三次样条基本特征
计算机图形学曲线和曲面
曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用 线形函数 ：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函 数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造 函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们 用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊 的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形 为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的 形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3
三种曲线拟合方法的精度分析
三种曲线拟合方法的精度分析L,曲线拟合是皂丝圈宁的曲线光滑方法它根据给定的离散点?建立一个适当的解析式,使所表示的连续曲线反映和逼近已知点构成的特征多边形.地形图上的曲线具有多种类型.例如境界,道路,等高线和水网线等.这些曲线图形多数是多值函数,呈现出大挠度,连续拐弯的图形特征.在传统的测绘工作中,各种曲线是根据实测点位由人工联接勾绘而成.随着测绘自动化及数字化技术的不断发展,野外地面测量仪器中的经纬仪.已被全站仪逐渐取代.而在平板仪上进行的地形图清绘整饰工作,则可在微机上借助交互式图形技术完成.这一进步不仅可增加工作效率,缩短生产周期,减低劳动强度,也提高了图形质量.野外实测数据确定的特征多边形,需在计算机图形编辑中采用一定的曲线线跫对其作曲线拟合.本文对三种曲线拟台线型——圆曲线,二次B样条曲线,三次B样条曲线的理论拟台精度展开讨论.并在实验中得到验证.l三种曲线拟合方法1.1圆曲线平面上三点;(?,y1),B(?.),(南,ya)}其圆弧方程++/)X+Ey+F=0.过上述三点作圆弧(图1).当I丑yl1f?的顶点.二次B样条的一阶导数为:小l.B.且Bo?t?l0?t?1其端点性质如下:P(o)一?(Bo4-且)}P(1)=告(B】+岛);(0)一BI一&}(1)=岛一B}P(专)吉&+}且+吉岛=1{吉[P(o)+P(1)]+蜀};(音)一{(岛一Bo)一P(1),P(0)以上性质说明二次B样条曲线的起点P(0)在B特征多边形第一边的中点处,且其切向量且一&即为第一边的走向;终点P(1)在第二边的中点处,且其切向量B:一B为第二边的走向.而且P(1/Z)正是凸P(O)昌P(1)的中线B,M的中点,在P(1/2)处的切线平行于P(O)P(1)(图2).图2二次B样条拟台特征多边形上海蚨道大学第17告1.3三次B样条曲线三次B样条的分段函数式为..c一霎c一-,d一c+一一,,c一=s,z=.,,z,s 三次B样条曲线的矩阵为:3P()=?.3(f)BL=J一口其一阶导数为:[产1]?百1?(t)一[产t1]?告?一l3—3l3—630,30301410一l3—3l2—42O一10l0昂目岛鼠鼠且岛且0?t?10?t?l三次B样条曲线的端点性质如下:P(0)=音(岛+4且+岛)一{(堡{)+号且}P(1)=吉(且+4B+鼠)={(鱼{)+导局;(0)一百1(岛一Bo);(1):I(B一Bi)以上性质说明:三次B样条曲线起点P(0)落在反目B的中线/3.研上距/3的三分之一处,该点的切向量(0)平行于厶‰矗岛的底边/3.Bz,长度为其一半;终点P(1)处的情况与此相对应(见图3).if一}图3三次B拌条拟合特征多边形2三种拟合曲线的比较2+l圆曲线与二次B样条曲线的比较取平面上三点/3-,马…/3井分两种情况进行比较一一一第3期许恺.三神曲拽拟音方法的情虚分析(1)当瓦=瓦瓦时(见图4),过岛,B,岛作圆曲线岛Q最岛,其与特征多边形有两处偏离值最大,即QR与c,,且QR=UV.而二次B样条曲线RTU与特征多边形有一处偏离值最大,即B?则.0??,,7j,一—,/I//,?L—r/.s图4圈曲线与二趺B样条比较(1)QR=s蜀T={(2r?si譬)式中,为圆弧半径l0为弦届置所对圆心角l2,6为弦BoBz所对圆心角.由此即可知.器=>1(>0)(2)鼠晶?蜀岛时,随着岛蜀与蜀岛的差值加大,QR也加大,而B,T值是一定值(见图5).由此可得出二次B样条曲线拟合优于圆曲线拟合的结论.j,一0/..7.一\,}l一?I1形图等高线上选定点位组成特征多边形.分别用圆曲线,二次B样条曲线,三次B样条曲线对等高线特征多边形进行曲线拟合,测出拟合曲线与特征多边形的偏离值.共50个观测值,对测中误差为0.05rnm,取偏离值的平均值列于附表.附裹兰莫拟台曲线平均偏差比较裹哪由上分析可得出如下结论:1?圆曲线拟合特征多边形时,其偏差值要太于=次B样条曲线的拟合偏差.特征多边形相邻两边的长度相差越大.上述两种曲线拟合偏差之差越大.2一二次B样条曲线的拟合误差是三次B样条曲线拟合误差的四分之三.3一对特征多边形作曲线拟合时,在圆曲线.二次B样条,三次B佯条中使用二次B样条参考文献1盒延赞.计算机图形学.杭州t浙江大学出版杜.1988165,1672许隆文.计算机绘图.北京机槭工业出版杜.1989,334,3383孙家广.扬长贵.计算机图形学.北京清华大学出版杜.1994:288,2g0AnalysisofAccuracyofThreeCurve—FittingMethodsXHKdi(Dept?ofCivilE.ShanghaiTiedaoUniv)..Abst喇{reecurve—fittigmethodsareanalyzedandcornpared.ThequadraticBph”re岛ekcted.heopjmlJmcurvefittingforimp?Vingmapaccuracyoftopo graghicaldrawing?andthey8reverifiedbexperiments.dsltopographicmap,eurve—fittig,fittingaccuraey,BsDlines。
《人工神经网络：模型、算法及应用》习题参考答案
习题2.1什么是感知机？感知机的基本结构是什么样的？解答：感知机是Frank Rosenblatt在1957年就职于Cornell航空实验室时发明的一种人工神经网络。
它可以被视为一种最简单形式的前馈人工神经网络，是一种二元线性分类器。
感知机结构：2.2单层感知机与多层感知机之间的差异是什么？请举例说明。
解答：单层感知机与多层感知机的区别：1. 单层感知机只有输入层和输出层，多层感知机在输入与输出层之间还有若干隐藏层；2. 单层感知机只能解决线性可分问题，多层感知机还可以解决非线性可分问题。
2.3证明定理：样本集线性可分的充分必要条件是正实例点集所构成的凸壳与负实例点集构成的凸壳互不相交.解答：首先给出凸壳与线性可分的定义凸壳定义1：设集合S⊂R n，是由R n中的k个点所组成的集合，即S={x1,x2,⋯,x k}。
定义S的凸壳为conv(S)为：conv(S)={x=∑λi x iki=1|∑λi=1,λi≥0,i=1,2,⋯,k ki=1}线性可分定义2：给定一个数据集T={(x1,y1),(x2,y2),⋯,(x n,y n)}其中x i∈X=R n , y i∈Y={+1,−1} , i=1,2,⋯,n ,如果存在在某个超平面S：w∙x+b=0能够将数据集的正实例点和负实例点完全正确地划分到超平面的两侧，即对所有的正例点即y i=+1的实例i，有w∙x+b>0，对所有负实例点即y i=−1的实例i，有w∙x+b<0，则称数据集T为线性可分数据集；否则，称数据集T线性不可分。
必要性：线性可分→凸壳不相交设数据集T中的正例点集为S+，S+的凸壳为conv(S+)，负实例点集为S−，S−的凸壳为conv(S−)，若T是线性可分的，则存在一个超平面：w ∙x +b =0能够将S +和S −完全分离。
假设对于所有的正例点x i ，有：w ∙x i +b =εi易知εi >0，i =1，2，⋯，|S +|。
MATLAB 三次样条
12.1
基本特征
在三次样条中，要寻找三次多项式，以逼近每对数据点间的曲线。在样条术语中，这 些数据点称之为断点。因为，两点只能决定一条直线，而在两点间的曲线可用无限多的三 次多项式近似。因此，为使结果具有唯一性。在三次样条中，增加了三次多项式的约束条 件。通过限定每个三次多项式的一阶和二阶导数，使其在断点处相等，就可以较好地确定 所有内部三次多项式。此外，近似多项式通过这些断点的斜率和曲率是连续的。然而，第 一个和最后一个三次多项式在第一个和最后一个断点以外，没有伴随多项式。因此必须通 过其它方法确定其余的约束。最常用的方法，也是函数 spline 所采用的方法，就是采用非 扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第一个和第二个三次多项式的三阶导数相等。对最后 一个和倒数第二个三次多项式也做同样地处理。 基于上述描述，人们可能猜想到，寻找三次样条多项式需要求解大量的线性方程。实 际上，给定 N 个断点，就要寻找 N-1 个三次多项式，每个多项式有 4 个未知系数。这样， 所求解的方程组包含有 4*(N-1)个未知数。把每个三次多项式列成特殊形式，并且运用各种 约束，通过求解 N 个具有 N 个未知系数的方程组，就能确定三次多项式。这样，如果有 50 个断点，就有 50 个具有 50 个未知系数的方程组。幸好，用稀疏矩阵，这些方程式能够简 明地列出并求解，这就是函数 spline 所使用的计算未知系数的方法。
0 7.0000 0.0007 -0.0083 0.0042 0.3542 0.1635 4.9136 0.9391
1.0000 8.0000 0.0007 0.1068 0.0072 -0.2406 0.1925 0 1.2088
2.0000 9.0000 0.0010 -0.1982 0.0109 4.2439 0.2344 0.1263 1.5757
计算方法分段线性_三次样条插值
计算方法分段线性_三次样条插值分段线性和三次样条插值是两种常用的插值方法，在数值分析和插值问题中广泛使用。
1.分段线性插值分段线性插值是一种简单直观的插值方法，将插值区间划分为若干个子区间，在每个子区间上用线性函数进行插值。
假设给定的插值节点有n+1 个，节点为 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，并且满足 x0 <x1 < ... < xn。
则对于任意 xx 使得 x 在 [xi, xi+1] 之间，可以通过线性插值得到其函数值 yy，即：yy = yi + (xx - xi) * (yi+1 - yi) / (xi+1 - xi)分段线性插值方法简单易懂，适用于一些较简单的插值问题。
但是由于插值函数在节点之间是线性的，可能不能准确地反映出数据的特征，因此不适用于一些需要高精度的插值问题。
三次样条插值是一种更复杂、更精确的插值方法，将插值区间划分为若干个子区间，在每个子区间上用三次多项式进行插值。
三次样条插值方法的基本思想是找到一组三次多项式，满足在每个子区间内插值点的函数值和一阶导数值相等，并且两个相邻多项式在节点处的二阶导数值也相等。
具体的求解步骤如下：(1) 假设有 n+1 个插值节点 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，构造 n 个三次多项式，即每个多项式在 [xi, xi+1] 之间插值。
(2) 对每个子区间内的多项式进行插值，设第 i 个子区间的多项式为 Si(x) = ai + bi(x-xi) + ci(x-xi)^2 + di(x-xi)^3、将插值节点的函数值和一阶导数值代入多项式中，可以得到 n 个线性方程，利用这 n 个线性方程可以求解出 n 个子区间的系数。
(3)由于n个子区间的多项式必须在节点处一阶导数值相等，因此再设立n-1个方程，利用这些方程可以求解出n-1个子区间的二阶导数值。
(4)将求解得到的系数和二阶导数值代入每个子区间的多项式中，得到完整的三次样条插值函数。
三次样条插值算法详解
三次样条插值算法要求数据点数量较多，且在某些情况下可能存在数值不稳定性，如数据 点过多或数据点分布不均等情况。此外，该算法对于离散数据点的拟合效果可能不如其他 插值方法。
对未来研究的展望
01
02
03
改进算法稳定性
针对数值不稳定性问题， 未来研究可以探索改进算 法的数值稳定性，提高算 法的鲁棒性。
3
数据转换
对数据进行必要的转换，如标准化、归一化等， 以适应算法需求。
构建插值函数
确定插值节点
根据数据点确定插值节点，确保插值函数在节点处连续且光滑。
构造插值多项式
根据节点和数据点，构造三次多项式作为插值函数。
确定边界条件
根据实际情况确定插值函数的边界条件，如周期性、对称性等。
求解插值函数
求解线性方程组
06
结论
三次样条插值算法总结
适用性
三次样条插值算法适用于各种连续、光滑、可微的分段函数插值问题，尤其在处理具有复 杂变化趋势的数据时表现出色。
优点
该算法能够保证插值函数在分段连接处连续且具有二阶导数，从而在插值过程中保持数据 的平滑性和连续性。此外，三次样条插值算法具有简单、易实现的特点，且计算效率较高 。
根据数据点的数量和分布，合理分段，确保 拟合的精度和连续性。
求解线性方程组
使用高效的方法求解线性方程组，如高斯消 元法或迭代法。
结果输出
输出拟合得到的插值函数，以及相关的误差 分析和图表。
03
三次样条插值算法步骤
数据准备
1 2
数据收集
收集需要插值的原始数据点，确保数据准确可靠。
数据清洗
对数据进行预处理，如去除异常值、缺失值处理 等。
cardinal 样条曲线原理
cardinal 样条曲线原理Cardinalsplines，也被称为样条曲线，是一种在数学和工程领域中广泛应用的曲线拟合方法。
它不仅在理论上有重要的地位，而且在工程应用中也有广泛的应用。
本文将详细介绍Cardinal样条曲线的原理，包括其定义、性质、构造方法和应用。
一、定义和性质Cardinal样条曲线是一种具有插值性质的曲线，它通过一系列给定的控制点来构造。
这些控制点是样条曲线上的一系列点，它们共同决定了样条曲线的形状。
样条曲线具有以下性质：1.连续性：样条曲线在每个控制点处都是连续的，但在控制点之间可能存在不连续的地方。
2.光滑性：样条曲线在每个控制点处都是光滑的，但在控制点之间可能存在不光滑的地方。
这使得样条曲线比一些简单的插值方法更加平滑。
3.可控性：通过改变控制点的位置和数量，可以调整样条曲线的形状和精度。
二、构造方法构造Cardinal样条曲线的基本步骤包括选择控制点、确定控制点的顺序和选择一个合适的样条曲线类型。
常用的样条曲线类型包括二次样条曲线（Quadraticspline）、三次样条曲线（Cubicspline）等。
二次样条曲线的控制点是等间距分布的，并且每个控制点只被使用一次。
因此，二次样条曲线可以被视为在每个控制点处二次多项式插值的结果。
同样，三次样条曲线的控制点也是等间距分布的，但它使用了三次多项式插值的方法。
在实际应用中，根据具体需求和计算复杂度来选择合适的样条曲线类型。
在选择好控制点和曲线类型后，需要使用一个样条函数来将这些控制点组合成一个完整的样条曲线。
样条函数通常使用一些优化算法来确定最佳的控制点位置和插值参数，以保证样条曲线的质量和精度。
三、应用场景Cardinal样条曲线在许多领域都有广泛的应用，包括计算机图形学、地理信息系统、工程设计、数字图像处理等。
以下是一些具体的应用场景：1.计算机图形学：在计算机图形学中，样条曲线常用于创建平滑的曲线形状，如物体表面的纹理路径、动画角色的运动轨迹等。
三次参数样条曲线
目 录
• 参数样条曲线简介 • 三次参数样条曲线的数学模型 • 三次参数样条曲线的构建过程 • 三次参数样条曲线的应用实例 • 三次参数样条曲线的优缺点分析 • 三次参数样条曲线与其他插值方法的比较
01
CATALOGUE
参数样条曲线简介
定义与特性
定义
三次参数样条曲线是一种数学函 数，通过给定的数据点，使用参 数化方法拟合出一条光滑的曲线 。
与多项式插值的比较
1
多项式插值适用于已知数据点之间存在某种特定 关系的情况，而三次参数样条曲线则不需要事先 知道这种关系。
2
多项式插值在处理高阶数据时可能会遇到计算量 大和稳定性差的问题，而三次参数样条曲线则相 对较稳定。
3
多项式插值在处理非线性数据时可能会产生较大 的误差，而三次参数样条曲线能够更好地适应非 线性数据的处理。
算法实现
可以使用数值计算方法和编程语言来实现三次参数 样条曲线的计算，例如Python、MATLAB等。
优化方法
为了提高计算效率和精度，可以采用一些优 化方法，如共轭梯度法、牛顿法等。
03
CATALOGUE
三次参数样条曲线的构建过程
数据准备
数据收集
01
收集用于拟合曲线的离散数据点，确保数据具有代表性且分布
易于理解和实现
三次参数样条曲线具有直观的几 何意义，易于理解和实现，不需 要复杂的数学背景。
缺点分析
01
对异常值敏感
三次参数样条曲线对异常值比较 敏感，如果数据中存在异常值， 可能会导致拟合结果偏差。
02
对初始程可 能会陷入局部最优解，影响拟合 效果，需要合理设置初始值。
合理。
数据清洗
三次B样条曲线
0
1
PP32
t 0, 1
三次B样条曲线
➢ 性质1：端点位置
P0,3
(0)
1 6
( P0 4 P1 P2 )
1 3
P0
2
P2
2 3
P1 ,
P0,3
(1)
1 6
( P1 4 P2 P3 )
1 3
P1
2
P3
2 3
P2 ,
➢ 性质2：端点切矢及二阶导数
P
0,3(0)
其中，基函数 Gi,n (t) 定义为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
n i
j)n
t [0,1], i 0数,字1,图.像..处,n理
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
样条基函数：
1 , Bi,1(t) 0 ,
ti t ti1 otherwise
Bi,k (t)
t ti tik 1 ti
Bi,k 1(t)
tik t tik ti1
Bi1,k 1(t)
t
数字图像处理
非均匀 B 样条曲线
➢ 设P1, P2 ,...Pn (n k)为给定空间的n个点,称下列参 数曲线
0)
S
(k
)
(
x i
1
0),
k 0,1,
2
2
(3)满足插值条件 yi S ( xi ), i 0,1,..., n.
数字图像处理
样条函数
样条函数定义：设给定一组节点：01231N N x x x x x x +-∞=<<<<<<=+∞又设分段函数()S x 满足条件：1. 于每个区间1[,](0,1,,)j j x x j N += 上，()S x 是一个次数不超过n的多项式； 2.()S x 于(,)-∞+∞上具有一直到阶的连续导数。
称()y S x =为 n 次样条函数。
而称123,,,,N x x x x则为样条函数的节点。
通常将以 123,,,,Nx x x x为节点的n 次样条函数的全体记为123(,,,,)n N x x x x ϕ称一个21n -次的奇次样条函数()S x 为21n -次的自然样条函数，如果其在区间1(,](,)N x x -∞⋃+∞上的表达式为1n -多项式。
通常将以123,,,,Nx x x x为节点的21n -次的自然样条函数的全体记为21123(,,,,)n N N xx x x - 。
样条函数的表达式：关于自然样条函数的存在、唯一性有下面定理：定理1 设1n N ≤≤，则对任意给定的12,,,N y y y ，存在唯一的自然样条函数()()2112,,,n N S x N x x x -∈ ，使得(),1,2,,.j j S x y y N ==定理2 设1n N ≤≤，且12N a x x x b ≤<<<≤ .又设()()2112,,,n N S x N x x x -∈ 是满足插值条件(),1,2,,.j j S x y y N ==()*的自然样条函数，则对任何满足()*的函数()[],n f x C a b ∈：()()1,2,,j j f x y j N ==必有()()()()22a an n bbSx dx fx dx ≤⎰⎰ ()**且等号成立⇔()()f x S x ≡时才成立. 特别当2n =时，()**化为()()22a a bbS x dx f x dx ''''≤⎰⎰在几何上，常称自然插值样条为最光滑曲线插值.()3221y y k y ''''≈='+ 当y '很小时.三次样条插值问题：设给定区间[],a b 且12N a x x x b≤<<<≤ 又任意给定常数012,,,,N y y y y ，要求构造一个3123(,,,,)N S x x x x ϕ∈ 使得满足如下插值条件：(),0,1,2,,j j S x y j N==补充插值条件：自然样条条件()S x 在1,j j x x -⎡⎤⎣⎦上的表达式为()1,1,2,,j S x j N -= 。
样条平滑方法范文
样条平滑方法范文
样条平滑方法的主要思想是通过在数据点之间插值，构造一个平滑的曲线来逼近原始数据。
核心原理是假设数据点之间的曲线是光滑的，并且通过一些约束条件来保证曲线的平滑性。
最常见的样条平滑方法是基于样条插值的方法，其中最常用的是三次样条插值。
三次样条插值是通过共计四个数据点来构造一个三次多项式，并通过一些约束条件来保证插值曲线的平滑性。
这些约束条件包括在每个数据点处都有连续的一阶导数和二阶导数，以及在首尾两个数据点处的一阶导数为零。
通过解这些约束条件，可以得到一个平滑的插值曲线。
除了三次样条插值，还有其他一些常用的样条平滑方法，如二次样条插值、多项式样条插值等。
这些方法根据不同的需求和约束条件选择合适的插值函数来进行数据平滑，以达到最好的拟合效果。
然而，样条平滑方法也有一些缺点和注意事项。
首先，样条平滑方法对于数据点的选择非常敏感，如果数据点选择不当，可能会导致曲线过度平滑或者拟合效果较差。
因此，在选择数据点时应根据实际情况进行合理的选择。
其次，样条平滑方法可能会对数据进行过度平滑，从而模糊了数据的局部特征，导致信息损失。
因此，在使用样条平滑方法时应根据实际需求综合考虑平滑程度和数据特征。
总而言之，样条平滑方法是一种常用且有效的数据平滑和曲线拟合方法，能够通过拟合一个平滑的曲线来消除数据中的噪声和异常点。
通过合理地选择数据点和插值函数，可以得到一个平滑且准确的曲线，提高数据的可靠性和可分析性。
然而，在使用样条平滑方法时需要注意选择合适的数据点和约束条件，以免过度平滑或者丢失重要的数据特征。
数学建模思想在数值计算方法教学中的渗透
数学建模思想在数值计算方法教学中的渗透作者：郭会来源：《教育教学论坛》2013年第24期摘要：本文探讨了在数值计算方法教学中融入数学建模思想的必要性，并从几个方面提出了渗透数学建模思想的途径。
关键词：数值计算方法；数学建模；必要性；途径中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）24-0047-02随着计算机的飞速发展，几乎所有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列计算性的学科分支，如《计算物理》、《计算化学》、《计算生物学》、《计算地质学》、《计算气象学》和《计算材料学》等，而《计算数学》中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。
因此掌握数值计算方法的基本理论及其应用对理工科大学生从事专业研究具有重要意义。
那么如何加强学生对计算方法思想的领悟？如何增强学生运用计算方法思想解决实际问题的能力？在计算方法教学中融入数学建模思想是值得我们认真思考的问题，也是解决学与用关系的一个非常有意义的尝试。
笔者参加了山东省精品课程数值计算方法的建设，又结合近几年的教学体会，提出以下几点认识。
一、数学建模思想融入数值计算方法教学的必要性1.传统数值计算方法教学的不足之处。
值计算方法，也称数值分析或计算方法，是专门研究各种数学问题的数值解法（近似解法），包括方法的构造和求解过程的理论分析。
课程中有大量的、冗长的计算公式，所涵盖的知识面宽，各部分内容自成体系，因而给人的感觉是条块分割严重，逻辑性、连贯性不强。
在传统的数值计算方法教学中，主要是讲解定义、公式推导和大量的计算方法等。
很多学生在学习的过程中甚至考试结束之后仍然不知道自己所学的算法能在什么地方应用，导致学生学习目的性模糊，学习兴趣减少，因此加强培养学生的数学建模能力具有十分重要的意义。
2.数学建模思想在数值计算方法教学中的作用。
所谓数学建模[1]，就是将某一领域或部门的某一实际问题，通过做一些必要的简化和假设，明确变量和参数，并依据某种“规律”，运用适当的数学理论，建立变量和参数间的一个明确的数学关系式，这个数学关系式即为数学模型，建立这个数学模型的过程即为数学建模。
三次样条拟合算法
三次样条拟合算法前言三次样条拟合算法是在数值分析中常用的一种插值方法，用于在给定一组数据点的情况下，通过构建一条光滑的曲线来拟合这些数据点。
三次样条函数具有一阶和二阶导数连续的特点，因此能够更好地反映数据的特征，并且拟合出的曲线也比较平滑。
在本文中，我们将详细介绍三次样条拟合算法的原理和实现方法。
三次样条函数的定义三次样条函数是由多个三次多项式组成的复合函数。
在给定一组数据点(x i,y i)的情况下，我们希望构造一条曲线S(x)来拟合这些数据点。
假设数据点的个数为n，则曲线S(x)由n−1段三次多项式组成，每一段三次多项式的表达式为：S i(x)=a i+b i(x−x i)+c i(x−x i)2+d i(x−x i)3其中，x i和x i+1是相邻数据点的横坐标，a i、b i、c i和d i是需要求解的系数。
插值条件为了决定每一段三次多项式的系数，我们需要满足以下插值条件： 1. 插值条件一：S i(x i)=y i，即曲线通过给定的数据点。
2. 插值条件二：S i(x i+1)=y i+1，即曲线通过相邻数据点。
3. 插值条件三：S′i(x i+1)=S′i+1(x i+1)，即曲线在相邻数据点处一阶导数连续。
4. 插值条件四：S″i(x i+1)=S″i+1(x i+1)，即曲线在相邻数据点处二阶导数连续。
其中，S′i(x)和S″i(x)分别表示曲线S i(x)的一阶和二阶导数。
矩阵方程的求解通过将插值条件转化为矩阵方程，可以求解出每一段三次多项式的系数。
令ℎi=x i+1−x i，则有： 1. a i=y i，由插值条件一可得。
2. c i=13ℎi (y i+1−y i)−1 6ℎi(b i+1+2b i)，由插值条件二和插值条件三可得。
3. b i=y i+1−y iℎi−ℎi 6(2c i+c i+1)，由插值条件二和插值条件三可得。
4. d i=c i+1−c i6ℎi，由插值条件四可得。
三次样条插值与多项式拟合的关系
三次样条插值与多项式拟合的关系1. 介绍在数学和计算机科学领域里，三次样条插值和多项式拟合都是常用的数据拟合方法。
它们都可以根据一系列的数据点来估计出一个函数，并在一定程度上能够描述数据的特征和趋势。
在本文中，我们将探讨三次样条插值和多项式拟合之间的关系，以及它们各自的优缺点。
2. 三次样条插值的基本概念三次样条插值是一种通过在相邻的数据点之间使用三次多项式来逼近数据的方法。
其基本思想是在相邻两个数据点之间构造一个三次多项式，并要求这些三次多项式在相邻数据点处拥有相同的函数值和导数值。
这样可以保证拟合的曲线在每个数据点处都能够平滑地连接，并且能够较好地反映数据的特征。
3. 多项式拟合的基本概念多项式拟合是一种通过使用一个多项式函数来逼近数据的方法。
其基本思想是找到一个多项式函数，使得它在给定的数据点处能够最好地拟合已有的数据。
通常情况下，我们会选择低阶的多项式函数，如线性函数或二次函数，以避免过拟合的问题。
4. 三次样条插值与多项式拟合的关系从数学原理上来讲，三次样条插值其实也可以看作是一种多项式拟合的方法。
因为在每个相邻的数据点之间，我们都使用了一个三次多项式来逼近数据。
所以可以说，三次样条插值是一种局部的多项式拟合方法。
5. 优缺点比较在实际应用中，三次样条插值和多项式拟合各有其优缺点。
三次样条插值能够保证拟合曲线在每个数据点处的平滑连接，能够比较好地反映数据的特征。
然而，它在整体拟合的时候可能会出现振荡的问题，特别是在数据点比较稀疏的情况下。
而多项式拟合则可以灵活地通过选择不同阶数的多项式来逼近数据，能够较好地拟合整体趋势。
但是，它容易出现过拟合的问题，特别是在数据点较多的情况下。
6. 个人观点和理解在我看来，三次样条插值和多项式拟合都是非常有用的数据拟合方法。
在实际应用中，我们可以根据具体的数据特点和需求来选择合适的方法。
如果需要保证拟合曲线在每个数据点处平滑连接，同时又能较好地反映整体趋势，可以选择三次样条插值。
二,三次样条曲线的定义
二,三次样条曲线的定义二次样条曲线是一类平滑的曲线，它由一系列的二次多项式组成，每个多项式在相邻数据点之间进行插值。
具体而言，对于给定的一组数据点，二次样条曲线在每两个相邻数据点之间使用二次多项式来拟合曲线形状，并满足在每个数据点上的连续性和光滑性条件。
二次样条曲线的定义有两个基本要素：节点和控制点。
节点是指给定的一组数据点，这些数据点是曲线的特征点，确定了曲线的形状。
控制点是指在每个相邻节点之间的插值点，它们用于确定每个二次多项式的系数，进而确定曲线的形状。
在定义了节点和控制点之后，可以通过以下步骤来计算二次样条曲线的系数：1. 先计算每个数据点之间的差值，得到节点间的步长。
2. 对于每个相邻节点，根据插值条件计算二次多项式的系数。
这可以通过求解一个线性方程组来实现，其中包括节点的值以及在该节点处的导数值。
3. 通过插值条件和平滑性条件，得到额外的线性方程组，用于求解每个控制点处的导数值。
4. 最后，通过求解上述线性方程组，可以确定每个二次多项式的系数，从而得到整个二次样条曲线。
二次样条曲线在计算机图形学和数据拟合中经常使用。
它们能够提供平滑的曲线形状，并且具有较低的计算复杂度。
然而，二次样条曲线的插值精度相对较低，不能完全通过节点来准确表示原始数据点的形状。
与二次样条曲线相比，三次样条曲线提供了更高的插值精度。
它由一组三次多项式组成，每个多项式在相邻数据点之间进行插值。
与二次样条曲线不同，三次样条曲线在每个数据点处不仅满足连续性和光滑性条件，还满足一阶导数的连续性条件。
这使得三次样条曲线能够更准确地拟合数据点的形状。
计算三次样条曲线的系数也需要进行类似的步骤，但相应的线性方程组更复杂。
通过求解这些方程组，可以得到每个三次多项式的系数，从而确定整个三次样条曲线。
总结而言，二次样条曲线和三次样条曲线都是常用的平滑曲线拟合方法。
二次样条曲线适用于需要快速计算和较低插值精度的情况，而三次样条曲线适用于需要更高插值精度和平滑性的情况。
三次B样条曲线
所以，根据式：
P(t )
PB
i 0 i
n
i ,n
(t )
二次 Bezier 曲线的表达形式为：
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t 2 P2 （０≤t ≤ 1)
根据 Bezier 曲线的总体性质，可讨 论二次 Bezier 曲线的性质： P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2 P2 P’(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2 P(1/2)=1/2[P1+1/2(P0+P2)] P(0)=2(P1-P0) P(1)=2(P2-P1) P(1/2)=P2-P0
' '
同理可得，当 t=1 时
P (1) n( Pn明：Bezier曲线在两端 点处的切矢方向与特征多边形的第一 条边和最后一条边相一致。
２.二次和三次Bezier曲线 (1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 二次(n=2) Bezier曲线： 其相应的混合函数为：
B (t ) n[Bi 1,n1 (t ) Bi,n1 (t )]
' i ,n
得：
P ' (t ) n P i [ Bi 1, n 1 (t ) Bi , n 1 (t )]
i 0 n 1
讨论：
(n 1)! Bi 1, n 1 (t ) t i 1 (1 t ) n 1i (i 1)! ( n i )! (n 1)! Bi , n 1 (t ) t i (1 t ) n 1i i!( n 1 i )!
法国的 Bezier 为此提出了一种新的 参数曲线表示方法，因此称为Bezier 曲线。后来又经过 Gordon、Forrest 和 Riesenfeld等人的拓广、发展， 提出了Ｂ样条曲线。 这两种曲线都因能较好地适用于 外形设计的特殊要求而获得了广泛的 应用。
自然立方样条函数
自然立方样条函数
《自然立方样条函数》
一. 简介
自然立方样条函数（NSC）是一种连续曲线表示方法，它是样条函数的一种，可以用来拟合二维平面上的任何点，而且不会出现孔洞、跳跃等现象，使得拟合出来的曲线更加的平滑。
自然立方样条函数也是一种广泛使用的函数，它可以准确地拟合二维数据，减少数据量，有助于精确的计算和分析。
二、自然立方样条函数的基础
自然立方样条函数的基础是一系列的三次样条函数，也就是x和y的三次函数f(x)和g(y)，它们的关系式为:
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
g(y)=ay^3+by^2+cy+d
自然立方样条函数具有一个特点，就是在两个方向上均有自然边界，即当x和y分别取0和1时，函数值也分别取0和1。
三、自然立方样条函数的应用
自然立方样条函数是一种广泛使用的拟合函数，它可以用来拟合二维的任何数据，如高程、气温等，准确地表示任何函数的数据特征。
它不仅可以用于数据可视化，还可以用于现实世界中的各种问题，如地貌分析、运动仿真等。
自然立方样条函数也可以用于求解函数的极值点。
它的特点是不仅能够精确求解函数的最大值和最小值，而且还可以很容易求解函数
的转折点和拐点处的值，这些都可以帮助我们精细地分析函数，更好地利用数据。
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三次样条
众所周知，使用高阶多项式的插值常常产生病态的结果。
目前，有多种消除病态的方法。
在这些方法中，三次样条是最常用的一种。
在MATLAB中，实现基本的三次样条插值的函数有spline，ppval，mkpp和unmkpp。
在这些函数中，仅spline 在《MATLAB参考指南》中有说明。
下面几节，将展示在M文件函数中实现三次样条的基本特征
基本特征
在三次样条中，要寻找三次多项式，以逼近每对数据点间的曲线。
在样条术语中，这些数据点称之为断点。
因为，两点只能决定一条直线，而在两点间的曲线可用无限多的三次多项式近似。
因此，为使结果具有唯一性。
在三次样条中，增加了三次多项式的约束条件。
通过限定每个三次多项式的一阶和二阶导数，使其在断点处相等，就可以较好地确定所有内部三次多项式。
此外，近似多项式通过这些断点的斜率和曲率是连续的。
然而，第一个和最后一个三次多项式在第一个和最后一个断点以外，没有伴随多项式。
因此必须通过其它方法确定其余的约束。
最常用的方法，也是函数spline所采用的方法，就是采用非扭结(not-a-knot)条件。
这个条件强迫第一个和第二个三次多项式的三阶导数相等。
对最后一个和倒数第二个三次多项式也做同样地处理。
基于上述描述，人们可能猜想到，寻找三次样条多项式需要求解大量的线性方程。
实际上，给定N个断点，就要寻找N-1个三次多项式，每个多项式有4个未知系数。
这样，所求解的方程组包含有4*(N-1)个未知数。
把每个三次多项式列成特殊形式，并且运用各种约束，通过求解N个具有N个未知系数的方程组，就能确定三次多项式。
这样，如果有50个断点，就有50个具有50个未知系数的方程组。
幸好，用稀疏矩阵，这些方程式能够简明地列出并求解，这就是函数spline 所使用的计算未知系数的方法。