2019-2020年高中数学 第三章 概率 2.3 互斥事件教学案 北师大版必修3

2019-2020年高中数学 第三章 概率 2.3 互斥事件教学案 北师大版必修

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预习课本P138～146，思考并完成以下问题

(1)互斥事件的定义是什么？

(2)对立事件的定义是什么？

(3)互斥事件与对立事件有什么区别和联系？

(4)互斥事件的概率加法公式是什么？

[新知初探] 1．互斥事件

(1)定义：在一个试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A 与B 称作互斥事件．

(2)规定：事件A ＋B 发生是指事件A 和事件B 至少有一个发生．

(3)公式：在一次随机试验中，如果随机事件A 和B 是互斥事件，那么有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．

(4)公式的推广：如果随机事件A 1，A 2，…，A n 中任意两个是互斥事件，那么有P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．

[点睛] (1)如果事件A 与B 是互斥事件，那么A 与B 两事件同时发生的概率为0.

(2)

从集合的角度看，记事件A 所含结果组成的集合为集合A ，事件B 所含结果组成的集合为集合B ，事件A 与事件B 互斥，则集合A 与集合B 的交集是空集，如图所示．

2．对立事件

(1)定义：

在一次试验中，如果两个事件A 与B 不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A

与B 称作对立事件，事件A 的对立事件记为A －.

(2)性质：

P(A)＋P(A－)＝1，即P(A)＝1－P(A－)．

[点睛] 两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件；两个事件为互斥事件，它们未必是对立事件．

[小试身手]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对立事件一定是互斥事件．( )

(2)A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．( )

(3)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.( )

(4)事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．( )

答案：(1)√(2)×(3)×(4)×

2．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )

A．至多有一次中靶B．两次都中靶

C．两次都不中靶D．只有一次中靶

解析：选C 连续射击两次的结果有四种：①两次都中靶；②两次都不中靶；③第一次中靶，第二次没有中靶；

④第一次没有中靶，第二次中靶．“至少有一次中靶”包含①③④三种结果，因此互斥事件是②.

3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )

A．至多有2件次品B．至多有1件次品

C．至多有2件正品D．至少有2件正品

解析：选B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件．共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．

4．甲乙两人下围棋比赛，已知比赛中甲获胜的概率为0.45，两人平局的概率为0.1，则甲输的概率为________．

解析：记事件A＝“甲胜乙”，B＝“甲、乙战平”，C＝“甲不输”，则C＝A＋B，而A，B是互斥事件，故P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.55.由于甲输与不输为对立事件，故甲输的概率为：1－P(C)＝1－0.55＝0.45.

答案：0.45

[典例] 事件B为“至

少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否是对立事件．

(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.

[解] (1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B 与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．

(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B 发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．

(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．

(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．

判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．

[活学活用]

某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．

(1)恰有1名男生与恰有2名男生；

(2)至少1名男生与全是男生；

(3)至少1名男生与全是女生；

(4)至少1名男生与至少1名女生．

解：从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果；两男或两女或一男一女．

(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．

(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．

(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

(4)当选出的是1名男生1名女生时，至少1名男生与至少1名女生同时发生，所以它