2016年东城一模数学(理)带问题详解

市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （理科）学校_____________班级_____________________________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知复数(1+)i a i ⋅为纯虚数，那么实数a 的值为（A ）1- （B ）0 （C ） 1 （D ）2（2）集合2{},{50}A x x a B x x x =≤=-< | | ，若AB B =，则a 的取值围是（A ）5a ≥ （B ） 4a ≥ （C ） 5a < （D ）4a < （3）某单位共有职工150名，其中高级职称45人， 中级职称90人，初级职称15人．现采用分层 抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称 人数分别为（A ）9,18,3 （B ） 10,15,5 （C ）10,17,3 （D ）9,16,5 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）21（B ）1 （C ） 2 （D ）4（5）在极坐标系中，直线1cos sin =-θρθρ被曲线1=ρ截得的线段长为 （A ）21 （B ）1 （C ）22 （D何体的最长棱长为 （A ）2 （B）（C ）3 （D（7）已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）那么以1F 、2F 为焦点且过点 P 的椭圆的短轴长为 （A ）3（B ）6（C ）9（D ）12（8）已知12e ,e 为平面上的单位向量，1e 与2e 的起点均为坐标原点O ，1e 与2e 夹角为3π. 平面区域D 由所有满足OP λμ=+12e e 的点P 组成，其中1,0,0λμλμ+≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，那么平面区域D 的面积为（A ）12（B（C）2 （D）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在5)412(xx +的展开式中，3x 的系数值为__.(用数字作答)（10）已知等比数列{}n a 中, 2342,32a a a == ，那么8a 的值为 ．（11）如图，圆O 的半径为1，A,B,C 是圆周上的三点，过点AP则COA ∠=__；AP = .（12）若3sin(),45πα-=且)4,0(πα∈，则sin 2α的值为 ．（13）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如下表：在最合理的安排下，获得的最大利润的值为__.（14）已知函数()ln f x x =，关于x 的不等式00()()()f x f x c x x -≥-的解集为(0,)+∞,其中0(0,)x ∈+∞，c 为常数. 当01x =时，c 的取值围是___;当012x =时，c 的值是___;三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）在△ABC 中，BC =2AC =，且()cos 2A B +=-． （Ⅰ）求AB 的长度；（Ⅱ）若()sin(2)f x x C =+，求()y f x =与直线y =相邻交点间的最小距离．（16）（本小题共14分）已知三棱柱111C B A ABC -中，1A A ⊥底面ABC ， 90=∠BAC ，1A A 1=，3=AB ，2=AC ,E 、F 分别为棱C C 1、BC 的中点.（Ⅰ）求证 1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与B A 1所成的角；（Ⅲ）若G 为线段A A 1的中点，1A 在平面EFG 的射影为H ，求A HA 1∠.（17）（本小题共13分）现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）.根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如图表所示，现只有一块比（II）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（III）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）.（18）（本小题共14分）设函数1)(--=x ae x f x，R ∈a ．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当),0(+∞∈x 时，0)(>x f 恒成立，求a 的取值围；（Ⅲ）求证：当),0(+∞∈x 时，21ln xx e x >-．（19）（本小题共13分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，焦点F ，O 为坐标原点，直线AB （不垂直x 轴）过点F 且与抛物线C 交于,A B 两点，直线OA 与OB 的斜率之积为p -． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点D ，求证：2OD OM>.（20）（本小题共13分）数列{}n a 中，给定正整数m (1)m >，-111()m i i i V m aa +==-∑.定义:数列{}n a 满足1(1,2,,1)i i a a i m +≤=-，称数列{}n a 的前m 项单调不增.（Ⅰ）若数列{}n a 通项公式为：*(1)()n n a n N =-∈，，求(5)V .（Ⅱ）若数列{}n a 满足：*1,,(m 1,,)m a a a b m N a b ==>∈>，求证()V m a b =-的充分必要条件是数列{}n a 的前m 项单调不增.（Ⅲ）给定正整数m (1)m >，若数列{}n a 满足：0,(1,2,,)n a n m ≥=，且数列{}n a 的前m 项和2m ，求()V m 的最大值与最小值.(写出答案即可)市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）A （3）A （4）C （5）D （6）C （7）B （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）20 （10）128 （11）3π（12）725（13） 62 （14） []1,0-，2-．注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（本小题共13分）解：（Ⅰ）()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+=⎡⎤⎣⎦ ∴ 045C = ……3分BC =2AC =，222222cos 2AB AC BC AC BC C ∴=+-•=+- 4=2AB ∴= ……7分（Ⅱ）由()sin(2)42f x x π=+=， 解得 2243x k ππ+=π+或22243x k ππ+=π+，k Z ∈ ， 解得1124x k π=π+或22524x k π=π+，12,k k Z ∈.因为 1212()66x x k k ππ-=-π+≥，当12k k =时取等号, 所以当()2f x =时，相邻两交点间最小的距离为6π. …………………13分 （16）（共14分）（Ⅰ）证明 因为三棱柱111C B A ABC -，1AA ⊥底面ABC 所以 1AC AA ⊥．因为 90=∠BAC ， 所以 AC AB ⊥．因为 1A AAB A =，所以 11AC A ABB ⊥平面． 因为 111A B A ABB ⊂平面，所以 1AC A B ⊥. ……４分 （Ⅱ）解如图建立空间直角坐标系xyz A —， 则()1,0,0A 1，()0,03B，，⎪⎭⎫ ⎝⎛2120，，E ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,123F ，. 所以 ()10,31-=，B A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=211,23，. 所以221==B A . 因为 0010,90A B EF <<，所以 直线EF 与B A 1所成的角为45°. ……９分（Ⅲ）解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛2100，，G则 ()020，，=GE , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211,23，. AH 所在直线的向量与平面GEF 的法向量平行.设平面GEF 的法向量为，(,,)n x y z =，因为 ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.02123,02z y x y 令3=z ，则()3,0,1=n .所以 AH 所在直线的单位向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=23,0,21. 因为 1(0,0,1)AA =, 所以23=. 因为10,AA e π<<， 所以 16HA A π∠=. .…１４分（17）（本小题共13分）解：（I ）三场比赛共有336A =种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为16． …３分 （II ）令A 表示女单比赛、B 表示男单比赛、C 表示混双比赛. 按ABC 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：1202545t =+=（分钟）．按ACB 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：2203555t =+=（分钟）．按BAC 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：3202545t =+=（分钟）．按BCA 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：4352560t =+=（分钟）．按CAB 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：5352055t =+=（分钟）．按CBA 顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：6352560t =+=（分钟）．且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为16，所以平均等待时间为 ． 45455555606016063+++++=…11分 （III ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少---------------------------------------------------------13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）当1a =时，则()1xf x e x =--，则'()1xf x e =-.令'()0,f x =得0.x =所以 当0x <时，'()0f x <，()f x 在(),0-∞上单调递减；当0x >时，'()0f x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增；当0x =时，min ()(0)0f x f ==． ……4分 （Ⅱ）因为0>xe ，所以01)(>--=x ae x f x恒成立，等价于xe x a 1+>恒成立． 设x ex x g 1)(+=，),0[+∞∈x ， 得x xx x exe e x e x g -=+-=2)1()('，当),0[+∞∈x 时，0)('≤x g ， 所以 )(x g 在),0[+∞上单调递减， 所以 ),0(+∞∈x 时，1)0()(=<g x g ． 因为x ex a 1+>恒成立， 所以),1[+∞∈a ． ……11分（Ⅲ）当),0(+∞∈x 时，21ln x x e x >-，等价于012>--xxxe e ． 设1)(2--=xxxe e x h ，),0[+∞∈x ．求导，得)12(2)('2222--=--=xe e e x e e x h x x x x x．由（Ⅰ）可知，),0(+∞∈x 时， e 10xx -->恒成立．所以),0(+∞∈x 时，(0,)2x∈+∞，有2e 102xx -->．所以 '()0h x >．所以)(x h 在(0,)+∞上单调递增，当),0(+∞∈x 时，0)0()(=>h x h ．因此当),0(+∞∈x 时，21ln xx e x >-． ……14分（19）（共13分） 解：（Ⅰ）因为直线AB 过点F 且与抛物线C 交于,A B 两点，(,0)2PF ， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB （不垂直x 轴）的方程可设为()(0)2py k x k =-≠． 所以2112(0)y px p =>，2222y px =．因为直线OA 与OB 的斜率之积为p -， 所以1212y y p x x =-．所以221212()y y p x x =，得 124x x =． ……4分 由2(),22,p y k x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 消y 得22222(2)04k p k x k p p x -++= 其中22222(2)0k p p k p k =+->所以2124p x x =， 21222k P P x x k ++=． 所以4p =，抛物线2:8C y x =． ……8分（Ⅱ）设0033(,),(,)M x y P x y ，因为M 为线段AB 的中点，所以2201222122(2)()22k P P k x x x k k ++=+==，004(2)y k x k=-=. 所以直线OD 的斜率为02022op y kk x k ==+. 直线OD 的方程为222op k y k x x k ==+代入抛物线2:8C y x =的方程， 得22322(2)k x k +=.所以23(2)x k x =+. 因为 20k >, 所以230(2)2OD xk OM x ==+>. ……13分（20）（共13分）解（Ⅰ） (5)=8V . ……2分 （Ⅱ）充分性：若数列{}n a 的前m 项单调不增，即21m a a a ≤≤≤此时有：-111223111()()()().m i i m m i m V m a a a a a a a a a a a b +-==-=-+-++-=-=-∑必要性：反证法，若数列{}n a 的前m 项不是单调不增，则存在(11)i i m ≤≤-使得1i i a a +>，那么:-111-11111111111111()()()().m i ii i mi i i i i it t i i i i m i m i i i i i i i i V m a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a ab a a a a +=+++==+++++++=-=-+-+-=-+-+-≥-+-+-=-+-+-∑∑∑由于1,i i a a a b +>>，.11()a b i i i i a b a a a a ++∴-+-+->-.与已知矛盾. ……9分 （III ）最小值为0.此时{}n a 为常数列. ……10分最大值为242,2 2.m mm =⎧⎨>⎩当2m =时的最大值：此时12124,(,0)a a a a +=≥, ……11分12404a a -≤-=.当2m >时的最大值：此时21212,(,,,0)n a a m a a a ++=≥.由x y x y -≤+易证，{}n a 的值的只有是大小交替出现时，才能让()V m 取最大值. 不妨设：1i i a a +≤，i 为奇数，1i i a a +≥，i 为偶数. 当m 为奇数时有：-111123234541(1)/221121()222.m i ii m m m mi ii i m i i V m a a a a a a a a a a a a a a a m +=--====-=-+-+-+-++-=-≤=∑∑∑∑当m 为偶数时同理可证. ……13分。