2015IMO中国国家队选拔考试第六天试题
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求证：当 u , v 取遍 V 的所有二元子集时，至少可以得到 120 个不同的 L u , v
6. 对正整数 n ， 定义 f n n !
n 1! ，这里 a 表示正整数 a 的正约数个数，
求证：存在无穷多个合数 n ，使得对于任意正整数 m n ，均有
第 56 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三
杭州 第二天 2015 年 3 月 24 日上午 8：00——12：30
4. 给定正整数 n 2 ，设 x1 , x2 ,……xn 是单调不减的正数数列，并使 x1 , 一个单调不增的数列。求证:
n
x x2 ,…… n 构成 2 n
x
i 1
i 1 n
n n xi i 1
n 1 2 n n!
5. 将 2015 阶完全图 G 的每条边染成红、蓝两色之一。对于 G 的顶点集 V 的任意一个二元 子集 u , v ，定义
L u , v u , v w V
以 u, v, w 为顶点的三角形中恰有两条红边
f m f n
求证：当 u , v 取遍 V 的所有二元子集时，至少可以得到 120 个不同的 L u , v
6. 对正整数 n ， 定义 f n n !
n 1! ，这里 a 表示正整数 a 的正约数个数，
求证：存在无穷多个合数 n ，使得对于任意正整数 m n ，均有
第 56 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三
杭州 第二天 2015 年 3 月 24 日上午 8：00——12：30
4. 给定正整数 n 2 ，设 x1 , x2 ,……xn 是单调不减的正数数列，并使 x1 , 一个单调不增的数列。求证:
n
x x2 ,…… n 构成 2 n
x
i 1
i 1 n
n n xi i 1
n 1 2 n n!
5. 将 2015 阶完全图 G 的每条边染成红、蓝两色之一。对于 G 的顶点集 V 的任意一个二元 子集 u , v ，定义
L u , v u , v w V
以 u, v, w 为顶点的三角形中恰有两条红边
f m f n