Z变换及Z传递函数

则：
f (t )
*
f
k 0 i 1

(kT ) (t kT )
3．留数法 设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z 反变换f(kT)值，可由下式计算
f ( kT ) Z 1 F ( z ) 1 2 j
n
k 1 F ( z ) z dz c
根据柯西留数定理，上式可以表示为
k 1 f (kT ) Res F ( z ) z i 1 z pi
n表示极点个数，pi表示第i个极点。即f(kT)等于 F(z)zk-1的全部极点的留数之和。
即：
Res F ( z ) z
k 1 z pi n
lim( z pi ) F ( z ) z
对上式取拉氏变换，得
F ( z) F (s) f (0) f (T ) z f (2T ) z f (kT ) z
*
1
2
k
例2.1 求单位阶跃函数的z变换。
例2.2 求f(t)=at/T 函数（a为常数）的Z变换。
解：根据Z变换定义有
F ( z ) f (kT ) z k
上式中符号 G1G2 ( z) 是 ZG1 (s) G2 (s) 的 缩写，它表示先将串联环节传递函数G1(s)与 G2(s)相乘后，再求Z变换的过程。
另一种是两个环节之间有同步采样开关 存在，如图所示。
G ( z) U ( s) T U ( z) G 1 ( s) T Y 1 ( z) G 2 ( s) Y ( z)
由上式可知，两个串联环节之间有
同步采样开关隔开的Z传递函数，等于每
个环节Z传递函数的乘积。
在一般情况下，很容易证明：
G1G2 ( z) G1 ( z) G2 ( z)
在进行计算时，应引起注意。
结论：
n个环节串联构成的系统，若各串联环节 之间有同步采样开关，总的Z传递函数等于各 个串联环节Z传递函数之积，即
G( s) K
2．惯性环节 惯性环节的传递函数为：
K G(s) , (1 T1s )(1 T2 s ) (1 Tn s )
T1 T2 Tm
n 1,2,
当
K G (s) (1 Tm s ) n
n 1,2,
3．积分环节 积分环节的传递函数为： 4．纯滞后环节
G( z) G1 ( z)G2 ( z)Gn ( z)
如果在串联环节之间没有采样开关，需要将 这些串联环节看成一个整体，求出其传递函数
G ( s ) G1 ( s )G 2 ( s ) G n ( s )
然后再根据G(s)求G(z)。一般表示成
G( z) ZG1 (s)G2 (s)Gn (s) G1G2 Gn ( z)
2．部分分式法 又称查表法 ，设已知的Z变换函数 F(z)无重极点，先求出F(z)的极点，再将 F(z)展开成如下分式之和
F ( z)

i 1
n
ai z z zi
然后逐项查Z变换表，得到
fi (kT ) Z
1
ai z z z i
n i
i 1, 2, , n
根据广义脉冲函数的性质，可得：
F * ( s)

k 0

f (kT )e kTs
上式中，F*(s)是离散时间函数f *(t)
的拉氏变换，因复变量s含在指数e-kTs中是
超越函数不便于计算，故引一个新变量
z=eTs，设 并将F*(s)记为F(z)则
F ( z ) f (kT ) z k
Z变换及Z反变换
Z变换定义与常用函数Z变换
Z变换的定义 已知连续信号f(t)经过采样周期为T的采 样开关后，变成离散的脉冲序列函数f *(t) 即采样信号。
f (t )
*
f (kT ) (t kT )
k 0

对上式进行拉氏变换，则
对上式进行拉氏变换，则
F ( s ) L[ f (t )]
被控对象的传递函数与性能指标
计算机控制系统的被控对象是指所要 控制的装置或设备，如工业锅炉、水泥立 窑、啤酒发酵罐等。
被控对象用传递函数来表征时，其 特性可以用放大系数K、惯性时间常 数 Tm ，积分时间常数 Ti 和纯滞后时 间 来描述。被控对象的传递函数可以归 纳为如下几类。
1．放大环节 放大环节的传递函数
f (kT ) Z1 F ( z)
Z反变换主要有三种方法，即长除法、 部分分式法和留数计算法。
1．长除法
b0 z m b1 z m1 bm F ( z) a0 z n a1 z n1 an 用长除法展开得：
设
F ( z) c0 c1 z 1 ck z k
制性能越好。
3．对象的纯滞后时间对控制性能的影响
设扰动通道的纯滞后时间 n 、控制通道的纯 滞后时间 。 设扰动通道纯滞后时间 n 对控制性能无影 响，只是使输出量yn (t)沿时间轴平移了 n ，如 图所示。
yn(t) yn(t),τn＝0
yn(t),τn≠0 τn
t
n
常用信号的Z变换
1．单位脉冲信号
k 0
f (t ) (t )
F ( z ) Z (t ) (kT ) z k 1
2．单位阶跃信号 f (t ) 1(t ) F ( z ) 1( kT ) z
k k 0
1 z 1 z 2 1 1 z 1 z z 1
例2.2 已知 求F(Z) 解：将F(s)写成部分分式之和的形式
a 1 1 F ( s) s( s a) s sa
a F (s) s ( s a ) （a为常数）,
a1 1 a2 1 s1 0 s2 a
z z F ( z) z 1 z e aT (1 e aT ) z 2 z (1 e aT ) z e aT
* *



f * (t ) e Ts d t
Ts f ( kT ) (t kT ) e d t k 0

k 0

f ( kT ) (t kT ) e Ts d t
k 0

1 az 1 a 2 z 2 a k z k 1 z 1 za 1 az z a
2．部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函 数，将展开成部分分式的形式为
ai F ( s) i 1 s si
n
因此，连续函数的 Z 变换可以由有理函数求 出 n ai z F ( z) si t z e i 1
( z 1)
3．单位速度信号
F ( z ) kTz k
k 0
f (t ) t
T ( z 1 2 z 2 3z 3 ) Tz ( z 1) 2 ( z 1)
4．指数信号

f (t ) e
at
F ( z ) e kaT z k
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 1 aT 1 1 e z z at z e
5．正弦信号
f (t ) sin t
1 sin t (e j t e j t ) 2j 1 j t j t F ( z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
k 0
式中F(z)就称为离散函数f *(t)的Z变换。
为什么引入z变换？
求取离散时间函数的Z变换有多种方法， 常用的有两种。 1．级数求和法 将离散时间函数写成展开式的形式
f * (t ) f (kT ) (t kT )
k 0
f (0) (t ) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (kT ) (t kT )
由Z变换定义得： F ( z) f (0) f (T ) z 1 f (kT ) z k 比较两式得： 则：
*
f (0) c0 , f (T ) c1 ,, f (kT ) ck ,
f (t ) c0 c1 (t T ) c2 (t 2T ) ck (t kT )


z z j T j T z e z e 1 e jT e jT 2 2 j z (e jT e jT ) z 1 z sin T 2 z 2 z cos T 1 1 2j
表
Z反变换
所谓 Z 反变换，是已知 Z 变换表达式 F(z)，求相应离散序列f(kT)或f*(t)的过 程，表示为
y(t)
y(t)
tBaidu Nhomakorabea
t
a) 发散振荡 y(t) y(t)
c）衰减振荡
t b）等幅振荡
t
d）非周期衰减
过渡过程曲线
对象特性对控制性能的影响 1．对象放大系数对控制性能的影响
对象可以等效看作由扰动通道Gn (s)和 控制通道G (s)构成，可以得出如下的结论： （1）扰动通道的放大系数Kn影响稳态误差ess ， Kn越小，ess也越小，控制精度越高，所以希 望Kn尽可能小。
z pi z pi
k 1
f (kT ) lim( z pi ) F ( z ) z k 1
i 1
开环Z传递函数
1．串联环节的Z传递函数 串联环节的Z传递函数的结构有两种情 况：一种是两个串联环节之间没有采样开关 存在，即串联环节之间的信号是连续时间信 号，如图所示。
G ( z) U ( s) Y 1 ( s) Y ( s)
（2）控制通道的放大系数Km对系统的性能没 有影响，因为Km完全可以由调节器D (s)的比 例系数Kp来补偿。
2．对象的惯性时间常数对控制性能的影响
设扰动通道的惯性时间常数Tn ，控制
通道的惯性时间常数Tm。
（1）当Tn加大或惯性环节的阶次增加时，可
以减少超调量。
（2）Tm越小，反应越灵敏，控制越及时，控
串联环节间有采样开关
两个串联环节之间有采样开关，可由Z传 递函数约定义直接求出。
Y1 ( z ) U ( z) Y ( z) G2 ( z ) Y1 ( z ) G1 ( z )
串联环节总的Z传递函数为
G( z ) Y ( z) U ( z) Y ( z) Y ( z) 1 U ( z ) Y1 ( z ) G1 ( z ) G2 ( z )
K G (s) n Ti s
n 1,2,
纯滞后环节的传递函数为：
G(s) e τs
实际对象可能是放大环节与惯性环节、 积分环节或纯滞后环节的串联。
计算机控制系统的性能指标
计算机控制系统的性能跟连续系统类似， 可以用稳定性、能控性、能观测性、稳态特性、 动态特性来表征，相应地可以用稳定裕量、稳 态指标、动态指标和综合指标来衡量一个系统 的优劣。 1．系统的稳定性 计算机控制系统在给定输入作用或外界 扰动作用下，过渡过程可能有四种情况。
T
U(z)
G1 (s)
串联环节间无采样开关
G2 (s)
Y(z)
输出Y(z)与输入U(z)之间总的Z传递函数 并不等于两个环节Z传递函数之积。
Y (s) G1 (s) G2 (s) U (s) G(s) U (s)
上式对应的Z传递函数为
G( z) ZG1 (s) G2 (s) G1G2 ( z)