2016年东城一模数学(理)带问题详解

市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）
数学 （理科）
学校_____________班级_____________________________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知复数(1+)i a i ⋅为纯虚数，那么实数a 的值为
（A ）1- （B ）0 （C ） 1 （D ）2
（2）集合2
{},{50}A x x a B x x x =≤=-< | | ，若A
B B =，则a 的取值围是
（A ）5a ≥ （B ） 4a ≥ （C ） 5a < （D ）4a < （3）某单位共有职工150名，其中高级职称45人， 中级职称90人，初级职称15人．现采用分层 抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称 人数分别为
（A ）9,18,3 （B ） 10,15,5 （C ）10,17,3 （D ）9,16,5 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）
2
1
（B ）1 （C ） 2 （D ）4
（5）在极坐标系中，直线1cos sin =-θρθρ被曲线1=ρ截得的线段长为 （A ）
2
1 （B ）1 （C ）
2
2 （D
何体的最长棱长为 （A ）2 （B
）（C ）3 （D
（7）已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）那么以1F 、2F 为焦点且过点 P 的椭圆的短轴长为 （A ）3
（B ）6
（C ）9
（D ）12
（8）已知12e ,e 为平面上的单位向量，1e 与2e 的起点均为坐标原点O ，1e 与2e 夹角为
3
π
. 平面区域D 由所有满足OP λμ=+12e e 的点P 组成，其中1,0,0λμλμ+≤⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
，那么平面区域D 的面积为
（A ）
1
2
（B
（C
）2 （D
）4
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在5
)412(x
x +的展开式中，3x 的系数值为__.(用数字作答)
（10）已知等比数列{}n a 中, 2342,32a a a == ，那么8a 的值为 ．
（11）如图，圆O 的半径为1，A,B,C 是圆周上的三点，过点A
P
则COA ∠=__；AP = .
（12）若3sin(),45π
α-=且)4
,0(π
α∈，则sin 2α的值为 ．
（13）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如下表：
在最合理的安排下，获得的最大利润的值为__.
（14）已知函数()ln f x x =，关于x 的不等式00()()()f x f x c x x -≥-的解集为(0,)+∞,其中
0(0,)x ∈+∞，c 为常数. 当01x =时，c 的取值围是___;当01
2
x =
时，c 的值是___;
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）
在△ABC 中，BC =2AC =，且()cos 2
A B +=-． （Ⅰ）求AB 的长度；
（Ⅱ）若()sin(2)f x x C =+，求()y f x =与直线y =相邻交点间的最小距离．
（16）（本小题共14分）
已知三棱柱111C B A ABC -中，1A A ⊥底面ABC ， 90=∠BAC ，1A A 1=，3=
AB ，
2=AC ,E 、F 分别为棱C C 1、BC 的中点.
（Ⅰ）求证 1AC A B ⊥；
（Ⅱ）求直线EF 与B A 1所成的角；
（Ⅲ）若G 为线段A A 1的中点，1A 在平面EFG 的射影为H ，求A HA 1∠.
（17）（本小题共13分）
现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）.根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如图表所示，现只有一块比
（II）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；
（III）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）.
（18）（本小题共14分）
设函数1)(--=x ae x f x
，R ∈a ．
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当),0(+∞∈x 时，0)(>x f 恒成立，求a 的取值围；
（Ⅲ）求证：当),0(+∞∈x 时，2
1ln x
x e x >-．
（19）（本小题共13分）
已知抛物线2
:2(0)C y px p =>，焦点F ，O 为坐标原点，直线AB （不垂直x 轴）过点F 且与抛物线C 交于,A B 两点，直线OA 与OB 的斜率之积为p -． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点D ，求证：2OD OM
>.
（20）（本小题共13分）
数列{}n a 中，给定正整数m (1)m >，-1
1
1
()m i i i V m a
a +==
-∑.定义:数列{}n a 满足
1(1,2,
,1)i i a a i m +≤=-，称数列{}n a 的前m 项单调不增.
（Ⅰ）若数列{}n a 通项公式为：*(1)()n n a n N =-∈，，求(5)V .
（Ⅱ）若数列{}n a 满足：*
1,,(m 1,,)m a a a b m N a b ==>∈>，求证()V m a b =-的充分必要条
件是数列{}n a 的前m 项单调不增.
（Ⅲ）给定正整数m (1)m >，若数列{}n a 满足：0,(1,2,
,)n a n m ≥=，且数列{}n a 的前m 项和
2m ，求()V m 的最大值与最小值.(写出答案即可)
市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）
数学参考答案及评分标准 （理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）A （3）A （4）C （5）D （6）C （7）B （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）20 （10）128 （11）3π
（12）725
（13） 62 （14） []1,0-，2-．
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（本小题共13分）
解：（Ⅰ）
()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+=
⎡⎤⎣⎦ ∴ 0
45C = ……3分
BC =2AC =，
222222cos 2AB AC BC AC BC C ∴=+-•=+- 4=
2AB ∴= ……7分
（Ⅱ）由()sin(2)42
f x x π=+
=， 解得 2243x k ππ+
=π+或22243
x k ππ+=π+，k Z ∈ ， 解得1124x k π=π+
或22524
x k π
=π+，12,k k Z ∈.
因为 1212()66
x x k k ππ
-=-π+
≥，当12k k =时取等号, 所以
当()2f x =
时，相邻两交点间最小的距离为6
π
. …………………13分 （16）（共14分）
（Ⅰ）证明 因为三棱柱111C B A ABC -，1AA ⊥底面ABC 所以 1AC AA ⊥．
因为 90=∠BAC ， 所以 AC AB ⊥．
因为 1A A
AB A =，
所以 11AC A ABB ⊥平面． 因为 111A B A ABB ⊂平面，
所以 1AC A B ⊥. ……４分 （Ⅱ）解
如图建立空间直角坐标系xyz A —， 则()1,0,0A 1，(
)
0,03B
，，
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
2120，，
E ，⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛0,123F ，. 所以 (
)
10,31-=
，B A ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=211,23，. 所以
2
21=
=
B A . 因为 00
10,90A B EF <<，
所以 直线EF 与B A 1所成的角为45°. ……９分
（Ⅲ）解 设⎪⎭
⎫ ⎝⎛2100，，
G
则 ()020，，=GE , ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=211,23，. AH 所在直线的向量与平面GEF 的法向量平行.
设平面GEF 的法向量为，(,,)n x y z =，
因为 ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥，
所以 ⎪
⎩⎪⎨⎧=-+=.021
2
3,02z y x y 令3=
z ，则()
3,0,1=n .
所以 AH 所在直线的单位向量为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=23,0,21. 因为 1(0,0,1)AA =, 所以
2
3
=
. 因为
10,AA e π<<， 所以 16
HA A π
∠=
. .…１４分
（17）（本小题共13分）
解：（I ）三场比赛共有336A =种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女
单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为
1
6
． …３分 （II ）令A 表示女单比赛、B 表示男单比赛、C 表示混双比赛. 按ABC 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：
1202545t =+=（分钟）．
按ACB 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：
2203555t =+=（分钟）．
按BAC 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：
3202545t =+=（分钟）．
按BCA 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：
4352560t =+=（分钟）．
按CAB 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：
5352055t =+=（分钟）．
按CBA 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：
6352560t =+=（分钟）．
且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为
1
6
，所以平均等待时间为 ． 454555556060160
63
+++++=
…11分 （III ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少
---------------------------------------------------------13分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）当1a =时，则()1x
f x e x =--，
则'()1x
f x e =-.
令'()0,f x =得0.x =
所以 当0x <时，'()0f x <，()f x 在(),0-∞上单调递减；
当0x >时，'()0f x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增；
当0x =时，min ()(0)0f x f ==． ……4分 （Ⅱ）因为0>x
e ，
所以01)(>--=x ae x f x
恒成立，等价于x
e x a 1
+>
恒成立． 设x e
x x g 1
)(+=
，),0[+∞∈x ， 得x x
x x e
x
e e x e x g -=+-=2)1()('，
当),0[+∞∈x 时，0)('≤x g ， 所以 )(x g 在),0[+∞上单调递减， 所以 ),0(+∞∈x 时，1)0()(=<g x g ． 因为x e
x a 1
+>
恒成立， 所以),1[+∞∈a ． ……11分
（Ⅲ）当),0(+∞∈x 时，2
1ln x x e x >-，等价于012>--x
x
xe e ． 设1)(2
--=x
x
xe e x h ，),0[+∞∈x ．
求导，得)12
(2)('2222
--=--=x
e e e x e e x h x x x x x
．
由（Ⅰ）可知，),0(+∞∈x 时， e 10x
x -->恒成立．
所以),0(+∞∈x 时，(0,)2
x
∈+∞，有2e 102x
x -->．
所以 '
()0h x >．
所以)(x h 在(0,)+∞上单调递增，当),0(+∞∈x 时，0)0()(=>h x h ．
因此当),0(+∞∈x 时，2
1ln x
x e x >-． ……14分
（19）（共13分） 解：（Ⅰ）
因为直线AB 过点F 且与抛物线C 交于,A B 两点，(
,0)2
P
F ， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB （不垂直x 轴）的方程可设为()(0)2
p
y k x k =-
≠． 所以2112(0)y px p =>，2
222y px =．
因为直线OA 与OB 的斜率之积为p -， 所以
12
12
y y p x x =-．
所以2
21212
(
)y y p x x =，得 124x x =． ……4分 由2(),22,
p y k x y px ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩ 消y 得22222
(2)04k p k x k p p x -++
= 其中
22222(2)0k p p k p k =+->
所以2
124
p x x =， 2122
2k P P x x k ++=． 所以4p =，抛物线2
:8C y x =． ……8分
（Ⅱ）设0033(,),(,)M x y P x y ，因为M 为线段AB 的中点，
所以2201222122(2)()22k P P k x x x k k ++=+==，00
4(2)y k x k
=-=. 所以直线OD 的斜率为02022
op y k
k x k =
=+. 直线OD 的方程为2
22
op k y k x x k ==
+代入抛物线2
:8C y x =的方程， 得22
32
2(2)k x k +=.
所以
23
(2)x k x =+. 因为 2
0k >, 所以230
(2)2OD x
k OM x ==+>. ……13分
（20）（共13分）
解（Ⅰ） (5)=8V . ……2分 （Ⅱ）充分性：若数列{}n a 的前m 项单调不增，即21m a a a ≤≤≤
此时有：
-1
1122311
1()()()()
.
m i i m m i m V m a a a a a a a a a a a b +-==-=-+-+
+-=-=-∑
必要性：反证法，若数列{}n a 的前m 项不是单调不增，则存在(11)i i m ≤≤-使得1i i a a +>，
那么:
-1
11-1
111
1
1
11111111()()()().
m i i
i i m
i i i i i i
t t i i i i m i m i i i i i i i i V m a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a
b a a a a +=+++==+++++++=-=-+-+
-=-+-+-≥-+-+-=-+-+-∑∑∑
由于1,i i a a a b +>>，.
11()a b i i i i a b a a a a ++∴-+-+->-.
与已知矛盾. ……9分 （III ）最小值为0.此时{}n a 为常数列. ……10分
最大值为2
42,2 2.
m m
m =⎧⎨>⎩
当2m =时的最大值：此时12124,(,0)a a a a +=≥, ……11分
12404a a -≤-=.
当2m >时的最大值：此时21212,(,,
,0)n a a m a a a ++
=≥.
由x y x y -≤+易证，{}n a 的值的只有是大小交替出现时，才能让()V m 取最大值. 不妨设：1i i a a +≤，i 为奇数，1i i a a +≥，i 为偶数. 当m 为奇数时有：
-1
11
123234541
(1)/2
211
21
()222.
m i i
i m m m m
i i
i i m i i V m a a a a a a a a a a a a a a a m +=--====-=-+-+-+-++-=-
≤=∑∑∑
∑
当m 为偶数时同理可证. ……13分。