因式分解培优题(超全面、详细分类)

因式分解专题培优

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：

因式分解的一般方法及考虑顺序：

1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．

2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．

3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．

一、运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；

(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．

下面再补充几个常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；

(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；

(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；

(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例题1 分解因式：

(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；

(2)x3－8y3－z3－6xyz；

(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；

(4)a7－a5b2+a2b5－b7．

例题2 分解因式：a 3+b 3+c 3－3abc ．

例题3 分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x +1．

对应练习题 分解因式：

2211(1)94n n x x y +-+；

(2) x 10+x 5－2

422332223(3)244(4)4x x y xy x y y x y --+++

(4) (x 5+x 4+x 3+x 2+x +1)2－x 5

(5) 9(a -b )2+12(a 2-b 2)+4(a +b )2

(6) (a -b )2-4(a -b -1)

（7）(x +y )3+2xy (1－x －y )－1

二、分组分解法

（一）分组后能直接提公因式

例题1 分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.

例题2 分解因式：bx by ay ax -+-5102

对应练习题 分解因式：

1、bc ac ab a -+-2

2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式

例题3 分解因式：ay ax y x ++-22

例题4 分解因式：2222c b ab a -+-

对应练习题 分解因式：

3、y y x x 3922---

4、yz z y x 22

22---

综合练习题 分解因式：

（1）3

223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22

（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-

（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--

（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a

（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+

（11）

abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）432234232.a a b a b ab b ++++

（13）22)()(bx ay by ax -++ （14）333333333)(y x x z z y z y x xyz ---++

（15）a a x ax x -++-2242 （16）a x a x x 2)2(323-++-

（17）)53(4)3()1(33+-+++x x x

三、十字相乘法

1、十字相乘法

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2

q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和. 例题1 分解因式：652++x x

例题2 分解因式：672+-x x

对应练习题 分解因式：

(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x

(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——2ax bx c ++

条件：（1）21a a a = 1a 1c

（2）21c c c = 2a 2c

（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=

分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++

例题3 分解因式：101132+-x x

对应练习题 分解因式：

（1）6752-+x x （2）2732

+-x x

（3）317102+-x x （4）101162++-y y