初中数学竞赛环形行程问题

环形行程问题

例1.甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。这条公路长3000米，甲骑一圈需要10分钟。如果第一次相遇时甲骑了1800米，求：

（1）乙骑一圈需要多少分钟？

（2）再过多久他们第二次相遇？

图示：

[答疑编号0518420101]

【答案】15分钟，6分钟。

【解答】（1）甲骑行的速度：3000÷10＝300（米/分）

相遇时间：1800÷300＝6（分钟）

相遇时乙骑行的距离：3000－1800＝1200（米），

乙骑行的速度：1200÷6＝1200（米/分），

乙骑一圈的时间：3000÷200＝15（分钟）；

（2）将每次相遇看成路程为3000米的相遇问题，

3000÷（300＋200）＝6（分钟）。

因此每次相遇所需的时间是相同的，都是6分钟。

例2.将例1中的条件改为两人从环形公路上同一地点同时出发，同向而行，那么甲第一次追上乙时需要多少分钟？

图示：

[答疑编号0518420102]

【答案】30分钟。

【解答】当甲追上乙时，甲比乙多走的路程恰好等于环形公路一圈的长度，利用追及问题的方法，可以得到追及时间是

3000÷（300－200）＝30（分钟）

进一步思考：再过多久甲第二次追上乙？

出发100分钟后，甲已经追上乙多少次？

总结：在环形公路（或跑道）上，当两人背向而行时，相当于相遇问题

相遇时间＝周长÷速度和；

当两人同向而行时，相当于追及问题

追及时间＝周长÷速度差

请你思考：运用这些公式的前提条件是什么？

例3.在800米长的环形跑道上，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，同向而行。8分钟后，甲第一次追上乙，又经过20分钟后甲第二次追上乙。已知甲的速度是每秒3米，那么A、B两地之间的跑道有多少米？

图示：

[答疑编号0518420103]

【答案】320米。

【解答】甲、乙两人的速度差是：800÷20＝40（米/分钟），

甲的速度是：3×60＝180（米/分钟），

乙的速度是： 180－40＝140（米/分钟），

第一次追及的路程是：（180－140）×8＝320（米），

这也就是A、B两地之间的跑道长度。

注：从解法中可见，重要的是两人的速度差，因此解法可以简化为800÷20×8＝320米。

例4.甲、乙和丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8：6：5，它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬行，当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行。问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次？（包括结束时刻）。

分析：这是一个正比关系，因为蚂蚁运动时间相同，所以所行的路程比与其速度比成正比，圈数比与速度比成正比。

[答疑编号0518420104]

【答案】2次。

【解答】甲、乙、丙三只蚂蚁的速度之比为8：6：5，

所以，当它们首次同时回到出发点时，它们所爬行的圈数比也为8：6：5。

因此，甲运动8圈，乙运动6圈，蚂蚁甲比蚂蚁乙每多运动1圈，

就追上蚂蚁乙1次，所以，甲一共追上乙2次。

例5.在一次汽车耐力赛中，甲、乙两车从A点同时出发，绕着周长为3000米的跑道逆时针行驶。甲、乙两车的速度分别是每小时90千米和每小时117千米，但是由于雨后跑道泥泞的原因，两车在每圈最后400米（从B到A）的速度都是每小时72千米。那么乙车在出发后第5次追上甲车的地点距离A有多少米？（结果用假分数表示）

图示：

[答疑编号0518420105]

【答案】米。

【解答】甲跑一圈的时间为124秒，乙跑一圈的时间为100秒。

2500秒时，甲跑了20圈多20秒，乙跑了25圈，说明乙已经追上甲4次，

并且此时两车的距离为500米。

乙下一次追上甲需要秒，

离A有米或者说是米。

例6.有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行.甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米.出发后，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇.这花圃的周长是多少米？

[答疑编号0518420106]

【答案】8892米。

【解答】由已知可知，甲先与乙相遇.在甲乙相遇这段时间里，

乙丙所行的路程差正是甲丙在3分钟内相向而行的路程之和：

（米）.

从出发到甲乙相遇所用时间为：（分钟）.

所以，花圃的周长为（40＋38）×114＝8892（米）.

例7.在一个圆形跑道上，甲、乙、丙三人同时从同一点出发，其中甲按逆时针方向前进，乙和丙按顺时针方向前进.甲首先和乙相遇，4分钟后甲和丙相遇.当甲和乙第二次相遇时，乙转身以原来速度逆时针前进，10分钟后乙与丙相遇.已知甲每分钟走80米，丙每分钟走40米.

（1）求乙每分钟走多少米？

（2）这个跑道的周长是多少米？

[答疑编号0518420107]

【答案】56米/分钟，4080米。

【解答】甲乙相遇时，甲丙之间的距离为（80＋40）×4＝480米

第二次甲乙相遇时，他们与丙之间的距离为480×2＝960米

乙的速度：960÷10－40＝56米/分钟

甲乙相遇所需时间：480÷（56－40）＝30分钟

跑道周长：（80＋56）×30＝4080米。

例1.如图，在正六边形的跑道上，甲乙二人分别从A、D同时出发，各自以固定不变的速度逆时针方向跑步.只有当两人在同一条边上时，他们才能相互看到对方.出发256秒后，甲第二次跑到C，此时他第一次看到了乙.他立刻返身继续按原来的速度跑，又过了88秒，甲再次看到了乙.那么乙跑完一圈需要秒.

[答疑编号0518420201]