2013广西省贵港市中考数学试题及答案Word解析版

广西贵港市2013年中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）（2013•贵港）﹣3的绝对值是（）
B．C．﹣3 D．3
A．
﹣
考点：绝对值．
分析：根据绝对值的性质计算即可得解．
解答：解：﹣3的绝对值是3，
即|﹣3|=3．
故选D．
点评：本题考查了绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数．
2．（3分）（2013•贵港）纳米是非常小的长度单位，1纳米=10﹣9米．某种病菌的长度约为50纳米，用科学记数法表示该病菌的长度，结果正确的是（）
A．5×10﹣10米B．5×10﹣9米C．5×10﹣8米D．5×10﹣7米
考点：科学记数法—表示较小的数．
分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答：解：50纳米=50×10﹣9米=5×10﹣8米．
故选C．
点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2013•贵港）下列四种调查：
①调查某班学生的身高情况；
②调查某城市的空气质量；
③调查某风景区全年的游客流量；
④调查某批汽车的抗撞击能力．
其中适合用全面调查方式的是（）
A．①B．②C．③D．④
考点：全面调查与抽样调查．
分析：调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
解答：解：①调查某班学生的身高情况，由于人数少，范围小，可以采用全面调查的方式，故选项正确；
②调查某城市的空气质量，由于工作量大，不便于检测，采用抽样调查，故选项错误；
③调查某风景区全年的游客流量，由于人数多，工作量大，采用抽样调查，故选项错误；
④调查某批汽车的抗撞击能力，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故选项错误．
故选A．
点评：本题主要考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，难度适中．
4．（3分）（2013•贵港）下列四个式子中，x的取值范围为x≥2的是（）
A．B．C．D．
考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
分析：根据分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数分别进行分析即可．
解答：解：A、x﹣2≥0，且x﹣2≠0，解得：x＞2，故此选项错误；
B、x﹣2＞0，解得：x＞2，故此选项错误；
C、x﹣2≥0，解得x≥2，故此选项正确；
D、2﹣x≥0，解得x≤2，故此选项错误；
故选：C．
点评：此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，题目比较基础．
5．（3分）（2013•贵港）下列计算结果正确的是（）
A．3a﹣（﹣a）=2a B．a3×（﹣a）2=a5C．a5÷a=a5D．（﹣a2）3=a6
考点：同底数幂的除法；整式的加减；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
专题：计算题．
分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解答：解：A、由于3a+a=4a≠2a，故本选项错误；
B、由于a3×（﹣a）2=a3×a2=a5，故本选项正确；
C、由于a5÷a=a5﹣1=a4≠a5，故本选项错误；
D、由于（﹣a2）3=﹣a6，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
6．（3分）（2013•贵港）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“共”字一面的相对面上的字是（）
A．美B．丽C．家D．园
考点：专题：正方体相对两个面上的文字．
分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解答：解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“共”与“园”是相对面，
“建”与“丽”是相对面，
“美”与“家”是相对面．
故选D．
点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答
问题．
7．（3分）（2013•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（）
B．若a＞b，则am＞bm
A．
若，则a=m
C．两个等腰三角形必定相似D．位似图形一定是相似图形
考点：命题与定理
分析：根据二次根式的性质，不等式的基本性质，相似三角形与相似图形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：
解：A、若=m，则|a|=m，故本选项错误；
B、若a＞b，m＞0，则am＞bm，故本选项错误；
C、两个等腰三角形两腰对应成比例，夹角顶角不一定相等，所以两三角形不一定相似，故本选项
错误；
D、位似图形一定是相似图形是真命题，故本选项正确．
故选D．
点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．（3分）（2013•贵港）关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（）
A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m≥﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
考点：分式方程的解．
分析：
由题意分式方程的解为负数，解方程求出方程的解x，然后令其小于0，解出m的范围．注意最简公分母不为0．
解答：解：方程两边同乘（x+1），得m=﹣x﹣1
解得x=﹣1﹣m，
∵x＜0，
∴﹣1﹣m＜0，
解得m＞﹣1，
又x+1≠0，
∴﹣1﹣m+1≠0，
∴m≠0，
即m＞﹣1且m≠0．
故选B．
点评：此题主要考查分式的解，关键是会解出方程的解，此题难度中等，容易漏掉隐含条件最简公分母不为0．
9．（3分）（2013•贵港）如图，直线a∥b，直线c与a、b都相交，从所标识的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5这五个角中任意选取两个角，则所选取的两个角互为补角的概率是（）
A．B．C．D．
考点：列表法与树状图法；平行线的性质
分析：首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与所选取的两个角互为补角的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：列表得：
5 （1，5）（2，5）（3，5）（4，5）﹣
4 （1，4）（2，4）（3，4）﹣（5，4）
3 （1，3）（2，3）﹣（4，3）（5，3）
2 （1，2）﹣（3，2）（4，2）（5，2）
1 ﹣（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）
1 2 3 4 5
∵共有20种等可能的结果，所选取的两个角互为补角的有12种情况，
∴所选取的两个角互为补角的概率是：=．
故选A．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
10．（3分）（2013•贵港）如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为θ，且sinθ=，则该圆锥的侧面积是（）
A．24B．24πC．16πD．12π
考点：圆锥的计算．
专题：计算题．
分析：先根据正弦的定义计算出圆锥的半径=2，然后根据扇形的面积公式进行圆锥的侧面积．
解答：
解：∵sinθ=，母线长为6，
∴圆锥的底面半径=×6=2，
∴该圆锥的侧面积=×6×2π•2=12π．
故选D．
点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11．（3分）（2013•贵港）如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y=﹣上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（）
A．y=x B．y=x+1 C．y=x+2 D．y=x+3
考点：反比例函数综合题．
专题：综合题．
分析：先把A点坐标和B点坐标代入反比例函数进行中可确定点A的坐标为（﹣3，1）、B点坐标为（﹣1，3），再作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，根据对称的性质得到C点坐标为（﹣3，﹣1），D点坐标为（1，3），CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ的周长最小，然后利用待定系数法确定PQ的解析式．
解答：
解：分别把点A（a，1）、B（﹣1，b）代入双曲线y=﹣得a=﹣3，b=3，则点A的坐标为（﹣3，1）、B点坐标为（﹣1，3），
作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点坐标为（﹣3，﹣1），D点坐标为（1，3），
连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（﹣3，﹣1），D（1，3）分别代入，
解得，
所以直线CD的解析式为y=x+2．
故选C．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的
解析式；熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题．
12．（3分）（2013•贵港）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；
②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；矩形的性质
分析：由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF；
易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN；
易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；
易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，
由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF=MF，
∴DF=CF；故①正确；
∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，
∴∠BFM=∠BFC，
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，
∴∠BFE=∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN=180°，
∴∠BFE=90°，
即BF⊥EN，故②正确；
∵在△DEF和△CNF中，
，
∴△DEF≌△CNF（ASA），
∴EF=FN，
∴BE=BN，
但无法求得△BEN各角的度数，
∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；
∵∠BEM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM=BC=AD=2DE=2EM，
∴BM=3EM，
∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；
故④正确．
故选B．
点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2013•贵港）若超出标准质量0.05克记作+0.05克，则低于标准质量0.03克记作﹣0.03克．
考点：正数和负数
分析：首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
解答：解：超出标准质量0.05克记作+0.05克，则低于标准质量0.03克记作﹣0.03克．故答案为：﹣0.03．
点评：此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
14．（3分）（2013•贵港）分解因式：3x2﹣18x+27=3（x﹣3）2．
考点：提公因式法与公式法的综合运用
分析：先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．
解答：解：3x2﹣18x+27，
=3（x2﹣6x+9），
=3（x﹣3）2．
故答案为：3（x﹣3）2．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
15．（3分）（2013•贵港）若一组数据1，7，8，a，4的平均数是5、中位数是m、极差是n，则m+n=12．
考点：极差；算术平均数；中位数
分析：首先根据平均数为5，算出a的值，然后根据极差、中位数的定义分别求出m，n的值，最后求m+n 即可．
解答：解：∵平均数为5，
∴=5，
解得：a=5，
这组数据按从小到大的顺序排列为：1，4，5，7，8，
则中位数为：5，
极差为：8﹣1=7，
即m=5，n=7，
则m+n=12．
故答案为：12．
点评：本题考查了平均数、极差、中位数的知识，属于基础题，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．
16．（3分）（2013•贵港）如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB=2，OH=1，则∠APB的度数是60°．
考点：垂径定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值．
专题：探究型．
分析：连接OA，OB，先根据锐角三角函数的定义求出∠AOH的度数，故可得出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可得出结论．
解答：解：连接OA，OB，
∵OH⊥AB，AB=2，
∴AH=AB=，
∵OH=1，
∴tan∠AOH===．
∴∠AOH=60°，
∴∠AOB=∠AOH=120°，
∴∠APB=∠AOB=×120°=60°．
故答案为：60°．
点评：本题考查的是垂径定理及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键．
17．（3分）（2013•贵港）如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE=2．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题：计算题．
分析：连结FD，根据等边三角形的性质由△ABC为等边三角形得到AC=AB=6，∠A=60°，再根据点D、
E、F分别是等边△ABC三边的中点，则AD=BD=AF=3，DP=2，EF为△ABC的中位线，于是可
判断△ADF为等边三角形，得到∠FDA=60°，利用三角形中位线的性质得EF∥AB，EF=AB=3，
根据平行线性质得∠1+∠3=60°；又由于△PQF为等边三角形，则∠2+∠3=60°，FP=FQ，所以
∠1=∠2，然后根据“SAS”判断△FDP≌△FEQ，所以DF=QE=2．
解答：解：连结FD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=6，∠A=60°，
∵点D、E、F分别是等边△ABC三边的中点，AB=6，PB=1，
∴AD=BD=AF=3，DP=DB﹣PB=3﹣1=2，EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF=AB=3，△ADF为等边三角形，
∴∠FDA=60°，
∴∠1+∠3=60°，
∵△PQF为等边三角形，
∴∠2+∠3=60°，FP=FQ，
∴∠1=∠2，
∵在△FDP和△FEQ中
，
∴△FDP≌△FEQ（SAS），
∴DF=QE，
∵DF=2，
∴QE=2．
故答案为2．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；
全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
18．（3分）（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=﹣n始终保持相切，则n=（用含a的代数式表示）．
考点：二次函数综合题
分析：设P（m，am2）．如图，连接PF．设⊙P与直线y=﹣n相切于点E，连接PE．根据题意知PE、PF 是⊙P的半径，所以利用两点间的距离公式得到=am2+n，通过化简即可求得
n的值．
解答：解：如图，连接PF．设⊙P与直线y=﹣n相切于点E，连接PE．则PE⊥AE．
∵动点P在抛物线y=ax2上，
∴设P（m，am2）．
∵⊙P恒过点F（0，n），
∴PF=PE，即=am2+n．
∴n=．
故答案是：．
点评：本题考查了二次函数综合题，此题涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离等知识点．根据题意得到PF是⊙P的半径是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分。

解答应写出额文字说明、证明过程或演算步骤。

）19．（10分）（2013•贵港）（1）计算：﹣2cos60°；
（2）先化简：（），再选择一个恰当的x值代入求值．
考点：分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
专题：计算题．
分析：（1）根据算术平方根的定义，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，任何非0数的零次幂等于1，60°角的余弦等于进行计算即可得解；
（2）先把括号里面的通分并计算，再把除式的分母分解因式并把除法转化为乘法，约分后选择一
个x值代入进行计算即可得解．
解答：
解：（1）﹣（）﹣1+（2﹣）0﹣2cos60°
=3﹣2+1﹣2×
=3﹣2+1﹣1
=1；
（2）（﹣1）÷
=÷
=•
=1﹣x，
要使分式有意义，则（x+1）（x﹣1）≠0，x≠0，
解得x≠±1，x≠0，
所以，x=2时，原式=1﹣2=﹣1．
点评：本题考查了分式的化简求值，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，（2）要注意所求的x的值必须使原分式有意义．
20．（5分）（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．
（1）请按下列要求画图：
①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．
考点：作图-旋转变换；作图-平移变换
分析：（1）①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
②根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）连接B1B2，C1C2，交点就是对称中心M．
解答：解：（1）①△A1B1C1如图所示；
②△A2B2C2如图所示；
（2）连接B1B2，C1C2，得到对称中心M的坐标为（2，1）．
点评：本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义．
21．（7分）（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的边AC在x轴上，边BC⊥x轴，双曲线y=与边BC交于点D（4，m），与边AB交于点E（2，n）．
（1）求n关于m的函数关系式；
（2）若BD=2，tan∠BAC=，求k的值和点B的坐标．
考点：反比例函数综合题．
专题：探究型．
分析：（1）直接根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可；
（2）过点E作EF⊥BC于点F，根据（1）中m、n的关系可得出DF=m，故BF=2﹣m，再由点D （4，m），点E（2，n）可知EF=4﹣2=2，再根据EF∥x轴可知tan∠BAC=tan∠BEF=，由此即
可得出结论．
解答：
解：（1）∵点D（4，m），点E（2，n）在双曲线y=，
∴4m=2n，解得n=2m；
（2）过点E作EF⊥BC于点F，
∵由（1）可知n=2m，
∴DF=m，
∵BD=2，
∴BF=2﹣m，
∵点D（4，m），点E（2，n），
∴EF=4﹣2=2，
∵EF∥x轴，
∴tan∠BAC=tan∠BEF===，解得m=1，
∴D（4，1），
∴k=4×1=4，B（4，3）．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，构造出平行线，根据锐角三角函数的定义解答是解答此题的关键．
22．（8分）（2013•贵港）在以“关爱学生、安全第一”为主题的安全教育宣传月活动中，某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A﹣结伴步行、B﹣自行乘车、C﹣家人接送、D﹣其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生人数是多少人？
（2）请补全条形统计图；
（3）请补全扇形统计图，并在图中标出“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数；
（4）如果该校学生有2080人，请你估计该校“家人接送”上学的学生约有多少人？
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图
专题：计算题．
分析：（1）根据“家人接送”的人数除以所占的百分比，即可得到调查学生数；
（2）由总学生数求出“结伴步行”的人数，补全统计图即可；
（3）求出“结伴步行”与“自行乘车”的百分比，补全扇形统计图，在图中标出“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数即可；
（4）由总人数乘以“家人接送”的百分比，即可得到结果．
解答：解：（1）根据题意得：30÷25%=120（人），
则本次抽查的学生人数是120人；
（2）“结伴步行”的人数为120﹣（42+30+18）=30（人），
补全统计图，如图所示：
（3）“结伴步行”所占的百分比为×100%=25%；“自行乘车”所占的百分比为×100%=35%，“自行乘车”在扇形统计图中占的度数为360°×35%=126°，补全扇形统计图，如图所示；
（4）估计该校“家人接送”上学的学生约有2080×25%=520（人）．
点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
23．（7分）（2013•贵港）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．
考点：菱形的判定；平行四边形的判定；直角梯形
专题：证明题．
分析：（1）求出平行四边形AGCD，推出CD=AG，推出EG=DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）连接DG，求出∠DGC=90°，求出DF=GF，根据菱形的判定推出即可．
解答：证明：（1）∵AG∥DC，AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴AG=DC，
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE=AG，DF=DC，
即GE=DF，GE∥DF，
∴四边形DEGF是平行四边形；
（2）连接DG，
∵四边形AGCD是平行四边形，
∴AD=CG，
∵G为BC中点，
∴BG=CG=AD，
∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴AB∥DG，
∵∠B=90°，
∴∠DGC=∠B=90°，
∵F为CD中点，
∴GF=DF=CF，
即GF=DF，
∵四边形DEGF是平行四边形，
∴四边形DEGF是菱形．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形斜边上中线性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
24．（8分）（2013•贵港）在校园文化建设中，某学校原计划按每班5幅订购了“名人字画”共90幅．由于新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅“名人字画”一起分发，如果每班分4幅，则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一班不足3幅，但不少于1幅．
（1）该校原有的班数是多少个？
（2）新学期所增加的班数是多少个？
考点：一元一次不等式组的应用
专题：应用题．
分析：（1）根据每班5幅订购了“名人字画”共90幅，可得原有18个班；
（2）设增加后的班数为x，则“名人字画”有4x+17，再由每班分5幅，则最后一班不足3幅，但不少于1幅，可得出不等式组，解出即可．
解答：
解：（1）原有的班数为：=18个；
（2）设增加后的班数为x，则“名人字画”有4x+17，
由题意得，，
解得：19＜x≤21，
∵x为正整数，
∴x可取20，21，
故新学期所增加的班数为2个或3个．
点评：本题考查了一元一次方程的应用，难点在第二问，关键是设出未知数，表示出“名人字画”的数量，
根据不等关系建立不等式组，难度一般．
25．（10分）（2013•贵港）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作，点E
在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF．
（1）求证：EF是所在⊙D的切线；
（2）当MA=时，求MF的长；
（3）试探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由．
考点：圆的综合题
专题：几何综合题．
分析：（1）过点D作DG⊥EF于G，根据等边对等角可得∠MDE=∠MED，然后根据等角的余角相等求出∠AED=∠GED，再利用“角角边”证明△ADE和△GDE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=GD，再根据切线的定义即可得证；
（2）求出ME=MD=，然后利用勾股定理列式求出AE，再求出BE，根据同角的余角相等求出
∠1=∠3，然后求出△AME和△BEF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，再利用勾股定理列式计算即可得解；
（3）假设△MFE能是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得ME=EF，先利用“角角边”
证明△AME和△BEF全等，根据全等三角形对边角相等可得AM=BE，设AM=BE=x，然后表示出MD，AE，再根据ME=MD，从而得到ME=AE，根据直角三角形斜边大于直角边可知△MEF不可能是等腰直角三角形．
解答：（1）证明：过点D作DG⊥EF于G，
∵ME=MD，
∴∠MDE=∠MED，
∵EF⊥ME，
∴∠DME+∠GED=90°，
∵∠DAB=90°，
∴∠MDE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠GED，
∵在△ADE和△GDE中，
，
∴△ADE≌△GDE（AAS），
∴AD=GD，
∵的半径为DC，即AD的长度，
∴EF是所在⊙D的切线；
（2）MA=时，ME=MD=2﹣=，
在Rt△AME中，AE===1，∴BE=AB﹣AE=2﹣1=1，
∵EF⊥ME，
∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，
∵∠B=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠DAB=∠B=90°，
∴△AME∽△BEF，
∴=，
即=，
解得EF=，
在Rt△MEF中，MF===；
（3）假设△MFE能是等腰直角三角形，
则ME=EF，
∵在△AME和△BEF中，
，
∴△AME≌△BEF（AAS），
∴MA=BE，
设AM=BE=x，
则MD=AD﹣MA=2﹣x，AE=AB﹣BE=2﹣x，
∵ME=MD，
∴ME=2﹣x，
∴ME=AE，
∵ME、AE分别是Rt△AME的斜边与直角边，
∴ME≠AE，
∴假设不成立，
故△MFE不能是等腰直角三角形．
点评：本题考查了圆的综合题型，主要考查了圆的切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，（3）证明得到直角三角形的斜边与直角边相等的矛盾是解题的关键．
26．（11分）（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）首先求出点M的坐标，然后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如答图1所示，作辅助线构造梯形，利用S=S梯形PEOC﹣S△COD﹣S△PDE求出S关于x的表达式；求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，得到自变量的取值范围；
（3）由于三角形的各边，只有OD=2是确定长度的，因此可以以OD为基准进行分类讨论：
①OD=OP．因为第一象限内点P到原点的距离均大于4，因此OP≠OD，此种情形排除；
②OD=OE．分析可知，只有如答图2所示的情形成立；
③OD=PE．分析可知，只有如答图3所示的情形成立．
解答：解：（1）由题意得：OC=4，OD=2，∴DM=OC+OD=6，∴顶点M坐标为（2，6）．设抛物线解析式为：y=a（x﹣2）2+6，
∵点C（0，4）在抛物线上，
∴4=4a+6，
解得a=．
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2+6=x2+2x+4．
（2）如答图1，过点P作PE⊥x轴于点E．
∵P（x，y），且点P在第一象限，
∴PE=y，OE=x，
∴DE=OE﹣OD=x﹣2．
S=S梯形PEOC﹣S△COD﹣S△PDE
=（4+y）•x﹣×2×4﹣（x﹣2）•y
=y+2x﹣4．
将y=x2+2x+4代入上式得：S=x2+2x+4+2x﹣4=x2+4x．
在抛物线解析式y=x2+2x+4中，令y=0，即x2+2x+4=0，解得x=2±．
设抛物线与x轴交于点A、B，则B（2+，0），
∴0＜x＜2+．
∴S关于x的函数关系式为：S=x2+4x（0＜x＜2+）．
（3）存在．
若以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，可能有以下情形：
（I）OD=OP．
由图象可知，OP最小值为4，即OP≠OD，故此种情形不存在．
（II）OD=OE．
若点E在y轴正半轴上，如答图2所示：
此时△OPD≌△OPE，
∴∠OPD=∠OPE，即点P在第一象限的角平分线上，
∴直线PE的解析式为：y=x；
若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在．
（III）OD=PE．
∵OD=2，
∴第一象限内对称轴右侧的点到y轴的距离均大于2，
则点P只能位于对称轴左侧或与顶点M重合．
若点P位于第一象限内抛物线对称轴的左侧，易知△OPE为钝角三角形，而△OPD为锐角三角形，则不可能全等；
若点P与点M重合，如答图3所示，此时△OPD≌OPE，四边形PDOE为矩形，
∴直线PE的解析式为：y=6．
综上所述，存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，直线PE的解析式为y=x或y=6．
点评：本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、全等三角形、图形面积计算等知识点．难点在于第（3）问，两个三角形中只有一边为定长，因此分类讨论稍显复杂，需要仔细分析．。