2017年辽宁省高考数学试卷(理科)含答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.
31i
i
+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2.设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（ ）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是： 一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层 灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一 部分所得，则该几何体的体积为（ ）
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
5.设x ，y 满足约束条件2330
233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的最小值是（ ）
A ．15-
B ．9-
C ． 1
D ． 9
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成， 则不同的安排方式共有（ ）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们 四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成 绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上 信息，则（ ）
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9.若双曲线C:22221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2
224x y -+=所截得的
弦长为2，则C 的离心率为（ ）
A2 B
C
D
．
3
10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）
A
B
C
D
11.若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则=)(X D ． 14.函数(
)23sin 4f x x x =-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是 ． 15.等差数列{}n a 的前项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑ ． 16.已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若
M 为F N 的中点，则F N = ．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，
每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B A
C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b 18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,
新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法
有关：
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到
0.01）
附：)(2k K P ≥ 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828 E 是PD 的中点
)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
19.（12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于 底面三角形BCD ，01
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为045 ，求二面角M-AB-D 的余弦值
20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
(1) 求点P 的轨迹方程；
(2) 设点Q 在直线x=-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的
左焦点F.
21.（12分）
已知函数x x ax ax x f ln )(2
--=且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且.()202
2--<<x f e
.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）
在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲（10分）
已知2,0,033=+>>b a b a .证明：
（1）()()455≥++b a b a 错误!未找到引用源。

； （2）错误!未找到引用源。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）
理科数学解析
1．D 【解析】()()()()
3i 1i 3i 2i 1i 1i 1i +-+==-++- 2．C
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，
3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-=
=-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．
2211
π310π3663π
22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上
5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36⋅=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8．B
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =．
9．A
【解析】取渐近线b
y x a =
，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，
得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或
其补角（异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，）
可知112MN AB =
=
，112NP BC == 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
14122172⎛⎫
=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭
，AC
则MQ =
，则MQP △
中，2
MP = 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=⋅⋅
222
+-=
= 又异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，
．
11．A
【解析】()()21
21x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦
， 则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅， 要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上，
则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又3
232
PA PD AD +==⨯
=， 则2
233
224PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤， 则min 33
2242
PD PA ⋅=-⨯=-．
解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， ∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
P
D C
B
A
()
1
PC x y
=--
，，
∴(
)22 22
PA PB PC x y ⋅+=-+
2
2
3
2
4
x y
⎡⎤
⎛
⎢⎥
=+-
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
则其最小值为33
2
42
⎛⎫
⨯-=-
⎪
⎝⎭
，此时0
x=
，y．13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02
=
p，100
n=则()
11000.020.98 1.96
x
D np p
=-=⨯⨯=
14．1
【解析】(
)23π
sin0
42
f x x x x
⎛⎫
⎡⎤
=+-∈
⎪
⎢⎥
⎣⎦
⎝⎭
，
(
)23
1cos
4
f x x x
=--
令cos x t
=且[]
01
t∈，
2
1
4
y t
=-+
2
1
t
⎛
=--+
⎝⎭
则当t=时，()
f x取最大值1．
15．
2
+1
n
n
【解析】设{}n a首项为1a，公差为d．
则
31
23
a a d
=+=
41
4610
S a d
=+=
求得
1
1
a=，1
d=，则
n
a n
=，
()1
2
n
n n
S
+
=
()()
1
12222
122311
n
k k
S n n n n
=
=++++
⨯⨯-+
∑
1111111
21
22311
n n n n
⎛⎫
=-+-++-+-
⎪
-+
⎝⎭
12
21
11
n
n n
⎛⎫
=-=
⎪
++
⎝⎭
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15
cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22ac B ⋅=， ∴18
2217
ac ⋅=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， ∴
22215
217a c b ac +-=， ∴22215a c b +-=，
∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.62=
()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯
0.66=
()()()0.4092P A P B P C ==
（2）
由计算可得2K 的观测值为
()2
2
2006266383415.705
10010096104
k ⨯⨯-⨯=
=⨯⨯⨯
∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关． （3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．
19．【解析】
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1
2
EF AD ∥．
又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==
，∴1
2
BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，
，，(010)D ，，，
(00P ，．
M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，
∴MBM '△
为等腰直角三角形． ∵POC △为直角三角形，OC =，∴60PCO ∠=︒．
设MM a '=
，CM '=
，
1OM '=-．∴100M ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭
，，．
BM a a '===⇒=．∴112OM '==-．
∴100M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，10M ⎛- ⎝⎭
112AM ⎛=- ⎝⎭
，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，．
110y =，∴(02)m =-， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，， (001)n =，，．
∴10
cos ,5
m n m n m n
⋅<>=
=
⋅
∴二面角M AB D --． 20．
【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，
(0)NP y =，又0
NM ⎛== ⎝
∴
M x y ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，又M 在椭圆上． ∴2
21
2x +=，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，
由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，
∴2
13OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=． 设直线OQ ：3
Q
y y x =
⋅-， 因为直线l 与OQ l 垂直．
∴3l Q
k y =
故直线l 方程为3
()P P Q
y x x y y =
-+，
令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 1
3
P Q P y y x x -⋅=-， ∴1
3
P Q P x y y x =-⋅+，
∵33P Q P y y x =+，
∴1
(33)13
P P x x x =-++=-，
若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±，
直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．
21．
【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．
令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11
ax g x a x x
-'=-
=
， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1x a
=． 当10x a <<时，()0g x '<，()g x 单调减；当1
x a
>时，()0g x '>，()g x 单调增．
若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调减，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；
若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫
⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；
若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，()0g x ≥．
综上，1a =．
⑵ ()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．
令()22ln h x x x =--，则()121
2x h x x x
-'=-=
，0x >． 令()0h x '=得1
2
x =， 当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1
2
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．
所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫
==-+< ⎪⎝⎭
．
因为()
22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，122⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，
所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和1
2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，()h x 即()f x '各有一个零点．
设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，
，因为()f x '在102⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调减，
所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01
2
x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．
因为，()f x '在12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单
调减，2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点． 所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>．
因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()01
4
f x <． 因此，()201
e 4
f x -<<
． 22．
【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，
，， 则0||OM OP ρρ==，
． 000016
cos 4ρρρθθθ
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为
()
2
224x y -+=．()0x ≠
⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．
||OA 为定值．
∴当高最大时，AOB S △面积最大，
如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大
max 1
||||2
S AO HB =⋅ ()1
||||||2
AO HC BC =
+
2=
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：()()()
2
2
5
5
33
4a b a b a b ++=+=≥
=1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+=
∴()()2
32a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦
∴()()3
32a b ab a b +-+=
∴
()()
3
23a b ab a b +-=+
由均值不等式可得：()()3
2
232a b a b ab a b +-+⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()3
2232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()3
3
324
a b a b ++-≤
∴
()3
124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．。