求素数(6个题)
2012年海淀区中小学生信息学奥林匹克竞赛
2012年海淀区中小学生信息学奥林匹克竞赛小学组上机试题（共72分)姓名____________年级______学校_________准考号________成绩__________说明：（1）请同学们运行QBASIC语言环境（BC7.0版本）或C语言环境；（2）以各自题目的名称，如：shulie.bas或shulie.c或shulie.cpp，将源文件存盘；（3）将最后写好的源文件，存入D:\TEST文件夹中。
如：D:\TESTshulie.basfenshu.bassushu.bastuxing.bas……….……….一、数列计算（题目名称: shulie.bas/shulie.c/shulie.cpp）（12分）【题目描述】有一组序列的数是：1、2、9、33、126、477，……，请同学们认真观察数值的规律。
现要求：指定项数为任意的N项，计算：1）第N项的数据；2）输出前N项数据的和。
【输入文件】文件名：shulie.in文件中只有一行，包含1个整数N(其中3<=N<=15)为这个序列的项数。
【输出文件】文件名：shulie.out文件中共有二行:第一行为这个序列第N项的数据；第二行为这个序列前N项的数据和。
【要求】每一行的输出数据都从第一列开始。
【样例输入】 shulie.in的内容为：6【样例输出】shulie.out的内容为：477648又如：【样例输入】 shulie.in的内容为：10【样例输出】shulie.out的内容为：98577133893二、分数段统计（题目名称：fdtj.bas/fdtj.c/fdtj.cpp）（12分）【题目描述】小红所在的班级进行了数学考试，老师请小红同学帮忙进行名次排序和各分数段的人数统计工作。
现要求如下：将N名同学的考试成绩放在A数组中，各分数段的人数存到B数组中：成绩为100的人数存到B(1)中，成绩为90到99的人数存到B(2)中，成绩为80到89的人数存到B(3)中，成绩为70到79的人数存到B(4)中，成绩为60到69的人数存到B(5)中，成绩为60分以下的人数存到B(6)中。
第04讲 素数、合数与分解素因数(6种题型)(原卷版)
第04讲 素数、合数与分解素因数（6种题型）【知识梳理】一、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数； （2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数； （3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数三类． 二、分解素因数 1、分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 2、口算法分解素因数例如：728922233=⨯=⨯⨯⨯⨯． 3.用树枝分解法分解素因数 例如：常常适用于较小数目 4、短除法分解素因数形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”． 用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； （3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式． 例如：728×92×4×3×32×2×2×3×3355 7用短除法分解素因数，初步阶段同学们容易出现错误： 第一左侧边选用的除数出现合数，如：60＝4×3×5一定注意分解素因数的时候，每个因数都必须是素数。
第二最后的商还是合数。
如：一看91，常用的2，3，5都不行，于是短除停止了，其实91还是合数，要继续除以7，商13，才停止短除。
三、公因数1互素：指两个整数只有.这不一定两个整数是素数.【考点剖析】 题型一：素数与合数例1．（2022·上海市娄山中学九年级期中）在1至10，这10个正整数中，素数共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【变式】（2021·上海·青教院附中期中）在1、2、3、6、8、29、33、45中，素数是______． 例2.判断37，39，47和49是素数还是合数．【变式】最小的素数是_____，最小的合数是____.例3．（2021·上海市傅雷中学期中）下列说法中，正确的是（ ） A ．奇数都是素数 B ．偶数都是合数 C ．合数不都是偶数 D ．素数都是奇数2 7 83 3 91 3 4 6 0 3 1 55 5 455 91【变式】根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中：(1) 是奇数又是素数的数是（ ）； (2) 是奇数不是素数的数是（ ）； (3)是素数而不是奇数的数是（）； (4) 是合数而不是偶数的数是（）．题型二：素数与合数的应用例4．（2021·上海黄浦·期中）有一个四位数，十位上的数字是最小的自然数，百位上的数字是最小的素数，千位上的数字是最小的合数，若这个四位数同时是2和3的倍数，则它个位上的数字是_______． 【变式1】（2021·上海复旦五浦汇实验学校期中）已知一个六位数：，其中A 既不是素数，也不是合数；B 是10以内最大的数；C 是最小的素数；D 是10以内最大的奇数；E 的倒数等于它本身；F 是最小的自然数；则这个六位数是 _________．【变式2】著名的“哥德巴赫猜想”被喻为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：任何大于2的偶数都是两个素数之和，下列4个算式中，符合这个猜想的是（ ）A.413=+；B. 13211=+；C. 1679=+；D. 321319=+.【变式3】 阅读理解：截尾素数 73939133这个数具有相当迷人的性质，不只是因为它是素数，还因为把最末位数字依序“截尾”后，余下的数仍然是素数.如:73939133，7393913，739391，73939，7393，739，73，7.具有这样性质的数叫“截尾素数”.巧的是，它也是具有这种性质的最大数，总共有83个数具有这样的性质.在100以内的素数中，最大的截尾素数是_________.【变式4】如果m 和n 是两个素数，满足5m+7n=129,那么m+n 的值是 .【变式5】两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（既是奇数又是素数）之和，简称：" l ＋1"。
质数和合数练习题(含答案)
质数和合数练习题一、填空。
1、像2、3、5、7、19、13、23…只有1和它本身两个因数的数叫做质数或素数。
像 4、6、9、14…除了1和它本身外还有别的因数的数叫做合数。
2、最小的自然数是（0），最小的质数是（2），最小的合数是（4）。
3、在0、1、2、9、15、32、147、60、216中，自然数有 0、1、2、9、15、32、147、60、216，奇数有 1、9、15、147 ，偶数有0、2、32、60、216 ，质数有 2 ，合数有 9、15、32、147、60、216 ，是3的倍数的数有 9、15、60、216 。
既不是质数，又不是合数的有 1 。
4、 20以内既是合数又是奇数的数有 9、15 。
5、能同时是2、3、5倍数的最小两位数是30。
6、 18的因数有1、2、3、6、9、18，其中质数有2、3 ，合数有6、9、18 。
7、 50以内11的倍数有11、22、33、44 。
8、三个连续偶数的和是54，这三个偶数分别是16、18 、20 。
9、 40以内最大质数与最小合数的乘积是148 。
37乘410、从1、0、8、5四个数字中选三个数字，组成一个有因数5的最小三位数是105 。
11、一个三位数，能有因数2，又是5的倍数，百位上是最小的质数，十位上是10以内最大奇数，这个数是290 。
12、一个四位数，千位上是最小的质数，百位上是最小的合数，十位上既不是质数也不是合数，个位上既是奇数又是合数，这个数是2419 。
13、有两个数都是质数，这两个数的和是8，两个数的积是15，这两个数是3和 5 。
14、既不是质数，又不是合数的自然数是 1 ；既是质数，又是偶数的数是2 ；既是奇数又是质数的最小数是3；既是偶数，又是合数的最小数是 4 ；既是奇数，又是合数的最小的数是9 。
15、个位上是0 的数，既是2的倍数，也是5的倍数。
16、20以内的数中不是偶数的合数有 9、15 ，不是奇数的质数有 2 。
(完整版)C语言100个经典题目
C语言程序设计习题授课对象：信息奥赛辅导成员授课时间：题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？__________________________________________________________________ 程序分析：兔子的规律为数列1,1,2,3,5,8,13,21….___________________________________________________________________程序源代码：main(){long f1,f2;int i;f1=f2=1;for(i=1;i<=20;i++){ printf(“%12ld %12ld”,f1,f2);if(i%2==0) printf(“\n”);/*控制输出，每行四个*/f1=f1+f2;/*前两个月加起来赋值给第三个月*/f2=f1+f2;/*前两个月加起来赋值给第三个月*/}}上题还可用一维数组处理，you try!题目：判断101-200之间有多少个素数，并输出所有素数。
__________________________________________________________________ 程序分析：判断素数的方法：用一个数分别去除2到sqrt(这个数)，如果能被整除，则表明此数不是素数，反之是素数。
___________________________________________________________________程序源代码：#include “math.h”main(){int m,i,k,h=0,leap=1;p rintf(“\n”);for(m=101;m<=200;m++){ k=sqrt(m+1);for(i=2;i<=k;i++)if(m%i==0){leap=0;break;}if(leap) {printf(“%-4d”,m);h++;if(h%10==0)printf(“\n”);}leap=1;}printf(“\nThe total is %d”,h);}题目：打印出所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字立方和等于该数本身。
上海市东华大学附属实验学校六年级数学上册 1.4 素数、合数与分解素因数同步测试题1(无答案) 沪教
分数的基本性质【知识梳理】1．分子和分母 的分数，叫做最简分数。
2．约分是把一个分数的分子与分母的 约去的过程。
【基础检测】1．在分数74，96，5134，815，159中，最简分数是 . 2．用最简分数表示：（1）15分钟= 小时；（2）6分米= 米；（3）450克= 千克；（4）25秒= 分钟。
3．把下列分数化为最简分数：（1）2035= （2）2736= （3）7281= （4）3451= 4．六(1)班共有36名同学,其中男同学有20名,那么女同学人数占全班人数的______;女同学人数是男同学人数的_________.5．一个分数,它的分母是72,化成最简分数是34,这个分数原来是____. 6．小明的身高是142厘米，小杰的身高是152厘米，小明的身高是小杰身高的 。
（填最简分数）7．某班有40名学生，其中女生有18人，男生人数是女生人数的 。
（填最简分数）8．书架上有语文书150本，数学书250本，那么语文书是书架上图书总数的______（填几分之几）．9．下列分数中哪些是最简分数?把不是最简分数的分数化为最简分数. 1216,3895,74,11121,916,84210下列说法正确的是（ ）最简分数的分子、分母都是素数.分子、分母都是素数的分数一定是最简分数 分数的分子、分母都乘上同一个自然数，分数的大小不变.615约分后是25，49约分后是23. 大于13而且小于12的分数有无数多个 分子分母是相邻正整数的分数（ ）A. 一定不是最简分数B. 不一定是最简分数C. 一定是最简分数D. 无法判定【能力检测】1．一条水渠长150米，已经挖好60米，还需挖全长的 。
（用最简分数表示）2．已知x 48=2436，则x= 3．108千克花生可榨油96千克,平均一千克花生能榨油____千克.(结果用最简分数表示)4．三年前小杰12岁，他妈妈42岁，现在小杰年龄是他妈妈年龄的 （填最简分数）。
素数环题解——精选推荐
素数环题解素数环：从1 到n这n 个数摆成⼀个环，要求相邻的两个数的和是⼀个素数。
给定n的取值，输出其解所有的排列⽅式及解的个数样例输⼊6样例输出<1>1 4 3 2 5 6<2>1 6 5 2 3 42注：此题素数环拥有多种输⼊输出格式，⼩编只是举例说明。
此程序只⽀持，输⼊填⼊数的范围，输出素数环所有解的排列及排列数量。
不为某⾕……等⽹站题⽬的输出格式，但思路相同，解相同，还⿇烦⼤家⾃⾏修改输出格式。
今天为⼤家带来⼀道经典深搜题--------素数环。
读完题后即可得到⼀种思路：利⽤深搜递归的特性，⼀个⼀个像填表⼀样将满⾜条件的合法数依次填⼊环，再定义⼀个判断素数的函数来判断相邻两个数和是否为素数，计⼊⼀个⼀维数组中，在定义⼀个计数器tot记录解的个数，同时也可于每次输出表⽰此时输出的是第⼏组解。
此时，必须注意⼀个题⽬的要求：从1 到n这n 个数摆成⼀个环，即为每个数只可⽤⼀次，故可定义⼀⼤⼩为n的bool⼀维数组数组来记录，判定在同⼀素数环中是否有两个重复的数，即可完美的满⾜题意。
⼤体思路确定了，俗话说细节决定成败，写代码也是⼀样。
那么在代码细节上我们应该注意些什么呢？在此，⼩编在写代码时遇到了⼏个细节问题：1.与search函数，即深搜dfs函数中，在判定其相邻两点和是否为素数时，不要忘记判定此点是否被⽤过。
2.在素数环填完后，不要忘记素数环是⼀个环，要将也相邻的两数a[n]与a[1]的和也判断素数，在判定此素数环是否合法后再进⾏输出。
3.由于素数环是从1开始求解，故在dfs搜索时，必会使⽤其前驱（即上⼀个节点）a[0]的值，但a[0]的值永远不变，为初始值0，故会出现⼤错（可能会1分不得）。
故不可直接从a[1]开始搜索，需⽤循环先枚举a[1]的取值，从下标为2开始搜索。
（重中之重，核⼼问题所在）讲了着么多，上AC代码：#include<iostream>using namespace std;bool b[101]={0};//b数组记录与同⼀个环中是否⽤了重复的数int tot=0,a[101]={0},n;//tot记录此时搜索到第⼏个解，并统计解的个数,a数组保存素数环的排列，每次搜索成功⼀种解就输出int print()//输出素数环每个解的排列⽅式{int j;tot++;//进⼊print函数即代表搜索到了⼀组解，即可将计数器tot++cout<<"<"<<tot<<">";//输出即表⽰，此时输出的是第tot组解for(j=1;j<=n;j++){cout<<a[j]<<" ";}//输出素数环的排列，即⼀组解cout<<endl;}bool pd(int a,int b)//判断相邻两数的和是否为素数,传参两个数{int i;int c=a+b;//记录两个数的和if(c==0||c==1){return false;}//如和为0或1，即0,1均不为素数，故返回false，表⽰此搜索情况构不成素数环//tips:其实此判断可有可⽆，因解其最⼩值，1加上⼀个⽐⼀⼤的数定⼤于0和1for(i=2;i<c;i++){if(c%i==0){return false;}}//从2搜索到c-1，因素数的定义为除1与本⾝外并⽆其他因数，故在2~c-1的区间内只要有⼀数可整除，便不是素数，故返回false，表⽰此搜索情况构不成素数环return true;//如直⾄循环结束都⽆返回值，即表⽰于2~c-1的区间内⽆c的因数，即c为素数，即两数和为素数，故返回true，表⽰此搜索情况可以构成素数环int search(int t)//深搜，函数名也可写为dfs，从a[t]开始搜索，建⽴素数环{int i;for(i=1;i<=n;i++)//从1~边界n，区间内遍历，寻找和为素数的两数{if(pd(a[t-1],i)&&(!b[i]))//找到⼀个可与a[t-1],即前⼀个数两两匹配的数a[t]，条件为两数之和为素数（故调⽤pd，即判断素数函数），且于此素数环中没⽤过此数（利⽤bool类型的b数组记录此数是否⽤过，没⽤过即为0，⽤过记为1）{a[t]=i;//如满⾜上述条件，即此数i可填⼊单元a[t]之中，即是⼀种解，将其计⼊a数组b[i]=1;//将计⼊单元a[t]的数字i的标记即为1，即在此素数环中已⽤过此数if(t==n)//如记录的t下标已到了最终边界n，即已填完此素数环{if(pd(a[n],a[1])==true)//因此素数环是⼀个环，是联通的，故a[n]与a[1]亦相邻，故需判断a[n]与a[1]的和是否为素数（调⽤判断素数函数pd），如返回值为true，则此素数环为正解，为合法的素数环，如返回值为false，即此素数环不合法，为错误解{print();//如是，调⽤输出函数print(),将正解a数组输出}}else{search(t+1); //如不是，即没有填完，则继续填写下⼀个数字单元a[t+1]}b[i]=0; //回溯}}}int main(){int i;while(cin>>n)//⼩编将这⾥写成了可输⼊多组测试数据，⼤家可尽情调试哈{for(i=1;i<=n;i++)//由于素数环是从1开始求解，故在dfs搜索时，必会使⽤其前驱（即上⼀个节点）a[0]的值，但a[0]的值永远不变，为初始值0，故会出现⼤错（可能会1分不得）。
数论中的整除性质练习题
数论中的整除性质练习题数论作为数学的一个重要分支，研究的是整数的性质和规律。
其中，整除性质是数论中的基础概念之一，广泛运用于解决各种数学问题。
本文将提供一些数论中的整除性质练习题，以帮助读者加深对该概念的理解和应用。
1. 题目：求证任意正整数的连续相加一定可以被连续相乘整除。
解析：对于任意正整数 n，我们需要证明它的连续相加一定可以被连续相乘整除。
设连续相加的和为 S，连续相乘的积为 P。
由于我们要证明的是对于任意正整数 n 都成立，所以我们可以通过归纳法来进行证明。
当 n = 1 时，显然连续相加的和和连续相乘的积都是 1，满足整除性质。
假设对于 n = k 成立，即 k 个连续正整数的和一定可以被连续正整数的乘积整除。
那么对于 n = k + 1，我们需要证明 (1 + 2 + ... + k + k+1) 能够被 (1 *2 * ... * k * (k+1)) 整除。
根据归纳假设，(1 + 2 + ... + k) 能够被 (1 * 2 * ... * k) 整除。
所以我们可以将 (1 + 2 + ... + k + k+1) 分解为 [(1 + 2 + ... + k) + k+1]。
由于 (1 + 2 + ... + k) 和 (k+1) 都是正整数，根据整除定义，整数 a 能够整除整数 b，等价于 b 可以被 a 整除。
因此，(1 + 2 + ... + k + k+1) 能够被 (1 * 2 * ... * k * (k+1)) 整除。
由此可见，任意正整数的连续相加一定可以被连续相乘整除，得证。
2. 题目：找出 1000 以内的所有素数。
解析：素数是只能被 1 和本身整除的正整数，大于 1。
我们需要找出 1000 以内的所有素数。
对于这个问题，我们可以使用试除法。
即对于每一个整数 n，从 2开始依次将 n 除以 2、3、4、5 等小于或等于 n 开平方根的整数，判断是否存在能够整除 n 的整数。
六年级下册数学总复习试题-质数和合数专项练(通用版 含答案)
六年级下册数学总复习试题-质数和合数专项练一、单选题1.两个连续的自然数（0除外）的积一定是（）A. 质数B. 合数C. 奇数D. 偶数2.把30分解质因数应该写成的形式为（）A. 30=5×6B. 30=2×3×5C. 30=1×2×3×5D. 2×3×5=303.下面3个数中，( )是素数A. 37B. 57C. 874.一个两位数，个位上和十位上的数都是合数，并且是互质数，这个数最大为（）A. 94B. 98C. 995.互质的两个数（）A. 都是质数B. 都是合数C. 可能是质数也可能是合数6.把54分解质因数,正确的是（）A. 54＝2×9×3B. 54＝2×27C. 54＝2×3×3×3D. 54=3×187.2是：（）A. 最小的偶数B. 最小的质数C. 最小的合数8.15分解质因数是（）A. 15×15B. 15=3×5C. 3×5=159.两个质数相乘的积一定是（）A. 奇数B. 偶数C. 合数10.一个正方形的边长是一个质数，这个正方形的周长一定是（）。
A. 合数B. 奇数C. 质数二、判断题11.判断对错10是1、2、5、10的倍数，所以，1、2、5和10都是10的约数．12.判断对错．最小的质数是3．13.判断对错．两个质数的积一定是合数．14.判断下面的话的对错．把105分解质因数，可以写成：105＝3×5×715.判断对错.所有的偶数一定是合数，所有的质数一定是奇数．16.判断，正确的填“正确”，错误的填“错误”．质数就是质因数．17.判断对错．所有的非0自然数不是质数就是合数．18.判断对错．大于2的两个质数的乘积是合数．19.判断对错．质数都是奇数．20.判断对错一个质数与比它小的每一个非0的自然数互质三、填空题21.一个四位数，千位上是最小的质数，百位上是最小的合数，十位上既不是质数也不是合数，个位上既是奇数又是合数，这个数是________。
整数问题(好题选)1(30道,含详细解答)
整数问题（好题选）1整数问题（好题选）1一．解答题（共30小题）1．求方程2x2﹣7xy+3y3=0的正整数解．2．若n为自然数，n+3与n+7都是质数，求n除以3所得的余数．3．有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50，求这个数．4．满足被3除余1，被4除余2，被5除余3，被6除余4的最小自然数是？5．数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5．问：具有这种性质的三位数还有哪些？6．设p，q，r都是质数，并且p+q=r，p＜q．求p．7．证明：当n＞2时，n与n！之间一定有一个质数．8．已知n是正整数，且n4﹣16n2+100是质数，求n的值．9．p是质数，p4+3仍是质数，求p5+3的值．10．设n是大于1的正整数，求证：n4+4是合数．11．是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px2﹣qx+p=O有有理数根？12．设a，b，c，d为正整数，并且ab=cd，试问a+b+c+d能不为质数？13．试证明：形如111111+9×10n（n为自然数）的正整数必为合数．14．求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．15．令a，b，c为整数，并且满足a+b+c=0．假设d=a1999+b1999+c1999．请问：（a）有没有可能d=2？（b）有没有可能d是个质数？（大于1的整数，如果只有1及本身的因子，称它为质数．）16．求所有的素数对（p，q），使得pq|5p+5q．17．小于10且分母为36的最简分数有多少个？18．已知a，b，c是三个两两不同的奇质数，方程有两个相等的实数根．（1）求a的最小值；（2）当a达到最小时，解这个方程．19．已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？（1）三条边长均是正整数；（2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．20．自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_________个．21．求336与1260的最大公约数和最小公倍数．22．甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果8月17日他们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？23．一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；②对于点（a，b），如果a＞b，则能从（a，b）跳到（a﹣b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b﹣a）．例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．（1）（3，5）；（2）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．24．如图，一个圆圈上有n （n＜100=个孔．小明像玩跳棋一样，从A孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A孔．他先每步跳过2个孔，结果只能跳到B孔；他又试着每步跳过4个孔，结果还是跳到B；最后他每步跳过6孔，正好回到A孔．问这个圆圈上一共有多少个孔？25．已知x、y为正整数，且满足xy﹣（x+y ）=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对（x，y ）（x≥y ）．26．有很多种方法可以将2001写成25个自然数之和，对于每一种写法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这个最大公约数的最大值是多少？27．两个正整数最大公约数是7，最小公倍数是105．求这两个数．28．已知两个数的和是45，他们的最小公倍数是168，求这两个数．29．1到100中，与100互质的所有自然数之和是多少？（配对）30．三个自然数的最大公约数是10，最小公倍数是100，满足要求的三数组共有多少组？整数问题（好题选）1参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．求方程2x2﹣7xy+3y3=0的正整数解．考点：高次方程．专题：计算题．分析：将原方程看作是关于x的一元二次方程，则△≥0，据此可以求得y的取值范围，从而求得y的正整数解；然后根据y的正整数解来求x的整数解．解答：解：∵方程2x2﹣7xy+3y3=0有正整数解，∴△=49y2﹣24y3=y2（49﹣24y）≥0，且y＞0，解得，0＜y≤；∴y=1或y=2；①当y=1时，原方程化为2x2﹣7x+3=0，即（2x﹣1）（x﹣3）=0，解得，x=（舍去），或x=3；∴原方程的解是：；②当y=2时，原方程化为2x2﹣14x+24=0，即（x﹣3）（x﹣4）=0，解得，x=3或x=4；∴原方程的解是：；．点评：本题考查了高次方程的解法．通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．2．若n为自然数，n+3与n+7都是质数，求n除以3所得的余数．考点：带余除法；质数与合数．专题：计算题．分析：因为求n除以3所得的余数，所以设n=3k（k是一个非负整数），然后将其代入n+3和n+7，并由n+3与n+7都是质数对其进行论证．解答：解：∵n除以3所得的余数只可能为0、1、2三种．①若余数为0，即n=3k（k是一个非负整数，下同），则n+3=3k+3=3（k+1），所以3|n+3，又3≠n+3，故n+3不是质数，与题设矛盾．②若余数为2，且n=3k+2，则n+7=3k+2+7=3（k+3），故3|n+7，n+7不是质数；与题设矛盾．所以n除以3所得的余数只能为1．点评：本题考查了关于质数与合数及带余数除法的题目．一个整数除以m后，余数可能为0，1，…，m﹣1，共m 个，将整数按除以m所得的余数分类，可以分成m类．如m=2时，余数只能为0与1，因此可以分为两类，一类是除以2余数为0的整数，即偶数；另一类是除以2余数为1的整数，即奇数．同样，m=3时，就可将整数分为三类，即除以3余数分别为0、1、2这样的三类．通过余数是否相同来分类是一种重要的思想方法，有着广泛的应用．3．有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50，求这个数．考点：带余除法．分析：根据题意，70+110+160﹣50一定是这个整数的倍数，由于三个余数的和为50，从而可知这个整数比50要小，可把这个整数的倍数写成几个数的乘积的形式，其中一个数一定要小于50，列式解答即可得到答案．解答：解：70+110+160﹣50=180+160﹣50，=340﹣50，=290，因为：2×5×29=290，58×5=290，因为这个整数不能为2、5、10，只能为58或29，110÷58=1…52，不符合题意，故舍去；70÷29=2…12，110÷29=3…23，160÷29=5…15，12+23+15=50．答：这个数为29．点评：此题考查了带余除法，解答此题的关键是确定几个被除数相加再减去余数的和是这个除数的倍数，然后再根据余数和为50确定除数的范围即可．4．满足被3除余1，被4除余2，被5除余3，被6除余4的最小自然数是？考点：带余除法．分析：从题中可以看出这个数加2就能被3，4，5，6整除，所以要先求3，4，5，6的最小公倍数，6是3的倍数，求4，5，6的最小公倍数，是60，再用这个数减2，可知最小为58．解答：解：∵4=2×2，6=2×3，∴3、5、4和6的最小公倍数是2×3×2×5=60，∴60﹣2=58．答：满足被3除余1，被4除余2，被5除余3，被6除余4的最小自然数是58．点评：此题主要考查应用最小公倍数的知识解决实际问题的能力，注意求最小公倍数时，把它们分解质因数后，把公有的质因数和独有的质因数连乘所得的积就是它们的最小公倍数．5．数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5．问：具有这种性质的三位数还有哪些？考点：带余除法．分析：被2除余1；被3除余2；被4除余3；被5除余4；被6除余5，就是这个数加上1能同时被2、3、4、5、6整除，即这个数同时是2、3、4、5、6的倍数，先找出2、3、4、5、6的最小公倍数60，设这个数为60x ﹣1，然后分析是三位数的即可．解答：解：这个三位数加上1，就能同时被2、3、4、5、6整除，即这个数同时是2、3、4、5、6的倍数，而2、3、4、5、6的最小公倍数是60，设这个数为60x﹣1．根据3位数的条件有：100≤60x﹣1≤999，解得：2≤x≤16，因为这些三位数是60x﹣1，2≤x≤16，所以这些三位数是119，179，239，299，359，419，479，539，599，659，719，779，839，899，959．故具有这种性质的三位数还有179，239，299，359，419，479，539，599，659，719，779，839，899，959．点评：此题考查了带余除法，解答本题关键是由被2除余1；被3除余2；被4除余3；被5除余4；被6除余5，就是这个数加上1能同时被2、3、4、5、6整除．然后找出2、3、4、5、6的最小公倍数60，设这个数为60x﹣1，进行分析是三位数的一共几个．6．设p，q，r都是质数，并且p+q=r，p＜q．求p．考点：质数与合数．专题：探究型．分析：先根据已知条件判断出r是奇数，再根据p+q=r可判断出p，q为一奇一偶，根据在所有偶数中只有2是质数可求出答案．解答：解：∵r=p+q，∴r不是最小的质数，从而r是奇数，∴p，q为一奇一偶，∵p＜q，∴p既是质数又是偶数，∴p=2．故答案为：2．点评：本题考查的是质数与合数、奇数与偶数的定义，解答此类题目时要注意在所有偶数中只有2是质数这一特点．7．证明：当n＞2时，n与n！之间一定有一个质数．考点：质数与合数．专题：证明题．分析：用（a，b）表示自然数a，b的最大公约数，如果（a，b）=1，那么a，b称为互质（互素），所以（n！，n！﹣1）=1．解答：证明：首先，相邻的两个自然数是互质的．这是因为（a，a﹣1）=（a，1）=1，于是有（n！，n！﹣1）=1，由于不超过n的自然数都是n！的约数，所以不超过n的自然数都与n！﹣1互质（否则，n！与n！﹣1不互质），于是n！﹣1的质约数p一定大于n，即n＜p≤n！﹣1＜n！，所以，在n与n！之间一定有一个质数．点评：本题主要考查了质数与合数的概念，在解题时，首先要明确相邻的两个自然数是互质的．8．已知n是正整数，且n4﹣16n2+100是质数，求n的值．考点：质数与合数．专题：探究型．分析：从因数分解的角度看，质数只能分解成l和本身的乘积（也可从整除的角度看），故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．解答：解：∵n4﹣16n2+100=n4+20n2+100﹣36n2=（n2+6n+10）（n2﹣6n+10），∵n2+6n+10≠1，而n4﹣16n2+100为质数，∴n2﹣6n+10=1，即|（n﹣3）2=0，解得n=3．故答案为：3．点评：本题考查的是质数的定义，即质数就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数．9．p是质数，p4+3仍是质数，求p5+3的值．考点：质数与合数．专题：探究型．分析：先根据p是质数，p4+3为质数可判断出p4必为偶数，再根据所有偶数中只有2是质数判断出p=2，代入所求代数式即可求出p5+3的值．解答：解：∵p是质数，∴p4+3＞3又∵p4+3为质数，∴p4+3必为奇数，∴p4必为偶数，∴p必为偶数．又∵p是质数，∴p=2，∴p5+3=25+3=35．故答案为：35．点评：本题考查的是质数与合数，奇数与偶数的相关知识，熟知所有偶数中只有2是质数这一结论是解答此题的关键．10．设n是大于1的正整数，求证：n4+4是合数．考点：质数与合数．专题：探究型．分析：先把n4+4进行因式分解，再由n是大于1的正整数求出两个因数中较小的一个大于1即可．解答：证明：我们只需把n4+4写成两个大于1的整数的乘积即可，n4+4=n4+4n2+4﹣4n2，=（n2+2）2﹣4n2，=（n2﹣2n+2）（n2+2n+2），因为n2+2n+2＞n2﹣2n+2=（n﹣1）2+1＞1，所以n4+4是合数．点评：本题考查的是质数的定义，即在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数叫质数．11．是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px2﹣qx+p=O有有理数根？考点：质数与合数；根的判别式．专题：探究型．分析：先设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q2﹣4p2=n2，再把此方程化为完全平方的形式，再根据q ﹣n与q+n同为偶数列出关于n、p、q的方程组，用p表示出q，再根据q﹣n与q+n同为偶数而p．q为质数可知p=2，代入关于p、q的式子，求出符合条件的p、q的对应值，代入原方程求出方程的根，再根据有理数的概念进行解答即可．解答：解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q2﹣4p2=n2，规定其中n是一个非负整数．则（q﹣n）（q+n）=4p2．（5分）由于1≤q﹣n≤q+n，且q﹣n与q+n同奇偶，故同为偶数，因此，有如下几种可能情形：、、、、消去n，解得．（10分）对于第1，3种情形，p=2，从而q=5；对于第2，5种情形，p=2，从而q=4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．又当p=2，q=5时，方程为2x2﹣5x+2=0，它的根为，它们都是有理数．综上所述，存在满足题设的质数．（15分）点评：本题考查的是质数与合数的概念、根的判别式、奇数与偶数，涉及面较广，难度较大．12．设a，b，c，d为正整数，并且ab=cd，试问a+b+c+d能不为质数？考点：质数与合数．专题：证明题．分析：证明一个数为合数时，一定要注意其因数大于1．解答：解：由于ab=cd，故由质因数分解定理，存在正整数c1，c2，d1，d2，使得d=d1d2，a=c1d1，b=c2d2，于是a+b+c+d=（c1+d2）（c2+d1）为合数．全解2：由于a+b+c+d=a+b+c+=为整数，从而存在整数c1，c2，使c=c1c2，且均为整数，将它们分别记作k与m，由a+c＞c≥c1，b+c＞c≥c2，得k＞1，且m＞1，从而a+b+c+d=km为合数，即不可能为质数．点评：本题主要考查的质数与合数的概念，在解答此题时，首先要熟练掌握质因数分解定理．13．试证明：形如111111+9×10n（n为自然数）的正整数必为合数．考点：质数与合数．专题：证明题．分析：因为111111=3×37037，9×10n=3×3×10n，所以111111+9×10n=3×（37037+3×10n）（n为自然数）能被3整除，所以根据合数的定义可知形如111111+9×10n（n为自然数）的正整数必为合数．解答：证明：∵111111=3×37037，9×10n=3×3×10n，∴111111+9×10n=3×（37037+3×10n），∴3|111111+9×10n（n为自然数），∴形如111111+9×10n（n为自然数）的正整数必为合数．点评：本题主要考查的是合数的定义．一个数除了1和它本身以外还有别的因数（第三个因数），这个数叫做合数．14．求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．考点：质数与合数．专题：探究型．分析：这是一个找符合条件的质数问题．由于质数分布无一定规律，因此从最小的质数试验起．希望能找到所求的质数，然后再加以逻辑的证明．解答： 解：因为2+10=12，2+14=16，所以质数2不适合；因为3+10=13，3+14=17，所以质数3适合； 因为5+10=15，5+14=19，所以质数5不合适； 因为7+10=17，7+14=21，所以质数7不适合； 因为11+10=21，11+14=25，所以质数11不适合； …把正整数按模3同余分类．即：3k ﹣1，3k+1（k 为正整数）． 因为（3k ﹣1）+10=3k+9=3（k+3）是合数，（3k+1）+14=3k+15=3（k+5）是合数， 所以3k ﹣1和3k+1这两类整数中的质数加上10和14后不能都是质数，因此，在3k ﹣1和3k+1两类整数中的质数加上10和14后当然不能都是质数． 对于3k 这类整数，只有在k=1时，3k 才是质数，其余均为合数． 所以所求的质数只有3． 故答案为：3．点评： 本题考查的是质数与合数的概念，熟知质数与合数的概念是解答此题的关键．15．令a ，b ，c 为整数，并且满足a+b+c=0．假设d=a 1999+b 1999+c 1999．请问： （a ）有没有可能d=2？（b ）有没有可能d 是个质数？（大于1的整数，如果只有1及本身的因子，称它为质数．）考点： 质数与合数． 专题： 探究型．分析： （1）若a 、b 、c 中有一个正数大于等于2，则d 将超过2，再由a+b+c=0可知，a+b=﹣c ，由于a ，b ，c 为整数，若d=2，则a 、b 、c 中必有一正一负两个数，由于a 、b 、c 为整数，故d=2不成立；（2）若d 为质数，则a 1999、b 1999、c 1999的和为质数，若a 为正数，则b+c 为负数；若a 为0，则b 、c 互为相反数．解答： 解：（1）∵a+b+c=0，∴a+b=﹣c ，∵若d=2，则a 、b 、c 中必有一正一负两个数， ∵a ，b ，c 为整数， ∴a 1999+b 1999+c 1999=2不可能成立． （2）在d=a 1999+b 1999+c 1999中， a 为0，则b 、c 互为相反数时， d=0，不是质数；a 为正数，则b+c 为负数， d 可能为质数．点评： 此题考查了关于质数的相关运算，要分类讨论，不要漏解．16．求所有的素数对（p ，q ），使得pq|5p +5q ．考点：质数与合数． 专题：证明题． 分析： 注意素数即是质数，可以从小到大，利用列举法求解即可．首先设p 为2，可得（2，3），（2，5）合乎要求；当p 为大于2的数时，可知pq 为奇数，分析可得符合条件的素数对有（5，5）、（5，313）合乎要求，因为是有序数对，所以（3，2），（5，2），（313，5）也符合要求．解答： 解：若2|pq ，不妨设p=2，则2q|52+5q ，故q|5q +25． ∵q|5q ﹣5， ∴q|30，即q=2，3，5．易验证素数对（2，2）不合要求，（2，3），（2，5）合乎要求．若pq 为奇数且5|pq ，不妨设p=5，则5q|55+5q ，故q|5q ﹣1+625．当q=5时素数对（5，5）合乎要求，当q ≠5时，由Fermat 小定理有q|5q ﹣1﹣1，故q|626．由于q 为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以q=313．经检验素数对（5，313）合乎要求．若p ，q 都不等于2和5，则有pq|5p ﹣1+5q ﹣1，故5p ﹣1+5q ﹣1≡0（bmodp ）．①由Fermat 小定理，得5p ﹣1≡1（bmodp ），②故由①，②得5q ﹣1≡﹣1（bmodp ）．③ 设p ﹣1=2k （2r ﹣1），q ﹣1=2l （2s ﹣1），其中k ，l ，r ，s 为正整数． 若k ≤l ，则由②，③易知，这与p ≠2矛盾！所以k ＞l ．同理有k ＜l ，两结论矛盾，即此时不存在合乎要求的（p ，q ）． 综上所述，所有满足题目要求的素数对（p ，q ）为： （2，3），（3，2），（2，5），（5，2），（5，5），（5，313）及（313，5）．点评： 此题考查了学生对质数意义的理解，还有对有序数对含义的理解．解此题的关键是分类讨论思想的应用，注意要不重不漏的表示出所有答案．17．小于10且分母为36的最简分数有多少个？考点： 质数与合数． 分析：最简分数的意义：分子分母是互质数的分数就是最简分数，据此先在0～1内找，最简分数有：、、、、、、、、、、、，共有12个，然后乘以10即可找出小于10且分母为36的最简分数有多少个，据此解答．解答：解：0～1中分母是36的最简分数有：、、、、、、、、、、、，共有12个，1～2中分母是36的最简分数有：（即1+）、（即1+）、（即1+）、（即1+）、（即1+）、（即1+）、（即1+）、（即1+）、（即1+）、（即1+）、（即1+）、（即1+），共有12个，…以此类推，可得小于10且分母为36的最简分数有12×10=120个． 答：小于10且分母为36的最简分数有120个．点评： 本题考查了质数与合数的知识及最简分数的定义，解答本题的关键是先找出0～1中分母是36的最简分数，然后数出个数乘以10即可．18．已知a ，b ，c 是三个两两不同的奇质数，方程有两个相等的实数根．（1）求a 的最小值；（2）当a 达到最小时，解这个方程．考点：质数与合数；根的判别式．分析：（1）首先由方程有两个相等的实数根，可得：△=5（a+1）2﹣900（b+c）=0，即可得到：（a+1）2=22×32×5（b+c），则可求得a+1的最小值，得到a的最小值；（2）将最小值代入方程，求解即可．解答：解：（1）∵方程有两个相等的实数根，∴△=5（a+1）2﹣900（b+c）=0，∴（a+1）2=22×32×5（b+c），∴5（b+c）应为完全平方数，最小值为52×22，∴a+1的最小值为60，∴a的最小值为59；（2）∵a=59时，b+c=20，则原方程为：20x2+60x+225=0，解得：x=﹣．点评：此题考查了一元二次方程的判别式和质数的意义．解此题的关键是抓住判别式△=0．19．已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？（1）三条边长均是正整数；（2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．考点：质数与合数；勾股定理．专题：计算题．分析：首先假设存在，设另一条直角边长为x，斜边长为y，则x、y为正整数，然后根据题意可得：p2+x2=y2，即可得：（y+x）（y﹣x）=p2，又由p为素数，讨论分析即可求得．解答：解：假设存在，令另一条直角边长为x，斜边长为y，则x、y为正整数．由勾股定理得p2+x2=y2．化为（y+x）（y﹣x）=p2．因为p为素数（也称质数），且y+x＞y﹣x，所以只有从而．若p=2，则x、y不是整数，这样的三角形不存在；若p为奇素数，x、y都是整数，这样的三角形存在．综上所述，可知：p为偶素数2时，满足条件的三角形不存在；p为奇素数时，满足条件的三角形存在，且另一条直角边长为．点评：此题考查了素数的意义和勾股定理等知识．难度较大，要注意分类讨论思想的应用．20．自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有4个．专题：计算题．分析：根据个位数字与十位数字都是质数，可得这个两位质数的个位数字和十位数字只能是：2、3、5、7．解答：解：因为N是质数，且其个位数字和十位数字都是质数，那么十位数字和个位数字只能是：2、3、5、7，所以符合题意的两位数质数有：23，37，53，73，有4个；答：这样的自然数有4个．故答案为：4．点评：此题考查了质数的灵活应用，理解十位数字与个位数字都是质数的两位质数是由：2、3、5、7组成的是本题的关键．21．求336与1260的最大公约数和最小公倍数．考点：约数与倍数．专题：计算题．分析：利用分解质因数法来解答．把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，叫做分解质因数．解答：解：∵336=24×3×7，1260=22×32×5×7，∴336和1260的最大公约数为：22×3×7=84；336和1260的最小公倍数为：24×32×5×7=5040．点评：本题主要考查了最大公约数与最小公倍数的求法．①求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数．②在计算多个数的最小公倍数时，对其中任意两个数存在的约数都要算出，其它无此约数的数则原样落下．最后把所有约数和最终剩下无法约分的数连乘即得到最小公倍数．22．甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果8月17日他们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？考点：约数与倍数．专题：应用题．分析：根据已知条件先求出他们再等多少天才能重逢，然后根据所求的数据推算它是几月几日．解答：解：∵甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，∴他们下一次见面需隔的天数是6、8、9，又∵6、8、9的最小公倍数是72，∴他们再在72后相见，即在10月28日再次见面．点评：本题考查的是最大公约数与最小公倍数的应用题．最小公倍数的性质：①两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，且最小公倍数是最大公约数的倍数，即：如果（a，b）=d，[a，b]=m，那么，dm=ab，且d|m；②如果一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除，或者说，一些数的公倍数一定是这些的最小公倍数的倍数，即：若[a1，a2，a3，…．a]=m，而a1|N，a2|N，…a n，那么m|N．23．一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；②对于点（a，b），如果a＞b，则能从（a，b）跳到（a﹣b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b﹣a）．例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．（1）（3，5）；（2）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．专题：推理填空题．分析：根据题目要求及两个规则，可以得到，a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数．所以由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．又由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．所以而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．由此可排除不能到达的点．解答：解：（1）能到达点（3，5）和点（200，6）．从（1，1）出发到（3，5）的路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）→（3，4）→（3，8）→（3，5）．从（1，1）出发到（200，6）的路径为：（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6）→（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6）→（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）；（2）不能到达点（12，60）和（200，5）．理由如下：∵a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数，∴由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．∵如果a＞b，a和b的最大公约数=（a﹣b）和b的最大公约数，如果a＜b，a和b的最大公约数=（b﹣a）和b的最大公约数，∴由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．∵1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5．∴从（1，1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．点评：此题主要考查了学生对公约数及公约奇数的理解和掌握，此题解题的关键是着重分析规则运用公约数解答．此题较难，是好题，能培养学生的分析判断能力．24．如图，一个圆圈上有n （n＜100=个孔．小明像玩跳棋一样，从A孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A孔．他先每步跳过2个孔，结果只能跳到B孔；他又试着每步跳过4个孔，结果还是跳到B；最后他每步跳过6孔，正好回到A孔．问这个圆圈上一共有多少个孔？考点：约数与倍数．专题：应用题．分析：根据题意知，n是3、5、7的倍数，所以问题就转化为求3、5、7的最小公倍数的问题．解答：解：依题意，每步跳过2孔，连起点一共要跳过3个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是3的倍数，有3|n ﹣1；每步跳过4个孔，连起点一步要跳过5个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是5的倍数，因此，有5|n﹣1；又每步跳过6个孔时，可回到A孔，这表明7|n．因（3，5）=1，故15|n﹣1．因n＜100，故n只可能是16，31，46，61，76，91，其中仅有91是7的倍数，故n=91，即圆圈上有91个孔．点评：本题主要考查了关于最小公倍数的应用题．提取公因数法适用于求两个以上数的最小公倍数，方法步骤是：（1）先提取出这几个数的最大公因数，可以分次提取（此时所得的商互质，但不一定两两互质）；（2）再在不互质的商中提取公因数，其他商照写下来，直到各商两两互质为止；（3）最后把提取出的各数及各商数连乘起来，乘积就是这几个数的最小公倍数．25．已知x、y为正整数，且满足xy﹣（x+y ）=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对（x，y ）（x≥y ）．考点：约数与倍数．专题：计算题．分析：此题需分类讨论，①当x是y的倍数时，设x=ky（k是正整数）．解方程k（y﹣2）=3；②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp．解方程abp﹣1=（a﹣1）（b﹣1）即可．解答：解：①当x是y的倍数时，设x=ky（k是正整数）．则由原方程，得ky•y﹣（ky+y）=2y+ky，∵y≠0，∴ky﹣（k+1）=2+k，∴k（y﹣2）=3，当k=1时，x=5，y=5；当k=3时，x=9，y=3；∴，；②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp，代入原式得：abp2﹣（ap+bp）=2p+abp，即abp﹣1=（a+1）（b+1）当p=1时，a+b=2，可求得a=1，b=1，此时不满足条件；当p＞1时，abp≥2ab﹣1=ab+（ab﹣1）≥ab＞（a﹣1）（b﹣1）此时，abp﹣1=（a﹣1）（b+1）不满足条件；综上所述，满足条件的数对有：，．点评：本题主要考查的是最大公约数与最小公倍数．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数．26．有很多种方法可以将2001写成25个自然数之和，对于每一种写法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这个最大公约数的最大值是多少？考点：约数与倍数．分析：根据2001=3×23×29=69×（1×24+5），即2001可写成：24个69、1个69×5=345的和，或23个69、1个69×2=138，1个69×4=276的和，或23个69、2个69×3=207的和，或22个69、2个69×2=138，1个69×3=207的和，或21个69、4个69×2=138的和，这25个自然数的最大公因数必定能整除3×23×29．这些公因数中的最大值不可能超过3×29=87，否则这25个之和必定大于2001，所以最大值是3×23=69，它们的最大公因数都是69．解答：解：因为2001=3×23×29=69×（1×24+5），从69×（1×24+5）可以看题目需要分多少份（本题是25份），可以是：24个69、1个69×5=345的和，或23个69、1个69×2=138，1个69×4=276的和，或23个69、2个69×3=207的和，或22个69、2个69×2=138，1个69×3=207的和，或21个69、4个69×2=138的和，。
《初等数论》习题集
第1章第 1 节1. 证明定理1。
2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。
3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。
4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。
5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。
第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。
2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。
3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。
4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。
5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。
第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。
3. 证明定理4的推论1和推论3。
4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。
5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。
6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。
第 4 节1. 证明定理1。
2. 证明定理3的推论。
3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。
4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。
5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。
沪教版六年级C专题(分解素因数2星)
-------------分解素因数（★★）1.能正确熟练地分解素因数。
2.培养观察、比较、概括和判断的能力。
3.通过素数与合数两个概念的教学，渗透“对立统一”的辩证唯物主义的观点。
知识结构1.一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数。
2.每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
3.几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
4.两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。
如果这两个数互素，那么他们的最大公因数就是1.5.几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
1.本部分建议时长5分钟.2.对于基础较薄弱的学生，可以让其先复习书本，再做填空.1.本部分建议时长25分钟.“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：“典例精讲”这一部分的教学，可采用下面的策略：2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题.3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题.题型一：质数、合数例题1判断下列各数是素数还是合数：25，1，51，2，37。
(★)答案：25,51是合数，2,37是素数，1既不是素数也不是合数。
判断一个数是素数还是合数主要看因数的个数：只有2个因数的数是素数；有2个以上因数的数是合数；1的因数只有它本身，既不是素数也不是合数。
例题2判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确. (★★)1.奇数一定是素数，偶数一定是合数。
素数题目解答
yes
19
no
20
yes
5
1、筛法求素数
const int N=1e5+10; bool a[N]; int main(){
a[0]=a[1]=1; for(int i=2;i*i<=N;i++){
if(!a[i]){ for(int j=i*i;j<=N;j+=i) a[ j]=1;
} } scanf("%d",&n); for(int i=0;i<n;i++){
输出：
所有小于等于n的素数对。每对素数对输出一行，中间用单个空格隔开。若没
有找到任何素数对，输出empty。 样例输入 100
样例输出 35 57
11 13
17 19
29 31
41 43
59 61
71 73ຫໍສະໝຸດ 2、素数对#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int N=1e6+10; int a[N]; int main(){
3、判断素数的个数
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int N=1e6+10; int a[N]; int main(){
int n,m,b=0; a[0]=a[1]=1; for(int i=2;i*i<=N;i++){
4、回文素数
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int huiwen(int i){
奥数讲义数论专题：3 质数与合数
华杯赛数论专题：3 质数与合数基础知识：1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）.一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.1不是质数也不是合数，2是唯一的偶质数，3是最小的奇质数.除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1,3,7,9.2.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P的质数q（均为整数），使得q能够整除P ，那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但这样的计算量很大，对于不太大的P ，可以先找一个大于且接近P的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除P ，如果没有能除尽的，那么P就为质数.3.唯一分解定理每个大于1的自然数均可以分解为有限个素数的乘积，并且具有唯一（不计次序变化）的素数分解形式.例题例1.自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有几个？【答案】23，37，53，73.【解答】首先，个位数字不能是0，2，4，6，8，5，十位数字只能是3，7，所以满足要求的两位数有四个：23，37 ，53 ，73.例2.把质数373拆开（不改变各数字间的顺序），所有的可能只有3，7，37，73这四个数，它们都是质数. 请找出所有具有这种性质的两位和两位以上的质数.【答案】23，37，53，73，373【解答】用排除法，在所找的数中，各个数位上都不能出现0，1，4，6，8和9，否则拆成一位数时将出现这六个数，都不是质数. 另外除首位外，各位数字都不能出现2和5. 因此，可采用的数字只有3，7，2，5，其中2，5只能出现在首位，并且同一个数字不能连续出现.经检验，满足题意的数只有五个：23，37，53，73和373.例3.老师想了一个三位质数，各位数字都不相同.如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【答案】167、257、347、527或617中间的任意一个【解答】因为是质数，所以个位数不可能为偶数0，2 ，4 ，6 ，8. 也不可能是奇数5.如果末位数字是3或9，那么数字和将是3或9的两倍，因而能被它们整除，就不是质数了.所以个位数只能是 7.这个三位数可以是167、257、347、527或617中间的任意一个.例4.连续的九个自然数中至多有几个质数？为什么？【答案】4个【解答】如果连续的9个自然数在1到20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1~9中有4个质数2、3、5、7）.如果这连续的9个数中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中的奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必定有一个个位数是5，因而该数为合数.这样，至多另外4个奇数都是质数.综上，连续9个数中最多有4个质数.例5.三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.【答案】2，11，13或3，7，11【解答】设三个不同质数是a、b、c因为，所以a、b、c中，必定有一个质数是11，不妨设a＝11，则故可得<I>b</I>=2，c=13，或<I>b</I>=3，c=7，所以三个质数是2，11，13或3，7，11.例6.质数A、B、C、D满足A＋B＝C，A＋C＝D，那么A×C＋B×D是 .【答案】31【解答】如果A、B都是奇数，则C＝A＋B是大于2的偶数，不可能是质数，所以A、B有一个是偶数.同理A、C也有一个是偶数，因此只能是A＝2.那么B＋2＝C，C＋2＝D，即B、C、D是三个连续奇数，必定有一个是3的倍数，那么只能是B＝3，C＝5，D＝7.因此A×C＋B×D＝2×5＋3×7＝31.例7. 将135拆成4个互不相同的质数之和，使得其中两个质数的个位数字分别为1和7. 请写出两种满足要求拆分的方法：135＝________＝________.【答案】135＝2＋5＋31＋97＝2＋5＋61＋67【解答】四个质数不可能同为奇数，至少有一个偶质数，即为2，因此个位数字为1、2、7，所以第四个数字的个位数字是5且是质数，只能是5，所以原题变为把128拆成个位数字为1和7的两个质数之和，128＝31＋97=61＋67，所以135＝2＋5＋31＋97＝2＋5＋61＋67.例8.已知两个质数与一个合数的和是293，乘积是10336，那么这三个数中最大的是.【答案】272【解答】因为，其中三个数分别为2、19、272满足要求，故最大的数是 272.例9.请在下列算式中的每个方框内填入一个质数数字，使得等式成立，共有______种.□□＋□＝□□×□－□＝□□－□□＝□□÷□＋□【答案】4种【解答】第一个算式：32＋7或37＋2第二个算式：22×2－5或23×2－7第三个算式：72－33第四个算式：72÷2＋3例10.4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个合数，那么在这4个数字所能组成的四位数中，最大的是多少？【答案】8533【解答】将360分解质因数得，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个合数，所以该合数必至少为个质因数之积.而只有3个2相乘才小于10，所以这四个数为3、3、5、8，所能组成的最大四位数是8533.例11.把下面八个数分成两组，使这两组数的乘积相等.14、55、21、30、75、39、143、169【答案】（55、30、169、21）；（143、75、14、39）【解答】先把每个数都分解质因数如下：14＝2×7 21＝3×7 30＝2×3×5 39＝3×13 55＝5×11 75＝3×5×5 143＝11×13 169＝13×13，观察因子得到分组为：（55、30、169、21）；（143、75、14、39）.例12.5个连续质数的乘积是一个形如□△□□△□的六位数，其中□和△各代表一个数字，那么这个六位数是多少？【答案】323323【解答】因为□△□□△□＝□△□×1001＝□△□×7×11×13，又□△□为两个质数的乘积，所以□△□＝17×19=323，故六位数为323323.例13.幼儿园王老师带216元去买皮球，预计正好花光. 可实际上所购皮球价格比预计的便宜2元，个数比原计划的多9个，仍然恰好花光。
初等数论练习题
初等数论练习题一一、填空题1、τ(2420)=27； ϕ(2420)=_880_2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。
5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。
.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。
78、⎪⎭⎫ ⎝⎛10365 = -1 。
9、若p 是素数，则同余方程xp - 1 ≡1(mod p)二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。
解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。
作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。
2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-∙--∙-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。
3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
素数问题
素数问题1、请补充main函数。
该函数的功能是：求1～100(不包括100)以内所有素数的平均值。
程序运行后的结果为42.40。
注意：部分源程序在文件BLANK1.C中。
请勿改动main函数和其他函数中的任何内容，仅在main函数的横线上填入所编写的若干表达式或语句。
#include <stdlib.h>#include <stdio.h>void main(){int i, j, n=0, flag;float aver=0;system("CLS");for(j=2; j<100; j++){flag=1;for(i=2; i<j; i++)if(【1】){flag=0;break;}if(【2】){n++;aver+=j;}}printf("\n\n average=%4.2f\n",【3】);}【参考答案】(1) j%i＝＝0(2) flag＝＝1(3) aver/n下列给定程序中函数fun的功能是：计算并输出high以内最大的10个素数的和。
high的值由主函数传给fun函数。
例如，若high的值为100，则函数的值为732。
请改正程序中的错误，使程序能输出正确的结果。
注意：不得增行或删行，也不得更改程序的结构！#include <stdio.h>#include <math.h>int fun( int high ){ int sum = 0, n=0, j, yes;/************found************/while ((high >= 2) && (n < 10){ yes = 1;for (j=2; j<=high/2; j++ )if (high % j ==0 ){/************found************/yes=0; break}if (yes) { sum +=high; n++; }high--;}return sum ;}main ( ){printf("%d\n", fun (100));}【参考答案】(1)while((high>＝2) && (n<10))(2)yes＝0; break；下列给定程序中函数fun的功能是：判断一个整数是否为素数，若是素数返回1，否则返回0。
素数定理-单元测试题(含答案)
素数定理-单元测试题(含答案)
问题1
请判断下列各数中哪些是素数？
1. 7
2. 12
3. 23
4. 32
5. 41
答案1
正确的答案是：
1. 7 是一个素数，因为它只能被 1 和它自身整除。
2. 12 不是一个素数，因为它可以被 1、2、3、4、6 和 12 整除。
3. 23 是一个素数，因为它只能被 1 和它自身整除。
4. 32 不是一个素数，因为它可以被 1、2、4、8、16 和 32 整除。
5. 41 是一个素数，因为它只能被 1 和它自身整除。
问题2
请找出 1 到 20 之间的所有素数。
答案2
在 1 到 20 范围内，以下是所有的素数：
1. 2
2. 3
3. 5
4. 7
5. 11
6. 13
7. 17
8. 19
问题3
判断下列各数是否符合素数定理：
1.
2.
3.
4.
5.
答案3
以下是每个数是否符合素数定理的答案：
1. 符合素数定理
2. 符合素数定理
3. 符合素数定理
4. 符合素数定理
5. 符合素数定理
根据素数定理，当 n 趋近于无穷大时，小于等于 n 的素数的个数大致等于 n / ln(n)，其中 ln 表示自然对数。
而以上数值是在范围内，所以它们符合素数定理。
以上是《素数定理-单元测试题(含答案)》的内容。
参考资料。
素数的分布有规律性
素数的分布有规律性【摘要】文章中首先引入L等差数列组集合的概念，把素数分布范围压缩到L等差数列组集合中来，以便研究素数分布的规律性；并推导出素数的个数公式和素数分布的规律性。
【关键词】L等差数列组集合；行内素数；行内合数；素数个数公式1.L等差数列组集合概念的引入先把数列5+2（N-1）展开后，以每15个数为一组划分这个数列若干段，然后每一个段的15个数对齐地排列起来，就会得到由这15个等差数列5+30t、7+30t、9+30t、11+30t、13+30t、15+30t、17+30t、19+30t、21+30t、23+30t、25+30t、27+30t、29+30t、31+30t、33+30t 所组成的“群体”（这里t=0、1、2、3、……）。
接着，从这个“群体”中划出去5+30t、9+30t、15+30t、21+30t、25+30t、27+30t、33+30t 等七个数列，就会得到剩下的八个数列7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t所合并一组的小“分体”。
这个小“分体”叫做L等差数列组集合（简称L组集合）。
L等差数列组集合用图表表示如下：第Ⅰ列第Ⅱ列第Ⅲ列第Ⅳ列第Ⅴ列第Ⅵ列第Ⅶ列第Ⅷ列行数711131719232931137414347?495359612677173?77798389?91397101103107109113?119?1214127131?133137139?1431491515………………………7+30t11+30t13+30t17+30t19+30t23+30t29+30t31+30tz在L组集合图表中，用?点标记的数是合数。
L组集合的性质：命题1：在L组集合里，包含有除2、3、5以外的一切素数。
证明：L组集合是由下列八个等差数列合并而成的7+30t、11+30t、13+30t、17+30t、19+30t、23+30t、29+30t、31+30t，所以素数2、3、5不包含于L组集合。
素数与合数练习
素数与合数练习
【题目1】整数1n >，对于任意正整数d n ，都有11d n ++.证明：n 是素数.
【题目2】证明：存在无限多个正奇数n ，使得2n n +不是素数.
【题目3】①是否存在4个不同的正整数，使得其中任意3个不同的数之和都是素数？
②是否存在5个不同的正整数，使得其中任意3个不同的数之和都是素数？
【题目4】如果一个正整数不能写成两个合数的和，则我们称为好数，求所有的好数.
【题目5】求最小的正整数n ，使其满足以下条件：对任意n 个大于1且不超过2022的两两互素的正整数中至少有一个素数.
【题目6】试求三个互不相同的素数p q r ，，，同时满足23p q r q r p r p q +++，，.
【题目7】素数p q ，满足1212
p q n p q n ++=++，其中n 是一个正整数.求q p -所有可能的取值.【题目8】p 是一个素数，如果2p +个正整数（可以相同），其中任意p 个数之和都可以被两外两个数整除，称这2p +个正整数为好群.求所有的好群.。
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for(i=100;i<1000;i++)
{bw=i/100;sw=i%100/10;gw=i%10;
for(j=2;j<i;j++)
if(i%j==0) break;
if(i==j&&(gw+sw)%10==bw)
{cnt++;sum+=i;}
}
82.已知在数据文件INDAT中存有300个4位数，并已调用函数readDat（）把这些数存入数组a中，请编制一函数jsValue（），其功能是：求出这些4位数是素数的个数cnt，再求出所有满足此条件的4位数的平均值pjz1，以及所有不满足此条件的4位数的平均值pjz2，最后调用函数writeDat（）把结果cnt，pjz1，pjz2，输出到outdat文件中。
int i,j,k=1;
for(i=800;i>=500;i--)
{for(j=2;j<i;j++)
if(i%j==0) break;
if(i==j) {cnt++;sum+=k*i;k=-k;}
}
64.下列程序的功能是：找出所有100以内（含100）满足I，I+4，I+10都是素数的整数I（I+10也是在100以内）的个数cnt，以及这些I之和sum。请编制函数countValue（）实现程序要求，最后调用函数writeDat（）把结果cnt和sum输出到outdat文件中。（数值1不是素数）
int i,j,t;
for(i=0;i<300;i++)
if(isP(a[i])) b[cnt++]=a[i];
for(i=0;i<cnt-1;i++)
for(j=i+1;j<cnt;j++)
if(b[i]>b[j])
{t=b[i];b[i]=b[j];b[j]=t;}
1.下列程序的功能是：将大于整数m且紧靠m的k个素数存入数组xx。请编写函数num（intm，intk，intxx[]）实现程序的要求，最后调用函数readwriteDAT()把结果输出到outdat文件中。
int i,j,cnt=0;
for(i=m+1;k>0;i++)
{for(j=2;j<i;j++)
if(i%j==0) break;
if(i==j){xx[cnt++]=i;k--;}
}
55.已知在数据文件INDAT中存有300个4位数，并已调用函数readDat（）把这些数存入数组a中，请编制一函数jsValue（），其功能是：求出这些4位数是素数的个数cnt，再把所有满足此条件的4位数依次存入数组b中，然后对数组b的4位数按从小到大的顺序进行排序，最后调用函数writeDat（）把数组b中的数输出到OUTDAT文件中。
七.求素数（6个题）
34.下列程序的功能是：选出100个以上，1000之内所有个位数字与十位数字之和被10除所得余数恰好是百位数字的素数（如293）。计算并输出上述这些素数的个数cnt，以及这些素数值的和sum。请编写函数countValue（）实现程序要求，最后调用函数WriteDat（）把结果cnt和sum输出到文件OUTDAT中。
int i;
for(i=2;i<90;i++)
if(isPrime(i)&&isPrime(i+4)&&isPrime(i+10))
{cnt++;suБайду номын сангаас+=i;}
int i;
for(i=0;i<300;i++)
if(isP(a[i])) {pjz1+=a[i];cnt++;}
esle pjz2+=a[i];
pjz1/=cnt;
pjz2/=300-cnt;
66.下列程序的功能是：计算500~800之间素数的个数cnt，并按所求素数的值从大到小的顺序，再计算其间隔加、减之和，即第1个素数-第2个素数+第3个素数-第4个素数+第5个素数.....的值sum。请编写函数countValue（）实现程序的要求，最后调用函数writeDat（）把结果cnt和sum输出到outdat文件中。