2017年考研数学二真题与解析

2017年考研数学二真题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

1

．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩

在0x =处连续，则 （A ）12ab =

（B ）1

2

ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 【详解

】0001112lim ()lim lim 2x x x x

f x ax ax a +++→→→-===

，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11

22

b ab a =⇒=．所以应该选（A ）

2．设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1f f =-=，(0)1f =-，且()0f x ''>，则（ ） （A ）1

1()0f x dx ->⎰

（B ）1

1

()0f x dx -<⎰

（C ）

11

()()f x dx f x dx ->⎰

⎰ （D ）01

1

()()f x dx f x dx -<⎰⎰

【详解】注意到条件()0f x ''>，则知道曲线()f x 在[][]1,0,0,1-上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当[]1,0x ∈-时，()21f x x ≤--，当[]0,1x ∈时，()21f x x ≤-，而且两个式子的等号不是处处成立，否则不满足二阶可导．所以

1

01

1

1

()(21)(21)0f x dx x dx x dx --<--+-=⎰

⎰⎰．所以选择（B ）．

当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数2

()21f x x =-，此时

11011

(),()33

f x dx f x dx -=-=-⎰⎰，可判断出选项（A ），（C ），（D ）都是错误的，当然选择（B ）．希望同学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧． 3．设数列{}n x 收敛，则

（A ）当limsin 0n n x →∞

=时，lim 0n n x →∞

= （B

）当lim(0n n x →∞

+

=时，lim 0n n x →∞

=

(C ）当2

lim()0n n n x x →∞

+=时，lim 0n n x →∞

= （D ）当lim(sin )0n n n x x →∞

+=时，lim 0n n x →∞

=

【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（D ）是正确的． 其实此题注意，设lim n n x A →∞

=，则

2

2limsin sin ,lim(),lim(sin )sin n n n n n n n n n n x A x A x x A A x x A A →∞

→∞

→∞

→∞

==+=++=+

分别解方程2sin 0,0,0,sin 0A A A A A A ==+=+=时，发现只有第四个方程sin 0A A +=有唯

一解

0A =，也就是得到lim 0n n x →∞

=．

４．微分方程2489(1cos 2)x

y y e x '''-+=+的特解可设为*y =（ ） （A ）22(cos 2sin 2)x

x Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)x

x Ae

xe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++

【详解】微分方程的特征方程为2

480r r -+=，有一对共轭的复数根22r i =±．

所以12λ=不是特征方程的根，所以对应方程2489x

y y e '''-+=的特解应该设为21*x y Ae =；

而222i λ=+是方程的单根，所以对应方程2489cos 2x

y y e x '''-+=的特解应该设为

22*(cos 2sin 2)x y xe B x C x =+；从而微分方程2489(1cos 2)x y y e x '''-+=+的特解可设为2212***(cos 2sin 2)x x y y y Ae xe B x C x =+=++，应该选（C ）．

5．设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y 都有

(,)(,)

0,0f x y f x y x y

∂∂><∂∂，则（ ） （A ）(0,0)(1,0)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f <

【详解】由条件对任意的(,)x y 都有

(,)(,)0,0f x y f x y x y

∂∂><∂∂可知(,)f x y 对于x 是单调增加的，对y 就单调减少的．所以(1,1)(1,0)(0,0),(1,1)(0,1)(0,0),(0,1)(0,0)(1,0)f f f f f f f f f <>><<<，只有第三个不等式可得正确结论（D ），应该选（D ）．

6．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t >

【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，2

1

()()T T S t v t dt =

⎰

表示时刻[]

12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该选（C ）．