高考数学易错题7.3 立体几何中的最值问题-2019届高三数学提分精品讲义

二、经验分享
1.解决立体几何中的最值问题常见方法有： (1)建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用 代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公 试法； 有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等. (2)公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点 之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短.球面上任意两点间的 连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等.如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两 异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径. (3)解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关
【点评】空间中两点距离的最值,最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数,根据目标函数解析式的结构 特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值,可以根据这两个元素之间的关系,借助立体 几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值.如【典例 1】中的两点分别在两条异面直线上,显然这两 点之间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段的长度.另外注意直线和平面的距离,两平面的距离等的灵 活运用.学科#网 【小试牛刀】【2017 甘肃省天水市第一中学上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中, 是坐标原点,有一
【分析】将正三棱柱的表面展开,即可转化为平面内两点间距离的最小值问题求解.注意两种不同的展开方式 的比较. 【解析】 (1)从侧面到 N,如图 1,沿棱柱的侧棱 AA1 剪开,并展开,
系求解：如 a 2 b2 ab 2
ab a b 最小角定理所建立的不等关系等等. 2
(4)展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将
几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由 难化易.
(5)变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，
明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法.
除了上述 5 种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特 殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这 就是：列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过实例感受其精彩内 涵与思想方法所在. 2.决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需 另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想 确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间 距离最短求解 3.解决几何体体积最值问题的方法(1) 根据条件建立两个变量的和或积为定值,利用基本不等式求体积的最 值；通过建立相关函数式,将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解,此法应用最为广泛；由图形的特殊 位置确定最值,如垂直求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转 化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． 4.解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与 定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可 用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则 应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径
三、题型分析
(一) 距离最值问题[来源:学。科。网 Z。X。X。K]
1.空间中两点间距离的最值问题
【例 1】正方体 ABCD A1B1C 1 D1 的棱长为 1,
M 、 N 分别在线段 A1C1 与 BD 上,求 MN 的最小值.
由正方体的棱长为 1 可得 PQ 1. 连结 AC ,则 AC // A1C1,所以 BQC 为两异面直线 A1C1 与 BD 所成角. 在正方形 ABCD 中, AC BD ,所 以 BQC 90 . 过点 M 作 MH AC ,垂足为 H ,连结 NH ,则 MH // PQ ,且 MH PQ 1 . 设 PM m , QN t ,则 QH m . 在 RtQNH 中, HN 2 QN 2 QH 2 n2 m2 , 在 RtMHN 中, MN 2 MH 2 HN 2 12 n2 m2 . 显然,当 m n 0 时, MN 2 取得最小值 1,即 MN 的最小值为 1.
一、考情分析
立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉 及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题 一般可从两个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函 数的最值问题求解；二是直接法,即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论,直接判断最值. 纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能 力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分 析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目 便产生畏惧心理．
源自文库
棱长为 的正方体
, 和 分别是体对角线 和棱 上的动点,则 的最小值为（ ）
A.
B.
【答案】B
C.
D.
2.几何体表面上的最短距离问题
【例 2】正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,各棱长均为 2,M 为 AA1 中点,N 为 BC 的中点,则在棱柱的表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.