离散数学-----函数_图文

f2＝{<x1,y1>,<x1,y2>}
*
2
8.1 函数的定义
• 从A到B的函数
定义8.3
设A, B为集合, 如果 (1) f 为函数 (2) domf = A (3) ranf B,
则称 f 为从A到B的函数, 记作 f : A→B.
*
3
8.1 函数的定义
例1：
设A ＝{1,2,3,4}，B ＝{a,b,c},判断如下A到
故： (0,1) ≈ R
*
30
8.5 集合的势
• 3.A与N之间构造双射
方法：
将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素 开始按照次序与自然数对应.
*
31
8.5 集合的势
• 例1：Z≈N
解：构造函数f : Z→N
将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z：0 1 1 2 2 3 3 … ↓↓↓↓↓ ↓↓ N：0 1 2 3 4 5 6 …
f＝{<x1,□>， {<x2,□>，…… {<xm,□>} 对于每个□所在的 位置都可用B中的任何一个
元素代替，即有n种不同的取法，这样的组合 共有nm个。
因此A到B共有nm个不同的函数,即： |BA|= |B||A|
*
。
8
8.2 函数的性质
定义8.6 设 f : A→B,
（1）若ranf = B, 则称 f : A→B是满射的.
这种对应所表示的函数是：
f是Z到N的双射函数。从而证明了Z≈N。
*
32
8.5 集合的势
• 例2：N≈NE
解：构造函数f : N →NE
将N中元素以下列顺序排列并与NE中元素对应：
N0 1 2 3 4 5…
NE 0 2 4 6 8 10 … 这种对应所表示的函数是：
*
f是N到NE的双射函数。从而证明了N≈NE。 33
单调递减 严格单调递减
*
14
8.3 一些常用函数
(4) 设 A 为集合, 对于任意的 A’ A, A’ 的特征 函数 A’ : A→{0,1} 定义为
实例：
设A={a,b,c}, A的每一个子集 A'都对应于一个
特征函数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 如
= {<a,0>,<b,0>,<c,0>}，
(1) dom(f∘g)={ x | x∈domf f(x)∈domg} (2) x∈dom(f∘g) 有 f∘g(x) = g(f(x))
*
20
8.4 函数的复合和反函数
• 推论1 设f, g, h为函数, 则(f∘g)∘h 和 f∘(g∘h)都是函数, 且 (f∘g)∘h = f∘(g∘h)
（2）若 y∈ranf 都存在唯一的 x∈A使得 f(x)=y, 则
称 f : A→B是单射的.
（3）若 f : A→B既是满射又是单射的, 则称 f : A→B
是双射的。
注:
(1) f 满射意味着：y B, 都存在 xA 使得 f(x)=y.
(2) f 单射意味着：f(x1)=f(x2) x1=x2
8.5 集合的势
• 一个结论：
从上例可以看出：
• 这说明： 无限集合能与它的真子集等势，这在有限集合中是不可能
的。
这是无限集合与有限集合的本质区别之一。
*
34
8.5 集合的势
• 例3： N×N≈N
解：分析
*
35
8.5 集合的势
• 定理8.7（Cantor定理）
N与R不等势，且|N|<|R|
B的二元关系中，哪些是A到B的函数？
f1＝{<1,a>,<1,b>,<2,b>,<3,c>,<4,c>} f2＝{<1,a>,<2,b>,<3,b>,<4,c>} f3＝{<1,a>,<2,a>, <3,c>} f4＝{<1,a>,<2,a>, <3,a>,<4,a>}
*
4
8.1 函数的定义
A→C也是满射的.
(2) 如果 f : A→B, g : B→C都是单射的, 则 f∘g :
A→C也是单射的.
(3) 如果 f : A→B, g : B→C都是双射的, 则 f∘g :
A→C也是双射的.
*
22
8.4 函数的复合和反函数
• 反函数的存在条件及定义
定理8.4
设 f : A→B是双射的, 则f1: B→A也是双 射的.
*
9
• 例：
8.2 函数的性质
*
10
8.2 函数的性质
例8.4 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什 么? （1）f : R→R, f(x)= x2+2x1 （2）f : Z+→R, f(x)=lnx （3）f : R→Z, f(x)=x （4）f : R→R, f(x)=2x+1
f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
*
6
8.1 函数的定义
• 3.B上A
定义8.4
所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上 A”即：
BA＝{f | f : A→B}
思考：设|A|=m,|B|=n,则|BA|=？
*
7
8.1 函数的定义
• 解：
设：A={x1, x2, …,xm}, B={y1, y2, …,yn}, 则集合A到B的函数f形如：
不同的等价关系确定不同的自然映射,
恒等关系所确定的自然映射是双射, 而其他的自然映射一般来说只是满射.
*
18
8.4 函数的复合和反函数
• 例:
gοf
g
A
f
a b
B
1 2
C
c
3
D
gοf={<a,2>,<b,2>,<c,1>}
*
19
8.4 函数的复合和反函数
• 定理8.1
设f, g是函数, 则f∘g也是函数, 且满足
B={ f0, f1, … , f7 }, 其中
f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>},
f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>},
f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>},
*
23
8.5 集合的势
• 集合的势
集合的势是量度集合所含元素多少的量。 集合的势越大，所含的元素越多。
*
24
8.5 集合的势
• 问题：
集合势的大小与函数的关系？
• 解：
设A，B为任意集合,如果存在函数f:A →B,满足：
f是满射的，则 |A|≥|B|； f是单射的，则 |A|≤|B|；
0
x0 令：f(i)=xi
r=0.b0b1b2b3…bi…
1 2 3
x1 x2 x3
每个xi为无限十进制小数
x0=0.a00a01a02a03… x1=0.a10a11a12a13…
f: (0,1) →（-π/2, π/2),f(x)= π(x- 1/2)，显然f为 双射
g: (-π/2, π/2) →R,g(x)= tgx ，显然g为双射
于是f∘g : (0,1) → (π/2, π/2) , f∘g (x)=g(f(x)= tgπ(x- 1/2) ，也是双射函数
有的x∈A 都有 IA(x)=x.
*
13
8.3 一些常用函数
• (3) 设f : A→B，
如果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1) ≼ f(x2),
则称 f 为单调递增的；
如果对任意的 x1, x2∈A, x1≺x2, 就有 f(x1) ≺ f(x2),
则称 f 为严格单调递增的.
• 推论2 设f : A→B, g : B→C, 则 f∘g : A→C, 且x∈A都有 f∘g(x) = g(f(x)).
*
21
8.4 函数的复合和反函数
• 函数复合的性质 • 定理8.2 设 f : A→B, g : B→C.
(1) 如果 f : A→B, g : B→C都是满射的, 则 f∘g :
*
f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.
27
8.5 集合的势
令 f : A→B,
f()=f0 f({2})=f2 f({1,2})=f4 f({2,3})=f6
故： A≈B
f({1})=f1 f({3})=f3 f({1,3})=f5 f({1,2,3})=f7
(4) f : R→R, f(x)=2x+1
是满射、单射、双射的, 因为它是单调函数并且ranf=R.
*
12
8.3 一些常用函数
• 定义8.7
(1) 设f：A→B, 如果存在 c∈B 使得对所有的
x∈A 都有 f(x)=c, 则称 f : A→B是常函数.
(2) 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所
例2：判断下列关系中哪些能构成函数？
（1）f＝{<x,y>|x,y∈N, x＋y＜10} （2）f＝{<x,y>|x,y∈R, x＝y2} （3）f＝{<x,y>|x,y∈N, y＝x＋1}
*
5
8.1 函数的定义
• 例3：
设A ＝ {1, 2, 3}, B ＝ {a, b}，则A到B共有多少个不
(2) 若A≈B，则B≈A
(3) 若A≈B，B≈C，则A≈C。
*
26
8.5 集合的势
• 如何证明A≈B？ 构造从A到B的双射函数
• 1.有穷集之间的双射函数的构造
例1： A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3}
解：A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
*
11
8.2 函数的性质
解 (1) f : R→R, f(x)= x2+2x1
在x=1取得极大值0. 既不是单射也不是满射的.
(2) f : Z+→R, f(x)=lnx
单调上升, 是单射的. 但不满射, ranf={ln1, ln2, …}.
(3) f : R→Z, f(x)= x
是满射的, 但不是单射的, 例如 f(1.5)=f(1.2)=1.
离散数学-----函数_图文.ppt
8.1 函数的定义
• 定义8.1
设 f 为二元关系, 若 x∈domf 都存在唯一的
y∈ranf 使 x f y 成立, 则称 f为函数.
对于函数f, 如果有 x f y, 则记作 y＝f(x), 并称 y 为 f
在 x 的值.
• 例如
f1＝{<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}
A ≤.B
f为双射的，则 |A|＝|B|。 A≈B
f是单射的，且不存在A到B的双射，则|A|＜|B|。
A ＜.B
*
25
8.5 集合的势
• 例如:
|N|≤|R|
定义f:N →R，f(x)=x，显然f为单射函数，所以|N|≤|R|。 • 定理8.6
设A，B，C是任意集合，
(1) A≈A
同的函数？分别列出来。
解：
f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>} , f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>} , f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>},
f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>} ,
f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>} f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>}
应商集的自然映射。
R1={<2,3>,<3,2>}∪IA R2={<1,3>,<3,1>}∪IA R3={<1,2>,<2,1>}∪IA R4=EA R5=IA
*来自百度文库
17
8.3 一些常用函数
• 注意：
给定集合 A 和 A 上的等价关系 R, 就可以确定一
个自然映射 g : A→A/R.
*
28
8.5 集合的势
• 2.实数区间之间构造双射
构造方法：直线方程
• 例2：
A=[0,1] ， B=[1/4,1/2]
构造双射 f : A→B
解：令 f :
[0,1]→[1/4,1/2]
f(x)=(x+1)/4
*
29
8.5 集合的势
• 例：(0,1) ≈ R
证明：构造(0,1)到R的双射函数。
{a,b} = {<a,1>,<b,1>,<c,0>}.
*
15
8.3 一些常用函数
(5) 设 R 是 A 上的等价关系, 令 g : A→A/R g(a) = [a] （a∈A）
称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.
*
16
8.3 一些常用函数
• 例：
已知 A={1, 2, 3}上的等价关系如下，确定A到相
• 分析：
一方面：
|N|≤|R|
f:N →R，f(x)=x，显然f为单射函数，所以
|N|≤|R|。
另一方面
由于(0,1) ≈ R，故只需证明N与(0,1)不等势。
*
38
8.5 集合的势
• 证明： N 与(0,1)不等势
N
f
(0,1 )
设f:N → (0,1)的任意函数 现构造一个正小数r