离散数学-----函数_图文
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离散数学 第三章 函数
下面先规定几个标准集合的基数： 1) 空集的基数为0。 2) 设n为一自然数，Nn为从1到n的连贯的自然数集合， Nn={1,2,3,…,n}，Nn的基数为n，|Nn|=n 。 3) 设N为自然数的全体，N={1,2,3,…},N的基数为ℵ0(读成 阿列夫零， ℵ是希伯莱文的第一个字母)。 4) 设R为实数的全体，R的基数为ℵ ,|R|= ℵ 。 • • 以上四项规定，对于空集及Nn的基数，实际上就是集 合中元素的个数，关于ℵ0及ℵ，下面将予探讨。 有了标准基数之后，我们可以对各种集合测量其基数。 测量的手段是以双射函数为主体的等价关系一等势。 比如说，一个集合与N等势，那么这个集合的基数为 ℵ0 。
定理6 设A及B为两个可数集，那么A×B为一可数集。 定理 推论1 推论 设A1,A2,A3,…,An为n个可数集，那么 × A是可数集。
i=1 i n
定理7 (0,1)开区间上的实数不是可数集。 定理 定理8 设A为一集Y的函数，若f 是双射函数，则f 的逆关系 f –1是从Y到X的双射函数。 定理2 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数，则复合关 系f οg是从 X到Z的函数，将f ο g记为g ο f 。 定理3 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数。 1）若f 和g是满射函数，则g ο f 是满射函数； 2）若f 和g是单射函数，则g ο f 是单射函数； 3）若f 和g是双射函数，则g ο f 是双射函数。 定理4 定理 设f 是从X到Y的双射函数， f –1是f 的逆函数，则 1) (f –1) –1 = f 2) f –1 ο f = IX 3) f ο f –1 = IY
定义3 定义 设 |X|=n，P是从X到X的双射函数，称P为X上的置 换，称n为置换的阶。 • 在n个元素的集合中，不同的n阶置换的个数为n!。 • 通常用下面的方法表示置换。 x1 x2 x3 … xn P = p(x ) p(x ) p(x ) … p(x ) 1 2 3 n • 若∀xi∈X 有 p(xi) = xi ，则称P是恒等置换。 • P的逆函数P-1可表示为 p(x1) p(x2) p(x3) … p(xn) P-1 = x1 x2 x3 … xn • 置换的复合与关系的复合相同。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
离散数学(函数)PPT课件
证 先证明FG是函数.
因为F, G是关系, 所以FG也是关系. 若对某个x∈dom(FG)有 xF Gy1和 xFGy2, 则
<x, y1>∈FG∧<x, y2>∈FG
t1(<x,t1>∈F∧<t1,y1>∈G)∧t2(<x,t2>∈F∧<t2,y2>∈G)
t1t2(t1=t2∧<t1,y1>∈G∧<t2,y2>∈G) （F为函数）
.
函数的定义
设A, B为集合, 如果 f 为函数, domf=A, ranfB,
则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A→B.
.
函数的定义
在<x,y> f 中,
定义域
domf A
例：d设omXf ={张A 三、李四、王五}， Y ={值法域国、(函美数国像、的俄集罗合斯)、英国} f ={<r张an三f ,美B国, ><李四,俄罗斯>
.
函数的复合
定理 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C满射, 则 fg:A→C也满射 (2) 如果 f:A→B, g:B→C单射, 则 fg:A→C也单射 (3) 如果 f:A→B, g:B→C双射, 则 fg:A→C也双射 定理 设 f:AB, 则 f = f IB = IAf
4.2 逆函数和复合函数
❖复合函数 ❖反函数
关系与逆关系: < y,x >R-1 <x,y>R 函数与反函数。 可能出现的问题： 定义域 (dom(f -1) A) 函数值 (一对多)
.
函数的复合
设F, G是函数, 则FG也是函数, 且满足 (1) dom(FG)={x|x∈domF∧F(x)∈domG} (2) x∈dom(FG)有FG(x)=G(F(x))
离散数学第五章 函数
f -1({0})={0, 1}, f -1({1})={2, 3}, f -1(Ø)= Ø
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
像与逆像: 映射的“提升”
设U和V是两个集合， f : U→V 是从U到V的一个函数， ρ(U)是U的幂集，ρ(V)是V的幂集。
像与逆像将从U到V的一个映射 f : U→V “提升” 为从U的幂集 ρ(U) 到V的幂集 ρ(V) 的映射
集合 A 在函数 f 下的 像 f (A)
U
f
V
A
f(A)
集合 B 在函数 f 下的 逆像 f -1(B)
U
f
V
-1
f (B)
B
例5.1.3 设 A={a, b, c, d, e} , B={1, 2, 3, 4} , φ: A→B, φ的定义如图所示。则
φ({a, b, c})={1, 2}
例：设 U={1,2,3,4}，V={1,2,…,16}，关系 f1={ <1,1>, <2,4>, <3,9>, <4,16> }， f2={ <1,1>, <2,3>, <4,4> }， f3={ <1,1>, <1,2>, <2,15>, <3,16>, <4,1> }，
试判断哪些是函数？
解：f1 是，且 f1(a)=a2。 f2 不是，因为f2(3)=? f3 不是，因为两个f3(1)。
n×n×…×n = nm
m
映射：递归定义
例5.1.8 (1) 阶乘 n! f: N→N, f(0)=1, f(n+1)=f(n)(n+1), n∈N。
（但需要检查，是否都有射，是否没有一射多）
离散数学：第9讲 函数
20
双射
21
函数性质
设 f:AB, 单射(injection): f是单根的 满射(surjection): ran f=B 双射(bijection): f既是单射又是满射, 亦
称为一一对应(one-to-one mapping).
非单射
非满射
22
例
判断下述函数是否为单射，满射，双射
a
c
fLeabharlann bde33
函数运算
复合函数: 性质, 左(右)单位元 逆函数及存在条件
34
函数复合(composite)
定义: 设 g:AB, f:BC, 则 g○f ={<x,z>|xAzCy(yBy=g(x)
z=f(y))}
35
定理
定理：两个函数的复合是一个函数 证明：设g:Y→Z，f:X→Y
函数
内容提要 函数(映射)定义 象,原象 单射,满射,双射,计数问题 常数函数,恒等函数,特征函数,单调函数,
自然映射 复合,逆函数
1
函数(function)
函数: F是函数 F是单值的二元关系
F单值: xdomF, y,zranF,
xFy xFz y=z
函数亦称映射(mapping)
AB = { F | F:AB }
7
例1(续)
例1(续): 设 A={a,b}, B={1,2}, 求AB. 解: f0=, f1={<a,1>}, f2={<a,2>}, f3={<b,1>}, f4={<b,2>}, f5={<a,1>,<b,1>}, f6={<a,1>,<b,2>}, f7={<a,2>,<b,1>},f8={<a,2>,<b,2>}.
双射
21
函数性质
设 f:AB, 单射(injection): f是单根的 满射(surjection): ran f=B 双射(bijection): f既是单射又是满射, 亦
称为一一对应(one-to-one mapping).
非单射
非满射
22
例
判断下述函数是否为单射，满射，双射
a
c
fLeabharlann bde33
函数运算
复合函数: 性质, 左(右)单位元 逆函数及存在条件
34
函数复合(composite)
定义: 设 g:AB, f:BC, 则 g○f ={<x,z>|xAzCy(yBy=g(x)
z=f(y))}
35
定理
定理：两个函数的复合是一个函数 证明：设g:Y→Z，f:X→Y
函数
内容提要 函数(映射)定义 象,原象 单射,满射,双射,计数问题 常数函数,恒等函数,特征函数,单调函数,
自然映射 复合,逆函数
1
函数(function)
函数: F是函数 F是单值的二元关系
F单值: xdomF, y,zranF,
xFy xFz y=z
函数亦称映射(mapping)
AB = { F | F:AB }
7
例1(续)
例1(续): 设 A={a,b}, B={1,2}, 求AB. 解: f0=, f1={<a,1>}, f2={<a,2>}, f3={<b,1>}, f4={<b,2>}, f5={<a,1>,<b,1>}, f6={<a,1>,<b,2>}, f7={<a,2>,<b,1>},f8={<a,2>,<b,2>}.
《离散数学函数》课件
幂函数
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数
$f(x) = sin x$。
正弦函数
$f(x) = cos x$。
余弦函数
$f(x) = tan x$。
正切函数
自然指数函数
$f(x) = e^x$。
幂指数函数
$f(x) = x^n$，其中 $n > 0$。
03
函数的运算
Chapter
函数的加法是一种对应关系，将两个函数的对应点一一对应起来。
总结词：函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性等。
02
函数的分类
Chapter
01
02
03
04
$f(x) = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$a neq 0$。
线性函数
$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
二次函数
$f(x) = x^n$，其中 $n$ 是实数。
函数的加法运算是在函数值域上进行的，将两个函数的对应点一一对应起来，形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$和$g(x)$的定义域分别为$D_1$和$D_2$，值域分别为$R_1$和$R_2$，且$D_1 cap D_2 = emptyset$，那么函数$f(x)$和$g(x)$的加法运算结果是一个新的函数$h(x)$，其定义域为$D_1 cup D_2$，值域为$R_1 cup R_2$，且对于任意$x in D_1 cup D_2$，有$h(x) = f(x) + g(x)$。
VS
函数的复合是一种对应关系，将一个函数的对应点作为另一个函数的自变量。
详细描述
函数的复合运算是在一个函数的值域上定义另一个函数作为其自变量，从而形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$的定义域为$D_1$，值域为$R_1$；函数$g(y)$的定义域为$R_1$，值域为$R_2$，那么函数$g(f(x))$的复合运算结果是一个新的函数，其定义域为$D_1$，值域为$R_2$。对于任意$x in D_1$，有$(g circ f)(x) = g(f(x))$。
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数
$f(x) = sin x$。
正弦函数
$f(x) = cos x$。
余弦函数
$f(x) = tan x$。
正切函数
自然指数函数
$f(x) = e^x$。
幂指数函数
$f(x) = x^n$，其中 $n > 0$。
03
函数的运算
Chapter
函数的加法是一种对应关系，将两个函数的对应点一一对应起来。
总结词：函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性等。
02
函数的分类
Chapter
01
02
03
04
$f(x) = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$a neq 0$。
线性函数
$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
二次函数
$f(x) = x^n$，其中 $n$ 是实数。
函数的加法运算是在函数值域上进行的，将两个函数的对应点一一对应起来，形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$和$g(x)$的定义域分别为$D_1$和$D_2$，值域分别为$R_1$和$R_2$，且$D_1 cap D_2 = emptyset$，那么函数$f(x)$和$g(x)$的加法运算结果是一个新的函数$h(x)$，其定义域为$D_1 cup D_2$，值域为$R_1 cup R_2$，且对于任意$x in D_1 cup D_2$，有$h(x) = f(x) + g(x)$。
VS
函数的复合是一种对应关系，将一个函数的对应点作为另一个函数的自变量。
详细描述
函数的复合运算是在一个函数的值域上定义另一个函数作为其自变量，从而形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$的定义域为$D_1$，值域为$R_1$；函数$g(y)$的定义域为$R_1$，值域为$R_2$，那么函数$g(f(x))$的复合运算结果是一个新的函数，其定义域为$D_1$，值域为$R_2$。对于任意$x in D_1$，有$(g circ f)(x) = g(f(x))$。
离散数学第5章_函数
第5章 函数
证明 f和ρf的图示如图5 ― 2所示。 1) 任取a∈A， 有f(a)＝f(a)， 所以 (a， a)∈ρf， 故ρf自反； 任取a， b∈A， 若(a， b)∈ρf， 则f(a)＝f(b)， 所以 f(b)＝f(a)， 即(b 任取a， b， c∈A， 若(a， b)∈ρf， (b， c)∈ρf， 则f(a)＝f(b)， f(b)＝f(c) ， 所以 f(a)＝f(c)， 即(a， c)∈ρf； 故ρf传递。 综上ρf是A上的等价关系。
第5章 函数
任取b∈Rf， 由Rf的定义， 有a∈A， 使f(a)＝b， 即有［a］∈A/ρf， 使得 g(［a］)＝f(a)＝b。 所以 g是满射。 综上g是双射。 定义 5.1 ― 5 恒等关系IA＝｛(a， a)|a∈A｝是A 到A的双射， 它称为A上的恒等函数。 定义 5.1 ― 6 若函数f： A→B， 对一切a∈A， 都 有f(a)＝b， b∈B， 则f称为常函数。
第5章 函数
定义 5.1 ― 2 设有函数f： A→B， g： C→D， 若 有A＝C、 B＝D且对所有的x∈A， 有f(x)＝g(x)， 则称 函数f和g相等， 记为f＝g。 定义 5.1 ― 3 集合A到集合B的所有函数的集合记 为BA， 即 BA＝｛f|f： A→B｝
第5章 函数
定理 5.1 ― 1 当A和B是有限集合时,有 |BA|＝|B||A| 证明 设|A|＝m， |B|＝n（m， n∈Ｎ）； 又设A＝｛a1， a2， …， am｝。 因为 Df＝A，所以 f＝｛(a1， f(a1))， (a2， f(a2))， …， (am ， f(am))｝。 而每个f(ai)（i∈Ｎm）都有n种可能， {n·n·…·n } ＝n +m个 m个即 |BA|＝|B||A|
离散数学课件08函数
例如 函数F(x)＝(x21)/(x+1)，G(x)＝x1不相等, 因为 dom F＝{x|x∈R∧x ≠-1} dom G＝R
显然， dom F≠dom G，所以两个函数不相等。
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5
从A到B的函数
定义8.3 设A,B为集合，如果 f 为函数，dom f＝A，ran fB， 则称 f 为从A到B的函数，记作 f：A→B。
特别地，当A1＝A时，称 f(A)为函数的像。 （2）令f 1(B1)＝{x|x∈A∧f(x)∈B1}，称f 1(B1)为B1在 f 下的完
全原像(preimage) 。
注意区别函数的值和像两个不同的概念。 说明 函数值f(x)∈B，而函数的像f(A1)B。
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8
讨论
设 B1B，显然B1在 f 下的原像 f-1(B1)是A的子集。 设 A1A，那么 f(A1)B。
（5）f
有极小值f(1)=2。
该函数既不是单射的，也不是满射的。 精选课件ppt
13
例8.5
例8.5 对于以下各题给定的A,B和 f，判断是否构成函数 f:A→B。如果是，说明 f:A→B是否为单射、满射和双射的， 并根据要求进行计算。
(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{6,7,8,9,10}， f＝{<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}
f(A1)的完全原像就是 f-1(f(A1))。 一般来说， f-1(f(A1))≠A1，但是A1 f-1(f(A1))。 例如函数 f:{1,2,3}→{0,1}，满足
f(1)＝f(2)＝0，f(3)＝1
令A1＝{1}，那么 f-1(f(A1))＝ f-1(f({1}))＝ f-1({0})＝{1,2}
显然， dom F≠dom G，所以两个函数不相等。
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5
从A到B的函数
定义8.3 设A,B为集合，如果 f 为函数，dom f＝A，ran fB， 则称 f 为从A到B的函数，记作 f：A→B。
特别地，当A1＝A时，称 f(A)为函数的像。 （2）令f 1(B1)＝{x|x∈A∧f(x)∈B1}，称f 1(B1)为B1在 f 下的完
全原像(preimage) 。
注意区别函数的值和像两个不同的概念。 说明 函数值f(x)∈B，而函数的像f(A1)B。
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8
讨论
设 B1B，显然B1在 f 下的原像 f-1(B1)是A的子集。 设 A1A，那么 f(A1)B。
（5）f
有极小值f(1)=2。
该函数既不是单射的，也不是满射的。 精选课件ppt
13
例8.5
例8.5 对于以下各题给定的A,B和 f，判断是否构成函数 f:A→B。如果是，说明 f:A→B是否为单射、满射和双射的， 并根据要求进行计算。
(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{6,7,8,9,10}， f＝{<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}
f(A1)的完全原像就是 f-1(f(A1))。 一般来说， f-1(f(A1))≠A1，但是A1 f-1(f(A1))。 例如函数 f:{1,2,3}→{0,1}，满足
f(1)＝f(2)＝0，f(3)＝1
令A1＝{1}，那么 f-1(f(A1))＝ f-1(f({1}))＝ f-1({0})＝{1,2}
离散数学 第3章 函数 PPT
9
离散数学
例1.截痕函数(cross function)：f :X2XY ， f(x) = {x}Y 。
XY Y
{x}Y
Xx
例2.计算机是一个函数。即 计算机:输入空间输出空间；
编译是一个函数。即 编译:源程序目标程序 。
10
离散数学
11
离散数学
D(f)= D(f1) D(f2)= R , R(f)= R(f1) R(f2)=R+{0} ； 绝对值函数也可采用下面分段定义的形式。即
18
离散数学
例11.单位函数或幺函数(identity function)： 幺函数即是幺关系。用函数的记法，即是 IX :XX 对任何xX ， IX (x)= x 。 显然 D(IX)= R(IX)=X 。
19
离散数学
定义4.单射 满射 双射(injection,surjection,bijection) 设 f 是从X到Y的函数，即 f :XY 。则我们称 (1) f是单射(内射)函数 (x1X)(x2X)(x1 x2 f(x1) f(x2 ) ) (x1X)(x2X)(f(x1) =f(x2 ) x1 =x2 )； (2) f是满射函数(yY)(xX)( f(x)= y ) R(f)= Y f(X)= Y ； (3) f是双射函数 f既是单射函数又是满射函数。
(4)值域(range)：称f的后域为f的值域。即
R(f)={ y : yY(xX)((x, y)f )}
={y : yY(xX)(y= f(x))} 。
6
离散数学
A D(f)
f
X
集合的象
f(A) R(f) Y
7
离散数学
f
f -1(B) D(f)
离散数学
例1.截痕函数(cross function)：f :X2XY ， f(x) = {x}Y 。
XY Y
{x}Y
Xx
例2.计算机是一个函数。即 计算机:输入空间输出空间；
编译是一个函数。即 编译:源程序目标程序 。
10
离散数学
11
离散数学
D(f)= D(f1) D(f2)= R , R(f)= R(f1) R(f2)=R+{0} ； 绝对值函数也可采用下面分段定义的形式。即
18
离散数学
例11.单位函数或幺函数(identity function)： 幺函数即是幺关系。用函数的记法，即是 IX :XX 对任何xX ， IX (x)= x 。 显然 D(IX)= R(IX)=X 。
19
离散数学
定义4.单射 满射 双射(injection,surjection,bijection) 设 f 是从X到Y的函数，即 f :XY 。则我们称 (1) f是单射(内射)函数 (x1X)(x2X)(x1 x2 f(x1) f(x2 ) ) (x1X)(x2X)(f(x1) =f(x2 ) x1 =x2 )； (2) f是满射函数(yY)(xX)( f(x)= y ) R(f)= Y f(X)= Y ； (3) f是双射函数 f既是单射函数又是满射函数。
(4)值域(range)：称f的后域为f的值域。即
R(f)={ y : yY(xX)((x, y)f )}
={y : yY(xX)(y= f(x))} 。
6
离散数学
A D(f)
f
X
集合的象
f(A) R(f) Y
7
离散数学
f
f -1(B) D(f)
《离散数学》函数
A
B
C
y=f(x)
z =g( y ) =( g◦f )( x )
x
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函数的复合
例
– f ： → ，f (x) = x+1， – g ： → ，g(x) = 2x+1, – h ： → ，h(x) = x2+1, g ◦ f (x)=g(f(x)) =2f(x)+1 =2(x+1)+1=2x+3 f ◦ g(x)=f(g(x)) =g(x)+1 =2x+1+1=2x+2 h ◦ g ◦ f (x)=h(g(f(x))) = (2x+3)2+1
20
函数的性质
练习 – f： + → + ， – f(1) = 1，f(n) = n–1 (n>1)
– 单射? – 满射? – 双射?
21
函数的性质
对于有限集合上的函数，有如 下主要结果：
定理 假设 A 和 B 是两个有限集合
且满足 |A| = |B|，则函数 f : AB 是单射当且仅当 f 是满射。
第五章 函数
《离散数学及应用》
第五章 函数
§5.1 函数的定义 §5.2 函数的性质 §5.3 函数的复合 §5.4 逆函数 §5.5 计算机科学中的常用函数 *§5.6 双射函数及集合的势
2
函数
A 和 B 为非空集合 设 f 为 A 到 B 的二元关系, 若对于任意 xDom( f ) 都存在唯一的 yRan( f ) 使得 (x, y)f 成立，则称 f 为函数 (function)。 函 数 也 称 作 映 射 （ mapping ） 或 变 换 （transformation）
课件(第5章 函数)
离散数学
北京理工大学珠海学院 计算机学院 龚友明
函数的定义
设f是二元关系，如果对于任意x∈domf，都 存在唯一的y∈ranf，使得xfy成立，则称f为 函数（或者映射），这时也称y为f在x的值， 记作y=f(x) 函数相等
◦ 设f，g为函数，则
① domf=domg ② ∀x∈domf=domg，都有f(x)=g(x)
设A={1，2，3}，B={a，b}，求BA
解：BA={f0,f1,f2,…,f7}，其中 f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>} … f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>} 说明：形如{<1,?>,<2,?>,<3,?>}，每个”?”部分有n种取法，所以 有nm
f可逆。y是x的像，y=x+1. 从而x=y-1,f-1(y)=y-1
a=f-1(b)
b=f(a)
A
f-1 f 反函数
B
离散数学-第5章 函数（北理珠本末终始）
函数的复合(Compositions)
令f为从集合A到集合B的函数，g是 从集合B到集合C的函数，函数f和g 的复合用fOg表示，定义为 :(fOg)(a)=g(f(a)) 示例：
◦ 如果对任意的x1,x2∈A，x1≺x2，就有f(x1) ≺f(x2),称f为严格单调 递增。
特征函数
◦ 设A为集合，对于任意的A’⊆A，A’的特征函数χA’：A→{0，1}定 义为
北京理工大学珠海学院 计算机学院 龚友明
函数的定义
设f是二元关系，如果对于任意x∈domf，都 存在唯一的y∈ranf，使得xfy成立，则称f为 函数（或者映射），这时也称y为f在x的值， 记作y=f(x) 函数相等
◦ 设f，g为函数，则
① domf=domg ② ∀x∈domf=domg，都有f(x)=g(x)
设A={1，2，3}，B={a，b}，求BA
解：BA={f0,f1,f2,…,f7}，其中 f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>} … f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>} 说明：形如{<1,?>,<2,?>,<3,?>}，每个”?”部分有n种取法，所以 有nm
f可逆。y是x的像，y=x+1. 从而x=y-1,f-1(y)=y-1
a=f-1(b)
b=f(a)
A
f-1 f 反函数
B
离散数学-第5章 函数（北理珠本末终始）
函数的复合(Compositions)
令f为从集合A到集合B的函数，g是 从集合B到集合C的函数，函数f和g 的复合用fOg表示，定义为 :(fOg)(a)=g(f(a)) 示例：
◦ 如果对任意的x1,x2∈A，x1≺x2，就有f(x1) ≺f(x2),称f为严格单调 递增。
特征函数
◦ 设A为集合，对于任意的A’⊆A，A’的特征函数χA’：A→{0，1}定 义为
离散数学第三章 函数
射函数。
第三章 函数
二、反函数
1、定义1：设f：AB是双射，则逆关系 f -1：BA
是从B到A的函数，称为 f 的反函数。
记 f -1 ：BA。 由定义可知：当函数 f：AB的反函数存在，若 f (x) = y，则f -1 (y) = x 且
f f 1 I A , f 1 f I B
f 0 ( x) x n 1 n f ( x ) f ( f ( x ))
第三章 函数
(2) 定理2： 设f: A→B,则 f。IB=IA。f=f
(3) 定理3：设有函数f：AB，g：BC
① 若f ，g是单射，则f g也是单射。
② 若f ，g是满射，则f g也是满射。
所以 f。g={(x, 4x 2+4x+2)}， g。f={(x, 2x 2+3)}
f。f={(x, 4x+3)}， g。g={(x, x 4+2x 2+2)}
第三章 函数
2、性质：
⑴ 定理1：设有函数f：AB，g：BC，h：
CD，则f ( g h) 和( f g ) h都是函数，且
③ 若f ，g是双射，则f g也是双射。
注：定理3的逆不成立。
第三章 函数
例3：设A={ 1, 2, 3 }, B={ a, b, c, d }, C={ x, y, z }
令 f = {(1, a), (2, b), (3, c)},
g = {(a , x), (b, y), (c, z), ( d, z)}
f ( g h) = ( f g ) h = f g h 证明： f。(g。h)(x) =(g。h) (f (x))=h (g (f (x)) =h((f。g) (x))=(f。g)。h (x)
第三章 函数
二、反函数
1、定义1：设f：AB是双射，则逆关系 f -1：BA
是从B到A的函数，称为 f 的反函数。
记 f -1 ：BA。 由定义可知：当函数 f：AB的反函数存在，若 f (x) = y，则f -1 (y) = x 且
f f 1 I A , f 1 f I B
f 0 ( x) x n 1 n f ( x ) f ( f ( x ))
第三章 函数
(2) 定理2： 设f: A→B,则 f。IB=IA。f=f
(3) 定理3：设有函数f：AB，g：BC
① 若f ，g是单射，则f g也是单射。
② 若f ，g是满射，则f g也是满射。
所以 f。g={(x, 4x 2+4x+2)}， g。f={(x, 2x 2+3)}
f。f={(x, 4x+3)}， g。g={(x, x 4+2x 2+2)}
第三章 函数
2、性质：
⑴ 定理1：设有函数f：AB，g：BC，h：
CD，则f ( g h) 和( f g ) h都是函数，且
③ 若f ，g是双射，则f g也是双射。
注：定理3的逆不成立。
第三章 函数
例3：设A={ 1, 2, 3 }, B={ a, b, c, d }, C={ x, y, z }
令 f = {(1, a), (2, b), (3, c)},
g = {(a , x), (b, y), (c, z), ( d, z)}
f ( g h) = ( f g ) h = f g h 证明： f。(g。h)(x) =(g。h) (f (x))=h (g (f (x)) =h((f。g) (x))=(f。g)。h (x)
重庆大学《离散数学》课件-第4章函数
对于任意的 ∈ , ≠ ，因此 ∈ − 。 因为 = ，故有
∈ ( − )。由的任意性可知 − () ⊆ ( − )成立
4.2 逆函数和复合函数
▪ 例：定义一函数: → 如下：
1、 的定义域不是，而是的子集
2、 不满足函数定义：值的唯一性
所以 是一种二元关系，但不是函数
一个函数的逆函数存在的话，则此函
数一定是双射函数。
▪ 定理：设: X → 是一双射函数，那么 是Y → X的双射函数。
▪ 证明： （1）首先证明 :Y → X的函数。
因为是满射的，对任意的 ∈ 必有 < , >∈ ，且 = ，因此< , >∈
等函数。
定理：设函数: X → ，则 = ∘ = ∘
定理：如果函数: → 有逆函数 −1 : → ，则 −1 ∘ = ，且
∘ −1 =
例：令:{0,1,2} →{a,b,c},其定义如下图所示，求 −1 ∘ 和 ∘ −1
设: X → ，: → 是两个函数，则复合函数 ∘ 是一个从X到的
函数，对于每一个 ∈ 有 ∘ = (())。
例：设 = 1,2,3 , = , , = , ,
= < 1, >, < 2, >, < 3, > , = < , >, < , > , 求 ∘
， = 。又因为是入射，对每一个 ∈ 必有唯一的 ∈ ，使得<
, >∈ ，因此仅有唯一的 ∈ ，使得
< , >∈ 。因此 是一个函数。
（2）证 :Y → X满射的。
= =
∈ ( − )。由的任意性可知 − () ⊆ ( − )成立
4.2 逆函数和复合函数
▪ 例：定义一函数: → 如下：
1、 的定义域不是，而是的子集
2、 不满足函数定义：值的唯一性
所以 是一种二元关系，但不是函数
一个函数的逆函数存在的话，则此函
数一定是双射函数。
▪ 定理：设: X → 是一双射函数，那么 是Y → X的双射函数。
▪ 证明： （1）首先证明 :Y → X的函数。
因为是满射的，对任意的 ∈ 必有 < , >∈ ，且 = ，因此< , >∈
等函数。
定理：设函数: X → ，则 = ∘ = ∘
定理：如果函数: → 有逆函数 −1 : → ，则 −1 ∘ = ，且
∘ −1 =
例：令:{0,1,2} →{a,b,c},其定义如下图所示，求 −1 ∘ 和 ∘ −1
设: X → ，: → 是两个函数，则复合函数 ∘ 是一个从X到的
函数，对于每一个 ∈ 有 ∘ = (())。
例：设 = 1,2,3 , = , , = , ,
= < 1, >, < 2, >, < 3, > , = < , >, < , > , 求 ∘
， = 。又因为是入射，对每一个 ∈ 必有唯一的 ∈ ，使得<
, >∈ ，因此仅有唯一的 ∈ ，使得
< , >∈ 。因此 是一个函数。
（2）证 :Y → X满射的。
= =
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(4) f : R→R, f(x)=2x+1
是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R.
*
12
8.3 一些常用函数
• 定义8.7
(1) 设f：A→B, 如果存在 c∈B 使得对所有的
x∈A 都有 f(x)=c, 则称 f : A→B是常函数.
(2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所
不同的等价关系确定不同的自然映射,
恒等关系所确定的自然映射是双射, 而其他的自然映射一般来说只是满射.
*
18
8.4 函数的复合和反函数
• 例:
gοf
g
A
f
a b
B
1 2
C
c
3
D
gοf={<a,2>,<b,2>,<c,1>}
*
19
8.4 函数的复合和反函数
• 定理8.1
设f, g是函数, 则f∘g也是函数, 且满足
8.5 集合的势
• 一个结论：
从上例可以看出：
• 这说明： 无限集合能与它的真子集等势，这在有限集合中是不可能
的。
这是无限集合与有限集合的本质区别之一。
*
34
8.5 集合的势
• 例3： N×N≈N
解：分析
*
35
8.5 集合的势
• 定理8.7（Cantor定理）
N与R不等势，且|N|<|R|
B的二元关系中，哪些是A到B的函数？
f1＝{<1,a>,<1,b>,<2,b>,<3,c>,<4,c>} f2＝{<1,a>,<2,b>,<3,b>,<4,c>} f3＝{<1,a>,<2,a>, <3,c>} f4＝{<1,a>,<2,a>, <3,a>,<4,a>}
*
4
8.1 函数的定义
离散数学-----函数_图文.ppt
8.1 函数的定义
• 定义8.1
设 f 为二元关系, 若 x∈domf 都存在唯一的
y∈ranf 使 x f y 成立, 则称 f为函数.
对于函数f, 如果有 x f y, 则记作 y＝f(x), 并称 y 为 f
在 x 的值.
• 例如
f1＝{<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}
*
23
8.5 集合的势
• 集合的势
集合的势是量度集合所含元素多少的量。 集合的势越大，所含的元素越多。
*
24
8.5 集合的势
• 问题：
集合势的大小与函数的关系？
• 解：
设A，B为任意集合,如果存在函数f:A →B,满足：
f是满射的，则 |A|≥|B|； f是单射的，则 |A|≤|B|；
A→C也是满射的.
(2) 如果 f : A→B, g : B→C都是单射的, 则 f∘g :
A→C也是单射的.
(3) 如果 f : A→B, g : B→C都是双射的, 则 f∘g :
A→C也是双射的.
*
22
8.4 函数的复合和反函数
• 反函数的存在条件及定义
定理8.4
设 f : A→B是双射的, 则f1: B→A也是双 射的.
{a,b} = {<a,1>,<b,1>,<c,0>}.
*
15
8.3 一些常用函数
(5) 设 R 是 A 上的等价关系, 令 g : A→A/R g(a) = [a] （a∈A）
称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.
*
16
8.3 一些常用函数
• 例：
已知 A={1, 2, 3}上的等价关系如下，确定A到相
f＝{<x1,□>， {<x2,□>，…… {<xm,□>} 对于每个□所在的 位置都可用B中的任何一个
元素代替，即有n种不同的取法，这样的组合 共有nm个。
因此A到B共有nm个不同的函数,即： |BA|= |B||A|
*
。
8
8.2 函数的性质
定义8.6 设 f : A→B,
（1）若ranf = B, 则称 f : A→B是满射的.
*
11
8.2 函数的性质
解 (1) f : R→R, f(x)= x2+2x1
在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的.
(2) f : Z+→R, f(x)=lnx
单调上升, 是单射的. 但不满射, ranf={ln1, ln2, …}.
(3) f : R→Z, f(x)= x
是满射的, 但不是单射的, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1.
• 分析：
一方面：
|N|≤|R|
f:N →R，f(x)=x，显然f为单射函数，所以
|N|≤|R|。
另一方面
由于(0,1) ≈ R，故只需证明N与(0,1)不等势。
*
38
8.5 集合的势
• 证明： N 与(0,1)不等势
N
f
(0,1 )
设f:N → (0,1)的任意函数 现构造一个正小数r
Байду номын сангаас
f2＝{<x1,y1>,<x1,y2>}
*
2
8.1 函数的定义
• 从A到B的函数
定义8.3
设A, B为集合, 如果 (1) f 为函数 (2) domf = A (3) ranf B,
则称 f 为从A到B的函数, 记作 f : A→B.
*
3
8.1 函数的定义
例1：
设A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a,b,c},判断如下A到
0
x0 令：f(i)=xi
r=0.b0b1b2b3…bi…
1 2 3
x1 x2 x3
每个xi为无限十进制小数
x0=0.a00a01a02a03… x1=0.a10a11a12a13…
f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
*
6
8.1 函数的定义
• 3.B上A
定义8.4
所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上 A”即：
BA＝{f | f : A→B}
思考：设|A|=m,|B|=n,则|BA|=？
*
7
8.1 函数的定义
• 解：
设：A={x1, x2, …,xm}, B={y1, y2, …,yn}, 则集合A到B的函数f形如：
应商集的自然映射。
R1={<2,3>,<3,2>}∪IA R2={<1,3>,<3,1>}∪IA R3={<1,2>,<2,1>}∪IA R4=EA R5=IA
*
17
8.3 一些常用函数
• 注意：
给定集合 A 和 A 上的等价关系 R, 就可以确定一
个自然映射 g : A→A/R.
B={ f0, f1, … , f7 }, 其中
f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},
f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},
f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>},
*
9
• 例：
8.2 函数的性质
*
10
8.2 函数的性质
例8.4 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什 么? （1）f : R→R, f(x)= x2+2x1 （2）f : Z+→R, f(x)=lnx （3）f : R→Z, f(x)=x （4）f : R→R, f(x)=2x+1
A ≤.B
f为双射的，则 |A|＝|B|。 A≈B
f是单射的，且不存在A到B的双射，则|A|＜|B|。
A ＜.B
*
25
8.5 集合的势
• 例如:
|N|≤|R|
定义f:N →R，f(x)=x，显然f为单射函数，所以|N|≤|R|。 • 定理8.6
设A，B，C是任意集合，
(1) A≈A
• 推论2 设f : A→B, g : B→C, 则 f∘g : A→C, 且x∈A都有 f∘g(x) = g(f(x)).
*
21
8.4 函数的复合和反函数
• 函数复合的性质 • 定理8.2 设 f : A→B, g : B→C.
(1) 如果 f : A→B, g : B→C都是满射的, 则 f∘g :
*
f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.
27
8.5 集合的势
令 f : A→B,
f()=f0 f({2})=f2 f({1,2})=f4 f({2,3})=f6
故： A≈B
f({1})=f1 f({3})=f3 f({1,3})=f5 f({1,2,3})=f7
是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R.
*
12
8.3 一些常用函数
• 定义8.7
(1) 设f：A→B, 如果存在 c∈B 使得对所有的
x∈A 都有 f(x)=c, 则称 f : A→B是常函数.
(2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所
不同的等价关系确定不同的自然映射,
恒等关系所确定的自然映射是双射, 而其他的自然映射一般来说只是满射.
*
18
8.4 函数的复合和反函数
• 例:
gοf
g
A
f
a b
B
1 2
C
c
3
D
gοf={<a,2>,<b,2>,<c,1>}
*
19
8.4 函数的复合和反函数
• 定理8.1
设f, g是函数, 则f∘g也是函数, 且满足
8.5 集合的势
• 一个结论：
从上例可以看出：
• 这说明： 无限集合能与它的真子集等势，这在有限集合中是不可能
的。
这是无限集合与有限集合的本质区别之一。
*
34
8.5 集合的势
• 例3： N×N≈N
解：分析
*
35
8.5 集合的势
• 定理8.7（Cantor定理）
N与R不等势，且|N|<|R|
B的二元关系中，哪些是A到B的函数？
f1＝{<1,a>,<1,b>,<2,b>,<3,c>,<4,c>} f2＝{<1,a>,<2,b>,<3,b>,<4,c>} f3＝{<1,a>,<2,a>, <3,c>} f4＝{<1,a>,<2,a>, <3,a>,<4,a>}
*
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8.1 函数的定义
离散数学-----函数_图文.ppt
8.1 函数的定义
• 定义8.1
设 f 为二元关系, 若 x∈domf 都存在唯一的
y∈ranf 使 x f y 成立, 则称 f为函数.
对于函数f, 如果有 x f y, 则记作 y＝f(x), 并称 y 为 f
在 x 的值.
• 例如
f1＝{<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}
*
23
8.5 集合的势
• 集合的势
集合的势是量度集合所含元素多少的量。 集合的势越大，所含的元素越多。
*
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8.5 集合的势
• 问题：
集合势的大小与函数的关系？
• 解：
设A，B为任意集合,如果存在函数f:A →B,满足：
f是满射的，则 |A|≥|B|； f是单射的，则 |A|≤|B|；
A→C也是满射的.
(2) 如果 f : A→B, g : B→C都是单射的, 则 f∘g :
A→C也是单射的.
(3) 如果 f : A→B, g : B→C都是双射的, 则 f∘g :
A→C也是双射的.
*
22
8.4 函数的复合和反函数
• 反函数的存在条件及定义
定理8.4
设 f : A→B是双射的, 则f1: B→A也是双 射的.
{a,b} = {<a,1>,<b,1>,<c,0>}.
*
15
8.3 一些常用函数
(5) 设 R 是 A 上的等价关系, 令 g : A→A/R g(a) = [a] （a∈A）
称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.
*
16
8.3 一些常用函数
• 例：
已知 A={1, 2, 3}上的等价关系如下，确定A到相
f＝{<x1,□>， {<x2,□>，…… {<xm,□>} 对于每个□所在的 位置都可用B中的任何一个
元素代替，即有n种不同的取法，这样的组合 共有nm个。
因此A到B共有nm个不同的函数,即： |BA|= |B||A|
*
。
8
8.2 函数的性质
定义8.6 设 f : A→B,
（1）若ranf = B, 则称 f : A→B是满射的.
*
11
8.2 函数的性质
解 (1) f : R→R, f(x)= x2+2x1
在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的.
(2) f : Z+→R, f(x)=lnx
单调上升, 是单射的. 但不满射, ranf={ln1, ln2, …}.
(3) f : R→Z, f(x)= x
是满射的, 但不是单射的, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1.
• 分析：
一方面：
|N|≤|R|
f:N →R，f(x)=x，显然f为单射函数，所以
|N|≤|R|。
另一方面
由于(0,1) ≈ R，故只需证明N与(0,1)不等势。
*
38
8.5 集合的势
• 证明： N 与(0,1)不等势
N
f
(0,1 )
设f:N → (0,1)的任意函数 现构造一个正小数r
Байду номын сангаас
f2＝{<x1,y1>,<x1,y2>}
*
2
8.1 函数的定义
• 从A到B的函数
定义8.3
设A, B为集合, 如果 (1) f 为函数 (2) domf = A (3) ranf B,
则称 f 为从A到B的函数, 记作 f : A→B.
*
3
8.1 函数的定义
例1：
设A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a,b,c},判断如下A到
0
x0 令：f(i)=xi
r=0.b0b1b2b3…bi…
1 2 3
x1 x2 x3
每个xi为无限十进制小数
x0=0.a00a01a02a03… x1=0.a10a11a12a13…
f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
*
6
8.1 函数的定义
• 3.B上A
定义8.4
所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上 A”即：
BA＝{f | f : A→B}
思考：设|A|=m,|B|=n,则|BA|=？
*
7
8.1 函数的定义
• 解：
设：A={x1, x2, …,xm}, B={y1, y2, …,yn}, 则集合A到B的函数f形如：
应商集的自然映射。
R1={<2,3>,<3,2>}∪IA R2={<1,3>,<3,1>}∪IA R3={<1,2>,<2,1>}∪IA R4=EA R5=IA
*
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8.3 一些常用函数
• 注意：
给定集合 A 和 A 上的等价关系 R, 就可以确定一
个自然映射 g : A→A/R.
B={ f0, f1, … , f7 }, 其中
f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},
f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},
f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>},
*
9
• 例：
8.2 函数的性质
*
10
8.2 函数的性质
例8.4 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什 么? （1）f : R→R, f(x)= x2+2x1 （2）f : Z+→R, f(x)=lnx （3）f : R→Z, f(x)=x （4）f : R→R, f(x)=2x+1
A ≤.B
f为双射的，则 |A|＝|B|。 A≈B
f是单射的，且不存在A到B的双射，则|A|＜|B|。
A ＜.B
*
25
8.5 集合的势
• 例如:
|N|≤|R|
定义f:N →R，f(x)=x，显然f为单射函数，所以|N|≤|R|。 • 定理8.6
设A，B，C是任意集合，
(1) A≈A
• 推论2 设f : A→B, g : B→C, 则 f∘g : A→C, 且x∈A都有 f∘g(x) = g(f(x)).
*
21
8.4 函数的复合和反函数
• 函数复合的性质 • 定理8.2 设 f : A→B, g : B→C.
(1) 如果 f : A→B, g : B→C都是满射的, 则 f∘g :
*
f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.
27
8.5 集合的势
令 f : A→B,
f()=f0 f({2})=f2 f({1,2})=f4 f({2,3})=f6
故： A≈B
f({1})=f1 f({3})=f3 f({1,3})=f5 f({1,2,3})=f7