角动量守恒例题

长为L 的均匀直棒，质量为M ，上端用光滑水平轴吊起静止下垂。今有一质量为m 的子弹，以水平速度v 0 射入杆的悬点下距离为a 处而不复出。

（1）子弹刚停在杆中时杆的角速度多大

（2）子弹冲入杆的过程中（经历时间为Δt ），杆上端受轴的水平和竖直分力各多大

（3）要想使杆上端不受水平力，则子弹应在何处击中杆

解：把子弹和杆看作一个系统。系统所受的力有重力和轴对杆的约束力。在子弹射入杆的极短时间内，重力和约束力均通过轴，因而它们对轴的力矩均为零，系统的角动量守恒，于是有

ω)31(2

20ma Ml a mv +=

22033ma ML a

mv +=∴ω

（2）解法1：对子弹与杆系统，根据动量定理，在水平方向有

0p p t F x -=∆

ωωmd l

M mv Mv p mv p c +=+==2,00

t v

m t ma l M F x ∆-∆+=∴0

)2(ω

此即为轴在水平方对杆上端的作用力，与v 0的方向相反。

在竖直方向上有

2

2

2)(ωωmd l M g m M F y +=+-

)(222g d m Mg l

M F y +++=∴ωω

如略去m ，则 Mg l M F y +=2

2ω

（2）解法2：子弹冲入杆的过程中，子弹受杆的阻力的大小为：

t mv ma t mv mv f ∆-=∆-=0

0'ω

杆受子弹的水平冲力为 t ma mv f f ∆-=-=ω

0'

对杆用质心运动定律

t l

M Ma f F C x ∆==+2ω )

2(l

t r a t t ∆==∆=∴∆=ωαω

ααω

t v

m t ma l

M Ma f F C x ∆-∆+=+-=∴0

)2(ω

此即为轴在水平方对杆上端的作用力，与v 0的方向相反。 在竖直方向上有

222

)(ωωmd l M g m M F y +=+- )(2

22g d m Mg l M F y +++=∴ωω 如略去m ，则 Mg l M F y +=22

ω

（3）由0=∴x F 可得：

m ML

v a 20

-=ω 将22033md ML a

mv +=ω代入得

m Ml

md Ml ma a 2332

2

-+=解得l a 32

=