积分公式表

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（完整word版）积分公式

（完整word版）积分公式2.基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1，x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=-cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=-cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C注．(1)不是在m=-1的特例．(2)=ln|x|+C，ln后⾯真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则(ln|x|)' =(ln(-x))' =.(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下⾯我们要学习不定积分的计算⽅法，⾸先是四则运算．3.不定积分的四则运算根据微分运算公式d(f(x)±g(x))=d f(x)±d g(x)d(kf(x))=k d f(x)我们得不定积分的线性运算公式(1)∫[f(x)±g(x)]d x=∫f(x)d x±∫g(x)d x(2)∫kf(x)d x=k∫f(x)d x，k是⾮零常数.现在可利⽤这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．例2.5.4求∫(x3+3x++5sin x－4cos x)d x解.原式=∫x3d x+∫3x d x+7∫d x+5∫sin x d x－4∫cos x d x=+7ln|x|－5cos x－4sin x+C .注.此例中化为五个积分，应出现五个任意常数，它们的任意性使其可合并成⼀个任意常数C，因此在最后写出C即可．例2.5.5求∫(1+)3d x解.原式=∫(1+3+3x+)d x=∫d x+3∫d x+3∫x d x+∫d x=x+3+C=x+2x++C .注.∫d x与∫1d x是相同的，其中1可省略．例2.5.6求解.原式===－x+arctan x+C .注.被积函数是分⼦次数不低于分母次数的分式，称为有理假分式．先将其分出⼀个整式x2－1，余下的分式为有理真分式,其分⼦次数低于分母的次数．例2.5.7求.解.原式==∫csc2x d x－∫sec2x d x=－cot x－tan x+C .注.利⽤三⾓函数公式将被积函数化简成简单函数以便使⽤基本积分公式.例2.5.8求.解.原式==+C .为了得到进⼀步的不定积分计算⽅法，我们先⽤微分的链锁法则导出不定积分的重要计算⽅法??换元法.思考题.被积函数是有理假分式时，积分之前应先分出⼀个整式，再加上⼀个有理真分式，⼀般情形怎样实施这⼀步骤？4.第⼀换元法（凑微分法）我们先看⼀个例⼦：例2.5.9求.解.因(1+x2)' =2x，与被积函数的分⼦只差常数倍数2，如果将分⼦补成2x,即可将原式变形：原式=(令u=1+x2)=(代回u=1+x2).注.此例解法的关键是凑了微分d(1+x2)．⼀般地在F'(u)=f(u),u=?(x)可导,且?' (x)连续的条件下,我们有第⼀换元公式(凑微分)：u=? (x) 积分代回u=? (x)∫f[?(x)]?' (x)d x=∫f[?(x)]d?(x)=∫f(u)d u=F(u)+C=F[?(x)]+C其中函数?(x)是可导的,且F(u)是f(u)的⼀个原函数．从上述公式可看出凑微分法的步骤：凑微分————→换元————→积分————→再换元' (x)d x=d(x) u=(x) 得F(u)+C得F[?(x)]+C注.凑微分法的过程实质上是复合函数求导的链锁法则的逆过程．事实上，在F'(u)=f(u)的前提下，上述公式右端经求导即得:[F[?(x)]+C]' =F '[?(x)]?' (x)=f[?(x)]?' (x)这就验证了公式的正确性．例2.5.10求∫(ax+b)m d x.(m≠-1,a≠0)解.原式=(凑微分d(ax+b))=(换元u=ax+b)=(积分)=. (代回u=ax+b)例2.5.11求.解.原式=(凑微分d(-x3)=-3x2d x)===(换元u=-x3).注.你熟练掌握凑微分法之后，中间换元u=?(x)可省略不写,显得计算过程更简练,但要做到⼼中有数．例2.5.12求∫tan x d x.解.原式==-ln|cos x|+C .同理可得∫cot x d x=ln|sin x|+C .例2.5.13求(a>0).解.原式==.例2.5.14求(a>0).解.原式==.例2.5.15求.解.原式====.例2.5.16∫sec x d x.解.原式=(换元u=sin x)===(代回u=sin x)===ln|sec x+tan x|+C .公式:∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C .例.2.5.17求∫csc x d x .解.原式===ln|csc x-cot x|+C .公式:∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C .凑微分法是不定积分换元法的第⼀种形式，其另⼀种形式是下⾯的第⼆换元法．5.第⼆换元法不定积分第⼀换元法的公式中核⼼部分是∫f[?(x)]?'(x)d x=∫f(u)d u我们从公式的左边演算到右边，即换元：u=?(x)．与此相反，如果我们从公式的右边演算到左边，那么就是换元的另⼀种形式，称为第⼆换元法．即若f(u),u=?(x),?'(x)均连续,u=?(x)的反函数x=?-1(u)存在且可导,F(x)是f[?(x)]?'(x)的⼀个原函数,则有∫f(u)d u=∫f[?(x)]?'(x)d x=F(x)+C=F[?-1(u)]+C .第⼆换元法常⽤于被积函数含有根式的情况．例2.5.18求解.令(此处?(t)=t2)．于是原式===(代回t= -1(x)=) 注.你能看到，换元=t的⽬的在于将被积函数中的⽆理式转换成有理式,然后积分．第⼆换元法除处理形似上例这种根式以外，还常处理含有根式，，(a>0)的被积函数的积分．例2.5.19求. (a>0)解.令x=a sec t，则d x=a sec t tan t d t,于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 .到此需将t代回原积分变量x，⽤到反函数t=arcsec，但这种做法较繁．下⾯介绍⼀种直观的便于实施的图解法：作直⾓三⾓形，其⼀锐⾓为t及三边a，x，满⾜：sec t=由此，原式=ln|sec t+tan t|+C1==.注．C1是任意常数,-ln a是常数,由此C=C1-ln a仍是任意常数．(a>0)例2.5.20求.解.令x=a tan t，则d x=a sec2t d t，于是原式==∫sec t d t=ln|sec t+tan t|+C1 ．图解换元得原式=ln|sec t+tan t|+C1=.公式:.例2.5.21求(a>0).解.令x=a sin t，则d x=a cos t d t，于是原式===+C.图解换元得：原式=+C=+C .除了换元法积分外，还有⼀个重要的积分公式，即分部积分公式．思考题.在第⼆换元法公式中，请你注意加了⼀个条件“u=?(x)的反函数x=?1-(u)存在且可导”，你能否作出解释，为什么要加此条件？6.分部积分公式我们从微分公式d(uv)=v d u+u d v两边积分，即∫d(uv)=∫v d u+∫u d v由此导出不定积分的分部积分公式∫u d v=uv -∫v d u下⾯通过例⼦说明公式的⽤法．例2.5.22求∫x2ln x d x解.∫x2ln x d x=(将微分dln x算出)==.例2.5.23求∫x2sin x d x.解.原式=∫x2d(-cos x) (凑微分)=-x2cos x-∫(-cos x)d(x2) (⽤分部积分公式)=-x2cos x+∫2x cos x d x=-x2cos x+2∫x dsin x(第⼆次凑微分)=-x2cos x+2[x sin x－∫sin x d x] (第⼆次⽤分部积分公式)=-x2cos x+2x sin x+2cos x+C .例2.5.24求∫e x sin x d x.解.∫e x sin x d x=∫sin x d e x (凑微分)=e x sin x-∫e x dsin x(⽤分部积分公式)=e x sin x-∫e x cos x d x(算出微分)=e x sin x-∫cos x d e x(第⼆次凑微分)=e x sin x-[e x cos x-∫e x dcos x] (第⼆次⽤分部积分公式)=e x(sin x-cos x)-∫e x sin x d x(第⼆次算出微分)由此得：2∫e x sin x d x=e x(sin x-cos x)+2C因此∫e x sin x d x=(sin x-cos x)+C ．注.(1)此例中在第⼆次凑微分时，必须与第⼀次凑的微分形式相同．否则若将∫e x cos x d x凑成∫e x dsin x,那将产⽣恶性循环，你可试试．(2)积分常数C可写在积分号∫⼀旦消失之后．例2.5.25求∫arctan x d x解.此题被积函数可看作x0arctan x，x0d x=d x，即适合分部积分公式中u=arctan x，v=x．故原式=x arctan x - ∫x d(arctan x) (⽤分部积分公式)=x arctan x - d x(算出微分)=x arctan x - (凑微分)=x arctan x - ln(1+x2)+C .⼩结.(1)分部积分公式常⽤于被积函数是两种不同类型初等函数之积的情形，例如x3arctan x，x3ln x 幂函数与反正切或对数函数x2sin x，x2cos x幂函数与正弦,余弦x2e x幂函数与指数函数e x sin x,e x cos x 指数函数与正弦,余弦等等．(2)在⽤分部积分公式计算不定积分时，将哪类函数凑成微分d v，⼀般应选择容易凑的那个．例如arctan x d，ln x d我们已学习了不定积分的⼏种常⽤⽅法，除了熟练运⽤这些⽅法外，在许多数学⼿册中往往列举了⼏百个不定积分公式，它们不是基本的，不需要熟记，但可以作为备查之⽤，称为积分表．思考题.你仔细观察分部积分公式，掌握其中使⽤的规律，特别是第⼀步凑微分时如何选择微分.7.积分表的使⽤除了基本积分公式之外，在许多数学⼿册中往往列举了⼏百个补充的积分公式，构成了积分表．下⾯列出本节已得到的基本积分公式．(1)∫0d x=C(2)=ln|x|+C(3)(m≠-1,x>0)(4)(a>0,a≠1)(5)(6)∫cos x d x=sin x+C(7)∫sin x d x=- cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C(9)∫csc2x d x=- cot x+C(10)∫sec x tan x d x=sec x+C(11)∫csc x cot x d x=-csc x+C(12)=arcsin x+C(13)=arctan x+C(14)∫tan x d x=-ln|cos x|+C(15)∫cot x d x=ln|sin x|+C(16)=(a>0)(17)=(a>0)(18)(a>0)(19)=(a>0)(20)∫sec x d x=ln|sec x+tan x|+C(21)∫csc x d x=ln|csc x-cot x|+C利⽤积分表中的公式，可使积分计算⼤⼤简化．积分表的使⽤⽅法⽐较简单，现举⼀例说明之．例2.5.26求解.从积分表中查得公式则将a=3，b=－1，c=4代⼊上式并添上积分常数C即得解答：=.。

24个基本积分公式

24个基本积分公式24个基本积分公式是数学中常用的工具，它能帮助我们快速解决复杂的积分问题。

1.一个公式：恒积分公式，它是所有积分公式中最基本也是最重要的公式，它表示对某一函数$f(x)$的某一闭区间$[a,b]$进行积分，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$其中$F(x)$是$f(x)$的上原函数。

2.二个公式：幂积分公式，它也是一种常用的公式，它描述了当变量$x$的幂次为$n$时，$f(x)$的积分的公式如下：$$int x^nf(x)dx=frac{x^{n+1}}{n+1}f(x)-frac{n}{n+1}int x^{n-1}f(x)dx$$3.三个公式：复合公式，有时候积分可能会变得更加复杂，它描述了一种复合积分形式，其公式如下：$$int int_Rf(x,y)dydx=iint_Rf(x,y)dxdy$$其中$R$表示一个积分区域，$f(x,y)$表示函数。

4.四个公式：变量替代公式，当我们积分时，有时可能会用到变量替代的方法。

此时对于积分$int f(x)dx$，用变量$t$替代$x$，变量$t$的关于$x$的函数表达式为$t=t(x)$，当$x$的范围从$[a,b]$变为$[t_a,t_b]$时，这时需要用到变量替代公式，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=int_{t_a}^{t_b}f(t(x))t(x)dx$$ 其中$t(x)$表示$t$关于$x$的微分。

5.五个公式：指数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$关于$x$的幂为$n$时，能够用到指数积分公式，其公式如下：$$int x^ne^xdx=x^ne^x-nint x^{n-1}e^xdx$$6.六个公式：对数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$的流函数是一个对数函数的时候，可以用到对数积分公式，它的公式如下： $$int frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$其中$C$是常量。

积分公式表

1)—dx cosx—V-dxsin xtan x C cot x Cdx a x 1~2 ------- 2dxx a1 x a2aln|着* 1 C参考医学基本积分表kdx kx C(k 是常数) 1xx dxC, (u 11dx In | x | C xdxsin xdx cosx Csecx tanxdx secx C (1) (2)(3)(4)(5)(6)(7) (8) (9) (10)(11)(⑵(13)(14) (15) (16) (17)cosxdx sinx Ce xdx e xCa x dx-C , (a 0,且 a 1) In ashxdx chx Cchxdx shx Ccscx cot xdx cscx C1arc tan注：由 f[ (x)] '(x)dxf[ (x)]d (x)，此步为凑微分过程，所以第类换元法也叫凑微分法。

此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如, 务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。

2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。

3、复习三角函数公式: 2 2 2sin x cos x 1,tan x 1 2 2sec x,sin 2x 2sin xcosx, cos x1 cos2xsin 2x1 cos2x 2参考医学积分类型换元公式1.1 f(ax b)dx — af (ax b)d(ax b) (a 0)u ax bf(x )x 1dx -u x2.-f(x )d(x ) ( 0)3. 1f(l nx) —dxx f(ln x)d(ln x) u In x 第 4.. f(e x ) e xdxf(e x)de xuxe5. f(a x ) a xdx — - F(a x )da x换In auxa元 6. f (sin x) cosxdxf (sin x)d sin xu sin x 积u cosx分 7. f (cosx) sin xdxf (cosx)d cosx法 8. f (tan x) sec xdxf (tan x)d tanxu tan x9. 2 f (cot x)csc xdxf (cot x)d cot xu cot x10. 1f (arctanx) --1 x… .、 1 -dx f (arctan x)d (arctanx) u arcta nx 11. 1 jp / __ ■ _ \ u arcsin xf (arcsin x)：——dxT (arcsin x)d (arcsin x)（注：表格素材和资料部分来自网络，供参考。

基本积分公式表

作业： P207 2(2)-(34)(双)
The end of Part 1
1 cos2 x dx 2
(1 2
cos2x ) 2
dx
1
dx
2
cos2 2
x
dx
x 2
1 2
co s2 x
dx
x 2
1 4
cos 2xd (2x)
x sin2x C 24
例14 cos 4 xdx
(1 cos2x )2 dx
2
( 1 cos2x cos2 2x ) dx
12
C.
12
12
例24
求
1
1 cos
x
dx.
解
1
1 cos
x
dx
1
1 cos x
cos x1 cos
x
dx
1 cos 1 cos2
x x
dx
1 cos x
sin2 x
dx
(
si
1 n2
x
cos x sin2 x
)dx
1 sin2
x
dx
1 sin2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
基本积分公式表
(1) kdx kx C (k是常数)
(2) xdx x1 C, ( 1) 1
(3)
dx x
ln| x | C
(4)
1
1 x
2
dx
arctan x C
(5)
1 dx arcsin x C 1 x2
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C

基本积分公式表

=
1 x arctan + 2
1
2
dx
( a > 0)
dx =
1 a
= ∫ = =
x x2 a (1 − 2 ) 1− 2 a a 1 1 x a d( ) ∫ a a x 2 1− ( ) a x 1 x d ( ) = arcsin + C ∫ a x 2 a 1− ( ) a
F (u) = F [ϕ ( x )] 若u = ϕ ( x )可导 d F [ϕ ( x )] = F ' ( u)ϕ ' ( x ) ∴ dx = f (u) ϕ ' ( x ) = f [ϕ ( x )] ϕ ' ( x ) ∴ F [ϕ ( x )] 是 f [ϕ ( x )]ϕ ' ( x ) 的原函数 ∴ ∫ f [ϕ ( x )]ϕ ' ( x )dx = F [ϕ ( x )] + C = F (u) + C = ∫ f ( u )du 这样 , 我们就得到下面的定理 :
2
1
x x x 2 x sin 2 sin sin x 2 sin 2 2 2 tan = 2 = = x x x 2 cos 2 sin cos sin x 2 2 2
1 cos x − = = = csc x − cot x sin x sin x sin x ∴ csc xdx = ln | tan x | + C ∫ 2
(7)
∫ sin xdx =
− cos x + C
( 8) ( 9)
∫ sec ∫ csc
2
xdx = tan x + C xdx = − cot x + C
2

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表之邯郸勺丸创作时间：二O 二一年七月二十九日1、基本积分公式： (1)(2)(3) (4)(5) (6)(7)(8)(8)(10)(11)2、积分定理：（1）()()x f dt t f xa ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰（2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数,则)()()()(a F b F x F dx x f ba b a -==⎰3、积分办法()()b ax x f +=1；设：t b ax =+()()222x a x f -=；设：t a x sin =()22a x x f -=；设：t a x sec =()22x a x f +=；设：t a x tan =()3分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv附：理解与记忆对这些公式应正确熟记.可按照它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分,等于积分常数.公式（2）、（3）为幂函数的积分,应分为与. 当时, ,积分后的函数仍是幂函数,并且幂次升高一次.特别当时,有 .当时,公式（4）、（5）为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为,故（, ）式右边的是在分母,不在份子,应记清.当时,有.是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数；指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采取的公式不合.公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变更及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分.阐发：该不定积分应利用幂函数的积分公式.解：（为任意常数）例2 求不定积分.阐发：先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解：由于,所以（为任意常数）例3 求不定积分.阐发：将按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式.解：(为任意常数 )例4 求不定积分.阐发：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解：（为任意常数）例5 求不定积分.阐发：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：（为任意常数）同理我们有：（为任意常数）例6（为任意常数）时间：二O二一年七月二十九日。

常用积分公式

常用积分公式表·例题和点评⑴ d k x kx c =+⎰k 为常数⑵ 11d (1)1x x x c μμμμ+≠-=++⎰特别, 211d x c x x =-+⎰, 3223x x c =+, x c = ⑶ 1d ln ||x x c x=+⎰⑷ d ln xxaa x c a =+⎰, 特别,e d e x xx c =+⎰ ⑸ sin d cos x x x c =-+⎰⑹ cos d sin x x x c =+⎰⑺221d csc d cot sin x x x x c x ==-+⎰⎰ ⑻221d sec d tan cos x x x x c x ==+⎰⎰⑼arcsin (0)x x c a a=+>,特别,arcsin x x c =+ ⑽2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+⎰,特别,21d arctan 1x x c x =++⎰⑾2211d ln (0)2a xx c a a x a a x +=+>--⎰或2211d ln (0)2x ax c a x a a x a -=+>-+⎰ ⑿ tan d ln cos x x x c =-+⎰⒀ cot d ln sin x x x c =+⎰⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x cx x x xc x ⎧-+⎪==⎨+⎪⎩⎰⎰⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x cx x x x c x ⎧++⎪==⎨⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎩⎰⎰⒃(0)===ln a x x c >++ ⒄2(0)===arcsin 2a a x x c a >+⒅2(0)ln 2a a x x c >+⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e axax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -⎧=+⎪⎪+⎨+⎪=+⎪+⎩⎰⎰⒇12222212123d ()2(1)()2(1)nn nn x n x c a x n a a x n a ---==+++-+-⎰II 递推公式跟我做练习一般情形下,都是先做恒等变换或用某一个积分法,最后套用某一个积分公式例24⑴2)x x =-套用公式⒅⑵[1(24)42x x x =-+⎰⎰=请你写出答案⑶2)x x =-ln 2x ⎡=-+⎣ 套用公式⒃⑷12x x =2122x =+=请你写出答案⑸2)x x =-232arcsin23x -=+套用公式⒄⑹[1(42)42x x x =---⎰⎰=请你写出答案⑺==2arcsin3x -套用公式⑼⑻(42)4d 12x x--=-2122=-=请你写出答案例25 求原函数41d 1x x +⎰.解因为所以令从恒等式1)12)(()12)((22≡+++++-+x x D x C x x B Ax 两端分子相等,可得方程组解这个方程组在草纸上做,得21,221,21,221=-===D C B A . 因此, 右端的第一个积分为2211d 4x x =+⎛++⎝⎭⎰套用积分公式类似地,右端的第二个积分为所以221x =-见下注注根据tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅,则因此,例26 求d (01)1cos x x εε<<-⎰. 关于d (01)1cos xx εε<<+⎰,见例17解令tan 2xt =半角替换,则于是,点评求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律,但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说,函数()y y x =的导数或微分可以用一个“构造性”的公式()()()limh y x h y x y x h→+-'= 或d ()d y y x x '=确定下来,可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算,其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如,有理函数的原函数可能不再是有理函数,初等函数的原函数可能是非初等函数这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样.有的初等函数尽管很简单,可是它的原函数不能表示成初等函数 ,譬如21e sin ed ,d ,d ,d ln xx xx x x x xxx-⎰⎰⎰⎰等都不能表示成初等函数.因此,一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数,只是初等函数中的很小一部分.尽管如此,我们毕竟可以求出足够多函数的原函数,而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此,读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.。

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1
2
基本积分表
kdx kx C (k 是常
数)
1
x
x dx
C, (u
1
1
dx In | x | C x dx
2 arl tanx C
1 x
sin xdx cosx C
secx tanxdx secx C
cscx cot xdx cscx C
e x dx e x C a x dx
-
C , (a
0,且 a 1)
In a
shxdx chx C chxdx shx C
1 丄
x arc tan C a
a
(1) (2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) (8) (9)
(10)
(11) (⑵
(13)
(14) (15)
(16)
cosxdx sinx C
1)
—dx cos
x —V-dx
sin x
tan x C cot x C
y
dx
1 dx 1
2 2
.a x
x arc sin- C
a
从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。

2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。

3、复习三角函数公式:
类换元法也叫凑微分法。

务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。