考研级数典型例题完美版讲析

常

数项级数

内容要点

一， 概念与性质

(一)概念由数列ΛΛ,,,,21n u u u 构成的式子

称为无穷级数，简称为级数.n u 称为级数的一般项，∑==n

i i n u s 1称为

级数的部分和. 如果s s n

n =∞

→lim ,则称级数∑∞

=1n n

u 收敛，s 称为该级数的和.此时记

=∑∞

=1

n n

u

s .否则称级数发散.

（二）性质

1,若∑∞=1n n u 收敛，则.11

∑∑∞

=∞

==n n n n

u k ku

2,若∑∞

=1

n n u ,∑∞

=1

n n v 收敛，则().1

1

1

∑∑∑∞

=∞

=∞

=±=±n n n n n n n v u v u

3,级数增减或改变有限项，不改变其敛散性. 4,若级数收敛，则任意加括号后所成的级数仍收敛. 5(收敛的必要条件),若∑∞

=1n n u 收敛，则.0lim =∞

→n

n u

注意：若.0lim ≠∞

→n

n u 则

∑∞

=1

n n

u 必发散.而若∑∞

=1

n n

u 发散,则不一定

.0lim ≠∞

→n n u

(三)两个常用级数 1,等比级数

2,-p 级数

二，正项级数敛散性判别法 (一) 比较判别法

设∑∑ℜ

=∞

=1

1

,n n n n v u 均为正项级数，且),2,1(Λ=≤n v u n n

,则

∑∞=1n n

v 收敛⇒∑∞

=1n n

u 收敛；

∑∞

=1

n n

u 发散⇒∑∞

=1

n n

v 发散

(二) 极限判别法

如果)0(lim +∞≤<=∞

→l l nu n

n ,则∑∞

=1n n

u 发散；

如果对,1>p )0(lim +∞<≤=∞

→l l u n n p

n ,则∑∞

=1

n n u 则收敛. (三) 比值判别法 设∑∞

=1n n u 为正项级数，若

二， 交错级数收敛性判别法 莱布尼兹判别法：设())0(111>-∑∞

=-n

n n n u u 为交错级数，如果满足：

1,),2,1(1Λ=≥+n u u n n 2,0lim =∞

→n n u

则此交错级数收敛.

三， 任意项级数与绝对收敛

（一） 绝对收敛如果∑∞

=1n n u 收敛，则称∑∞

=1

n n u 绝对收敛.

（二） 条件收敛如果∑∞

=1

n n u 收敛，但∑∞=1

n n u 发散,则称∑∞

=1

n n u 条件收

敛.

（三） 定理若级数绝对收敛，则该级数必收敛.

函数项级数

一、主要内容 1、基本概念

函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数

幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性 A 、函数列{()}n f x 一致收敛性的判断：

（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性 （2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断

（3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→ （4）估计方法：|

()()|0

n n f x f x a -≤→

（5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性

注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。 注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处

理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。

注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n>N 时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n>N 时，对所有任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。 非一致收敛性的判断 （1）定义

（2）Cauchy 收敛准则 （3）确界法：存在n x ，使得||()()||

n n n f x f x -不收敛于0

（4）和函数连续性定理

（5）端点发散性判别法：{()}n f x 在c 点左连续，{()}n f c 发散，则

{()}

n f x 在

(,)c c δ-内非一致收敛

注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy 收敛准则。 B 、函数项级数()n u x ∑