专题复习：高中数学基本不等式经典例题

合集下载

高中不等式经典例题

高中不等式经典例题例1解不等式：(1)2x ³-x ²-15x>0;(2)(x+4)(x+5)²(2-x)³<0.分析：如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正：②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图.典型例题二例2解下列分式不等式： (1)3x−2≤1−2x+2; (2)x 2−4x+13x 2−7x+2<1分析：当分式不等式化为 f (x )g (x )<0(或≤0)时，要注意它的等价变形(1) 解：原不等式等价于3x−2≤x x+23x−2−x x+2≤03(x+2)−x (x−2)(x−2)(x+2)≤0−x 2+5x+6(x−2)(x+2)≤0可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况。

解:(1) 原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>0x 1=0,x 2=−52,x 3=3顺次标上数轴，然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分，∴原不等式解集为(2) 原不等式等价于(x+4)(x+5)³(x -2)³>0x>2 ∴原不等式解集为或-5<x<-4或x>2}f (x )g (x )<0f (x )⋅g (x )<0;(x−6)(x+1)(x−2)(x+2)≥0{(x −6)(x +1)(x −2)(x +2)≥0(x +2)(x −2)≠0(2) 解法一：原不等式等价于2x 2−3x+13x 2−7x+2>0 (2x 2−3x +1)(3x 2−7x +2)>0{2x 2−3x +1>03x 2−7x +2>0或 {2x 2−3x +1<03x 2−7x +2<0x <13或 12<x <1或x>2，∴原不等式解集为 (−∞,13)∪(12,1)∪(2,+∞). 解法二：原不等式等价于典型例题三例3解不等式|x ²-4|<x+2 分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 |a|={a (a ≥0)−a(a <0)二是根据绝对值的性质： |x|<a −a <x <a,|x|ax >a 或x<-a, 因此本题有如下两种解法。

高一基本不等式及其应用知识点+例题+练习含答案

1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )1．(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y 的最小值为________．答案 4解析由log 2x ＋log 2y ＝1得xy ＝2，又x >y >0，所以x －y >0，x 2＋y 2x －y ＝(x －y )2＋2xy x －y ＝x －y ＋4x －y ≥2(x －y )·4x －y ＝4，当且仅当x －y ＝2，即x ＝1＋3，y ＝3－1时取等号，所以x 2＋y 2x －y的最小值为4.3．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________.答案 3解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 4．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤[x ＋(10－x )2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.5．(教材改编)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．答案116解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎨⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116.题型一利用基本不等式求最值命题点1 配凑法求最值例1 (1)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．(3)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________．答案 (1)1 (2)23＋2 (3)15解析 (1)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立．(3)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4.当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．命题点2 常数代换或消元法求最值例2 (1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． (2)(高考改编题)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b 取最小值时，a 的值为________．答案 (1)5 (2)－2解析 (1)方法一由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. (当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5. 方法二由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y ＝13(y －15)＋95＋45－4y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15)≥135＋23625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)∵a ＋b ＝2，∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a 4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a4|a |＋1，当且仅当b 4|a |＝|a |b 时等号成立．又a ＋b ＝2，b >0， ∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值．思维升华条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m >0)的最小值为3，则m ＝________.(2)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 (1)4 (2)6解析 (1)由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y ) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y ) ≥13(1＋m ＋2m )， (当且仅当y x ＝mxy 时取等号)∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4.(2)由已知得x ＝9－3y1＋y .方法一 (消元法) ∵x >0，y >0，∴y <3， ∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·(3y ＋3)－6＝6，当且仅当121＋y ＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6. 方法二 ∵x >0，y >0，9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·(x ＋3y 2)2，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0， ∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t >0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.题型二基本不等式与学科知识的综合命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例3 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是________．(2)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________．答案 (1)9 (2)4解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1. 因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋bc ＋5.因为b ，c >0，所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当4c b ＝bc时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．命题点2 求参数的值或取值范围例4 已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为________．答案 12解析由3a ＋1b ≥ma ＋3b得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab＋6.又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 (1)32 (2)[－83，＋∞)解析 (1)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)．因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6. 所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n ) ≥16(5＋2n m ·4m n )＝32. 当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32. (2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．题型三不等式的实际应用例5 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100]．(或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100])．(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立．故当x ＝1810千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x－1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)．∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80)，1 200－(x ＋10 000x)(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)．当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－210 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)，综上所述，当x ＝100时，年获利最大．9．忽视最值取得的条件致误典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy，∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2.(2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x ≥2 6. 解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y) ＝3＋y x ＋2x y≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2 (－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 答案 (1)3＋22 (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[方法与技巧]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件．3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m x(m >0)的单调性． [失误与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．A 组专项基础训练(时间：30分钟)1．下列不等式一定成立的是________．①lg(x 2＋14)>lg x (x >0)； ②sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )； ③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )；④1x 2＋1>1(x ∈R )．答案 ③解析当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故②不正确；由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确． 2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2成立”的__________条件．答案必要不充分解析因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2成立”的必要不充分条件． 3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________．答案 92解析依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b)·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 4．(2014·重庆改编)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．答案 7＋4 3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎨⎧a >0，b >0. 又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4b a≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a时取等号． 5．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．答案 8解析由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0. ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×(2x ＋1y )＝4y x ＋x y＋4≥4＋4＝8. 6．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a 、b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x x的最小值为________．答案 1 3解析 1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2(舍去)．∴k ＝1.f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立． 7．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为________．答案 2解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ，∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ，∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，∴2xy ≥2，∴xy ≥2.8．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是________．答案 6解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1.同理可得b >1，所以1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，所以最小值为6.9．若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，22－3]解析设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x >－3，所以x ＋3>0，故f (x )≥2(x ＋3)×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，22－3]．10．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－8]解析分离变量得－(4＋a )＝3x ＋43x ≥4，得a ≤－8. 11．(2015·南通二模)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. B 组专项能力提升(时间：20分钟)12．设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为________．答案 16解析由32＋x ＋32＋y＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，∴xy 的最小值为16.13．已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是________________________________________________________________________．答案 [0，4a 1] 解析因为m 2＋1m ＝m ＋1m≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)，所以要使不等式恒成立，则2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a i x －2≤2，所以0≤a i x ≤4，因为a 1>a 2>0，所以⎩⎨⎧ 0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a 2，即0≤x ≤4a 1，所以使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1]． 14．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.15．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．答案 4解析由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 16．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝4432，3所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元．。

专题复习高中数学必修5基本不等式经典例题(word文档良心出品)

基本不等式知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

高中不等式例题(超全超经典)

解题技巧：
技巧一：凑项例1：已知，求函数的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1.当时，求的最大值。
技巧三：分离例3.求的值域。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________（答：（－1,2））
例2.(1)求函数的最大和最小值；
(2)设，函数 .
若，求的最大值
1．不等式的性质：
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式
7．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如
（1）若，则的取值范围是__________（答：或）；
（2）解不等式
（答：时，；时，或；时，或）
1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法
3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。如

高一数学不等式部分经典习题及答案

ab ；⑥若a<b<0,贝贝—>—；cdab3.不等式一．不等式的性质：1■同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a>b，c>d,则a+c>b+d(若a>b,c<d，则a-c>b-d)，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd(若a>b>0,0<c<d,则a>—)；3•左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b>0，则a n>—或%疮>n b;4.若ab>0,a>b,则1<1；若ab<0,a>b,则1>1。

如abab(1) 对于实数a,b,c中，给岀下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a<b<0,贝Ua2>ab>b2；④若a<b<0,贝』<—；⑦若c>a>b>0,贝卩a>b；⑧若a>b丄>,则a>0,b<0oc一ac一bab其中正确的命题是(答：②③⑥⑦⑧);(2) __________________________________________________ 已知-1<x+y<1,1<x一y<3，则3x一y的取值围是(答：1<3x-y<7)；c(3) 已知a>b>c，且a+b+c=0,则_的取值围是二.不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得岀结果2•作商(常用于分数指数幂的代数式)；3•分析法;4. 平方法；答：5. 分子(或分母)有理化；6. 利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。

基本不等式经典题目

基本不等式经典题目基本不等式：经典题目1. 证明柯西不等式：若 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \dots, y_n$ 是两个 n 维实数序列，则有$$\left(\sum_{k=1}^n x_ky_k\right)^2 \le\left(\sum_{k=1}^n x_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^ny_k^2\right)$$2. 证明赫尔德不等式：若 $p$ 和 $q$ 是大于 $1$ 的实数且满足$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，则对于任意 n 维实数序列$x_1, x_2, \dots, x_n$ 和 $y_1, y_2, \dots, y_n$，都有$$\left|\sum_{k=1}^n x_ky_k\right| \le\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q\right)^{1/q}$$3. 证明明可夫斯基不等式：对于任意p ≥ 1 和 n 维实数序列 $x_1, x_2, \dots,x_n$，都有$$\left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\right)^{1/p} \le\sum_{k=1}^n |x_k|$$4. 证明切比雪夫不等式：对于任意实数 $a$ 和 n 维实数序列 $x_1, x_2, \dots, x_n$，都有$$P(|X - E(X)| \ge a) \le \frac{V(X)}{a^2}$$其中 $X$ 为序列 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的随机变量，$E(X)$ 为期望，$V(X)$ 为方差。

5. 证明马尔科夫不等式：对于任意实数 $a > 0$ 和 n 维非负实数序列 $x_1, x_2, \dots, x_n$，都有$$P(X \ge aE(X)) \le \frac{E(X)}{a}$$其中 $X$ 为序列 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的随机变量。

高中数学必修5基本不等式精选题目（附答案）

高中数学必修5基本不等式精选题目（附答案）高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤? ????a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <="">D ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：? ????1a －1? ????1b －1? ??1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<="">x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bc< p="">C.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lg< p="">a＋b2＝R.所以P<q<r.< p="">3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得? ????2b a ＋a 2b ＋? ????3c a ＋a 3c ＋? ????3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴? ????2b a ＋a 2b －1＋? ????3c a ＋a 3c －1＋? ????3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得? ????1a －1? ????1b －1? ????1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·?2x ＋3y 22＝16·? ????622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·? ??1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6? 2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6? ????2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6? ?5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．练习：1.解析：选B A 中，当0<="">lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤?a ＋b 22≤? ??422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝? ????2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当 a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4? ??900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )? ????1x ＋3y ＝4＋? ????y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.</q<r.<></lg<></bc<>。

高中数学专题复习基本不等式限时练习试卷与答案

高二数学专题复习（五）基本不等式1 限时练高二 ______班_____组学号：_______ 姓名：______________ 一、【基础过关】（大约35分钟）.225,0.1的最大值求已知xx x +<.19,1.2的最小值求已知-+>x x x.)41(,410.3的最大值求已知x x x -<<4.(2020·上海,13)下列不等式恒成立的是( )A.a 2+b 2≤2abB.a 2+b 2≥-2abC.a+b ≥2√|ab |D.a+b ≥-2√|ab |5.(2015·福建,理5)若直线x a +yb =1(a>0,b>0)过点(1,1),求a+b 的最小值.6.(2015·湖南,文)若实数a ,b 满足1a +2b =√ab ,则ab 的最小值为( )A.√2B.2C.2√2D.47.(2019·天津,文13)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .8.(2019·天津,理13)设x>0,y>0,x+2y=5,则√xy的最小值为.9.(2014·重庆,文9)若log4(3a+4b)=log2√ab,则a+b的最小值是()A.6+2√3B.7+2√3C.6+4√3D.7+4√3二、【能力提升】（大约5分钟）10.(2015·重庆,文14)设a,b>0,a+b=5,则√a+1+√b+3的最大值为.高二数学专题复习（五）基本不等式1限时练答案1. 302. 73.641A.由基本不等式可知a2+b2≥2ab,故A不正确;B.a2+b2≥-2ab⇒a2+b2+2ab≥0,即(a+b)2≥0恒成立,故B正确;C.当a=-1,b=-1时,不等式不成立,故C不正确;D.当a=0,b=-1时,不等式不成立,故D不正确.故选B.∵直线xa+yb=1过点(1,1),∴1a+1b=1.又a,b均大于0,∴a+b=(a+b)(1a+1b)=1+1+ba+ab≥2+2√ba·ab=2+2=4.故选C.由已知1a+2b=√ab,可知a,b同号,且均大于0.由√ab=1a+2b≥2√2ab,得ab≥2√2.即当且仅当1a=2b,即b=2a时等号成立,故选C.(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy.∵x+2y=4,∴4≥2√2xy,∴2xy≤4.∴1xy≥12.∴2+5xy≥2+52=92.先化简,利用√xy 的范围求解.√xy=√xy=√xy =2√xy √xy≥2·√2√xy ·6√xy =4√3.当且仅当√xy =√xy,即xy=3时等号成立.由log 4(3a+4b )=log 2√ab ,得12log 2(3a+4b )=12log 2(ab ),所以3a+4b=ab ,即3b +4a =1. 所以a+b=(a+b )(3b +4a )=3ab +4ba +7≥4√3+7,当且仅当3ab =4ba ,即a=2√3+4,b=3+2√3时取等号.故选D .10.(2015·重庆,文14,5分,难度★★)设a ,b>0,a+b=5,则√a +1+√b +3的最大值0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x>1,y>3),于是=√x +√y,而(√x +√y )2=x+y+2√xy ≤x+y+(x+y )=18,所以√x +√y ≤3√2 .此时x=y ,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,√a +1+√b +3的最大值为3√2.。

基本不等式30题解析

基本不等式30题解析一、多选题1．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知正实数,x y 满足2x y xy +=，则（）A ．16xy ≥B ．29x y +≥C ．6x y +>D ．1831x y+≥-2．（21-22高一下·全国·开学考试）下列不等式一定成立的是（）A ．()21lg lg 04x x x ⎛⎫+≥> ⎝⎭B ．()lgeln 21lg x x x+>>C ．()21012x x x ≥>+D ．()1121x x <∈+R 【答案】AD【分析】结合对数函数的单调性利用基本不等式判断A ，举反例判断BC ，根据指数函数的有界性判断D.3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知,a b 均为实数，则()222a b a b ab+++的可能值为（）A ．43B ．34C ．1D ．24．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）若62,63a b ==，则下列不等关系正确的有（）A2B ．114a b+>C ．2212a b +>D ．14ab <【答案】BCD【分析】根据题意分析可知()1,,0,1a b a b +=∈，结合不等式性质以及基本不等式逐项5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知位于第一象限的点(),a b 在曲线1x y+=上，则（）A ．()()111a b --=-B ．4ab ≥C ．49a b +≤D ．221223a b +≥6．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知p q ､为函数()lg f x x t =-的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（）A ．222p q +<B ．228p q +>C ．33log log 0p q ⋅<D ．1pq =由图可知，当0t >时，直线设p q <，则01p q <<<，由由()lg 0f q q t =-=，可得lg 对于A 选项，222p q pq +>=对于B 选项，2222p q p ++>对于C 选项，33log log 1p <=对于D 选项，由上可知1pq =故选：CD.7．（2024高三·全国·专题练习）已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A ．22x y x =+B ．2y =C ．13y x x=-D ．411y x x =-++【答案】ACD 【详解】因为x ≥1，所以＋≥2(当且仅当x ＝2时取等号)；y ＝＝＋＞2，等号取不到；因为函数y ＝3x －在[1，＋∞)上单调递增，所以3x －≥2；因为x ≥1，所以y ＝x －1＋＝x ＋1＋－2≥4－2＝2(当且仅当x ＝1时取等号).故选ACD.8．（2024高三·全国·专题练习）(多选)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b ＝1，且a 2－c 2＝2，则下列结论正确的是（）A ．a ＜32B ．tan A ＋3tanC ＝0C ．角B 的最大值为3πD ．△ABC 的外接圆面积的最小值为π9．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，在ABC 中,4BC =，且M 点为BC 边的中点，则下列结论正确的有（）A ．设G 是AM 的中点，则0GA GB GC ++=B ．sin sin BAM ACCAM AB∠=∠C ．若π3BAC ∠=，则AM的最小值为D ．若π6BAM ∠=，则AC 边的最小值为2【详解】对于B ，分别在ABM 和ACM △中由正弦定理可得sin sin sin sin AMB BAMAC CM AMC CAM ⎧=⎪⎪∠∠⎨⎪=⎪∠∠⎩，因为2πBM CM AMB AMC ==⎧⎨∠+∠=⎩，则sinsin AB CAMAC BAM ∠=∠，正确；对于C ，在ABC 中，由余弦定理可得2216b c bc +-=，所以22162b c bc bc +=+≥，则16bc ≤，当且仅当4bc ==时取等，又2AB AC AM +=，所以AM AM ===，当且仅当4b c ==时取等，故AM 最大值为对于D ，在ABM 中，由正弦定理可得242πsin 6R==，故ABM 的外接圆圆O 的半径为2R =，则点A 在优弧 BM上运动，则AC 的最小值为2OC R R -=-=-，正确.故选：BD10．（2024·贵州毕节·二模）已知252100a b ==，则下列式子中正确的有（）A ．211a b+=B ．121a b+=C ．8ab >D ．29a b +>【答案】BCD 【分析】由指对互化得到25log 100a =，2log 100b =，进而结合对数运算性质和基本不等式的应用即可求解.【详解】11．（2024·江苏·一模）已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则()A ．y x >B ．1x y +>C ．14xy <D <【答案】ACD 【分析】用对数表示x ，y ，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案．【详解】12．（23-24高一下·安徽宿州·开学考试）若正实数,a b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．122a b->C ．14a b+的最小值是10D【答案】AB 【分析】利用均值不等式和“1”的妙用判断ACD ，由12a b b -=-讨论b 的范围判断B 即可.【详解】选项A ：因为,a b 为正实数，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，所以ab 有最大值14，A 说法正确；选项B ：由1a b +=可得12a b b -=-，因为,a b 为正实数，所以01b <<，1121b -<-<，所以1212222a b b --<=<，B 说法正确；选项C ：由题意可得()14144559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a =，即13a =，23b =时等号成立，所以14a b +的最小值是9，C 说法错误；选项D ：由A 得212a b =++=+≤，当且仅当12a b ==，不存在最小值，D 说法错误；故选：AB13．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列各函数中，最小值为2的是（）A ．2610y x x =-+B ．3y x =-+C ．1y xx=+D ．2y =14．（23-24高三下·广东·阶段练习）若0a >，0b >，8a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A 4≤B 4+≥C ．2232a b +≥D ．1498a b +≥【详解】15．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）已知0x >，0y >，且24x y +=，则（）A ．ln ln ln2x y +≤B ．248x y +<C ．1294x y +≥D ．324e e x x y-≥16．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）下列函数中，最小值是4的有（）A ．()134x f x x=++B ．()f x =C ．()()31011f x x x x=+<<D ．()f x =17．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）设正实数0x >，0y >，且满足3x y xy ++=，则（）A ．413x y +≥B ．9xy ≤C ．2218x y +≤D ．1123x y +≥18．（2024·贵州贵阳·一模）已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A ．22a b+≥B ．112a b+≥C ．22log log 1a b +≤D ．222a b +≥【答案】ABCD【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项.19．（2024·河南信阳·一模）已知正数,m n 满足322m n+=，则（）A ．12mn ≥B ．222m n +≥C ．32m n +≥D ．2,(0,),()2m n m n mn mn-∃∈+∞≥20．（23-24高一上·广东茂名·期中）下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“x ∃∈R ，使20x ax a ++<”是假命题，则实数a 的取值范围为04a ≤≤C ．不等式21x>的解集是(),2-∞D ．设a +∈R ，则24a a+的最小值为4.21．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a ba b >++B ．2ab a b +C ．()ln 2a b ab ++>D ．111ln 1ln a b<22．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知0a b >>，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是（）A ．22()(1)a b b +>+B ．11b b a a ->-2223．（23-24高一上·浙江·期末）设正实数,a b满足2a b+=，则（）A．11a b+的最小值为2B．1122a b a b+++的最大值为23C2D．3ab b-的最大值为1424．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知正数,a b 满足()()111a b --=，则下列选项正确的是（）A ．111a b+=B ．25ab b+³C ．4a b +≥D ．228a b +≥25．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知3824a b ==，则a ，b 满足的关系是（）A ．111a b+=B ．112a b+=C ．()()22112a b -+-<D ．()()22112a b -+->26．（23-24高一上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．44ππcos sin 882-=27．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若,m n 均为正数，且满足22m n +=，则（）A ．mn的最大值为12B ．11m n+的最小值为3+C ．24m n +的最小值为4D ．2mm n+的最小值为1+28．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知0a b >>，下列说法正确的是（）A ．11a b b a+>+B ．2b a a b+>C ．若0c >，则b b ca a c+<+D ．若c d >，则a c b d->-【答案】ABC29．（23-24高三上·海南·期末）已知0,0a b >>，且4a b ab +-=，则（）A ．3a b +≥B ．104ab <≤或94ab ≥C ．221(1)(1)2a b -+-≤D ．11413a b <+≤或114a b+≥试卷第21页，共21页30．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A ．41ab >B ．2728a b +≥C ．41912a b +≥D 2≤。

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ），∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ）＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

高一数学复习考点题型专题讲解7 基本不等式

高一数学复习考点题型专题讲解第7讲基本不等式一、单选题1．下列不等式恒成立的是（） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-C ．a b +≥-．a b +≤【答案】B【分析】由基本不等式，可判定A 不正确；由2222()0a b ab a b ++=+≥，可判定B 正确；根据特例，可判定C 、D 不正确；【解析】由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；由222a b ab +≥-，可得2220a b ab ++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确；当1,1a b =-=-时，不等式不成立，故C 不正确；当0,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B.2．已知0x >，则2x x+的最小值为（） A．2C ．．4 【答案】C【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【解析】因为0x >，则2x x +≥2x x=，即x =“=”，所以2xx+的最小值为故选：C3．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则下列各式中正确的是（）A ．1114ab+…B ．111a b +…C 2D ．11ab…【答案】B【分析】利用基本不等式逐个分析判断即可【解析】解：因为a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，所以111112(22)1444a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，B 正确，A 错误；由基本不等式可知ab 22a b +⎛⎫⎪⎝⎭…＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，2,C 错误；114ab …，D 错误．故选：B ．4．0ab >是2ba ab+>的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解法一:根据充分条件与必要条件的概念，结合不等式的基本性质直接判断，即可得出结果.解法二:利用基本不等式的等号成立的条件可以否定充分性，利用代数变形，结合不等式的基本性质可以论证必要性.【解析】解法一：当1a b ==时，满足10ab =>，但2b a ab+=，2b a ab+>不成立，故0ab >是2b aa b+>的不充分条件；当0ab <时02b a a b +<<，2b a a b +>不成立，当0ab =时b a a b +无意义，即2b a a b+>不成立，故0ab >是2b a a b+>的必要条件；综上，0ab >是2b a ab+>的必要不充分条件.解法二：当0ab >时，0,0b a ab>>，2b a ab+≥=，当且仅当a b =时取等号，所以0ab >是2ba a b+>的不充分条件；若2b a a b +>，则222b a b a a b ab++=>，所以0ab >,故0ab >是2b a a b +>的必要条件；综上，0ab >是2b a a b+>的必要不充分条件. 故选：B.5．已知0x >，0y >，48x y +=，则x y的最大值为（）A．．4C ．6D ．8 【答案】B【分析】利用基本不等式化简已知条件，由此求得x y的最大值【解析】因为48x y =+≥2，从而4x y ≤．当且仅当44,1x x y y=⇒==时等号成立. 故选：B6．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（）A．2a b +2a b +C2a b +D 2a b + 【答案】B【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【解析】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+，而222()24a b a b ++-＝2()4a b -＞0，∴2a b +故选：B7．已知0x >，0y >，251x y +=，则1125x y+的最小值是（） A ．2B ．8C ．4D ．6 【答案】C【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解. 【解析】解析：由251x y +=得()1111522522224252525y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥=+= ⎪⎝⎭，当且仅当5225y x x y =，即14x =，110y =时，等号成立，所以1125x y +的最小值是4．故选：C ．8．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形的直角边长分别为a 和b ，则该图形可以完成的无字证明为（）．A．)0,02a b a b +>>B ．()22200a b ab a b +≥>>， C()20,011a b a b≥>>+D()002a ba b +>>，【答案】B【分析】由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，从而可得结论【解析】解：因为直角三角形的直角边长分别为a 和b ，所以大正方形的面积为22a b + 由图可知大正方形的面积大于等于4个直角三角形的面积和，所以221422a b ab ab +≥⨯=（0,0a b >>）故选：B9．下列结论正确的是（）A ．当0x >，0y >且21x y +=时，11x y+≤B ．当0x >4≥ C ．当2x ≥时，2x x+的最小值是D ．当0a >时，11a a ++的最小值为1 【答案】B【分析】根据1122x y x yx y x y+++=+结合基本不等式，即可判断A ；直接利用基本不等式即可判断BC ，注意取等号的条件；根据111111a a a a +=++-++结合基本不等式，即可判断D. 【解析】解：因为0x >，0y >且21x y +=，所以112221233x y x y y x xyx y x y +++=+=+++≥+=+当且仅当2y x x y =，21x y +=，即1x ，1y =113x y +≥+A 错误：当0x >4≥=4x =时等号成立，故B 正确；当0x >时，2x x +≥当且仅当2x x=．即x 但已知条件中2x ≥，故C 错误；当10a +>时，1111121111a a a a +=++-≥=-=++，当且仅当111a a +=+，即0a =时等号成立，但已知条件中0a >，故D 错误．故选：B.10．已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（） A ．10B ．12C ．16D ．9【答案】D【分析】利用参变分离的方法将不等式变形为41()m a b a b⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项.【解析】由已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，所以41()m a b a b⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭恒成立，转化成求41()y a b a b⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值，414()559b a y a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b aa b=时取等所以9m ≤．故选：D ．11．若x >1，则22222x x x -+-有（）A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值-1D ．最大值-1 【答案】A【分析】将给定表达式整理变形，再利用基本不等式即可作答.【解析】因x >1，则()()()2211221*********x x x x x x x -+-+⎡⎤=⋅=-+≥⎢⎥---⎣⎦1，当且仅当111x x -=-，即2x =时取等号. 所以22222x x x -+-有最小值为1.故选：A12．设a ，b ，c ，d 均为大于零的实数，且abcd ＝1，令m ＝a （b +c +d ）+b （c +d ）+cd ，则a 2+b 2+m 的最小值为（）A ．8B ．．．【答案】B【分析】根据条件可得2222()()a b m a b a b c d ab cd ++=++++++，然后利用重要不等式和基本不等式可求出22a b m ++的最小值．【解析】解：a ，b ，c ，d 均大于零且1abcd =，()()m a b c d b c d cd =+++++，2222()()a b m a b a b c d ab cd ∴++=++++++ 2243ab ab cd ab cd ab cd +++=++…44++…当且仅当a b =，c d =，3ab cd=，即141()3a b ==，143c d ==时取等号，22a b m ∴++的最小值为4+故选：B ．【点睛】本题考查了重要不等式和基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．二、多选题13．(多选题)下列不等式不一定成立的是（）A．x ＋1x ≥2B 2．2212x x +≥D ．2－3x －4x ≥2【答案】AD【分析】取0x <可判断A ；2B ；由基本不等式可判断C ；取0x >可判断D.【解析】对于选项A ：当x <0时，102x x+<<，故A 错误；对于选项B 2B 正确；对于选项C ：221122x x x x+≥⋅=，故C 正确；对于选项D ：变形为430x x+≤，当x 取正数时不成立，故D 错误．故选：AD.14．已知0,0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．114ab+B ．11()()4a b ab++≥C 22a b≥+D ．2≥+aba b 【答案】ABC【分析】对A ，利用基本不等式a b +≥B ，将不等式左边展开，再利用基本不等式即可判断；对C ，利用()2222a b a b ++≥以及a b +≥D ，利用特殊值即可判断.【解析】解：对A ，114a b ++≥，当且仅当“a b =”时“=”成立，故A 正确；对B ，11()224baa b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当“a b =”时“=”成立，故B 正确；对C ()2222a b a b a b a b ++≥≥=++，当且仅当“a b =”时“=”成立，故C 正确；对D ，当1,2a b ==时，2224123ab a b ⨯==++=2≥+aba b 不成立，故D 错误；故选：ABC.15．某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x 吨，运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y 最小，则下列说法正确的是（） A ．当40x =时，y 取得最小值 B ．当45x =时，y 取得最小值 C ．min 320y = D ．min 360y = 【答案】AC【分析】根据题意列出总存储费用之和80084y x x=⨯+的表达式，再利用基本不等式求最值即可判断选项【解析】一年购买某种货物800吨，每次购买x 吨，则需要购买800x次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，所以一年的总运费与总存储费用之和80084y x x=⨯+万元.因为80084320y x x =⨯+≥=，当且仅当64004x x =，即40x =时，等号成立，所以当40x =时，y 取得最小值，min 320y =. 故选：AC .16．设0,0a b >>，则下面不等式中恒成立的是（） A ．221a b a b ++>+BC．211ab≤+．114a b a b+≤+ 【答案】ABC【解析】利用做差法可判断A ；讨论,a b ，平方作差可判断B ；利用基本不等式可判断C 、D.【解析】对于A ，()222222111110222a b a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫++-+=-+-+=-+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以221a b a b ++>+，故A 正确；对于B ，当a b <当a b ≥时，2a b b a b b a =-+=-+≥，a b =时取等号，故B 正确；对于C ，0,0a b >>，2211ab a b ab=≤=++ 当且仅当a b =时取等号，故C 正确；对于D ，0,0a b >>，()11224b a a b ab ab⎛⎫∴++=++≥+ ⎪⎝⎭，114a b a b∴+≥+，当且仅当a b =时取等号，故D 错误. 故选：ABC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 17．下列不等式正确的是（）A ．若0x <，则12xx +≤-B ．若x ∈R 22≥ C ．若x ∈R ，则2111x <+D ．若0x >，则()1114⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭x x 【答案】ABD【解析】利用基本不等式可判断ABD 选项的正误；取0x =可判断C 选项的正误.【解析】对于A 选项，当0x <时，0x ->，则()()112x x xx ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x =-时，等号成立，A 选项正确；对于B 选项，x R ∈Q ，则222x ≥+，22212x ++==≥，时，即221x +=，显然不成立，等号不成立，22>，B 选项正确；对于C 选项，取0x =，可得2111x =+，C 选项错误；对于D 选项，0x >，()1111224x x x x⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18．若不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立，则实数x 的可能取值为（） A．2C．1 【答案】AD【分析】由题设可得()()2260,02a b a b a b x ++>>+≤恒成立，应用基本不等式求不等式右边的最小值，即可确定x 的范围.【解析】∵不等式()2232a b x a b ++≥+对任意正数a ，b 恒成立， ∴()()2260,02a b a b a b x ++>>+≤恒成立. ∵()()()2226632224a b a b a b a b a b a b +++++≥=+≥=+++a b =.∴x ≤A ，D. 故选：AD.三、填空题19．给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b 2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a 4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴xy ＋yx ＝－x y y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦≤－ 2.其中正确的推导过程为________. 【答案】①③【分析】①符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②不符合基本不等式的条件，所以②的推导过程错误；③x y⎛⎫- ⎪⎝⎭，y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.【解析】①∵a ，b 为正实数，∴ba ，a b为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导过程错误；③由xy <0，得xy ，y x均为负数，∴x y⎛⎫- ⎪⎝⎭，y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确.故选①③. 故答案为：①③【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 20．若0a b <<，且1a b +=，则实数12、b 、2ab 、22a b +中最大的一个是______．【答案】b【分析】由0a b <<，1a b +=，所以12a b <<，再结合222a b ab +>，则可判断22122a ab a b b <<<+<，得解.【解析】因为0a b <<，1a b +=，所以12a b <<，222ab a b <+，因为22222a b a b +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以2212a b +>，又()222221a b a a b a b b b b b b +=⋅+<⋅+=-+=，所以2212a b b <+<，又212222a b ab +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，1222ab a a >⨯=，所以122a ab <<.所以22122a ab a b b <<<+<. 故答案为：b .21．若a 、b 、x 、y ∈R ，221x y +=，221a b +=，则ax by +的最大值是______．【答案】1【分析】利用基本不等式得最大值．【解析】因为221x y +=，221a b +=，所以22222222222222222()2()()1ax by a x abxy b y a x a y b x b y a b x y +=++≤+++=++=，当且仅当ay bx =即a xb y =时等号成立．故答案为：1．22．设0,0a b >>，且不等式110ka b a b++≥+恒成立，则实数k 的最小值等于___________. 【答案】4-【分析】先分离出参数k ，得11()()k a b a b -++…，然后利用基本不等式求得11()()a b a b -++的最大值即可．【解析】解：由110ka b a b +++…，得11()()k a b a b-++…，11()()(2)(24b a a b a b a b -++=-++-+=-…，当且仅当a b =时取等号，4k ∴-…，即实数k 的最小值等于4-.故答案为：4-.23．若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设()12p a b c =++，则该三角形的面积S =这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC 的周长为8，2AB =，则该三角形面积的最大值为___________. 【答案】【分析】计算得到4p =，2c =，6a b +=，根据均值不等式得到9ab ≤，代入计算得到答案.【解析】()142p a b c =++=，2c =，6a b +=，6a b +=≥9ab ≤，当3a b ==时等号成立.S ==故答案为：24．已知a b c >>2a c-的大小关系是____________2a c-. 【分析】将2a c -化为()()2a b b c -+-，然后运用基本不等式比较大小. 【解析】∵a b c >>，∴0a b ->，0b c ->，∴()()22a b b c a c -+--=a b b c -=-，即2b a c =+时取等号，2a c-. 【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将2a c -化为()()2a b b c -+-是关键.四、解答题25．已知实数a 和b ，判断下列不等式中哪些是正确的． (1)222a b ab +≥； (2)222a b ab +≥-(3)2a b+≥ (4)2b a a b+≥； (5)12a a +≥； (6)2b aa b+≥； (7)()()2222a b a b +≥+．【答案】(1)正确 (2)正确 (3)错误 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确【分析】（1）由()20a b -≥判断不等式成立. （2）由()20a b +≥判断不等式成立. （3）利用特殊值判断不等式错误. （4）利用特殊值判断不等式错误. （5）利用特殊值判断不等式错误. （6）结合基本不等式判断不等式成立. （7）利用差比较法判断不等式成立. (1)由于()20a b -≥，222220,2a ab b a b ab -+≥+≥，所以不等式正确. (2)由于()20a b +≥，222220,2a ab b a b ab ++≥+≥-，所以不等式正确. (3)当,a b 为负数时，不等式2a b+≥. (4)当,b a a b 为负数时，不等式2b a a b+≥不成立，所以不等式错误. (5)当a 为负数时，不等式12a a +≥不成立，所以不等式错误. (6)依题意,a b 不为零，,b a a b同号，2b a b a a b a b +=+≥，当且仅当1b a =±时等号成立，所以不等式正确.()()()222220a b a b a b +-+=-≥，所以()()2222a b a b +≥+，所以不等式正确.26．下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)若0ab >，则a b +≥(2)若0ab >2； (3)若0ab <，则2b a ab+≤-．【答案】(1)不成立，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)成立，理由见解析；【分析】取特殊值判断（1），由均值不等式判断（2）（3）. (1)取1,2a b =-=-满足0ab >，此时a b +≥ (2)0ab >，0,0a bb a∴>>，2，当a b =时等号成立. (3)0ab <，0,0b aa b∴<<，2b a b a a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=--+-≤-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当a b =-时等号成立. 27．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件： (1)若0a >，则322a a a +≥； (2)若4ab =，则228a b +≥；(3)若11x -≤≤12； (4)若0ab ≠，则2b aa b+≥； (5)对任意实数a 和b ，2222431a b a b ++≥++．【答案】(1)证明见解析，当且仅当1a =时等号成立； (2)证明见解析，当且仅当2a b ==±时，等号成立．(3)证明见解析，当且仅当x = (4)证明见解析，当且仅当220a b =≠时，等号成立． (5)证明见解析，当且仅当221a b +=时等号成立．【分析】（1）直接利用作差法对关系式进行变换，进一步求出结果．（2）利用基本不等式的应用求出结果．（3）利用算术平均数和几何平均数的运用及整体思想的应用求出结果．（4）利用分类讨论思想的应用和均值不等式的应用求出结果．（5）利用关系式的变换和均值不等式的应用求出结果． (1)证明：由于3232222()()(1)a a a a a a a a a -+=---=-，当0a >时，2(1)0a -≥，所以20(1)a a -≥，即3202a a a -+≥，所以322a a a +≥，当且仅当1a =时，等号成立．(2)证明：因为4ab =，所以2228a b ab +≥=，当且仅当2a b ==±时，等号成立． (3)证明：因为11x -≤≤，所以201x ≤≤，210x -≥22(1)122x x +-=，当且仅当221x x =-，即x = (4)证明：因为0ab ≠，当0ab >时，2ba b a a b a b +=+…，当且仅当0a b =≠时，等号成立．当0ab <时，()()2b a b a a b a b +=-+-…，当且仅当0a b =-≠时，等号成立．综上可得0ab ≠，则2b aa b+≥，当且仅当220a b =≠时，等号成立． (5)证明：对任意实数a 和b ，2211a b ++≥所以222222224411141311a b a b a b a b ++=+++-=-=++++．当且仅当221a b +=时等号成立．28．已知0a >，0b >，21a b +=，求23ab+的最小值．下面是某同学的解答过程：请指出上面解答过程中的错误，并给出正确解答．【答案】解答过程中没有给出取最小值的条件，事实上这个最小值是取不到的，原因是两次利用均值不等式，等号成立的条件不一致；正确解答见解析．【分析】根据基本不等式应用的条件： “一正”、“二定”、 “三相等” 即可得出答案. 【解析】解答过程中没有给出取最小值的条件，事实上这个最小值是取不到的，原因是两次利用均值不等式，等号成立的条件不一致．具体情况如下：23a b +≥23a b =，即32a b =时，等号成立，2a b +≥2a b =时，等号成立，显然，32a b =和2a b =不可能同时成立．正确的解答如下：因为0a >，0b >，21a b +=，所以()2323432888baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++⎪≥+ ⎝⎭当且仅当43b aa b=时，等号成立，即2b =，代入21a b +=，得a =，从而b =因此23ab+的最小值为8+a =，b =29．已知1y x x=+.（1）已知x ＞0，求y 的最小值；（2）已知x ＜0，求y 的最大值．【答案】（1）2；（2）－2.【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可（2）由于x ＜0，所以先对式子变形()1y x x ⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦，然后再利用基本不等式即可【解析】（1）因为x ＞0，所以12y x x=+≥，当且仅当1x x=，即x ＝1时等号成立．所以y 的最小值为2.（2）因为x ＜0，所以－x ＞0.所以()12y x x ⎡⎤=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即x ＝－1时等号成立．所以y 的最大值为－2.【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题. 30．已知x ，y 都是正数.求证：()12y xx y+≥； ()2()()()2233338.x y x y x y x y +++≥【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【分析】()1运用基本不等式：a b +≥a b =时取得等号），即可求证；()2运用基本不等式和不等式的基本性质即可求证.【解析】解：()1证明：由x ，y 都是正实数，可得2y x xy+≥（当且仅当x y =时取得等号）；()2证明：由基本不等式可知()()()(()(22332x y x y x y xy +++≥⋅⋅()23388xy xy x y =⋅=，（当且仅当x y =时取得等号）.【点睛】本题考查不等式的证明，运用基本不等式，考查化简推理的能力，属于基础题.31．已知a ，b ，c 均为正数，且1abc =，求证：（1）()()()8a b b c a c +++≥；（2111a b c≤++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）利用基本不等式直接证明即可. （2）利用基本不等式直接证明即可.【解析】证明：（1）因为a ，b ，c 均为正数，1abc =，所以a b +≥b c +≥a c +≥ 三式相乘，得()()()88a b b c a c abc +++≥=，当且仅当1a b c ===时，等号成立．（2）因为a ，b ，c 均为正数，1abc =，所以11ab+≥=11b c +≥=11a c +≥=三式相加，得11122a b c⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，111a b c≤++，当且仅当1a b c ===时，等号成立．32．已知0a >，0b >，且(1a b +．(1)求3311a b +的最小值；(2)是否存在实数,a b ，使得1123a b +？若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1a b=+≥12≤ab ，再根据3311a b +≥=求解即可.（2）首先根据基本不等式得到1123a b +≥>，即可判断不存在实数,a b ，使得1123a b +． (1)因为0a >，0b >，(1a b +，a b=+≥a b == 所以12≤ab ．因为3311a b +≥=≥a b == 所以3311a b +的最小值为 (2)因为0a >，0b >，又由（1）知12≤ab ，所以1123a b +≥=≥，当且仅当23a b =时取等号．因为当且仅当a b ==12ab =，所以1123a b +><,a b ，使得1123a b +． 33．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为2200m 的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m 宽的绿化，绿化造价为200元/2m ，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/2m .设矩形的长为(m)x ，总造价为y （元）.（1）将y 表示为关于x 的函数；（2）当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价. 【答案】（1）8000040018400,050y x xx=++<<；（2）当x =为18400.【解析】（1）根据题设先计算出绿化的面积和硬化地面的面积，从而可得y 表示为关于x 的函数；（2）利用基本不等式可求何时取何最值.【解析】（1）因为矩形区域的面积为2200m ，故矩形的宽为200x，绿化的面积为20080022224416x x x x ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯-=+-⎪⎝⎭，中间区域硬化地面的面积为()200800442164x x x x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭，故8008004162002164100y x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⨯+--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得到8000040018400y x x=++，由4020040x x->⎧⎪⎨->⎪⎩可得050x <<，故8000040018400,050y x x x=++<<. （2）由基本不等式可得80000400184004001840018400x x++≥⨯=，当且仅当x =故当x =18400.【点睛】方法点睛：利用基本不等式解决应用问题时，注意合理构建数学模型，求最值时注意“一正二定三相等”，特别是检验等号是否可取. 34．（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？（2）已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为？（3）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？【答案】（1）23；（2）1；（3）2【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.【解析】（1）2113434(43)(3)(43)[]3323x x x x x x +--=⨯⨯-≤⨯=，当且仅当343x x =-，即23x =时，取等号. 故所求x 的值为23.（2）因为54x <，所以540x ->，则11()42(54)332314554f x x x x x =-+=--++≤-=-+=--. 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，取等号. 故1()4245f x x x =-+-的最大值为1. （3）2222122311x x x x y x x +-++-+==-- 2(1)2(1)31x x x -+-+=-3(1)221x x =-++≥-.当且仅当311x x -=-，即1x =时，取等号.故函数的最小值为2.。

高中数学基本不等式专题复习

高中数学基本不等式专题复习第11课：基本不等式与双根号函数一、双根号函数形如y=√(px+q)，p>0，q>0.图像如右图所示：1）x>0时，当x=0时取到最小值min=2√(pq)；2）值域：当x=q/p时取到最小值min=2p；3）当p<0，q<0时，函数图像关于X轴对称，为二、四象限倒双根号；4）当pq<0时，不是双根号函数。

2、研究：以y=3√(x-)为例二、基本不等式a+b≥2√(ab)1、一正：只要a、b为正，上式就恒成立！2、二定：当利用基本不等式求一端的最值时，则必须配凑出不等式另一端是定值！积定和最小，取等于ab/2；3、三相等：用来验证等号能否取；当求最值时则是验证最值能否取到！成败的关键！示例：求函数y=x+3/(x-2)（x>2）的最小值。

错误解法：当x>2时，得a=x，b=3/(x-2)，则a+b=x+3/(x-2)≥2√(3)，当且仅当x=2时，函数有最小值2√(3)。

正确解法：将y=x+3/(x-2)（x>2）化为y=(x-2)/2+3/(2(x-2))，即y=√(3/2)√(x-2)+√(3/2)√(3/(x-2))，此时a=√(3/2)，b=√(3/2)，则a+b=2√(3/2)，取等于ab/2，即函数有最小值2√(3)。

两者联系：1）基本不等式去等号时的值即为双根号函数的拐点；2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双根号函数！三、利用基本不等式求最值类型一：形如y=(ax+b)/(ax^2+bx+c)1、求y=4x+3/(x-2)的最小值；2、求y=x/(x+1)的最小值；3、求y=sin(x)+cos(x)的最大值。

类型二：形如y=(cx+d)/(x^2+x+9)1、求y=3x-5/(4x-5)的最小值；2、求y=2x/(x+4e+4)的值域；3、求y=e^x/(x+1)的最小值；4、求y=(x^2+2x+1)/(x+2)的最小值；5、求y=√(2x/(1-2x))的最小值；6、求y=x/(2x+1)的值域。

高考数学复习专题基本不等式

高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。

2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。

2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。

4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。

2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。

3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。

4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。

5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。

6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。

7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。

二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。

题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。

2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。

基本不等式典型例题

基本不等式典型例题一、利用基本不等式求最值1. 例1：已知x > 0，求y = x+(1)/(x)的最小值。

- 解析：对于基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0，当且仅当a = b时等号成立）。

- 在y=x+(1)/(x)中，a = x，b=(1)/(x)，因为x>0，所以(1)/(x)>0。

- 根据基本不等式y=x+(1)/(x)≥slant2√(x×frac{1){x}} = 2。

- 当且仅当x=(1)/(x)（x > 0），即x = 1时等号成立。

所以y的最小值为2。

2. 例2：已知x <0，求y=x+(1)/(x)的最大值。

- 解析：因为x<0，则-x>0。

- 此时y=x+(1)/(x)=-<=ft[(-x)+(1)/(-x)]。

- 对于-x和(1)/(-x)，根据基本不等式a + b≥slant2√(ab)（a,b>0），这里a=-x，b = (1)/(-x)，则(-x)+(1)/(-x)≥slant2√((-x)×frac{1){-x}}=2。

- 所以y =-<=ft[(-x)+(1)/(-x)]≤slant - 2，当且仅当-x=(1)/(-x)，即x=-1时等号成立。

所以y的最大值为-2。

二、基本不等式在实际问题中的应用1. 例3：用篱笆围一个面积为100m^2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？- 解析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy = 100。

- 篱笆的周长C=2(x + y)。

- 根据基本不等式x + y≥slant2√(xy)，因为xy = 100，所以x +y≥slant2√(100)=20。

- 则C = 2(x + y)≥slant40。

- 当且仅当x=y时等号成立，由xy = 100且x=y，可得x=y = 10。

专题2.2 基本不等式【九大题型】(解析版)

vQ
2+2
2
g 1 +
&
>
+
2
2+2
%
2
2
Qe
2+2
2
2
> 1+
>
+
%
2
+
Q
2
2
Q
!"#u(1 + %)(1 + %) < 1 +
vQ 1 +
2+2
%
2

C.
3
+,
2
> 1+
+
%
2
2
+
%
2
2
Q
> (1 + %)(1 + %).
>?@ 1 AB!"#
1. AB!"#
!"#
CD
" 7834
EF!"#
a2+b2≥2ab(a,bGR)
HIJH“a=b”
KL“=”

!"#
a＋b
HIJH“a=b”
2
KL“=”
abM
(a>0,b>0)
a＋b
2

NOP aQb $RSTU Q abNOP aQb $VWTU X
!"#Y.
ABP $RSTU !*Z[\$VWTU X
2+5
1
Z BQ 2 +2 > 0Qv2 +2 + 2+2 ≥ 2 (2 + 2) ⋅
" !78Q B !