河北沧州十四中王建华一次函数与方程组教学设计

“14.3 用函数观点看方程（组）与不等式

——一次函数与二元一次方程（组）”教案设计

人教版数学八年级上册第十四章第三节第三课时

河北省沧州市第十四中学王建华

一、教案内容解读

1.教材的地位和作用

函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。用函数的观点看方程（组）与不等式，使学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美。本节是学生认识了一次函数、一元一次方程、二元一次方程组及一元一次不等式的基础上，从变化和对应的角度去认识一次函数与方程、不等式的关系，是站在更高的起点上的动态分析。本节课是“用函数观点看方程（组）与不等式”的第三节课，是对一元一次方程、一元一次不等式从函数的角度重新进行分析后，对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，学生在探索过程中不断体验数形结合思想和函数思想，这不仅是对前面所学知识的升华，也是为下面学习一次函数的应用以及二次函数打下坚实的基础。

2.教案重难点

重点：一次函数与二元一次方程（组）关系的探索。

难点：综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决实际问题。

二、教案目标设置

知识技能：理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组。

数学思考：经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去认识问题。

解决问题：能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决相关实际问题。培养学生利用数形结合思想和函数思想解决数学问题的能力。

情感态度：在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心。

三、学生学情分析

从心理特征来说，八年级学生的逻辑思维已逐步从经验型向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展，但同时这一阶段的学生普遍具有求知欲高、模仿能力强，思维多依赖于具体直观形象的特点，所以在教案中要抓住这些特点，一方面要较好的激发学生求知和探索的兴趣,使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会,让学生发表见解,发挥学生学习的主动性，让学生在实践经验中体会方程和函数的密切联系。

从认知状况来说，学生在此前已经具有了变量与函数的知识积累，掌握了二元一次方程（组）和一次函数的相关知识，并且已经对一元一次方程、一元一次不等式从函数的角度重新进行了分析，初步建立了数（代数表达式）形（图象）结合的意识，这为顺利完成本节课的教案任务做好了铺垫，但对函数图象的理解，由于其抽象程度较高，学生可能会产生一定的困难，所以教案中应注意发展学生数形结合的思想。

四、教案策略分析

本学段的学生思考和探索的意愿、能力有所提高，并在探索的过程中能分析、归纳，形成自己的观点，所以教法和学法的安排遵循了有利于学生自主探索、动手实践、合作交流。

教法的选择：通过创设问题情境，激发学生求知和探究的欲望。把知识的获得置于探究活动之中，通过探索研究使学生深刻体会数形结合的数学思想，通过动手画图使学生体验利用操作、归纳获得数学结论的过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。根据“问题——探究——交流——应用——提高”的流程，对难点进行层层铺设，使学生在学习中经历知识的形成与应用的过程，更好的理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，从而感受自我奋斗后成功的喜悦。

学法的指导：鼓励学生自主探索和合作交流，引导学生自主地从事画图、观察、归纳与交流等教案活动，鼓励学生从多个角度获得解题方法，促进学生对问题

的多方面理解，形成多样化的解决问题的意识，从而使学生形成对数学知识的理解和有效的学习策略。同时注意精选题目，做多种形式的练习，力争把学生思维展开。

五、教案过程

（一）感知身边数学

结合前面对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的探究，我开门见山提出问题：“我们学过的二元一次方程（组）也是一次的，它们和一次函数之间是否也有联系呢？”，从而直接引出课题。

导入“上网业务办理”的问题情景：我在中国电信公司营业大厅办理上网业务，发现有两种上网收费方式：方式A 以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基费外再以每分0.05元的价格按上网时间计费。这时，身边一顾客说他每月上网的费用按方式A 计算比按方式B 计算少花3元。问这位顾客每月上网多长时间？方式B 中的月基费是多少元？

学生已经学习过列方程（组）解应用题，因此学生很快列出二元一次方程，为下面的探究做好铺垫。

[设计意图]建构主义认为，在实际情境中学习可以激发学生的学习兴趣。因此，用“上网收费”这一生活实际创设情境，并用以引出问题为下面“启发学生去思、激励学生去探、鼓励学生去说”做好铺垫，努力给学生造成“心求通而未能得，口欲言而不能说”的情势，从而唤起学生强烈的求知欲，使他们以跃跃欲试的姿态投入到下面的探索活动中来。另外，此问题的设置也为后面例题的讲解做好铺垫，有利于教案难点的突破。

（二）体验探索乐趣

活动一：探究一次函数与二元一次方程的关系

问题：

1.方程305.0=-x y 是什么方程？它有多少个解？你能举出几个这个方程的解吗？

2.二元一次方程305.0=-x y 可以转化为=y ________.

思考：是否任意的二元一次方程都可以转化为这种一次函数的形式？

3.点（10,3.5），（20,4），（30,

4.5）都在直线30

5.0+=x y 上吗？为什么？

4.直线30

5.0+=x y 上的任意一点（x ,y ）一定是二元一次方程305.0=-x y 的一个解吗？

5.任意的二元一次方程是否都能转化成一次函数()0≠+=k b kx y 的形式吗？怎么转化？

6.一次函数()0≠+=k b kx y 的图象上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程b y kx -=-的一个解吗？ 试一试：在平面直角坐标系中画出一次函数5

853+-=x y 的图象.思考：直线5

853+-=x y 上任意一点（x ,y ），则x ，y 一定是方程358x y +=的一个解吗？ [设计意图]用一连串的问题由易到难，由特殊到一般，引导学生发现一次函数与二元一次方程在数与形两个方面的关系，并用一道题目（试一试）让学生巩固对数形结合的认识，加深对数与形之间的本质联系的理解，为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。

活动二：探究一次函数与二元一次方程组的关系

问题1. 在同一坐标系中画出二元一次方程12=-y x 所对应的直线，观察两直线有交点吗？你能确定这个交点的坐标吗？

请同学们快速得到方程组⎩

⎨⎧=-=+12853y x y x 的解是. 观察并思考：这个交点坐标与方程组⎩⎨⎧=-=+1

2853y x y x 的解有什么关系？

探索：是否任意两个一次函数图象的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？

此时教师留给学生充分探索交流的时间与空间，对学生可能出现的疑问给予帮助。之后，简单的概括用图象法解二元一次方程组的步骤。