15 直线的参数方程(1)(教师版)

15. 直线的参数方程（1） 主备： 审核：

学习目标：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义；

2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程.

学习重点：直线参数方程的简单应用.

学习难点：直线参数方程中参数意义的理解.

学习过程：

一、课前准备：

阅读教材3536P P -的内容，了解直线参数方程的推导过程，并思考以下问题：

1.将参数方程122x t y t =-⎧⎨=+⎩

（t 为参数）化为普通方程是250x y +-=. 2.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 答：一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线，方程为0

0tan ()y y x x α-=-. 3. 你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？

答：当一条直线确定了之后，唯一变化的就是直线上的点，因此，可以以某一个定点为参照，定点到动点的向量作为参数.

二、新课导学：

（一）新知：

直线参数方程的推导过程： 设e 是与直线l 平行且方向向上（l 的倾斜角不为0）或向右（l 的倾斜角为0）的单位方向.设直线l 的倾斜角为α，定点为0M 和动点M 的坐标分别为00(,)x y 、(,)x y . 思考以下问题： （1）如何利用倾斜角α写出直线l 的单位向量e ？ 答： (cos ,sin )e αα= （2）如何用e 和0M 的坐标表示直线l 任意一点M 的坐标？ 答：因为00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=-- 又0//M M e ，所以存在唯一实数t R ∈，使得0M M te = ，

所以00(,,)(cos ,sin )x x y y t αα--=，

所以00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩

（t 为参数）. 这就是经过点000(,)M x y 且倾斜角为α的直线的参数方程.

(3) 参数t 的几何意义是什么？ 答：t 表示参数t 对应的点M 到定点0M 的距离；当0M M 与e 同向时，t 取正数，当0M M 与e 反向时，t 取负数，当0M 与M 重合时，0t =.

（4）练习：①直线003sin20cos20

x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）的倾斜角为70 ； ②直线10x y +-=

的一个参数方程是2()1x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数. (二)典型例题：

【例1】直线l ：30x y --=与抛物线24y x =交于两点A 、B ，求线段AB

的长和点

(0,3)M -到A 、B 两点的距离之积.

【解析】点(0,3)M -在直线l 上，直线l 的倾斜角为4

π，所以直线l 的参数方程为 0cos 4 3sin 4x t t y t ππ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩为参数（）

，即 3 x t y ⎧⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数（）， 代入抛物线方程，得2102180t t -+=，

设该方程的两个根为1t 、2t ，则1212 102 18t t t t +=⋅=，，

所以弦长为 ()22121212 4 (102)41882AB t t t t t t =-=+-=-⨯=

12||||||18MA MB t t ⋅==.

动动手：

1.试用选修1-1中的方法解例1.

【解析】将直线方程30x y --=代入抛物线方程，整理得：21090x

x -+=， 得两根为11x =，2

9x =，对应的12y =-，26y =， 所以A 、B 的坐标为(1,2)A -、(9,6)B ， 所以22||(19)(26)82AB =-+--=.

22||(01)(32)2MA =-+-+=22||(09)(36)92MB =-+--= 所以||||29218MA MB ⋅=.

2.直线00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩

（t 为参数）与曲线()y f x =交于1M 、2M ，对应的参数分别为1t 、2t . 问（1）曲线的弦12M M 的长是多少？（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？

【解析】将直线的参数方程代入曲线方程后得到一个关于t 的方程：

00(cos ,sin )0f x t y t αα++=，

这个方程的解为1t 、2t ，对应的点是直线与曲线的交点1M 、2M ，

所以（1）由参数的几何意义得1212||||M M t t =-.

（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是122

t t +. （同学们自己画图验证，要分000(,)M x y 在线段12M M 内和在线段12M M 外两种情况）.

3.求直线12 2 3 2

x t t y ⎧=+⎪⎨⎪⎩（为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长.

【解析】把直线参数方程为参数）（ 23 212t t y t x ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+= 代入221x y -=

，得221(2))12t +-=，

整理得

2460t t --=，设该方程的两个根为1t 、2t ，则

6 4 2121-=⋅=+t t t t ，， 所以弦长为

12 AB t t =-===.

三、总结提升：

1．直线的参数方程与普通方程00tan ()y y x x α-=-的关系：

由00tan ()y y x x α-=-得00sin cos y y x x αα--=，令00sin cos y y x x t αα

--==， 得直线的参数方程.

2.注意直线的参数方程与向量的知识的联系.

3.要了解直线参数方程中参数t 的几何意义.

4.简单应用：用参数t 可以表示点的坐标、直线上两点间的距离、直线被曲线截得的弦长，还可以表示弦的中点对应的参数.

四、反馈练习：

1．直线3()14x at t y t =+⎧⎨=-+⎩

为参数过定点 （ C ） A . (3,1)-- B . (3,1)- C . (3,1)- D . (3,1)

2．在参数方程⎩⎨⎧+=+=θ

θsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是 （ B ）

A .

122t t - B . 122t t + C . 12||2t t - D . 12||2

t t + 3. 直线22()32x t t y t

⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -2的点的坐标是 （ A ） A .(3,4)-或(1,2)- B . (3,4)-或(1,2)-

C . (3,4)-或(1,2)-

D . (3,4)--或(1,2)-

4. 直线112333x t y =+=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为 （ D ）

A ．(3,3)-

B ．(3,3)-

C ．(3,3)-

D ．(3,3)- 5. 过点10(,0)2

P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ，求P M P N ⋅的最小值及相应的α的值． 【解析】设直线为10cos ()sin x t t y t αα⎧⎪⎨⎪=⎩

为参数

，代入曲线并整理得 223(1sin ))02

t t αα+++=， 则122321sin PM PN t t α⋅==+