上海市浦东新区2021届新高考数学第一次调研试卷含解析

上海市浦东新区2021届新高考数学第一次调研试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v

，则λμ+= （ ）

A ．13

- B ．

13

C ．12

-

D ．

12

【答案】A 【解析】 【分析】

先根据,2BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r

得到P 为ABC ∆的重心，从而1133

AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，故可得

1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，利用BP AP AB =-uu r uu u r uu u r 可得23

BP AB AC =-+u u u r u u u

r u u u r ，故可计算λμ+的值．

【详解】

因为,2,BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r

所以P 为ABC ∆的重心，

所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,

所以1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,

所以2133

BP AP AB AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u u

r u u u r ，因为BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，

所以211

=,,333

λμλμ-=∴+=-，故选A ．

【点睛】

对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()

13

AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r

，反之，如果G 为平面上一点，且满足()

13

AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r

，那么G 为ABC ∆的重心． 2．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，33

9x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，

7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）

A ．255

B ．419

C ．414

D ．253

【答案】B 【解析】 【分析】

每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】

以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数

列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()

*

3,n n ≥∈N ，

则876854928154a a a =++=++=，

9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．

故选：B ． 【点睛】

本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项． 3．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A B

C D E

F

评分

96

95

96 89 97

98

嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ） A ．12

2

x x x +=

B ．12

2

x x x +>

C ．12

2

x x x +<

D ．12

122

x x x x x +>>>

【答案】C 【解析】 【分析】

计算出1x 、2x ，进而可得出结论. 【详解】

由表格中的数据可知，1969596899798

95.176

x +++++=

≈，

由频率分布直方图可知，2750.2850.3950.588x =⨯+⨯+⨯=，则12x x >，

由于场外有数万名观众，所以，12

212

x x x x x +<<<. 故选：B. 【点睛】

本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.

4．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：

①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B 【解析】 【分析】

设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与

CD 所成角判断④的正误．

【详解】

解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又

11//BC B C ，∴①不正确；

对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，15AD DC ==而1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；

对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =，连结CF ，易知2CF =Rt CBD ∆中，5CD =，

222DF CF CD ∴+=，

即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确； 以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在