练掌握立方根的定义是解题关键.9.A解析:A【分析】根据平方根,算术平方根,立方根的定义找到错误选项即可.【详解】①3是27的立方根,原来的说法错误; ②116的算术平方根是14,原来的说法错误;2是正确的;4,4的平方根是±2,原来的说法错误;⑤9是81的算术平方根,原来的说法错误.故其中正确的有1个.故选:A .【点睛】本题考查了立方根,平方根,算术平方根的知识;用到的知识点为:一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根;一个正数的平方根有2个;任意一个数的立方根只有1个.10.B解析:B【分析】根据无理数的定义判断即可.【详解】13-,0.716π是无理数, 故选:B .【点睛】本题主要考查无理数的定义,熟练掌握定义是关键.二、填空题11..【详解】第一次:3×449+5=1352,第二次:,由题意k=3时结果为169;第三次:3×169+5=512,第四次:因为512是2的9次方,所以k=9,计算结果是1;第五次:1×3+5解析:8.【详解】第一次:3×449+5=1352,第二次:13522k,由题意k=3时结果为169; 第三次:3×169+5=512,第四次:因为512是2的9次方,所以k=9,计算结果是1; 第五次:1×3+5=8; 第六次:82k,因为8是2的3次方,所以k=3,计算结果是1,此后计算结果8和1循环.因为201是奇数,所以第201次运算结果是8.故答案为8. 12.>【解析】∵ . , ∴ , ∴ ,故答案为>.解析:>【解析】∵11120.52222-=-=20-> , ∴202> , ∴10.52> ,故答案为>.13.①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果,即可做出判断.【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8,所以①正确;a ※b=ab+b ,b ※a=ab+a ,若 a=b ,两式解析:①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果,即可做出判断.【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8,所以①正确;a ※b=ab+b ,b ※a=ab+a ,若 a=b ,两式相等,若 a≠b ,则两式不相等,所以②错误; 方程(x−4) )※3=6化为3(x−4)+3=6,解得x=5,所以③正确;左边=(a ※b) ※c=(a×b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c 右边=a ※(b ※c )=a ※(b×c+c)=a (b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c 2 两式不相等,所以④错误.综上所述,正确的说法有①③.故答案为①③.【点睛】有理数的混合运算, 解一元一次方程,属于定义新运算专题,解决本题的关键突破口是准确理解新定义.本题主要考查学生综合分析能力、运算能力.14.【解析】∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n -1,∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,∴第n 个数的分母为n2+3,∴第n 个数 解析:2213n n -+ 【解析】∵分子分别为1,3,5,7,…,∴第n 个数的分子是2n -1,∵4-3=1=12,7-3=4=22,12-3=9=32,19-3=16=42,…,∴第n 个数的分母为n 2+3,∴第n 个数是2213n n -+,故答案为:221 3n n -+. 15.如等,答案不唯一.【详解】本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于和之间的无理数有无穷多个,因为,故而9和16都是完全平方数,都是无理数.解析:π等,答案不唯一.【详解】本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个,因为2239,416==,故而9和16,15都是无理数.16.﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果.【详解】解:根据题中的新定义得:(﹣2)☆1=3×(−2)−2×1=−6−2=−8,故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算,解析:﹣8【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果.【详解】解:根据题中的新定义得:(﹣2)☆1=3×(−2)−2×1=−6−2=−8,故答案为−8.【点睛】此题考查了有理数的混合运算,弄清题中的新定义是解本题的关键.17.>【分析】首先把两个数采用作差法相减,根据差的正负情况即可比较两个实数的大小.【详解】∵,∵-2>0,∴>0.故>0.5.故答案为:>.【点睛】此题考查实数大小比较,解题关键在于解析:>【分析】首先把两个数采用作差法相减,根据差的正负情况即可比较两个实数的大小.【详解】12>0,∴22>0.故12>0.5. 故答案为:>. 【点睛】此题考查实数大小比较,解题关键在于掌握比较两个实数的大小,可以采用作差法、取近似值法等.18.-2 【分析】根据1与它前面的那个数的差的倒数,即,即可求得、、……,然后根据得到结果出现的规律,即可确定. 【详解】 解:= ……所以数列以,,三个数循环, 所以== 故答案为:. 【解析:-2 【分析】根据1与它前面的那个数的差的倒数,即111n na a +=-,即可求得2a 、3a 、4a ……,然后根据得到结果出现的规律,即可确定2019a . 【详解】 解:1a =132131213a ==-312312a ==--411123a ==+…… 所以数列以13,32,2-三个数循环, 20193673÷=所以2019a =3a =2- 故答案为:2-. 【点睛】通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.19.【分析】根据a 、b 互为倒数,c 、d 互为相反数求出ab =1,c+d =0,然后代入求值即可. 【详解】∵a、b 互为倒数, ∴ab=1,∵c、d 互为相反数, ∴c+d=0, ∴=﹣1+0+1=0.解析:【分析】根据a 、b 互为倒数,c 、d 互为相反数求出ab =1,c +d =0,然后代入求值即可. 【详解】∵a 、b 互为倒数, ∴ab =1,∵c 、d 互为相反数, ∴c +d =0,∴1=﹣1+0+1=0. 故答案为:0. 【点睛】此题考查倒数以及相反数的定义,正确把握相关定义是解题关键.20.-0.0433 【分析】三次根式变化规律为:三次根号内的式子扩大或缩小1000倍,则得到的结果扩大或缩小10倍,根据规律可得x 的值. 【详解】从35.12变为-0.3512,缩小了100倍,且添解析:-0.0433【分析】三次根式变化规律为:三次根号内的式子扩大或缩小1000倍,则得到的结果扩大或缩小10倍,根据规律可得x 的值. 【详解】从35.12变为-0.3512,缩小了100倍,且添加了“-”∴根据规律,三次根式内的式子应该缩小1000000倍,且添加“-” 故答案为:-0.0433 【点睛】本题考查三次根式的规律,二次根式规律类似:二次根号内的式子扩大或缩小100倍,则得到的结果扩大或缩小10倍.三、解答题21.(1)3 (2)53(3)117-【分析】(1)根据给定的新定义,代入数据即可得出结论;(2)分a-b-c≥0和a-b-c≤0两种情况考虑,分别代入定义式中找出最大值,比较后即可得出结论. 【详解】解:①根据题中的新定义得:3⊕()7-⊕113=()()111137373332---++-+= ②当a-b-c≥0时,原式()12a b c a b c a =--+++=, 则取a 的最大值,最小值即可,此时最大值为89,最小值为67-;当a-b-c≤0时,原式()12a b c a b c b c =-+++++=+,此时最大值为785993b c +=+=,最小值为6511777b c ⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∵586113977>>->-∴综上所述最大值为53,最小值为117-. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算,读懂题意弄清新定义式的运算是解题的关键.22.(1)11316⨯;11131316⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭;(2)[]13(1)(131)n n +-⋅+;13(3111311)n n ⎡⎤--+⎢⎣+⎥⎦;(3)100301. 【分析】(1)观察前4个等式的分母先得出第5个式子的分母,再依照前4个等式即可得出答案;(2)根据前4个等式归纳类推出一般规律即可; (3)利用题(2)的结论,先写出1234100a a a a a +++++中各数的值,然后通过提取公因式、有理数加减法、乘法运算计算即可. 【详解】(1)观察前4个等式的分母可知,第5个式子的分母为1316⨯ 则第5个式子为:51111131631316a ⎛⎫==⨯- ⎪⨯⎝⎭故应填:11316⨯;11131316⎛⎫⨯-⎪⎝⎭; (2)第1个等式的分母为:14(130)(131)⨯=+⨯⨯+⨯ 第2个等式的分母为:47(131)(132)⨯=+⨯⨯+⨯ 第3个等式的分母为:710(132)(133)⨯=+⨯⨯+⨯ 第4个等式的分母为:1013(133)(134)⨯=+⨯⨯+⨯ 归纳类推得,第n 个等式的分母为:[]13(1)(13)n n +-⋅+ 则第n 个等式为:[]1111313(1)(13)13(1)13n a n n n n +-⋅++⎡⎤==-⎢⎥⎣-⎦+(n 为正整数) 故应填:[]13(1)(131)n n +-⋅+;13(3111311)n n ⎡⎤--+⎢⎣+⎥⎦;(3)由(2)的结论得:[]10013(1001)(13100)298301311111329801a ⎛⎫==+⨯-⨯+⨯⨯=⨯- ⎪⎝⎭则1234100a a a a a +++++1111144771010132983011+++++⨯⨯⨯⨯⨯=111111111111343473711132981031013301⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+⨯-+⨯-++ ⎪ ⎪ ⎛⎫=⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭111111111++++3447710111290133018=-⎛⎫⨯-+--- ⎪⎝⎭1330111⎛=⨯-⎫ ⎪⎝⎭ 30130103⨯= 110030=. 【点睛】本题考查了有理数运算的规律类问题,依据已知等式归纳总结出等式的一般规律是解题关键.23.(1)见解析;(2)①I ,1;II 4-m ②112;③2或6. 【分析】(1)在数轴上描点; (2)由基准点的定义可知,22m n+=; (3)(3)设P 点表示的数是m ,则Q 点表示的数是m+8,由题可知Q 1与Q 是基准点,Q 2与Q 1关于原点对称,Q 3与Q 2是基准点,Q 4与Q 3关于原点对称,…由此规律可得到当n 为偶数,Q n 表示的数是m+8-2n ,P 与Q n 两点间的距离是4,则有|m-m-8+2n|=4即可求n ; 【详解】解:(1)如图所示,(2)①Ⅰ.∵2是基准点,m=3,3到2的距离是1,所以到2的距离是1的另外一个点是1, ∴n=1; 故答案为1;Ⅱ.有定义可知:m+n=4, ∴n=4-m ; 故答案为:4-m②设点M 表示的数是m , 先乘以23,得到23m ,再沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N 为23m+2, ∵点M 与点N 互为基准等距变换点, ∴23m+2+m=4,∴m=1 12;③设P点表示的数是m,则Q点表示的数是m+8,如图,由题可知Q1表示的数是4-(m+8),Q2表示的数是-4+(m+8),Q3表示的数是8-(m+8),Q4表示的数是-8+(m+8),Q5表示的数是12-(m+8),Q6表示的数是-12+(m+8)…∴当n为偶数,Q n表示的数是-2n+(m+8),∵若P与Q n两点间的距离是4,∴|m-[-2n+(m+8)]|=4,∴n=2或n=6.【点睛】本题考查新定义,数轴上数的特点;能够理解基准点的定义是解决问题的基础,从定义中探究出基准点的两个点是关于2对称的;(3)中找到Q的变换规律是解题的关键.24.(1)2;-1;12-;(2)-m-12;(3)AB−AC的值不会随着时间t的变化而改变,AB-AC=1 2【分析】(1)根据立方根的性质即可求出b的值,然后根据平方和绝对值的非负性即可求出a和c 的值;(2)根据题意,先求出m的取值范围,即可求出m+12<0,然后根据绝对值的性质去绝对值即可;(3)先分别求出运动前AB和AC,然后结合题意即可求出运动后AB和AC的长,求出AB−AC即可得出结论.【详解】解:(1)∵b是立方根等于本身的负整数,∴b=-1∵(a+2b)2+|c+12|=0,(a+2b)2≥0,|c+12|≥0∴a+2b=0,c+12=0解得:a=2,c=1 2 -故答案为:2;-1;12 -;(2)∵b=-1,c=12-,b、c在数轴上所对应的点分别为B、C,点D是B、C之间的一个动点(不包括B、C两点),其对应的数为m,∴-1<m <12- ∴m+12<0 ∴|m+12|= -m-12故答案为:-m-12; (3)运动前AB=2-(-1)=3,AC=2-(12-)=52由题意可知:运动后AB=3+2t +t=3+3t ,AC=52+2t +t=52+3t ∴AB -AC=(3+3t )-(52+3t )=12∴AB−AC 的值不会随着时间t 的变化而改变,AB -AC=12. 【点睛】此题考查的是立方根的性质、非负性的应用、利用数轴比较大小和数轴上的动点问题,掌握立方根的性质、平方、绝对值的非负性、利用数轴比较大小和行程问题公式是解决此题的关键. 25.22020−1 【分析】根据题目提供的求解方法进行计算即可得解. 【详解】设S =2320191222...2+++++① 则2S =2+22+23+…+22019+22020,②②−①得,S =(2+22+23+…+22019+22020)-(2320191222...2+++++)=22020−1 即2320191222...2+++++=22020−1. 【点睛】本题考查了规律型:数字的变化类,有理数的混合运算,读懂题目信息,理解并掌握求解方法是解题的关键.26.(1)1011,1101;(2)①12,65,97,见解析,②38 【分析】(1) 根据“模二数”的定义计算即可;(2) ①根据“模二数”和模二相加不变”的定义,分别计算126597,,和12+23,65+23,97+23的值,即可得出答案②设两位数的十位数字为a ,个位数字为b ,根据a 、b 的奇偶性和“模二数”和模二相加不变”的定义进行讨论,从而得出与23“模二相加不变”的两位数的个数 【详解】解: (1) ()296531011M =,()()221010111108531596M M =+=+ 故答案为:1011,1101()2①()()222301,1210M M ==, ()()()222122311,122311M M M +=+=()()()22212231223M M M ∴+=+,12∴与23满足“模二相加不变”.()()222301,6501M M ==,, ()()()222652310,652300M M M +=+= ()()()22265236523M M M +≠+, 65∴与23不满足“模二相加不变”.()()222301,9711M M ==,()()()2229723100,9723100M M M +=+=, ()()()22297239723M M M +=+,97∴与23满足“模二相加不变”②当此两位数小于77时,设两位数的十位数字为a ,个位数字为b ,1a 70b 7≤≤<<,; 当a 为偶数,b 为偶数时()()2210002013,a b M M +==,∴()()()()22222301,102310(2)(3)1001M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23满足“模二相加不变”有12个(28、48、68不符合) 当a 为偶数,b 为奇数时()()2210012013,a b M M +==,∴()()()()22222310,102310(2)(3)1000M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23不满足“模二相加不变”.但27、47、67、29、49、69符合共6个 当a 为奇数,b 为奇数时()()2210112013,a b M M +==,∴()()()()222223100,102310(2)(3)1010M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23不满足“模二相加不变”.但17、37、57、19、39、59也不符合 当a 为奇数,b 为偶数时()()2210102013,a b M M +==,∴()()()()22222311,102310(2)(3)1011M M M a b M a a b b +=++++++== ∴与23满足“模二相加不变”有16个,(18、38、58不符合) 当此两位数大于等于77时,符合共有4个 综上所述共有12+6+16+4=38 故答案为:38 【点睛】本题考查新定义,数字的变化类,认真观察、仔细思考,分类讨论的数学思想是解决这类问题的方法.能够理解定义是解题的关键.。

人教版初中七年级数学下册第六单元《实数》知识点复习(含答案解析)

人教版初中七年级数学下册第六单元《实数》知识点复习(含答案解析)

一、选择题1.下列各式计算正确的是( )A B = ±2 C = ±2 D . A 解析:A【分析】根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可.【详解】解:∵-1= 2= 2,,故只有A 计算正确;故选:A .【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根和立方根,计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根.2.下列各组数中,互为相反数的是( )A .B .2-与12-C .()23-与23-D 解析:C【分析】根据绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义逐项判断即可得.【详解】A 、=不是相反数,此项不符题意;B 、2-与12-不是相反数,此项不符题意; C 、()223399,--=-=,则()23-与23-互为相反数,此项符合题意;D 2,2=-=-故选:C .【点睛】本题考查了绝对值运算、有理数的乘方运算、立方根、相反数的定义,熟记各运算法则和定义是解题关键.3.已知122=,224=,328=,4216=,5232=,……,根据这一规律,20192的个位数字是( )A .2B .4C .8D .6C解析:C【分析】通过观察122=,224=,328=,4216=,,5232=…知,他们的个位数是4个数一循环,2,4,8,6,…因为2019÷4=504…3,所以20192的个位数字与32的个位数字相同是8.【详解】解:仔细观察122=,224=,328=,4216=,,5232=…;可以发现他们的个位数是4个数一循环,2,4,8,6,…∵2019÷4=504…3,∴20192的个位数字与32的个位数字相同是8.故答案是:8.【点睛】本题考查了尾数特征,解题的关键是根据已知条件,找出规律:2的乘方的个位数是每4个数一循环,2,4,8,6,….4.下列实数220.010*******;; (相邻两个1之依次多一个0);2,其中无理数有( )A .2个B .3个C .4个D .5个B解析:B【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.【详解】4=-,是有理数;3.14是有限小数,是有理数;227是分数,是有理数;,0.010010001(相邻两个1之依次多一个0)2,是无理数,共3个,故选:B .【点睛】本题考查了无理数的定义,注意无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数.5.在0.010010001,3.14,π,1.51,27中无理数的个数是( ). A .5个B .4个C .3D .2个D解析:D【分析】 根据无理数的概念解题,找出无理数的个数即可,无限不循环小数称为无理数;【详解】在0.010010001,3.14,π,1.51,27中无理数有π共2个, 故选D .【点睛】本题考查了无理数的概念,正确掌握无理数的概念是解题的关键;6 )A .8B .8-C .D .± D 解析:D【分析】8=,再根据平方根的定义,即可解答.【详解】8=,8的平方根是±故选:D .【点睛】8=.7.若1a >,则a ,a -,1a 的大小关系正确的是( ) A .1a a a >->B .1a a a >->C .1a a a >>-D .1a a a ->> C 解析:C【分析】可以用取特殊值的方法,因为a >1,所以可设a=2,然后分别计算|a|,-a ,1a ,再比较即可求得它们的关系.【详解】解:设a=2,则|a|=2,-a=-2,112a =, ∵2>12>-2, ∴|a|>1a>-a ; 故选:C .【点睛】 此类问题运用取特殊值的方法做比较简单.8.下列各数中,属于无理数的是( )A .227B .3.1415926C .2.010010001D .π3- D 解析:D【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.【详解】解:A 、227是有理数,故选项A 不符合题意; B 、3.1415926是有理数,故选项B 不符合题意;C 、2.010010001是有理数,故选项C 不符合题意;D 、π3-是无理数,故选项D 题意; 故选:D .【点睛】 此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.9.下列等式成立的是( )A .±1B =±2C 6D 3A 解析:A【分析】分别根据算术平方根、立方根的定义逐一判断即可.【详解】A .书写规范,故本选项符合题意;B.算术平方根只能是正数不能是负数,故本选项不合题意;C.立方根与被开方数符号一致,故本选项符合题意;D.33=27,27的立方根才等于3,故本选项不合题意.故选:A .【点睛】本题主要考查了算术平方根与立方根的定义,熟练掌握算术平方根的性质是解答本题的关键.10.下列说法中:①0是最小的整数;②有理数不是正数就是负数;③﹣2π不仅是有理数,而且是分数;④237是无限不循环小数,所以不是有理数;⑤无限小数不一定都是有理数;⑥正数中没有最小的数,负数中没有最大的数;⑦非负数就是正数;⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数;其中错误的说法的个数为( )A .7个B .6个C .5个D .4个B解析:B【分析】根据有理数的分类依此作出判断,即可得出答案.【详解】解:①没有最小的整数,所以原说法错误;②有理数包括正数、0和负数,所以原说法错误;③﹣2π是无理数,所以原说法错误; ④237是无限循环小数,是分数,所以是有理数,所以原说法错误; ⑤无限小数不都是有理数,所以原说法正确; ⑥正数中没有最小的数,负数中没有最大的数,所以原说法正确;⑦非负数就是正数和0,所以原说法错误;⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数,所以原说法错误; 故其中错误的说法的个数为6个.故选:B .【点睛】本题考查了有理数的分类,认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键.注意整数和正数的区别,注意0是整数,但不是正数.二、填空题11.把下列各数表示在数轴上,并把这些数按从大到小的顺序用“>”连接起来. 0,327-,()2--,1--,9,22-画图见解析【分析】先把各数化简在数轴上表示出各数再根据在数轴上右边的数总比左边的数大把这些数按从大到小的顺序用>连接起来【详解】解:在数轴上表示为:按从大到小的顺序用>连接为:【点睛】本题主要考查了解析:画图见解析,()239201272>-->>-->->- 【分析】先把各数化简,在数轴上表示出各数,再根据“在数轴上,右边的数总比左边的数大”把这些数按从大到小的顺序用“>”连接起来.【详解】解:3273-=-,()22--=,11--=-,93=,224-=-,在数轴上表示为:按从大到小的顺序用>()239201272>-->>-->->-. 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较,解题的关键是准确在数轴上表示实数,并利用数轴对实数的大小进行比较.12.把下列各数的序号填入相应的括号内①-3,②π,,④-3.14,,⑥0,⑦227,⑧-1,⑨1.3,⑩1.8080080008…(两个“8”之间依次多一个“0”). 整数集合{ …},负分数集合{ …},正有理数集合{ …}, 无理数集合{ …}.见解析【分析】先求出立方根再根据整数负分数正有理数无理数的定义即可得【详解】解析:见解析.【分析】先求出立方根,再根据整数、负分数、正有理数、无理数的定义即可得.【详解】3=-,13.求下列各式中x 的值(1)21(1)64x +-=; (2)3(1)125x -=.(1);(2)【分析】(1)方程整理后利用平方根的性质开平方即可求解;(2)方程直接利用立方根的性质开立方即可求解;【详解】(1)解得:或;(2)解得:【点睛】本题主要考查解方程涉及到立方根平方根解解析:(1)132x =,272x =-;(2)6x = 【分析】(1)方程整理后,利用平方根的性质开平方即可求解;(2)方程直接利用立方根的性质开立方即可求解;【详解】(1)21(1)64x +-= 225(1)4x += 512x +=± 解得:32x =或72x =-; (2)3(1)125x -=15x -=解得:6x =.【点睛】本题主要考查解方程,涉及到立方根、平方根,解题的关键是熟练掌握开平方、开立方根的方法.14.定义:如果将一个正整数a 写在每一个正整数的右边,所得到的新的正整数能被a 整除,则这个正整数a 称为“魔术数”.例如:将2写在1的右边得到12,写在2的右边得到22,……,所得到的新的正整数的个位数字均为2,即为偶数,由于偶数能被2整除,所以2是“魔术数”.根据定义,在正整数3,4,5中,“魔术数”为____________;若“魔术数”是一个两位数,我们可设这个两位数的“魔术数”为x ,将这个数写在正整数n 的右边,得到的新的正整数可表示为()100n x +,请你找出所有的两位数中的“魔术数”是_____________.10202550【分析】①由魔术数的定义分别对345三个数进行判断即可得到5为魔术数;②由题意根据魔术数的定义通过分析即可得到答案【详解】解:根据题意①把3写在1的右边得13由于13不能被3整除故3 解析:10、20、25、50.【分析】①由“魔术数”的定义,分别对3、4、5三个数进行判断,即可得到5为“魔术数”; ②由题意,根据“魔术数”的定义通过分析,即可得到答案.【详解】解:根据题意,①把3写在1的右边,得13,由于13不能被3整除,故3不是魔术数;把4写在1的右边,得14,由于14不能被4整除,故4不是魔术数;把5写在1的右边,得15,写在2的右边得25,……由于个位上是5的数都能被5整除,故5是魔术数;故答案为:5;②根据题意,这个两位数的“魔术数”为x ,则1001001n x n x x+=+, ∴100n x为整数, ∵n 为整数, ∴100x为整数, ∴x 的可能值为:10、20、25、50; 故答案为:10、20、25、50.【点睛】本题考查了新定义的应用和整数的特点,解题的关键是熟练掌握新定义进行解题.15.已知5的整数部分为a ,5-b ,则2ab b +=_________.【分析】求出的大小推出7<<8求出a 同理求出求出b 代入求出即可【详解】解:∵∴∴∴∴故答案为:【点睛】此题考查了无理数的大小的应用关键是确定和的范围解析:37-【分析】的大小,推出7<5<8,求出a ,同理求出253<-<,求出b ,代入求出即可.【详解】解:∵479<<, ∴23<<,32-<<- ∴758<+<,253<-<,∴7a =,523b =--=-,∴()(237337ab b b a b +=+=+=-.故答案为:37-【点睛】此题考查了无理数的大小的应用,关键是确定5和5-16.一个正数的两个平方根分别为27a -与34a -+,则这个正数为_______.169【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a 的值就可以算出这个正数【详解】解:解得∴这个正数是故答案是:169【点睛】本题考查平方根解题的关键是掌握平方根的性质解析:169【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数,求出a 的值,就可以算出这个正数.【详解】解:()27340a a -+-+=,解得3a =-,()23713⨯--=-,∴这个正数是()213169-=. 故答案是:169.【点睛】本题考查平方根,解题的关键是掌握平方根的性质.17.定义一种新运算;观察下列各式;131437=⨯+=()3134111-=⨯-=5454424=⨯+= ()4344313-=⨯-=(1)请你想一想:ab = ;(2)若a b ,那么a b b a (填“=”或“≠” );(3)先化简,再求值:()()2a b a b -+,其中1a =-,2b =.(1)4a+b ;(2);(3)6a-3b-12【分析】(1)观察得到新运算等于第一个数乘以4加上第二个数据此列式即可;(2)根据新运算分别计算出与即可得到答案;(3)根据新运算分别化简再将ab 的值代解析:(1)4a+b ;(2)≠;(3)6a-3b ,-12【分析】(1)观察得到新运算等于第一个数乘以4,加上第二个数,据此列式即可;(2)根据新运算分别计算出a b 与b a 即可得到答案; (3)根据新运算分别化简再将a 、b 的值代入计算. 【详解】(1)ab =4a+b , 故答案为:4a+b ; (2)a b =4a+b ,b a =4b+a , ∵a b , ∴a b ≠b a ,故答案为:≠;(3)()()2a b a b -+ =4(a-b )+(2a+b )=4a-4b+2a+b=6a-3b ,当1a =-,2b =时,原式=-6-6=-12.【点睛】此题考查新定义运算,整式的加减混合运算,正确理解新定义的运算规律并解决问题是解题的关键.18.若求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方,如()()()()2223333÷÷-÷-÷-÷-,等。

《常考题》初中七年级数学下册第六单元《实数》知识点(含答案解析)

《常考题》初中七年级数学下册第六单元《实数》知识点(含答案解析)

一、选择题1.a,小数部分为b,则a-b的值为()A.6-B6C.8D8A解析:A【分析】先根据无理数的估算求出a、b的值,由此即可得.【详解】91516<<,<<,<<34a b∴==,3,3)∴-=-=,336a b故选:A.【点睛】本题考查了无理数的估算,熟练掌握估算方法是解题关键.2)A.8 B.±8 C.D.± C解析:C【分析】【详解】,8的算术平方根是,.故选择:C.【点睛】本题考查一个数的算术平方根的算术平方根,掌握求算式的平方根,一定要把算式化简得到结果后再求是解题关键.3)A.2 B.4 C.2±D.-4A解析:A【分析】【详解】解:∵,∴16的算术平方根是4=2.故选:A.【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义,注意要首先计算16=4.4.-18的平方的立方根是()A.4 B.14C.18D.164B解析:B【分析】先根据题意列出代数式,然后再进行计算即可.【详解】解:由题意得:22331118644⎛⎫-==⎪⎝⎭.故答案为B.【点睛】本题考查了平方和立方根,弄清题意、根据题意列出代数式是解答本题的关键.5.在0.010010001,3.14,π,10,1.51,27中无理数的个数是().A.5个B.4个C.3 D.2个D解析:D【分析】根据无理数的概念解题,找出无理数的个数即可,无限不循环小数称为无理数;【详解】在0.010010001,3.14,π,10,1.51,27中无理数有π,10共2个,故选D.【点睛】本题考查了无理数的概念,正确掌握无理数的概念是解题的关键;6.数轴上有O、A、B、C四点,各点位置与各点所表示的数如图所示.若数线上有一点D,D点所表示的数为d,且|d﹣5|=|d﹣c|,则关于D点的位置,下列叙述正确的是?()A.在A的左边B.介于O、B之间C.介于C、O之间D.介于A、C之间B解析:B【分析】借助O、A、B、C的位置以及绝对值的定义解答即可.【详解】解:-5<c<0,b=5,|d﹣5|=|d﹣c|∴BD=CD,∴D点介于O、B之间.故答案为B.【点睛】本题考查了实数、绝对值和数轴等相关知识,掌握实数和数轴上的点一一对应是解答本题的关键.7.8)A.4 B.5 C.6 D.7B解析:B【分析】<<,进而得出答案.直接利用估算无理数的大小的方法得出23【详解】<<,解:459<<,<<23∴-<<-,83882∴<,586∴5.8故选:B.【点睛】8)A.8B.8-C.D.± D解析:D【分析】=,再根据平方根的定义,即可解答.8【详解】=,8的平方根是±8故选:D.【点睛】=.89.一个正方体的体积为16,那么它的棱长在()之间A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5B解析:B【分析】可以利用方程先求正方体的棱长,然后再估算棱长的近似值即可解决问题.【详解】设正方体的棱长为x ,由题意可知316x =, 解得316x =,∵332163<<,∴32163<<,那么它的棱长在2和3之间.故选:B .【点睛】本题考查了估算无理数的大小,解决本题的关键是估算316的范围.10.如图,四个有理数m ,n ,p ,q 在数轴上对应的点分别为M ,N ,P ,Q ,若n+p=0,则m ,n ,p ,q 四个有理数中,绝对值最大的一个是( )A .pB .qC .mD .n B解析:B【分析】根据n+p=0可以得到n 和p 互为相反数,原点在线段PN 的中点处,从而可以得到绝对值最大的数. 【详解】解:∵n+p=0,∴n 和p 互为相反数,∴原点在线段PN 的中点处,∴绝对值最大的一个是Q 点对应的q .故选B .【点睛】本题考查了实数与数轴及绝对值.解题的关键是明确数轴的特点. 二、填空题11.计算.(1)()113122⎛⎫⎛⎫---++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2)()3328864---(1)4;(2)【分析】(1)变减号为加号同时省略括号和加号先两个分数相加再和最后一个数相加;(2)先算乘方和开方再算乘除最后算加减【详解】(1)原式;(2)原式【点睛】此题考查有理数混合运算其关键解析:(1)4;(2)6-.【分析】(1)变减号为加号同时省略括号和加号,先两个分数相加,再和最后一个数相加; (2)先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减.【详解】(1)原式111322=-++ 13=+4=;(2)原式()()8288=-+-÷-⨯82=-+6=-.【点睛】此题考查有理数混合运算,其关键是熟练掌握每种运算和按运算顺序运算,注意用运算律改变运算顺序以使运算简便.12)10152-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭【分析】根据平方根定义负指数幂零指数幂特殊角的三角函数值计算即可;【详解】解:原式【点睛】本题主要考查了实数的运算结合负整数指数幂零指数幂特殊角的三角函数值计算是解题的关键 解析:32【分析】根据平方根定义、负指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算即可;【详解】解:原式33421421222=-+-=-+-=. 【点睛】本题主要考查了实数的运算,结合负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算是解题的关键.13.<x的所有整数x 的和是_____.2【分析】首先通过对和大小的估算可得满足﹣<x <的所有整数进而对其求和可得答案【详解】解:∵﹣2<﹣<﹣12<<3∴满足﹣<x <的所有整数有﹣1012∴﹣1+0+1+2=2故答案为:2【点睛】本题主解析:2【分析】x的所有整数,进而对其求和可得答案.【详解】解:∵﹣21,2 <3,∴<x 的所有整数有﹣1,0,1,2,∴﹣1+0+1+2=2,故答案为:2.【点睛】本题主要考查无理数大小的估算,比较简单,正确理解是解题的关键.14.把下列各数填入相应的集合里:﹣3,|﹣5|,+(13-),﹣3.14,0,﹣1.2121121112…,﹣(﹣2.5),34,﹣|45-|,3π 正数集合:{_____________…};整数集合:{_____________…};负分数集合:{_____________…};无理数集合:{_____________…}.|﹣5|﹣(﹣25)3π﹣3|﹣5|0+()﹣314﹣||﹣12121121112…3π【分析】先根据绝对值的定义及化简符号的法则去掉绝对值的符号及多重符号再根据正数整数负分数无理数的定义求解即可【解析:|﹣5|,﹣(﹣2.5),34,3π ﹣3,|﹣5|,0 +(13-),﹣3.14,﹣|45-| ﹣1.2121121112 (3)【分析】先根据绝对值的定义及化简符号的法则去掉绝对值的符号及多重符号,再根据正数、整数、负分数、无理数的定义求解即可.【详解】解:|﹣5|=5,+(13-)13=-,﹣(﹣2.5)=2.5,﹣|45-|45=-,15.1【分析】先根据开方的意义绝对值的意义进行化简最后计算即可求解【详解】解:原式【点睛】本题考查了实数的混合运算理解开方的意义能正确去绝对值是解题关键解析:1【分析】先根据开方的意义,绝对值的意义进行化简,最后计算即可求解.【详解】解:原式123122=-+++⨯1=+ 【点睛】本题考查了实数的混合运算,理解开方的意义,能正确去绝对值是解题关键.16.求下列各式中的x 的值(1)21(1)82x +=;(2)3(21)270x -+=(1)或;(2)【分析】(1)适当变形后利用平方根的定义即可解方程;(2)适当变形后利用立方根的定义即可解方程【详解】解:(1)两边乘以2得开平方得即或∴或;(2)移项得开立方得解得【点睛】本题考查解析:(1)3x =或5x =-;(2)1x =-.【分析】(1)适当变形后,利用平方根的定义即可解方程;(2)适当变形后,利用立方根的定义即可解方程.【详解】解:(1)21(1)82x += 两边乘以2得,2(1)16x +=,开平方得,14x +=±,即14x +=或14x +=-,∴3x =或5x =-;(2)3(21)270x -+=移项得,3(21)27x -=-,开立方得,213x -=-,解得,1x =-.【点睛】本题考查的是利用平方根,立方根的含义解方程,掌握平方根与立方根的定义和等式的性质是解题的关键.17.定义运算“@”的运算法则为:,则2@6 =____.4【分析】把x=2y=6代入x@y=中计算即可【详解】解:∵x@y=∴2@6==4故答案为4【点睛】本题考查了有理数的运算能力注意能由代数式转化成有理数计算的式子解析:4【分析】把x=2,y=6代入中计算即可.【详解】解:∵,∴=,故答案为4.【点睛】本题考查了有理数的运算能力,注意能由代数式转化成有理数计算的式子.18.若已知()2120a b -++=,则a b c -+=_____.6【分析】分别根据绝对值平方和算术平方根的非负性求得abc 的值代入即可【详解】解:因为所以解得故故答案为:6【点睛】本题考查非负数的性质主要考查绝对值平方和算术平方根的非负性理解几个非负数(式)的和解析:6【分析】分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值,代入即可.【详解】解:因为()2120a b -++=,所以10,20,30a b c -=+=-=,解得1,2,3a b c ==-=,故1(2)36a b c -+=--+=,故答案为:6.【点睛】本题考查非负数的性质,主要考查绝对值、平方和算术平方根的非负性.理解几个非负数(式)的和为0,那么这几个数或(式)都为0是解题关键.19.对于有理数x 、y ,当x ≥y 时,规定x ※y =y x ;而当x <y 时,规定x ※y =y -x ,那么4※(-2)=_______;如果[(-1)※1]※m=36,则m 的值为______.或【分析】根据新定义规定的式子将数值代入再计算即可;先根据新定义的式子将数值代入分情况讨论列方程求解即可【详解】解:4※(-2)=;(-1)※1=(-1)※1※m=2※m=36当时原式可化为解得:;解析:6m =-或38m =.【分析】根据新定义规定的式子将数值代入再计算即可;先根据新定义的式子将数值代入分情况讨论列方程求解即可.【详解】解:42>-∴4※(-2)=()42=16-;11-<∴(-1)※1=()11=2--∴[(-1)※1]※m=2※m=36当2m ≥时,原式可化为236m =解得:6m =±6m ∴=-;当2m <时,原式可化为:236m -=解得:38m =;综上所述,m 的值为:6m =-或38m =;故答案为:16;6m =-或38m =.【点睛】本题考查了新定义的运算,读懂新定义的式子,将值正确代入是解题的关键.20.若4<5,则满足条件的整数 a 分别是_________________.18192021222324【分析】求出a 的范围是16<a <25求出16和25之间的整数即可【详解】解:∵4<<5a 为整数∴<<∴整数a 有1718192021222324共8个数故答案为:17181解析:18、19、20、21、22、23、24.【分析】求出a 的范围是16<a <25,求出16和25之间的整数即可.【详解】解:∵4<5,a 为整数, ∴∴整数a 有17、18、19、20、21、22、23、24,共8个数,故答案为:17、18、19、20、21、22、23、24.【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小,夹逼法的应用是解题的关键.三、解答题21.已知一个正数的平方根是3a +和215a -.(1)求这个正数.(2的平方根和立方根.解析:(1)441或49;(2)2± 【分析】(1)分情况讨论,这两个平方根相等或互为相反数,求出a 的值,在算出这个正数; (2)由(1)的结果分情况讨论,根据平方根和立方根的定义算出结果.【详解】解:(1)若这两个平方根相等,则3215a a +=-,解得18a =,这个正数是:()2218321441+==;若这两个平方根互为相反数,则32150a a ++-=,解得4a =,这个正数是:()2243749+==;(2)若18a ==若4a =4==,4的平方根是2±.【点睛】本题考查平方根和立方根,解题的关键是掌握平方根和立方根的定义以及计算方法.22.如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的,已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米.(提示:182=324)(1)求正方形纸板的边长;(2)若将该正方形纸板进行裁剪,然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体,求剩余的正方形纸板的面积.解析:(1)正方形纸板的边长为18厘米;(2)剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米【分析】(1)根据正方形的面积公式进行解答;(2)由正方体的体积公式求得正方体的边长,然后由正方形的面积公式进行解答.【详解】⨯=18(cm),解:(11622答:正方形纸板的边长为18厘米;(23343=7(cm),则剪切纸板的面积=7×7×6=294(cm2),剩余纸板的面积=324﹣294=30(cm2)答:剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米.【点睛】本题考查了立方根,算术平方根,解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式,属于基础题.23.观察下列各式,并用所得出的规律解决问题:(12=1.414200=14.1420000=0.03=0.17323=1.732,300=17.32…由此可见,被开方数的小数点每向右移动位,其算术平方根的小数点向移动位;(25=2.23650=7.0710.5=,500=;(331=131000=1031000000=100…小数点变化的规律是:.(4310=2.1543100=4.642310000=,30.1=.解析:(1)两,右,一;(2)0.7071,22.36;(3)被开方数的小数点向右(左)移三位,其立方根的小数点向右(左)移动一位;(4)21.54,﹣0.4642【分析】(1)观察已知等式,得到一般性规律,写出即可;(2)利用得出的规律计算即可得到结果;(3)归纳总结得到规律,写出即可;(4)利用得出的规律计算即可得到结果.【详解】(1=1.414=14=141.4…=0.1732=1.732=17.32…由此可见,被开方数的小数点每向右移动两位,其算术平方根的小数点向右移动一位,(2=2.236=7.071=0.7071=22.36,(3=1=10=100…小数点变化的规律是:被开方数的小数点向右(左)移三位,其立方根的小数点向右(左)移动一位;(4)∵=2.154=4.642, ∴=21.54,=-0.4642.故答案为:(1)两;一;(2)0.7071;22.36;(3)被开方数的小数点向右(左)移三位,其立方根的小数点向右(左)移动一位;(4)21.54;﹣0.4642【点睛】此题考查了立方根,以及算术平方根,弄清题中的规律是解本题的关键.24.计算:(1)(23)(41)----;(2)1111115()13()3()555-⨯-+⨯--⨯-;(3)2(2)|1|-+; (4)311()()(2)424-⨯-÷-.解析:(1)4;(2)-11;(3;(4)16-. 【分析】(1)直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案; (2)逆用分配律,直接提取公因数-115,进而计算得出答案; (3)直接利用绝对值和立方根的性质分别化简得出答案;(4)直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案.【详解】解:(1)(23)(41)---- 15=-+4=;(2)原式11()(5133)5=-⨯-+- 1155=-⨯ 11=-;(3)原式413=+-=(4)原式314429=-⨯⨯ 16=-. 【点睛】本题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题的关键.25.求满足条件的x 值:(1)()23112x -=(2)235x -=解析:(1)13x =,21x =-;(2)1x =2x =-【分析】(1)方程两边同除以3,再运用直接开平方法求解即可;(2)方程移项后,再运用直接开平方法求解即可.【详解】解:(1)()23112x -= ()214x -=12x -=±解得,13x =,21x =-;(2)235x -=28x = ∴x =±∴1x =2x =-【点睛】本题考查了平方根的应用,解决本题的关键是熟记平方根的定义.26.计算:(1)225--(2)1+解析:(1)-4;(2)1.【分析】(1)根据乘方、开方、绝对值的意义化简,再计算即可;(2)先根据绝对值的意义脱去绝对值,再计算即可求解.【详解】解:(1)225--=-4+6-1-5=-4;(2)1)1=++1=+1=-+=-1+2=1.【点睛】本题考查了实数的性质与运算,熟知实数的运算法则和性质是解题关键.27.求x 的值:(1)2(3)40x +-=(2)33(21)240x ++=解析:(1)1x =-或5x =-;(2)32x =-. 【分析】 (1)整理后,利用平方根的定义得到32x +=±,然后解两个一元一次方程即可; (2)整理后,利用立方根的定义得到212x +=-,然后解一元一次方程即可.【详解】(1)2(3)40x +-=,移项得:2(3)4x +=,∴32x +=±,∴1x =-或5x =-;(2)33(21)240x ++=, 整理得:3(21)8x +=-,∴212x +=-, ∴32x =-. 【点睛】 本题考查了立方根:如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根或三次方根.这就是说,如果x 3=a ,那么x 叫做a 的立方根.也考查了平方根.28.已知52a +的立方根是3,31a b +-的算术平方根是4,c 的整数部分.(1)求a ,b ,c 的值;(2)求3a b c -+的平方根.解析:(1)5a =,2b =,3c =;(3)4±【分析】(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法,求出a 、b 、c 的值.(2)将a 、b 、c 的值代数式求出值后,进一步求得平方根即可.【详解】解:(1)∵52a +的立方根是3,31a b +-的算术平方根是4,∴5227a +=,3116a b +-=,∴5a =,2b =; ∵34<<,c 的整数部分,∴3c =;(2)当5a =,2b =,3c =时,3152316a b c -+=-+=,16的平方根是4±∴3a b c -+的平方根是4±.【点睛】本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点,读懂题意,掌握解答顺序,正确计算即可.。

沪科七下数学第六章实数知识点复习加典型例题讲解[1] 2

沪科七下数学第六章实数知识点复习加典型例题讲解[1] 2

七年级数学第一章知识点复习1、平方根(1)定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。

“根号a”)对于正数a负的平方根用 ”表示(读做“负根号a” )如果x 2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“a 称为被开方数)。

(2)平方根的性质:①一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数; ②0只有一个平方根,它就是0本身;③负数没有平方根. (3)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.(4)算术平方根:正数a 的正的平方根叫做a(50;a ≥0。

(6)公式:⑴2=a (a ≥0);2、立方根(1)定义:一般地,如果一个数的立方等于a ,这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。

即X 3=a,把X 叫做a 的立方根。

数a 的立方根用符号表示,读作“三次根号a ”。

(2)立方根的性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。

(3)开立方:求一个数的立方根的运算,叫做开立方。

开立方与立方也是互为逆运算,因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、规律总结(1)平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。

(2)每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其中正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。

二、平方根、立方根例题。

例1、(1)下列各数是否有平方根,请说明理由 ① (-3)2 ② 0 2 ③ -0.01 2 (2) 下列说法对不对?为什么?① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根 ③ 任何数都有平方根④ 若 a >0,a 有两个平方根,它们互为相反数解:(1) (-3)2 和0 2有平方根,因为(-3)2 和0 2是非负数。

- 0.01 2没有平方根,因为-0.01 2是负数。

(2)只有④对,因为一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。

《常考题》初中七年级数学下册第六单元《实数》知识点复习(含答案解析)

《常考题》初中七年级数学下册第六单元《实数》知识点复习(含答案解析)

一、选择题1.有下列说法:①在1和2②实数与数轴上的点一一对应;③两个无理数的积一定是无理数;④2π是分数.其中正确的为( ) A .①②③④ B .①②④ C .②④ D .②2.下列各数中,无理数有( )3.14125127,0.321,π,2.32232223(相邻两个3之间的2的个数逐次增加1)A .0个B .1个C .2个D .3个 3.下列说法中错误的有( )①实数和数轴上的点是一一对应的;②负数没有立方根;③算术平方根和立方根均等于其本身的数只有0;④49的平方根是7±7=±.A .0个B .1个C .2个D .3个 4.-18的平方的立方根是( ) A .4 B .14 C .18 D .1645.观察下列运算:81=8,82=64,83=512,84=4 096,85=32 768,86=262 144,…,则81+82+83+84+…+82 017的和的个位数字是( )A .2B .4C .6D .8 6.已知122=,224=,328=,4216=,5232=,……,根据这一规律,20192的个位数字是( )A .2B .4C .8D .67.下列命题中,①81的平方根是9;±2;③−0.003没有立方根;④−64的立方根为±4; )A .1B .2C .3D .48.下列实数中,是无理数的为( )A .3.14B .13CD 9.下列说法中,正确的是( )A .正数的算术平方根一定是正数B .如果a 表示一个实数,那么-a 一定是负数C .和数轴上的点一一对应的数是有理数D .1的平方根是1 10.下列说法正确的是( )A .2B .(﹣4)2的算术平方根是4C .近似数35万精确到个位D 511. )A .287.2B .28.72C .13.33D .133.312.1的值( ) A .在7和8之间B .在6和7之间C .在5和6之间D .在4和5之间13.若3a =,则a 在( )A .3-和2-之间B .2-和1-之间C .1-和0之间D .0和1之间14.若1a >,则a ,a -,1a 的大小关系正确的是( ) A .1a a a >-> B .1a a a >-> C .1a a a>>- D .1a a a ->> 15.已知|x |=2,y 2=9,且xy <0,则x +y 的值为( ) A .1或﹣1 B .-5或5 C .11或7 D .-11或﹣7二、填空题16.已知一个正数的平方根是3a +和215a -.(1)求这个正数.(2的平方根和立方根.17.已知31a +的算数平方根是4,421c b +-的立方根是3,c 22a b c +-的平方根.18.已知2x +1的算术平方根是0=4,z 是﹣27的立方根,求2x +y +z 的平方根. 19.小明定义了一种新的运算,取名为⊗运算,按这种运算进行运算的算式举例如下:①(+4)⊗(+2)=+6;②(﹣4)⊗(﹣3)=+7;③(﹣5)⊗(+3)=﹣8;④(+6)⊗(﹣4)=﹣10;⑤(+8)⊗0=8;⑥0⊗(﹣9)=9.问题:(1)请归纳⊗运算的运算法则:两数进行⊗运算时, ;特别地,0和任何数进行⊗运算,或任何数和0进行⊗运算, .(2)计算:[(﹣2)⊗(+3)]⊗[(﹣12)⊗0]; (3)我们都知道乘法有结合律,这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗?请判断是否适用,并举例验证.20.比较大小:2-1(填“>”、“=”或“<”).21.已知a 、b |3|0b +=,则(a +b )2021的值为________.22的相反数是________的数是________23.定义一种新运算;观察下列各式;131437=⨯+=()3134111-=⨯-=5454424=⨯+= ()4344313-=⨯-=(1)请你想一想:a b = ;(2)若a b ,那么a b b a (填“=”或“≠” );(3)先化简,再求值:()()2a b a b -+,其中1a =-,2b =. 24.求下列各式中的x 的值(1)21(1)82x +=;(2)3(21)270x -+=25.比较3、4 _______________.(用“<”连接)26.若()22110a c --=,则a b c ++=__________.三、解答题27.求下列各式中的x 的值(1)21(1)82x +=;(2)3(21)270x -+=28.计算:3011(2)(200422-+--- 29.求下列各式中x 的值:(1)()214x -=;(2)3381x =-.30.(22-。

2019年中考数学专题复习第1讲《实数及有关概念》(含详细参考答案)

2019年中考数学专题复习第1讲《实数及有关概念》(含详细参考答案)

2019年中考数学精品专题复习第一章 数与式第一讲 实数及有关概念★★★核心知识回顾★★★知识点一、实数的分类 1.按实数的定义分类:⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎩⎪⎩整数有限小数或无限循环小数有理数实数:无限不循环小数 2.按实数的正负分类:⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正实数正无理数实数零负有理数负实数知识点二、实数的基本概念和性质1.数轴:规定了 、 、 的直线叫做数轴,实数和数轴上的点是一一对应的。

2.相反数:(1)只有 不同的两个数叫做互为相反数,a 的相反数是 ,0的相反数是 ; (2)a+b=0⇔a 、b 互为 ;(3)在数轴上,表示相反数的两个点位于原点两侧,且到原点的距离 。

3.倒数:(1)乘积为 的两个数互为倒数,用数学语言表述为:1ab =,则a ,b 互为 ; (2)1和 的倒数还是它本身, 没有倒数。

4.绝对值:(1)一般地,数轴上表示数a 的点与原点的 叫做数a 的绝对值。

(2)(0)||0(0)(0)a a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩(3)因为绝对值表示的是距离,所以一个数的绝对值是 数,我们学过的非负数有三个: 、 和 。

知识点三、平方根、算术平方根、立方根 1.平方根: (1)一般地,如果一个数的 等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根或二次方根,记作 ; (2)正数的平方根有两个,它们互为 ,0的平方根为 , 没有平方根。

2.算术平方根:(1)一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根,记作 ;(2)正数的算术平方根为 ,0的算术平方根为 。

3.立方根: (1)一般地,如果一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根或三次方根,记作 ; (2)正数的立方根为 , 0的立方根为 ,负数立方根为 ;每个实数有且只有一个立方根。

知识点四、科学记数法科学记数法:把一个较大或较小的数写成写成10na ⨯的形式(其中a 大于或等于1且小于10,n 是正整数),使用的是科学记数法。

重庆市第八中学七年级数学下册第六单元《实数》知识点总结(含答案)

重庆市第八中学七年级数学下册第六单元《实数》知识点总结(含答案)

一、选择题1.27(7)0y z ++-=,则x y z -+的平方根为( )A .±2B .4C .2D .±4D 解析:D【分析】根据绝对值,平方,二次根式的非负性求出x ,y ,z ,算出代数式的值计算即可;【详解】∵27(7)0y z ++-=,∴207070x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩,解得277x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,∴()27716x y z -+=--+=,∴4=±;故选:D .【点睛】本题主要考查了平方根的求解,结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键. 2.下列各式计算正确的是( )AB= ±2 C= ±2 D .A 解析:A【分析】根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可.【详解】解:∵-1= 2= 2,,故只有A 计算正确;故选:A .【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根和立方根,计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根.3.a ,小数部分为b ,则a-b 的值为()A.6-B6 C.8D8A解析:A【分析】先根据无理数的估算求出a 、b 的值,由此即可得.【详解】91516<<, 91516∴<<,即3154<<,3,153a b ∴==-,()3153615a b ∴-=--=-, 故选:A .【点睛】 本题考查了无理数的估算,熟练掌握估算方法是解题关键.4.有下列说法:①在1和2之间的无理数有且只有2,3这两个;②实数与数轴上的点一一对应;③两个无理数的积一定是无理数;④2π是分数.其中正确的为( ) A .①②③④B .①②④C .②④D .②D解析:D【分析】根据无理数的定义与运算、实数与数轴逐个判断即可得.【详解】①在1和2之间的无理数有无限个,此说法错误;②实数与数轴上的点一一对应,此说法正确;③两个无理数的积不一定是无理数,如222-⨯=-,此说法错误; ④2π是无理数,不是分数,此说法错误; 综上,说法正确的为②,故选:D .【点睛】 本题考查了无理数的定义与运算、实数与数轴,熟练掌握运算法则和定义是解题关键. 5.如图,数轴上表示实数5的点可能是( )A .点PB .点QC .点RD .点S B 解析:B【分析】5【详解】∵253<<,∴Q .故选:B .【点睛】6.各个数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫做“水仙花数”.例如153是“水仙花数”,因为333153153++=.以下四个数中是“水仙花数”的是( )A .135B .220C .345D .407D 解析:D【分析】分别算出某数各个数位上数字的立方和,看其是否等于某数本身,若等于即为“水仙花数”,若不等于,即不是“水仙花数” .【详解】解:∵333135153135++=≠,∴A 不是“水仙花数”;∵332216220+=≠,∴B 不是“水仙花数”;∵333345216345++=≠,∴C 不是“水仙花数”;∵3347407+=,∴D 是“水仙花数”;故选D .【点睛】本题考查新定义下的实数运算,正确理解题目所给概念并熟练应用实数运算法则去完成有关计算是解题关键.7.定义运算:132x y xy y =-※,若211a =-※,则a 的值为( ) A .12-B .12C .2-D .2C 解析:C 【分析】 根据新定义的运算得到关于a 的方程,求解即可.【详解】解:因为211a =-※, 所以132112a a ⨯-=-, 解得 2a =-.故选:C【点睛】本题考查了新定义的运算与一元一次方程,根据新定义运算得到一元一次方程是解题关键.8 )A .8B .8-C .D .± D解析:D【分析】8=,再根据平方根的定义,即可解答.【详解】8=,8的平方根是±故选:D .【点睛】8=.9.在223.14,, 5.12112111227π+--……中,无理数的个数为 ( ) A .5B .2C .3D .4D 解析:D【分析】根据无理数的概念逐一判断即可,其中无限不循环小数是无理数.【详解】3.14是有理数,2π是无理数,5===是无理数,0.1=-是有理数,2+227-是有理数, 5.121121112-……是无理数;故选D .【点睛】本题考查了无理数的概念,熟记无限不循环小数为无理数是本题的关键.10.在0,3π227, 6.1010010001…(相邻两个1之间0的个数在递增)中,无理数有( ). A .1个B .2个C .3个D .4个C解析:C【分析】先计算算术平方根,再根据无理数的定义即可得.【详解】 22 3.1428577=小数点后142857是无限循环的,则227是有理数,3=-,则因此,题中的无理数有3π 6.1010010001(相邻两个1之间0的个数在递增),共有3个,故选:C .【点睛】本题考查了无理数、算术平方根,熟记无理数的定义是解题关键.二、填空题11.计算:201()( 3.14)|22π---+-+5【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案【详解】解:原式=4﹣1++2=+5【点睛】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质正确化简各数.【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案.【详解】解:原式=4﹣1+.【点睛】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质,正确化简各数是解题关键.12.小明定义了一种新的运算,取名为⊗运算,按这种运算进行运算的算式举例如下:①(+4)⊗(+2)=+6;②(﹣4)⊗(﹣3)=+7;③(﹣5)⊗(+3)=﹣8;④(+6)⊗(﹣4)=﹣10;⑤(+8)⊗0=8;⑥0⊗(﹣9)=9.问题:(1)请归纳⊗运算的运算法则:两数进行⊗运算时, ;特别地,0和任何数进行⊗运算,或任何数和0进行⊗运算, .(2)计算:[(﹣2)⊗(+3)]⊗[(﹣12)⊗0]; (3)我们都知道乘法有结合律,这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗?请判断是否适用,并举例验证.(1)同号得正异号得负并把绝对值相加;都得这个数的绝对值;(2)﹣17;(3)适用举例验证见解析【分析】(1)根据示例得出两数进行⊗运算时同号得正异号得负并把绝对值相加特别地0和任何数进行⊗运算或任 解析:(1)同号得正,异号得负,并把绝对值相加;都得这个数的绝对值;(2)﹣17;(3)适用,举例验证见解析【分析】(1)根据示例得出,两数进行⊗运算时,同号得正,异号得负,并把绝对值相加.特别地,0和任何数进行⊗运算,或任何数和0进行⊗运算,都得这个数的绝对值;(2)根据⊗运算的运算法则进行计算即可;(3)举例即可做出结论.解:(1)根据示例得出,两数进行⊗运算时,同号得正,异号得负,并把绝对值相加; 特别地,0和任何数进行⊗运算,或任何数和0进行⊗运算,都得这个数的绝对值. 故答案为:同号得正,异号得负,并把绝对值相加;都得这个数的绝对值;(2)[(﹣2)⊗(+3)]⊗[(﹣12)⊗0]=(﹣5)⊗(+12)=﹣17;(3)结合律仍然适用.例如[(﹣3)⊗(﹣5)]⊗(+4)=(+8)⊗(+4)=+12,(﹣3)⊗[(﹣5)⊗(+4)]=(﹣3)⊗(﹣9)=+12,所以[(﹣3)⊗(﹣5)]⊗(+4)=12=(﹣3)⊗[(﹣5)⊗(+4).故结合律仍然适用.【点睛】本题考查了新定义下的有理数的加减运算,正确理解新定义运算法则是解题的关键. 13.求出x 的值:()23227x +=x =1或x =﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x+2的值然后解关于x 的一元一次方程即可【详解】解:∵3(x+2)2=27∴(x+2)2=9∴x+2=±3解得:x =1或x =﹣5【点睛】本题主要考查的是 解析:x =1或x =﹣5【分析】依据平方根的性质可得到x +2的值,然后解关于x 的一元一次方程即可.【详解】解:∵3(x +2)2=27,∴(x +2)2=9,∴x +2=±3,解得:x =1或x =﹣5.【点睛】本题主要考查的是平方根的性质,熟练掌握平方根的性质是解题的关键.14)10152-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭【分析】根据平方根定义负指数幂零指数幂特殊角的三角函数值计算即可;【详解】解:原式【点睛】本题主要考查了实数的运算结合负整数指数幂零指数幂特殊角的三角函数值计算是解题的关键 解析:32【分析】根据平方根定义、负指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算即可;【详解】解:原式33421421222=-+-=-+-=.本题主要考查了实数的运算,结合负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值计算是解题的关键.15.已知1x -的算术平方根是3,24x y ++的立方根也是3,求23x y -的值.11【分析】根据算术平方根和立方根的概念列出方程求出x 和y 代入求值即可【详解】解:∵的算术平方根是3∴∴∵的立方根是3∴即∴∴【点睛】本题考查算术平方根和立方根熟练掌握算术平方根与立方根的意义是解题解析:11【分析】根据算术平方根和立方根的概念列出方程求出x 和y ,代入求值即可.【详解】解:∵1x -的算术平方根是3,∴1=9x -,∴=10x ,∵24x y ++的立方根是3,∴24=27x y ++,即204=27y ++∴3y =,∴2320911x y -=-=.【点睛】本题考查算术平方根和立方根.熟练掌握算术平方根与立方根的意义是解题的关键.16.已知52a +的立方根是3,31a b +-的算术平方根是4,c 的整数部分. (1)求a ,b ,c 的值;(2)求3a b c -+的平方根.(1);(3)【分析】(1)利用立方根的意义算术平方根的意义无理数的估算方法求出abc 的值(2)将abc 的值代数式求出值后进一步求得平方根即可【详解】解:(1)∵的立方根是3的算术平方根是4∴∴;∵解析:(1)5a =,2b =,3c =;(3)4±【分析】(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法,求出a 、b 、c 的值.(2)将a 、b 、c 的值代数式求出值后,进一步求得平方根即可.【详解】解:(1)∵52a +的立方根是3,31a b +-的算术平方根是4,∴5227a +=,3116a b +-=,∴5a =,2b =; ∵34<<,c 的整数部分,∴3c =;(2)当5a =,2b =,3c =时,3152316a b c -+=-+=,16的平方根是4±∴3a b c -+的平方根是4±.【点睛】本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点,读懂题意,掌握解答顺序,正确计算即可.17.比较大小:2-1(填“>”、“=”或“<”).【分析】先估算出无理数的大小再进行比较即可【详解】解:∵1<2<4∴1<<2∴0<<1故答案为:<【点睛】此题考查实数的大小比较关键是估算出无理数的大小 解析:<【分析】的大小,再进行比较即可.【详解】解:∵1<2<4,∴1<2,∴0<21,故答案为:<【点睛】的大小.18.已知(25|50x y -++-=.(1)求x ,y 的值;(2)求xy 的算术平方根.(1);(2)【分析】(1)根据非负数的性质求解即可;(2)先求出xy 的值再根据算术平方根的定义求解【详解】解:(1)解得:;(2)的算术平方根为【点睛】本题考查了非负数的性质以及算术平方根的定义根解析:(1)5x =-5y =2【分析】(1)根据非负数的性质求解即可;(2)先求出xy 的值,再根据算术平方根的定义求解.【详解】解:(1)(250x -+≥,50y -≥,(2550x y -++--=,50x ∴-=,50y --=,解得:5x =5y =+(2)(5525322xy =-=-=,xy ∴.【点睛】本题考查了非负数的性质,以及算术平方根的定义,根据非负数的性质求出x ,y 的值是解答本题的关键.19.定义一种新运算;观察下列各式;131437=⨯+=()3134111-=⨯-=5454424=⨯+= ()4344313-=⨯-=(1)请你想一想:a b = ;(2)若a b ,那么a b b a (填“=”或“≠” );(3)先化简,再求值:()()2a b a b -+,其中1a =-,2b =.(1)4a+b ;(2);(3)6a-3b-12【分析】(1)观察得到新运算等于第一个数乘以4加上第二个数据此列式即可;(2)根据新运算分别计算出与即可得到答案;(3)根据新运算分别化简再将ab 的值代解析:(1)4a+b ;(2)≠;(3)6a-3b ,-12【分析】(1)观察得到新运算等于第一个数乘以4,加上第二个数,据此列式即可; (2)根据新运算分别计算出a b 与b a 即可得到答案; (3)根据新运算分别化简再将a 、b 的值代入计算. 【详解】(1)ab =4a+b , 故答案为:4a+b ; (2)a b =4a+b ,b a =4b+a , ∵a b , ∴a b ≠b a ,故答案为:≠;(3)()()2a b a b -+ =4(a-b )+(2a+b )=4a-4b+2a+b=6a-3b ,当1a =-,2b =时,原式=-6-6=-12.【点睛】此题考查新定义运算,整式的加减混合运算,正确理解新定义的运算规律并解决问题是解题的关键.20.规定一种关于a 、b 的新运算:2*2a b b ab a =+-+,那么()3*2-=______.【分析】根据新定义将3与-2代入原式求解即可【详解】故答案为:【点睛】本题考查了新定义运算把新定义运算转换成有理数混合运算是解题关键解析:3-【分析】根据新定义,将3与-2代入原式求解即可.【详解】()()()23*223232-=-+⨯--+461=-- 3=-.故答案为:3-.【点睛】本题考查了新定义运算,把新定义运算转换成有理数混合运算是解题关键.三、解答题21.一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a ,b ,c ,d ,如果a b c d ≤≤≤,那么我们把这个四位正整数叫做进步数,例如四位正整数2347:因为2347<<<,所以2347叫做进步数.(1)求四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”的差;(2)已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是1、4,且这个四位正整数是“进步数”,同时,这个四位正整数能被7整除,求这个四位正整数.解析:(1)8888;(2)1134 .【分析】(1)根据进步数的定义分别求出四位正整数中的最大“进步数”与最小“进步数”即可得解; (2)根据进步数的定义可以推得所求数为1114、1124、1134、1144中的某一个,再根据这个四位正整数能被7整除逐一对4个数进行验证可以得解 .【详解】解:(1)由进步数的定义可知四位正整数中最大的“进步数”应该是9999,又最高位不能为0,所以四位正整数中的千位最小为0,所以四位正整数中最小的“进步数”应该是1111,∴9999-1111=8888,∴四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”的差为8888;(2)由已知可得所求数的千位为1,十位为1-4中的某个数字,∴所求数为1114、1124、1134、1144中的某一个,∵这个四位正整数能被7整除,∴由1114=159×7+1,1124=160×7+4,1134=162×7,1144=163×7+3可知所求数为1134 .【点睛】本题考查新定义下的实数规律探索,由材料归纳出新定义并应用于具体问题求解是解题关键.22.计算:(1)7|2|--(2)23115422⎛⎫⎛⎫⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解析:(1)2;(2)5【分析】(1)先计算绝对值及开立方,再计算加减法;(2)先计算括号中的减法及乘方,再按顺序计算乘除法.【详解】解:(1)7|2|--=7-2-3=2; (2)23115422⎛⎫⎛⎫⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=15144⨯÷ =5.【点睛】 此题考查实数的混合运算,掌握运算法则及运算顺序是解题的关键.23.计算:(1)⎛- ⎝;(2|1--解析:(1;(2)12-【分析】(1)先去括号,再利用二次根式加减运算法则进行计算;(2)直接利用绝对值的性质和立方根的性质、二次根式的性质分别化简后再相加减即可;【详解】(1)⎛- ⎝=;(2|1--=914++-=1253-【点睛】考查了实数的运算,解题关键是掌握运算法则和运算顺序. 24.如图,一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ,点A 表示2-,设点B 所表示的数为m .(1)求11m m ++-的值;(2)在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ,且有2c d +4d +数,求23c d -的平方根.解析:(1)2;(2)±4【分析】(1)先求出m =22-,进而化简|m +1|+|m−1|,即可;(2)根据相反数和非负数的意义,列方程求出c 、d 的值,进而求出2c−3d 的值,再求出2c−3d 的平方根.【详解】(1)由题意得:m =22-,则m +1>0,m−1<0,∴|m +1|+|m−1|=m +1+1−m =2; (2)∵2c d +4d +∴2c d +4d +,∴|2c +d|=04d +0,解得:c =2,d =−4,∴2c−3d =16,∴2c−3d 的平方根为±4.【点睛】本题主要考查数轴、相反数的定义,求绝对值,掌握求绝对值的法则以及绝对值与算术平方根的非负性,是解题的关键.25.计算下列各题(1)38-163﹣2;(2)35﹣0.04(结果保留2位有效数字). 解析:(1)3;(2)2.6【分析】(1)计算立方根、平方根,再合并即可;(2)根据实数的运算法则和顺序计算即可.【详解】(1)(2)100.2=-⨯ 2 1.732 2.23622≈⨯+÷-2.6≈.【点睛】本题考查了平方根和立方根,熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.26.计算:(1()23-.(2)()21183⎤⎛⎫-⨯-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦. 解析:(1)11;(2)-10【分析】(1)首先计算乘方、开方,然后从左向右依次计算,求出算式的值是多少即可.(2)首先计算乘方、开方和括号里面的运算,然后计算括号外面的乘法,求出算式的值是多少即可.【详解】解:(1()23- 539=-+11=.(2)()21183⎤⎛⎫-⨯-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦ ()211839⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭ ()5189=⨯- 10=﹣.【点睛】此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.27.计算:(1)36 1.754⎛⎫--+ ⎪⎝⎭; (2)()()232524-⨯--÷;(3)()225--.解析:(1)182;(2)22;(3-1 【分析】(1)先去括号,同时将小数化为分数,再计算加减法;(2)先计算乘方,再计算乘除法,最后计算加减法;(3)先计算乘方和绝对值,再计算加减法.【详解】 (1)36 1.754⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=336144++ =182; (2)()()232524-⨯--÷=()4584⨯--÷=20+2=22;(3)()225--=4-()=【点睛】此题考查运算能力,掌握有理数的加减法计算法则,乘方的计算法则,实数的绝对值化简,有理数的混合运算法则是解题的关键.28.计算.(1)3218433⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭(2)178(4)4(5)-÷-+⨯-(3163⎫-⎪⎪⎭(4)223232 23⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解析:(1)354;(2)-1;(3)1-;(4)9.【分析】(1)运用乘法分配律去括号,再进行乘法运算,最后进行加减运算即可得到答案;(2)原式首先计算乘除法选辑减去息怒可;(3)原式首先化简算术平方根和立方根,再进行加减运算即可得到答案;(4)首先计算乘方运算,再计算括号内,最后算乘法即可得到答案.【详解】解:(1)3218433⎛⎫-⨯-+-⎪⎝⎭=33231(8)()()() 44343 -⨯-+-⨯+-⨯-=11 624 -+=354;(2)178(4)4(5)-÷-+⨯-=17+2-20=-1;(316 3⎫-⎪⎪⎭=115+()633-+-=5+0-6 =-1;(4)223232 23⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=34(92) 29-⨯-⨯-=3(42) 2-⨯--=3(6) 2-⨯-=9.【点睛】此题主要考查了实数的混合运算,熟练掌握运算法则是解答此题的关键.。

深圳市翠茵学校七年级数学下册第六单元《实数》知识点复习(含答案解析)

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一、选择题1.下列各式计算正确的是()A B= ±2 C= ±2 D. A解析:A【分析】根据平方根和立方根分别对四个选项进行计算即可.【详解】解:∵-1= 2= 2,,故只有A计算正确;故选:A.【点睛】本题考查的是平方根、算术平方根和立方根,计算的时候需要注意审题是求平方根还是算术平方根.2.在实数,-3.14,0,π中,无理数有()A.1个B.2个C.3个D.4个B解析:B【分析】根据无理数的三种形式:①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,进行判断即可.【详解】=4,所给数据中无理数有:π,共2个.故选:B.【点睛】本题考查了无理数的知识,解答本题的关键是掌握无理数的三种形式.3.下列命题中,①81的平方根是9;±2;③−0.003没有立方根;④−64的立方根为±4;)A.1 B.2 C.3 D.4A解析:A【分析】根据平方根的定义对①②进行判断;根据立方根的定义对③④进行判断;根据命题的定义对⑤进行判断.【详解】解:81的平方根是±9,所以①错误;±2,所以②正确;-0.003有立方根,所以③错误;−64的立方根为-4,所以④错误;5不符合命题定义,所以⑤正错误.故选:A.【点睛】本题考查了立方根和平方根的应用,主要考查学生的辨析能力,题目比较典型,但是一道比较容易出错的题目.4.如图,数轴上表示实数5的点可能是()A.点P B.点Q C.点R D.点S B解析:B【分析】5【详解】∵253<<,∴5Q.故选:B.【点睛】55.3409215中,是无理数的是()A34B.0 C9D.21 5A解析:A【分析】根据无理数是无限不循环小数,可得答案.【详解】34,0921534,故选:A.【点睛】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.681)A.3 B.﹣3 C.±3 D.6A解析:A【分析】9,再利用算术平方根的定义求出答案.【详解】∵9,∴3,故选:A.【点睛】.7.在下列各数中是无理数的有()0.111-43π,3.1415926,2.010101(相邻两个0之间有1个1),76.0102030405060732A.3个B.4个C.5个D.6个B解析:B【分析】根据无理数是无限不循小数,可得答案.【详解】3π,76.0102030405060732故选:B.【点睛】本题考查了无理数,无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.8.和数轴上的点一一对应的数是()A.自然数B.有理数C.无理数D.实数D解析:D【分析】根据实数与数轴上的点是一一对应关系,即可得出.【详解】解:根据实数与数轴上的点是一一对应关系.故选:D.【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系,任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之,数轴上的任意一个点都表示一个实数.9.下列实数是无理数的是()A. 5.1-B.0C.1D.πD解析:D【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.【详解】解:A 、 5.1-是分数,是有理数,故选项不符合题意;B 、0是整数,是有理数,故选项不符合题意;C 、1是整数,是有理数,故选项不符合题意;D 、π是无理数,故选项符合题意.故选:D .【点睛】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.10.下列各数中是无理数的是( )A .227B .1.2012001C .2πD 解析:C【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.【详解】解:A 、227分数,是有理数,选项不符合题意; B 、1.2012001是有理数,选项不符合题意; C 、2π是无理数,选项符合题意;D ,9是整数是有理数,,选项不符合题意.故选:C .【点睛】此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.二、填空题11.计算:(1)(23)(41)----;(2)1111115()13()3()555-⨯-+⨯--⨯-;(3)2(2)|1|-+; (4)311()()(2)424-⨯-÷-.(1)4;(2)-11;(3);(4)【分析】(1)直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案;(2)逆用分配律直接提取公因数-进而计算得出答案;(3)直接利用绝对值和立方根的性质分别化简得出答案;(解析:(1)4;(2)-11;(3;(4)16-. 【分析】 (1)直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案;(2)逆用分配律,直接提取公因数-115,进而计算得出答案; (3)直接利用绝对值和立方根的性质分别化简得出答案;(4)直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案.【详解】解:(1)(23)(41)---- 15=-+4=;(2)原式11()(5133)5=-⨯-+- 1155=-⨯ 11=-;(3)原式413=+-=(4)原式314429=-⨯⨯ 16=-. 【点睛】本题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题的关键.12.对于有理数,a b ,我们规定*a b b ab =-(1)求(2)*1-的值.(2)若有理数x 满足(2)*36x -=,求x 的值.(1)3;(2)【分析】(1)由新定义的运算法则进行计算即可得到答案;(2)由新定义列出方程解方程即可得到答案【详解】解:∵∴;(2)由题意则∵∴解得:【点睛】本题考查了一元一次方程新定义的运算法则解析:(1)3;(2)1x =.【分析】(1)由新定义的运算法则进行计算,即可得到答案;(2)由新定义列出方程,解方程即可得到答案.【详解】解:∵*a b b ab =-,∴(2)*11(2)1123-=--⨯=+=;(2)由题意,则∵(2)*36x -=,∴(2)*333(2)6x x -=--=,解得:1x =.【点睛】本题考查了一元一次方程,新定义的运算法则,解题的关键是掌握运算法则进行解题. 13.计算.(1)3218433⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭(2)178(4)4(5)-÷-+⨯-(3163⎫-⎪⎪⎭(4)22323223⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(1);(2)-1;(3);(4)9【分析】(1)运用乘法分配律去括号再进行乘法运算最后进行加减运算即可得到答案;(2)原式首先计算乘除法选辑减去息怒可;(3)原式首先化简算术平方根和立方根再进行加解析:(1)354;(2)-1;(3)1-;(4)9. 【分析】(1)运用乘法分配律去括号,再进行乘法运算,最后进行加减运算即可得到答案; (2)原式首先计算乘除法选辑减去息怒可;(3)原式首先化简算术平方根和立方根,再进行加减运算即可得到答案;(4)首先计算乘方运算,再计算括号内,最后算乘法即可得到答案.【详解】解:(1)3218433⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭ =33231(8)()()()44343-⨯-+-⨯+-⨯- =11624-+ =354; (2)178(4)4(5)-÷-+⨯-=17+2-20=-1;(3)311256273⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭=115+()633-+-=5+0-6=-1;(4)22323223⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =34(92)29-⨯-⨯- =3(42)2-⨯-- =3(6)2-⨯-=9. 【点睛】此题主要考查了实数的混合运算,熟练掌握运算法则是解答此题的关键.14.如图,A ,B ,C 在数轴上对应的点分别为a ,1-,2,其中1a <-,且AB BC =,则a =_______.【分析】根据题意先求出BC 的长度然后求出a 的值即可得到答案【详解】解:根据题意∴∵∴∴∴;故答案为:【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义解题的关键是掌握数轴的定义正确的求出a 的值解析:22+【分析】根据题意,先求出BC 的长度,然后求出a 的值,即可得到答案.【详解】解:根据题意,2(1)21BC =-=,∴21AB BC ==, ∵1AB a =--, ∴121a --=,∴22a =-∴2222a =-=;故答案为:2+【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离,以及绝对值的意义,解题的关键是掌握数轴的定义,正确的求出a 的值.15.27-的立方根是______________________;| 3.14|π-的绝对值是___________.-3±3π-314【分析】直接利用立方根以及平方根绝对值的性质分别分析得出答案【详解】解:∵∴-27的立方根是:-3;∵9的平方根是:±3;∴的平方根是:±3;∵|π-314|=π-314π-314解析:-3 ±3 π-3.14.【分析】直接利用立方根以及平方根、绝对值的性质分别分析得出答案.【详解】解:∵3(3)27-=-∴-27的立方根是:-3; ∵9的平方根是:±3; ∴±3;∵|π-3.14|=π-3.14,π-3.14的绝对值是:π-3.14∴|π-3.14|的绝对值是:π-3.14.故答案为:-3;±3;π-3.14.【点睛】此题主要考查了实数的性质,正确掌握相关定义是解题关键.16.把下列各数填在相应的横线里:3,0,10%,﹣112,﹣|﹣12|,﹣(﹣5),2π,0.6,127,0.101001000… 整数集合:{_____________…};分数集合:{_____________…};无理数集合:{_____________…};非负有理数集合{_____________…}.30﹣|﹣12|﹣(﹣5)10﹣100101001000…3010﹣(﹣5)0【分析】按照有理数的分类填写【详解】解:整数集合:(30﹣|﹣12|﹣(﹣5)…);分数集合:(10﹣10);无理数集合解析:3,0,﹣|﹣12|,﹣(﹣5) 10%,﹣112,0.6⋅,127 2π,0.101001000… 3,0,10%,﹣(﹣5),0.6⋅,127【分析】按照有理数的分类填写.【详解】解:整数集合:( 3,0,﹣|﹣12|,﹣(﹣5)…);分数集合:( 10%,﹣112,0.6⋅,127); 无理数集合:( 2π,0.101001000…); 非负有理数集合( 3,0,10%,﹣(﹣5),0.6⋅,127).故答案为:3,0,﹣|﹣12|,﹣(﹣5);10%,﹣112,0.6⋅,127;2π,0.101001000;3,0,10%,﹣(﹣5),0.6⋅,127. 【点睛】 本题考查了有理数的分类.认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点.17.若求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方,如()()()()2223333÷÷-÷-÷-÷-,等。

北京市山谷学校七年级数学下册第六单元《实数》知识点总结(含解析)

北京市山谷学校七年级数学下册第六单元《实数》知识点总结(含解析)

一、选择题1.给出下列各数①0.32,②227,③π,④5,⑤0.2060060006(每两个6之间依次多个0),⑥327,其中无理数是()A.②④⑤B.①③⑥C.④⑤⑥D.③④⑤2.如图,数轴上O、A、B、C四点,若数轴上有一点M,点M所表示的数为m,且5m m c-=-,则关于M点的位置,下列叙述正确的是()A.在A点左侧B.在线段AC上C.在线段OC上D.在线段OB上3.在实数3,-3.14,0,π364中,无理数有()A.1个B.2个C.3个D.4个416)A.2 B.4 C.2±D.-45.下列说法正确的是()A.2-是4-的平方根B.2是()22-的算术平方根C.()22-的平方根是2D.8的平方根是46.3409215中,是无理数的是()A34B.0 C9D.21 57.定义运算:132x y xy y=-※,若211a=-※,则a的值为()A.12-B.12C.2-D.28.已知n是正整数,并且n-1<326+<n,则n的值为()A.7 B.8 C.9 D.10 9.81的平方根是()A.9 B.-9 C.9和9-D.81 10.下列选项中,属于无理数的是()A.πB.227-C4D.011.下列说法中,错误的有()①符号相反的数与为相反数;②当0a ≠时,0a >;③如果a b >,那么22a b >;④数轴上表示两个有理数的点,较大的数表示的点离原点较远;⑤数轴上的点不都表示有理数.A .0个B .1个C .2个D .3个 12.实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,且||||b a >,则化简233||()a a b b -++-的结果是( )A .2aB .2bC .22a b +D .013.下列各数中,属于无理数的是( )A .227B .3.1415926C .2.010010001D .π3- 14.下列各组数中都是无理数的为( )A .0.07,23,π;B .0.7•,π2;C 26,π;D .0.1010101……101,π315.511的值在( )A .5~6之间B .6~7之间C .7~8之间D .8~9之间二、填空题16.已知31a +的算数平方根是4,421c b +-的立方根是3,c 1322a b c +-的平方根.17.先化简,再求值:()222233a ab a ab ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,其中|2|a +3b - 18.计算:(1223168(2)(3)--(2)22(2)8x -=19.111111133557792017201920192021++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 20.计算:(1)20193(1)816|22|-(2)[(x ﹣2y )2+(x ﹣2y )(x +2y )﹣2x (2x ﹣y )]÷2x21.在实数的原有运算法则中,我们补充新运算法则“*”如下:当a≥b 时,a*b=b 2,当a<b 时,a*b=a ,则当2时,()()1*-3*=x x x ______22.若a ,b 11的整数部分和小数部分,则a-b 的值为__.23.求下列各式中的x :(1)2940x -=;(2)3(1)8x -=24.阅读下列信息材料信息1:因为尤理数是无限不循环小数,因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如:π“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确;信息2:2.5的整数部分是2,小数部分是0.5,可以看成2.52-得来的;信息3:任何一个无理数,都可以夹在两个相邻的整数之间,如23<<,是因为<;根据上述信息,回答下列问题:(1___________,小数部分是______________;(2)若2122a <<,则a 的整数部分是___________;小数部分可以表示为_______;(3)10+10a b <则a b +=______;(43x y =+,其中x 是整数,且01y <<,请求x y -的相反数.25.下列实数0, 23,π,0.1010010001其中无理数共有___个. 26.正方形面积为21.2cm ,则边长为_______cm .三、解答题27.计算:(1)﹣12﹣(﹣2)(21)+2|28.129.计算:3011(2)(200422-+--- 30.计算:(1(2)0(0)|2|π--(3)解方程:4x 2﹣9=0.。

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【答案】A
【解析】
【分析】
由于 ,于是 ,10与9的距离小于16与10的距离,可得答案.
【详解】
由于 ,于是 ,10与9的距离小于16与10的距离,可得答案.
解:∵ ,
∴ ,
10与9的距离小于16与10的距离,
∴与 最接近的是3.
故选:A.
【点睛】
本题考查了无理数的估算,解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.
【答案】B
【解析】
分析:直接利用2< <3,进而得出答案.
详解:∵2< <3,
∴3< +1<4,
故选B.
点睛:此题主要考查了估算无理数的大小,正确得出 的取值范围是解题关键.
10.若 则 的值是()
A.2 B、1 C、0 D、
【答案】B
【解析】
试题分析:由题意得,3﹣a=0,2+b=0,解得,a=3,b=﹣2,a+b=1,故选B.
【详解】

∴25的算术平方根是:5.
故答案为:5.
【点睛】
本题考查了算术平方根,熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
19.估计 的值是在()
A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间
【答案】B
【解析】
解:由于16<19<25,所以4< <5,因此6< +2<7.故选B.
点睛:本题主要考查了估算无理数的大小的能力,现实生活中经常需要估算,估算应是我们具备的数学能力,“夹逼法”是估算的一般方法,也是常用方法.
4.在-3.5, ,0, ,- ,- ,0.161161116…(相邻两个6之间依次多一个1)中,无理数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
【分析】
有理数能写成有限小数和无限循环小数,而无理数只能写成无限不循环小数,据此判断出无理数有哪些即可.
【详解】
∵-3.5是有限小数,− =-0.1,
∵ ,
∴ ,即4<丙<5,
∴乙 甲 丙;
故选:C.
【点睛】
本题考查了实数比较大小,以及无理数的估算,解题的关键是熟练掌握无理数的估算,以及比较大小的法则.
18.25的算数平方根是
A. B.±5C. D.5
【答案】D
【解析】
【分析】
一个正数的平方根有2个,且这两个互为相反数,而算数平方根只有一个且必须是正数,特别地,我们规定0的算术平方根是0负数没有算术平方根,但i的平方是-1,i是一个虚数,是复数的基本单位.
14.已知下列结论:
①在数轴上的点只能表示无理数;②任何一个无理数都能用数轴上的点表示;③实数与数轴上的点一一对应;④有理数有无限个,无理数有有限个.其中正确的结论是()
A.①②B.②③C.③④D.②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据实数与数轴的关系,有理数是无限循环小数或有限小数,无理数是无限不循环小数,可得答案.
5.下列说法:①实数和数轴上的点是一一对应的;②无理数是开方开不尽的数;③负数没有立方根;④16的平方根是±4,用式子表示是 =±4;⑤某数的绝对值,相反数,算术平方根都是它本身,则这个数是0,其中错误的是( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】D
【解析】
【详解】
①实数和数轴上的点是一一对应的,正确;
【详解】
解:①数轴上的点表示实数,故①错误;
②任何一个无理数都能用数轴上的点表示,故②正确;
③实数与数轴上的点一一对应,故③正确;
④有理数有无限个,无理数有无限个,故④错误;
故选:B.
【点睛】
本题考查了实数与数轴,实数与数轴上的点一一对应,掌握实数与数轴的关系是解题的关键.
15.下列说法正确的是()
考点:1.非负数的性质:算术平方根;2.非负数的性质:绝对值.
11.若a 3,则估计a的值所在的范围是( )
A.1<a<2B.2<a<3C.3<a<4D.4<a<5
【答案】B
【解析】
【分析】
应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断出所求的无理数的范围即可求解.
【详解】
∵25<30<36,
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理算出AC的长度,进而得到AE的长度,再根据A点表示的数是-1,可得E点表示的数.
【详解】


∴ =
∵ 点表示的数是
∴ 点表示的数是
【点睛】
掌握勾股定理;熟悉圆弧中半径不变性.
9.估计 +1的值在( )
A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间
【点睛】
本题考查实数,平面内直线的位置;牢记概念和性质,能够灵活理解概念性质是解题的关键.
2.如图,M、N、P、Q是数轴上的四个点,这四个点中最适合表示 ﹣1的点是( )
A.点MB.点NC.点PD.点Q
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出 的范围,再求出 的范围,即可得出答案.
【详解】
解:∵
∴据方程组解出x和y的值,代入新定义计算即可得出答案.
【详解】
解:∵

所以 .
故选:D.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法,解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则,本题属于基础题型.
8.如图,长方形 的边 长为 , 长为 ,点 在数轴上对应的数是 ,以 点为圆心,对角线 长为半径画弧,交数轴于点 ,则这个点 表示的实数是()
A.a的平方根是±
B.a的立方根是
C. 的平方根是0.1
D.
【答案】B
【解析】
试题解析:A、当a≥0时,a的平方根为± ,故A错误;
B、a的立方根为 ,本B正确;
C、 =0.1,0.1的平方根为± ,故C错误;
D、 =|-3|=3,故D错误,
故选B.
16.下列整数中,与 最接近的整数是( ).
A.3B.4C.5D.6
∴-3.5、- 是有理数;
∵ =22÷7= 是循环小数,
∴ 是有理数;
∵0是整数,
∴0是有理数;
∵ ,- ,0.161161116…都是无限不循环小数,
∴ ,- ,0.161161116…都是无理数,
∴无理数有3个: ,- ,0.161161116….
故选C.
【点睛】
此题主要考查了无理数和有理数的特征和区别,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:有理数能写成有限小数和无限循环小数,而无理数只能写成无限不循环小数.
【答案】D
【解析】
∵一正数的两个平方根分别是2a−1与−a+2,
∴(2a−1)+(−a+2)=0,
解得a=−1.
∴−a+2=1+2=3,
∴这个正数为32=9.
故选:D.
13.已知: 表示不超过 的最大整数.例: , .记 ( 是正整数).例: .则下列结论正确的个数是()
(1) ;(2) ;(3) ;(4) 或1.
17.已知甲、乙、丙三个数,甲 ,乙 ,丙 ,则甲、乙、丙之间的大小关系,下列表示正确的是().
A.甲 乙 丙B.丙 甲 乙C.乙 甲 丙D.甲 丙 乙
【答案】C
【解析】
【分析】
由无理数的估算,得到 , , ,然后进行判断,即可得到答案.
【详解】
解:∵ ,
∴ ,即3<甲<4,
∵ ,
∴ ,即1<乙<2,
实数知识点总复习含答案解析
一、选择题
1.下列五个命题:
①如果两个数的绝对值相等,那么这两个数的平方相等;
②内错角相等;
③在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
④两个无理数的和一定是无理数;
⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
其中真命题的个数是()
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】B
②无理数是开方开不尽的数,错误;
③负数没有立方根,错误;
④16的平方根是±4,用式子表示是± =±4,错误;
⑤某数的绝对值,相反数,算术平方根都是它本身,则这个数是0,正确.
错误的一共有3个,故选D.
6.在 ,﹣1,0, ,这四个数中,最小的实数是( )
A. B.﹣1C.0D.
【答案】B
【解析】
【分析】
20.如图,数轴上表示实数 的点可能是( )
A.点PB.点QC.点RD.点S
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图示,判断出 在哪两个整数之间,即可判断出数轴上表示实数 的点可能是哪个.
【详解】
∵1< <2,
∴数轴上表示实数 的点可能是点P.
故选A.
【点睛】
此题主要考查了在数轴上表示数的方法,以及数轴的特征:一般来说,当数轴方向朝右时,右边的数总比左边的数大,要熟练掌握.
故选D.
【点睛】
本题考查估算无理数的大小,实数与数轴.一般用夹逼法估算无理数.
3.规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分,例如:[ ]=0,[3.14]=3.按此规定[ +1]的值为()
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解:根据 ,则 ,即 ,根据题意可得: .
考点:无理数的估算
将四个数按照从小到大顺序排列,找出最小的实数即可.
【详解】
四个数大小关系为: ,
则最小的实数为 ,
故选B.
【点睛】
此题考查了实数大小比较,将各数按照从小到大顺序排列是解本题的关键.
7.对于实数 、 定义运算“ ”: ,例如 ,若 , 是方程组 的解,则y x等于()
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